Slides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Conic Sections Equations
1. Universidade Federal do Rio Grande do Sul — Instituto de Matem´tica
a
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA PURA E APLICADA
MAT 01353 C´lculo e Geometria Anal´
a ıtica IA
GEOMETRIA ANAL´
ITICA
ˆ
CONICAS
Janice Nery
Liana Costi N´cul
a
Luisa Rodr´ıguez Doering
Maria Fernanda Recena Menezes
PORTO ALEGRE, 2001/2
3. Se¸˜es Cˆnicas
co o
1. Introdu¸˜o
ca
Uma se¸˜o cˆnica ou, simplesmente, uma cˆnica ´ a curva obtida cortando-se qualquer
ca o o e
cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice; este plano ´ o plano secante.
a e e
• Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do
e
cone, a cˆnica ´ uma par´bola.
o e a
• Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz
a e
e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´
o o e
uma elipse.
• Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma gera-
a e
triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma
o e
hip´rbole.
e
No caso de um plano que passa pelo v´rtice do cone obtemos, como ´ f´cil visualizar,
e e a
um ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes: estas s˜o chamadas cˆnicas degen-
a o
eradas, que n˜o ser˜o estudadas.
a a
Na p´gina http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/calculo1.html do C´lculo I A, h´
a a a
um link chamado Um Estudo de C^nicas, onde pode ser encontrada esta apostila, bem
o
como defini¸˜es, exemplos, constru¸˜es e anima¸˜es que ajudam o aluno a ter uma melhor
co co co
compreens˜o e visualiza¸˜o sobre este assunto. Sempre que um assunto aqui abordado
a ca
tiver algo relacionado naquela p´gina, isto ser´ explicitado. Por exemplo, para ter uma
a a
id´ia dos planos secantes cortando o cone em angulos variados, veja Introdu¸ao.
e ˆ c~
4. 2 C´lculo IA
a
2. Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico
ca o e
Estudaremos as se¸˜es cˆnicas como curvas planas. Para isso, utilizaremos defini¸˜es
co o co
equivalentes as anteriores — mas que se referem somente ao plano no qual est´ a curva
` a
— e que dependem de pontos especiais desse plano, chamados focos da curva.
• Elipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a soma d1 + d2
e
das distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos
a
da elipse.
P
d1 d2
F1 F2
d1 + d2 = constante
• Hip´rbole: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a diferen¸a
e e c
|d1 −d2 | das distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados
a
focos da hip´rbole.
e
P
d1 d2
o o
F1
F2
|d1 − d2 | = constante
• Par´bola: conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distˆncia d1 de P a
a a
um ponto fixo F, chamado foco da par´bola, ´ igual a distˆncia d2 de P a uma reta fixa
a e ` a
D, chamada diretriz da par´bola.
a
D d2 P
d1
F
d1 = d2
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
5. ˆ
CONICAS 3
Note que as duas primeiras cˆnicas s˜o sim´tricas em rela¸˜o a reta que passa pelos
o a e ca `
focos e a par´bola ´ sim´trica em rela¸˜o a reta pelo foco que ´ perpendicular ` diretriz.
a e e ca ` e a
Em Anima¸oes/Constru¸oes podem ser encontradas constru¸˜es animadas das cˆnicas.
c~ c~ co o
3. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas
ca o o
A fim de determinar mais facilmente as equa¸˜es das cˆnicas, escolhemos um sistema
co o
de coordenadas tal que os focos estejam no eixo 0x e equidistantes da origem, para a elipse
e a hip´rbole; para a par´bola escolhemos um sistema tal que o foco esteja no eixo 0x e a
e a
origem equidistante do foco e da diretriz. Assim obtemos as equa¸˜es a seguir, chamadas
co
equa¸˜es canˆnicas ou reduzidas das cˆnicas.
co o o
a) Elipse E: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c ≥ 0 e pela
x2 y 2
constante 2a > 2c, tem a equa¸˜o reduzida
ca + 2 = 1, com a2 = b2 + c2 .
a2 b
y
Elementos:
B2
Centro: C = (0, 0)
V´rtices: A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0)
e
B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) x
Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) A1 F 1
F A2
2
Eixo maior: A1 A2
Eixo menor: B1 B2
c
Excentricidade: e = B1
a
Observe que 0 < e < 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 0, ent˜o c ´
e e a e
muito menor do que a e portanto b2 ´ aproximadamente igual a a2 ; isto significa
e
que, neste caso, a elipse E ´ mais redonda. (Se e = 0, ´ um c´
e e ırculo!)
