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Introduction
           Exemples
        Le problème
 Résumé et notations




Chapitre 11 : Intégration
              Terminale S


                N Gilbert



               2011-2012




           N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                           Exemples
                        Le problème
                 Résumé et notations




On sait calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un trapèze, d’un
quadrilatère en général.




                           N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                           Exemples
                        Le problème
                 Résumé et notations




On sait calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un trapèze, d’un
quadrilatère en général.

On peut ainsi calculer une aire délimitée par l’axe des abscisses, deux
droites verticales, et une fonction particulière (une fonction affine).




                           N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations




Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).




                                N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations




Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).


                                L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.




                                N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations




Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).


                                L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.
                                      base × hauteur
                                A=
                                            2




                                N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations




Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).


                                L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.
                                      base × hauteur
                                A=
                                            2




                                N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations




Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).


                                L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.
                                      base × hauteur      3×6
                                A=                    =         = 9 unités d’aire.
                                            2               2




                                N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                               Exemples
                            Le problème
                     Résumé et notations




Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
         1
f (x) = − x + 4.
         2




                               N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                               Exemples
                            Le problème
                     Résumé et notations




Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
         1
f (x) = − x + 4.
         2


                               L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.




                               N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                               Exemples
                            Le problème
                     Résumé et notations




Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
         1
f (x) = − x + 4.
         2


                               L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
                                     (BASE + base) × hauteur
                               A=
                                                 2




                               N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                               Exemples
                            Le problème
                     Résumé et notations




Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
         1
f (x) = − x + 4.
         2


                               L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
                                     (BASE + base) × hauteur
                               A=
                                                 2




                               N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                               Exemples
                            Le problème
                     Résumé et notations




Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
         1
f (x) = − x + 4.
         2


                               L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
                                     (BASE + base) × hauteur
                               A=                                =
                                                 2
                               (f (−1) + f (5)) × (5 − (1))
                                             2




                               N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                               Exemples
                            Le problème
                     Résumé et notations




Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
         1
f (x) = − x + 4.
         2


                               L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
                                     (BASE + base) × hauteur
                               A=                                =
                                                 2
                               (f (−1) + f (5)) × (5 − (1))     (9 + 3) × 6
                                                             = 2 2
                                             2                       2




                               N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                               Exemples
                            Le problème
                     Résumé et notations




Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
         1
f (x) = − x + 4.
         2


                               L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
                                     (BASE + base) × hauteur
                               A=                                =
                                                 2
                               (f (−1) + f (5)) × (5 − (1))     (9 + 3) × 6
                                                             = 2 2          = 18
                                              2                      2
                               unités d’aire.




                               N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                             Exemples
                          Le problème
                   Résumé et notations


Présentation
  Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ?




                             N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                  Exemples
                               Le problème
                        Résumé et notations


Présentation
  Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ?
  Exemple
  Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
  x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .




                                  N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                       Exemples
                    Le problème
             Résumé et notations


La méthode




                       N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                       Exemples
                    Le problème
             Résumé et notations


La méthode

                       On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1].




                       N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                       Exemples
                    Le problème
             Résumé et notations


La méthode

                       On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1].
                       On découpe l’aire en un certain nombre de
                       rectangles et on ajoute les aires de ces rectangles.




                       N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


2 possibilités


       Rectangles inférieurs




                                 N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


2 possibilités


       Rectangles inférieurs                              Rectangles supérieurs




                                 N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                             Exemples
                          Le problème
                   Résumé et notations


Réglage de la précision
  Comment augmenter la précision ?




                             N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations


Réglage de la précision
  Comment augmenter la précision ?
  En augmentant le nombre de rectangles.




                                N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                   Exemples
                                Le problème
                         Résumé et notations


Réglage de la précision
  Comment augmenter la précision ?
  En augmentant le nombre de rectangles.

  On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :




                                   N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


Réglage de la précision
  Comment augmenter la précision ?
  En augmentant le nombre de rectangles.

  On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
      un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;




                                 N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


Réglage de la précision
  Comment augmenter la précision ?
  En augmentant le nombre de rectangles.

  On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
      un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;
      vn désignant la somme des n rectangles supérieurs.




                                 N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


Réglage de la précision
  Comment augmenter la précision ?
  En augmentant le nombre de rectangles.

  On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
      un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;
      vn désignant la somme des n rectangles supérieurs.




                                 N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


Réglage de la précision
  Comment augmenter la précision ?
  En augmentant le nombre de rectangles.

  On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
      un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;
      vn désignant la somme des n rectangles supérieurs.

  Plus n est grand, plus les 2 aires sont proches et plus on se rapproche de
  l’aire recherchée.

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                                 N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


Calcul de un

                                             On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
   Rectangles inférieurs                     intervalles.
                                             Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
                                             Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
                                             deuxième ? ... du dernier ?
                                             Écrire un sous la forme d’une somme et la
                                             calculer.




                                 N Gilbert      Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                 Exemples
                              Le problème
                       Résumé et notations


Calcul de un

                                             On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
   Rectangles inférieurs                     intervalles.
                                             Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
                                             Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
                                             deuxième ? ... du dernier ?
                                             Écrire un sous la forme d’une somme et la
                                             calculer.

                                                                (n − 1)(2n − 1)
                                                       un =
                                                                      6n2




                                 N Gilbert      Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations


Calcul de vn

                                            On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
   Rectangles supérieurs                    intervalles.
                                            Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
                                            Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
                                            deuxième ? ... du