Analogamente, se e ´ aproximadamente 1, ent˜o a ´ aproximadamente igual
e a e
a c e portanto b2 ´ aproximadamente 0; isto significa que, neste caso, a elipse E
e
´ mais alongada.
e
Passamos a deduzir a equa¸˜o reduzida. S˜o equivalentes:
ca a
P = (x, y) ∈ E
d((x, y), F1 ) + d((x, y), F2 ) = 2a
d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0)) = 2a
(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a
(x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2
x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2
4cx − 4a2 = 4a (x − c)2 + y 2
cx − a2 = a (x − c)2 + y 2
c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 (x2 − 2cx + c2 + y 2 )
(c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 c2 − a4 = a2 (c2 − a2 )
(a2 − c2 )x2 − a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
como a2 − c2 > 0, tomamos b2 = a2 − c2 e obtemos
b 2 x 2 − a2 y 2 = a 2 b 2
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
6. 4 C´lculo IA
a
x2 y 2
+ 2 =1
a2 b
Em dois dos passos acima, ´ importante ter o radicando positivo, para ter o
e
mesmo conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o e de seu quadrado.
ca ca
b) Par´bola P: determinada por seu foco F = (p, 0) e por sua diretriz D : x = −p,
a
tem a equa¸˜o reduzida y 2 = 4px.
ca
y
D
Elementos:
x Diretriz: D : x = −p
F V´rtice: V = (0, 0)
e
Foco: F = (p, 0)
A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a).
ca ca e a
c) Hip´rbole H: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), e pela
e
x2 y 2
constante 2a < 2c, tem a equa¸˜o reduzida
ca − 2 = 1, com b2 = c2 − a2 .
a2 b
y
Elementos:
a
Centro: C = (0, 0)
b
V´rtices: V1 = (−a, 0) e V2 = (a, 0)
e c
x
Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) F
o o
V V
o o
F2
1 1 2
b b
ıntotas: y = − x e y = x
Ass´
a a
c
Excentricidade: e =
a
Observe que e > 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 1, ent˜o c ´
e e a e
2
aproximadamente a e portanto b ´ aproximadamente igual a 0; isto significa
e
que, neste caso, a hip´rbole H ´ muito mais fechada.
e e
Analogamente, se e ´ muito maior do que 1, ent˜o c ´ muito maior do que a
e a e
e portanto b2 ´ muito maior do que 0; isto significa que, neste caso, a hip´rbole
e e
H ´ muito mais aberta.
e
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
7. ˆ
CONICAS 5
A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a).
ca ca e a
Em Anima¸oes/Varia¸oes/Par^metros podem ser encontradas anima¸˜es refletindo
c~ c~ a co
varia¸˜es dos parˆmetros das cˆnicas.
co a o
4. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k)
ca o o e
As equa¸˜es canˆnicas das cˆnicas descritas anteriormente tˆm todas focos no eixo Ox
co o o e
e centro em (0, 0); analisamos ainda o caso em que o centro ´ um ponto (h, k) qualquer do
e
plano e os focos est˜o na reta paralela ao eixo Ox, y = k ou paralela ao eixo Oy, x = h.
a
As equa¸˜es com um centro gen´rico em (h, k) e focos na reta y = k s˜o:
co e a
(x − h)2 (y − k)2
Elipse: + =1 com a2 = b2 + c 2 ;
a2 b2
Par´bola:
a (y − k)2 = 4p (x − h);
(x − h)2 (y − k)2
Hip´rbole:
e − =1 com b 2 = c 2 − a2 .
a2 b2
As equa¸˜es respectivas com centro gen´rico em (h, k) mas focos na reta x = h, s˜o
co e a
obtidas trocando x − h por y − k nas equa¸˜es acima.
co
Em Anima¸oes/Varia¸oes/Transla¸oes podem ser encontradas anima¸˜es apresen-
c~ c~ c~ co
tando transla¸˜es das cˆnicas.
co o
5. Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos
ca o
A equa¸˜o geral do segundo grau em duas vari´veis ´ da forma
ca a e
Ax2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0 (♦)
e representa uma cˆnica, uma cˆnica degenerada ou o conjunto vazio. Quando (♦) repre-
o o
senta uma cˆnica e o coeficiente do termo em xy ´ n˜o-nulo (E = 0), esta tem os focos em
o e a
uma reta n˜o-paralela aos eixos coordenados; este caso n˜o ser´ estudado nesta disciplina,
a a a
´
mas sim na de Algebra Linear. Se vocˆ deseja ter uma id´ia do que acontece neste caso
e e
E = 0, consulte Anima¸oes/Varia¸oes/Rota¸oes.
c~ c~ c~
Quando E = 0, os focos est˜o sobre uma reta paralela a um dos eixos Ox ou Oy;
a
que ´ o caso aqui estudado. Para identificarmos essa cˆnica, completamos quadrados e
e o
reescrevemos (♦) como uma das equa¸˜es da Se¸˜o 4.
co ca
O an´logo de (♦) no caso tridimensional (a equa¸˜o geral do segundo grau em trˆs
a ca e
vari´veis) pode ser encontrado no link Qu´dricas da p´gina de C´lculo IIA.
a a a a
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
8. 6 C´lculo IA
a
6. Exerc´
ıcios Resolvidos
Exerc´ıcio 1. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, seus
o ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
c c a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos
ca ca
em x e os termos em y :
4(x2 − 4x) + 9(y 2 + 2y) − 11 = 0,
completamos o quadrado:
4 (x − 2)2 − 4 + 9 (y + 1)2 − 1 − 11 = 0,
e reescrevemos:
4(x − 2)2 − 16 + 9(y + 1)2 − 9 − 11 = 0 ∴ 4(x − 2)2 + 9(y + 1)2 − 36 = 0;
finalizamos colocando no formato canˆnico:
o
(x − 2)2 (y + 1)2
+ = 1.
32 22
Vemos, portanto (observe o sinal +), que se trata de uma elipse com a = 3, b = 2 e
√
c = 5 , pois c2 = 9 − 4 = 5. Al´m disto, temos:
e
y
Elementos: B2
1 o
Centro: C = (2, −1) –1 2 5 x
V´rtices:
e
A1 = (−1, −1), A2 = (5, −1)
B1 = (2, −3), B2 = (2, 1)
√
A1 o o
F1 –1
o
C
o
F2
o A2
Focos: F1 = (2 − √5, −1)
e F2 = (2 + 5, −1)
√
5
Excentricidade: e =
3 –3 o
B1
Exerc´ıcio 2. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, seus
o ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
c c a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, primeiro agrupamos os
ca ca
termos em x e os termos em y :
25(x2 − 4x) − 36(y 2 + 2y) − 836 = 0,
completamos o quadrado:
25[(x − 2)2 − 4] − 36[(y + 1)2 − 1] − 836 = 0,
e reescrevemos:
25(x − 2)2 − 100 − 36(y + 1)2 + 36 − 836 = 0 ∴ 25(x − 2)2 − 36(y + 1)2 − 900 = 0,
finalizamos colocando no formato canˆnico:
o
(x − 2)2 (y + 1)2
− = 1.
62 52
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
9. ˆ
CONICAS 7
Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 6, b = 5 e
√ e
2
c = 61 , pois c = 36 + 25 = 61. Al´m disto, temos:
e
y
Elementos:
Centro: C = (2, −1)
V´rtices:
e
V1 = (−4, −1) e V2 = (8, −1)
√ 2 x
Focos: F1 = (2 − √61, −1) –1
F1o o
V1 o o o
F2
e F2 = (2 + 61, −1) C V2
Ass´ıntotas:
5 5
y = (x − 2) − 1 e y = − (x − 2) − 1
6 6
√
61
Excentricidade: e =
6
Exerc´ıcio 3. Identifique a cˆnica de equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, seus elementos e
o ca
fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
c c a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e
ca ca
os termos em y :
y 2 − 4y = 12x + 8,
completamos o quadrado:
(y − 2)2 − 4 = 12x + 8 ∴ (y − 2)2 = 12x + 12 = 12(x + 1),
finalizamos colocando no formato canˆnico:
o
(y − 2)2 = 4 · 3(x + 1).
Vemos, portanto (observe que s´ h´ um quadrado), que se trata de uma par´bola com
o a a
p = 3. Al´m disto, temos:
e
y
D
Elementos:
Diretriz: D : x = −4 V F
o o
x
V´rtice: V = (−1, 2)
e –4 –1 2
Foco: F = (−1 + 3, 2) = (2, 2)
Exerc´ıcio 4. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, seus
o ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
c c a
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
10. 8 C´lculo IA
a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, primeiro agrupamos os termos
ca ca
em x e os termos em y :
9(x2 − 8x) + 4(y 2 + 6y) − 164 = 0,
completamos o quadrado:
9 (x − 4)2 − 16 + 4 (y + 1)2 − 9 − 164 = 0,
e reescrevemos:
9(x − 4)2 − 151 + 4(y + 3)2 − 36 − 164 = 0 ∴ 9(x − 4)2 + 4(y + 3)2 − 351 = 0;
finalizamos colocando no formato
canˆnico:
o y
A2
(x − 4)2 (y + 3)2 6 o
+ = 1.
62 92
o F2
Vemos, portanto (observe o sinal +),
que se trata de uma elipse com a = 9,
√ √ –2 4 10 x
b = 6 e c = 45 = 3 5 , pois c2 =
81 − 36 = 45. Al´m disto, temos:
e
C
B1 o o o B2
Elementos: –3
Centro: C = (4, −3)
V´rtices:
e
A1 = (4, −12), A2 = (4, 6)
B1 = (−2, −3), B2 = (10, −3)
o F1
√
Focos: F1 = (4, −3 − 3√5 )
–12 o
e F2 = (4, −3 +√ 5 )
3 A1
45 √
Excentricidade: e = = 35
6
Exerc´ıcio 5. Identifique a cˆnica de equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, seus
o ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
c c a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, primeiro agrupamos os
ca ca
termos em x e os termos em y :
−16(x2 + 10x) + 9(y 2 − 6y) − 885 = 0,
completamos o quadrado:
−16[(x + 5)2 − 25] + 9[(y − 3)2 − 9] − 885 = 0,
e reescrevemos:
−16(x + 5)2 + 390 + 9(y − 3)2 − 81 − 885 = 0 ∴ −16(x + 5)2 + 9(y − 3)2 − 576 = 0,
finalizamos colocando no formato canˆnico:
o
(y − 3)2 (x + 5)2
− = 1.
82 62
Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 8, b = 6 e
e
2
c = 10, pois c = 64 + 36 = 100. Al´m disto, temos:
e
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
11. ˆ
CONICAS 9
y
Elementos:
F
Centro: C = (−5, 3) o
2
o
V´rtices:
e
V1 = (−5, −5) e V2 = (−5, 11)
Focos: F1 = (−5, −7) Co 3 x
–5
e F2 = (−5, 13)
o
Ass´ıntotas: o
F1
4 4
y = (x + 5) + 3 e y = − (x + 5) + 3
3 3
8
Excentricidade: e = = 4 3
6
Exerc´ıcio 6. Identifique a cˆnica de equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, seus elementos e
o ca
fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
c c a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e
ca ca
os termos em y :
x2 − 6x = −4y + 11,
completamos o quadrado:
(x − 3)2 − 9 = −4y + 11 ∴ (x − 3)2 = −4y + 20 = −4 · (y − 5),
finalizamos colocando no formato
canˆnico:
o
y
(x − 3)2 = −4 · (y − 5).
6 D
V
Vemos, portanto (observe que s´ h´
o a 5 o
4 o
um quadrado), que se trata de uma F
par´bola com p = −1. Al´m disto,
a e
temos: x
3
Elementos:
Diretriz: D : y = 6
V´rtice: V = (3, 5)
e
Foco: F = (3, 5 − 1) = (3, 4)
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
12. 10 C´lculo IA
a
7. Par´bola × Ensino M´dio
a e
A par´bola ´, certamente, a cˆnica mais trabalhada no Ensino M´dio e, muitas vezes,
a e o e
tamb´m a unica. Ocorre que, nesse n´
e ´ ıvel, a maioria dos livros did´ticos apresenta a
a
equa¸˜o y = ax2 + bx + c do 2o grau em x e simplesmente afirma que o gr´fico da mesma
ca a
´ uma curva denominada par´bola e n˜o a caracteriza como lugar geom´trico.
e a a e
Faremos isto agora, ou seja, partindo da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, vamos obter
ca
sua forma canˆnica e assim caracteriz´-la como par´bola; tamb´m reconheceremos seus
o a a e
elementos, bem como suas eventuais intersec¸˜o com o eixo 0x (ra´
ca ızes).
2
Completando o quadrado no lado direito da equa¸˜o y = ax + bx + c, obtemos
ca
b b2 b2
y = a x2 + x + 2 + c − ,
a 4a 4a
que ´ equivalente ` equa¸˜o
e a ca
4ac − b2 b 2
y− =a x+ , (†)
4a 2a
e esta, por sua vez, reconhecemos como sendo a equa¸˜o canˆnica de uma par´bola, com
ca o a
b 4ac − b2 b −∆
v´rtice no ponto
e , = , onde ∆ = b2 − 4ac ´ o discriminante de
e
2a 4a 2a 4a
1
y = ax2 + bx + c e com p = .
4a
Agora, ´ f´cil obter as ra´ da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, ou seja, deduzir a f´rmula
e a ızes ca o
de Bhaskara: queremos encontrar todos os poss´ ıveis valores de x para os quais y = 0. Por
(†), as equa¸˜es a seguir s˜o equivalentes:
co a
y = 0,
ax2 + bx + c = 0, e
4ac − b 2
b 2
− =a x+ .
4a 2a
Dividindo esta ultima equa¸˜o por a e arrumando o sinal do termo da esquerda, obtemos:
´ ca
b2 − 4ac b 2
= x+ . (††)
4a2 2a
Na ultima equa¸˜o o lado direito da igualdade ´ sempre positivo ou nulo, portanto o
´ ca e
mesmo deve ocorrer com o lado esquerdo; como 4a2 > 0, estabelecemos que y = 0 se,
e somente se, b2 − 4ac ≥ 0. Assim, se b2 − 4ac ≥ 0, nossa equa¸˜o tem solu¸˜o e, para
ca ca
obtˆ-la, extra´
e ımos a raiz quadrada dos dois lados de (††):
b2 − 4ac b
2
= x+ ,
4a 2a
e portanto,
√
b b2 − 4ac − b + b2 − 4ac
x=− + =
2a 4a2 2a
ou √
b b2 − 4ac − b − b2 − 4ac
x=− − = ,
2a 4a2 2a
que ´ a conhecida f´rmula de Bhaskara.
e o
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
13. ˆ
CONICAS 11
8. Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 1. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das par´bolas a seguir, sabendo que:
c ca a
a) ´ sim´trica em rela¸˜o ao eixo Oy, tem v´rtice em V = (0, 0) e cont´m o ponto
e e ca e e
P = (2, −3);
b) tem v´rtice em V = (−2, 3) e foco em F = (−2, 1);
e
1
c) tem foco em F = (3, −1) e diretriz x = .
2
Exerc´ıcio 2. Determine o v´rtice, o foco, a equa¸˜o da diretriz e esboce o gr´fico de
e ca a
cada uma das par´bolas a seguir:
a
a) y 2 − x = 0;
b) x2 − 2x − 20y − 39 = 0;
c) 8x = 10 − 6y + y 2 .
Exerc´ıcio 3. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o
e
gr´fico de cada uma das elipses a seguir:
a
a) 9x2 + 5y 2 − 45 = 0;
b) 25x2 + 16y 2 + 50x + 64y − 311 = 0;
c) 4x2 + 9y 2 − 24x + 18y + 9 = 0.
Exerc´
ıcio 4. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das elipses a seguir, sabendo que:
c ca
a) seu eixo maior mede 10um e os focos s˜o F1 = (−4, 0) e F2 = (4, 0);
a
3
b) tem centro em C = (2, 4), um foco em F = (5, 4) e excentricidade e = .
4
Exerc´
ıcio 5. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das hip´rboles a seguir, sabendo que:
c ca e
a) tem ass´ıntotas de equa¸˜es y = 2x e y = −2x e v´rtices em V1 = (−3, 0) e
co e
V2 = (3, 0);
b) tem focos em F1 = (3, −2) e F2 = (3, 4) e excentricidade e = 2.
Exerc´ıcio 6. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o
e
gr´fico de cada uma das hip´rboles a seguir:
a e
a) 3x2 − y 2 + 3 = 0;
b) 9x2 − 4y 2 − 54x + 8y + 113 = 0;
c) 16x2 − 9y 2 − 64x − 18y + 199 = 0.
Exerc´ıcio 7. Classifique, dˆ todos os elementos e esboce o gr´fico de cada uma das
e a
curvas com equa¸˜es dadas a seguir:
co
a) 16x2 + 9y 2 − 96x + 72y + 144 = 0;
b) y 2 − 16x2 + 2y + 49 = 0;
c) 4x2 − y 2 − 32x + 4y + 24 = 0.
Exerc´ ıcio 8. A ´gua que esguicha de um bocal, mantido horizontalmente a 4 m acima
a
do solo, descreve uma curva parab´lica com v´rtice no bocal e, medida na vertical, desce
o e
1 m nos primeiros 10 m de movimento horizontal. Calcule a distˆncia horizontal do bocal
a
em que a ´gua atinge o solo.
a
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
14. 12 C´lculo IA
a
Exerc´ ıcio 9. Uma ponte suspensa de 400 11
00 11
00
m de comprimento ´ sustentada por um cabo
e 11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
principal parab´lico (veja a figura). O cabo
o 11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
principal est´ 100 m acima da ponte nos ex-
a 11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
tremos e 4 m acima da ponte em seu centro. 11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
Calcule o comprimento dos cabos de suten- 11
00 11
00
11
00 11
00
ta¸˜o que s˜o colocados a intervalos de 50 m
ca a 11
00
11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
ao longo da ponte. (Sugest˜o: Utilize o sis-
a 11
00
11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
1111111111111111
0000000000000000
tema de coordenadas retangulares em que a 11
00 11
00
1111111111111111
0000000000000000
11
00 11
00
11
00 11
00
ponte ´ o eixo 0x e a origem est´ no meio da
e a 11
00
11
00 11
00
11
00
ponte.)
Exerc´ ıcio 10. O segmento de reta que passa pelo foco de uma par´bola, ´ paralelo
a e
` diretriz da par´bola e tem suas extremidades na pr´pria par´bola ´ chamado o lactus
a a o a e
rectum da par´bola. Mostre que a medida do lactus rectum ´ o dobro da distˆncia entre
a e a
o foco e a diretriz.
Exerc´ıcio 11. Qual ´ o comprimento de um fio usado para delimitar um jardim el´
e ıptico
com 20 m de largura e 60 m de comprimento? qual ´ a area deste jardim?
e ´
Exerc´ ıcio 12. Exceto por pequenas perturba¸˜es, um sat´lite em ´rbita ao redor da
co e o
Terra se move numa elipse, com um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu
(o ponto da orbita mais pr´ximo do centro da Terra) o sat´lite est´ a 400 km da superf´
´ o e a ıcie
da Terra e que no apogeu (o ponto da orbita mais afastado do centro da Terra) o sat´lite
´ e
est´ a 600 km da superf´ da Terra. Calcule o eixo maior e o eixo menor da orbita
a ıcie ´
el´
ıptica deste sat´lite, supondo que a Terra ´ um esfera de 6371 km de raio.
e e
Exerc´ıcio 13. Dados os pontos A = (−2, −2) e B = (6, 6) do plano cartesiano,
determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move pelo plano de tal modo que o
e
coeficiente angular da reta por A e P, acrescido de duas unidades, ´ igual ao coeficiente
e
angular da reta por B e P.
Exerc´ ıcio 14. Determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move no plano
e
cartesiano de tal modo que o quadrado de sua distˆncia a origem ´ igual ao dobro de sua
a ` e
distˆncia ao eixo das ordenadas.
a
Exerc´ıcio 15. Represente graficamente o lugar geom´trico dos pontos (x, y) que satis-
e
fazem as condi¸˜es:
co
√
x−1 1 36 − 4x2
a) y 2 + 4y + 16x − 44 = 0; b) = ; c) y = .
x+1 2 3
ıcio 16. Escreva a integral que calcula a area da figura de equa¸˜o geral x2 +
Exerc´ ´ ca
4y − 2x − 3 = 0.
2
Exerc´ ıcio 17. Indique a integral que calcula o volume do s´lido obtido pela rota¸˜o da
o ca
regi˜o formada pelas curvas:
a
a) x2 − y 2 = 1 e x = 3 ao redor da reta x = −2;
b) y = −x2 + 1, y = x + 1 e o eixo 0x ao redor do eixo 0x.
Exerc´
ıcio 18. Escreva a integral que fonece:
a) a area do primeiro quadrante no interior da circunferˆncia x2 + y 2 = a2 ;
´ e
2
x y2
b) a area do primeiro quadrante no interior da elipse 2 + 2 = 1.
´
a b
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
15. ˆ
CONICAS 13
c) Mostre que a integral do item b) ´ igual a b/a vezes a integral do item a) e, dessa
e
forma, obtenha a area da elipse a partir da conhecida area do c´
´ ´ ırculo.
Exerc´ ıcio 19. Calcule o volume do elips´ide que ´ o s´lido de revolu¸˜o obtido girando
o e o ca
x2 y 2
a elipse + = 1 em torno do eixo 0x.
25 9
Exerc´ ıcio 20. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada elipse
co
a seguir no ponto indicado.
a) x2 + 9y 2 = 255 em (9, 4); b) x2 + 4y 2 − 2x + 8y = 35 em (3, 2).
Exerc´ ıcio 21. Um ponto se move sobre a elipse x2 + 4y 2 = 25 de tal modo que sua
abscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia
a
a ordenada no instante em que ela ´ igual a −2 unidades e a abscissa ´ positiva?
e e
Exerc´ıcio 22. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada hip´rbole
co e
a seguir no ponto indicado.
a) x2 − y 2 = 9 em (−5, 4); b) x2 − 4x − y 2 − 2y = 0 em (0, 0).
Exerc´ ıcio 23. Um ponto se move sobre a hip´rbole 4x2 − 9y 2 = 27 de tal modo que sua
e
abscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia
a
a ordenada no ponto (3, 1)?
Exerc´ ıcio 24. Determine a menor (m´
ınima) distˆncia do ponto (3, 0) a hip´rbole
a ` e
y 2 − x2 = 18.
y
y
1 4 Exerc´ ıcio 25. Calcule a area da re-
´
gi˜o sombreada delimitada pela reta
a
x x a) x = 1 e a elipse x2 + 4y 2 = 4;
−2 1 2 b) y = 4 e a elipse 9x2 + y 2 = 25.
(Sugest˜o: Utilize substitui¸˜o trigono-
a ca
−1 m´trica.)
e
ıcio 26. Seja R a regi˜o plana delimitada pelas curvas y 2 − x2 = 16 e y = 5.
Exerc´ a
a) Esboce a regi˜o R;
a
b) Apresente uma integral que expressa esta area;
´
c) Qual ´ a t´cnica de integra¸˜o que vocˆ usaria para resolver esta integral?
e e ca e
9. Respostas
Exerc´
ıcio 1.
3
a) y = − x2 ou, equivalentemente, 4y + 3x2 = 0.
4
(x + 2)2
b) y = 3 − ou, equivalentemente, x2 + 4x + 8y − 20 = 0.
8
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
16. 14 C´lculo IA
a
c) (y + 1)2 = 5(x − 7 ).
4
Exerc´
ıcio 2.
a) V = (0, 0), F = ( 1 , 0), x = − 1 .
4 4
b) V = (1, −2), F = (1, 3), y = −7.
c) V = ( 1 , 3), F = ( 17 , 3), x = − 15 .
8 8 8
Exerc´
ıcio 3.
a) C = (0, 0), V1 = (0, −3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e = 2 .
3
b) C = (−1, −2), V1 = (−1, −7), V2 = (−1, 3), F1 = (−1, 1), F2 = (−1, −5), e =
3
5
.
√
c) C = (3, −1), √ 1 = (0, −1), V2 = (6, −1), F1 = (3 + 5, −1), F2 = (3 −
V
√
5, −1), e = 35 .
Exerc´
ıcio 4.
a) 9x2 + 25y 2 = 225.
b) 7x2 + 16y 2 − 28x − 128y + 172 = 0.
Exerc´
ıcio 5.
x2 y 2
a) − = 1.
9 36
b) 12y 2 − 4x2 + 24x − 24y − 51 = 0.
Exerc´
ıcio 6.
√ √ √
a) C = (0, 0), V1 = (0, − 3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e = 2 3
3
.
√ √
b) C = (3, 1), V1 = (3, 4), V2 = (3, −2), F1 = (3, 1− 13), F2 = (3, 1+ 13), e =
√
13
3
.
c) C = (2, −1), V1 = (2, −5), V2 = (2, 3), F1 = (2, −6), F2 = (2, 4), e = 5 .
4
Exerc´
ıcio 7.
√
a) Elipse: C = (3, −4), V1 = (3, −8), V2 = (3, 0), F1 = (3, −4 − 7), F2 =
√ √
(3, −4 + 7), e = 47 .
b) Par´bola: V = (3, −1), F = (7, −1), x = −1.
a
√
c) Hip´rbole: C = (4, 2), V1 = (1, 2), V2 = (7, 2), F1 = (4 − 3 5, 2), F2 =
e √ √
(4 + 3 5, 2), e = 5.
Exerc´
ıcio 8. Distˆncia horizontal = 160 m.
a 11
00 11
00
11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
10000
11 11
00
100
11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
11
00
11
00 58 11
00
Exerc´
ıcio 9. Fun¸˜o altura:
ca 11
00 58 00
11
11
00
11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
3 2 11
00 11
00
11
00
11
00 28 28 11
00
11
00
y= x + 4. 11
00 11
00
1250 11
00
11
00 10 10 11
00
11
00
11
00 4 11
00
11
00
1111111111111111
0000000000000000
11
00 11
00
11
00
0000000000000000
1111111111111111
11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
11
00
11
00 11
00
Exerc´
ıcio 10. Aula.
c Instituto de Matem´tica – UFRGS
a
17. ˆ
CONICAS 15
√
Exerc´
ıcio 11. Comprimento do fio = 40π 5 e a area do jardim = 1200π.
´
Exerc´ıcio 12. Eixo menor da orbita el´
´ ıptica do sat´lite = 13.740,54 km e eixo maior =
e
13.742,00 km.
x2
ıcio 13. O lugar geom´trico ´ a par´bola de equa¸˜o y = −
Exerc´ e e a ca .
2
Exerc´ ıcio 14. O lugar geom´trico ´ a circunferˆncia de centro C = (0, 0) e raio 1 dada
e e e
por x + y − 2x = 0.
2 2
Exerc´
ıcio 15.
4
12
10
8 y
6y 2
4
x 2
0 2.5 3 3.5 4
x
a) –2 b)
–4
–6 –2
–8
–10
–12
–4
–14
–16
2
1.8
1.6
1.4
y 1.2
c) 1
0.8
0.6
0.4
–3 –2 –1 0 1 2 3
x
1
(x + 1)2
Exerc´
ıcio 16. A = 2 1− dx.
−3 4
Exerc´
ıcio 17.
√
2 2
a) V = 2π 25 − (2 + 1 + y 2 )2 dy.
0
0
b) V = π (1 − x2 )2 − (x + 1)2 dx.
−1
Exerc´
ıcio 18.
a √
a) A = a2 − x2 dx.
0
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a
18. 16 C´lculo IA
a
b a√ 2
b) A = a − x2 dx.
a 0
´
c) Area da elipse = πab.
Exerc´
ıcio 19. V = 60π.
Exerc´
ıcio 20.
a) reta tangente: 4y + x − 25 = 0, reta normal: y − 4x + 32 = 0;
b) reta tangente: 6y + x − 15 = 0, reta normal: y − 6x + 16 = 0.
Exerc´
ıcio 21. Varia a 3 unidades por segundo.
Exerc´
ıcio 22.
a) reta tangente: 4y + 5x + 9 = 0, reta normal: 5y − 4x − 40 = 0;
b) reta tangente: y + 2x = 0, reta normal: 2y − x = 0.
32
Exerc´
ıcio 23. Varia a unidades por segundo.
3
√
3 10
Exerc´
ıcio 24. Menor (m´ ınima) distˆncia ´
a e .
2
Exerc´
ıcio 25.√
2π 3
a) − ;
3 2
25 3
b) arcsen − 4.
3 5
Exerc´
ıcio 26.
a) Esboce a regi˜o R;
a
3 √
b) A = 2 5 − 16 + x2 dx;
0
x
c) Substitui¸˜o trigonom´trica
ca e = tg θ.
4
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a
19. ˆ
CONICAS 17
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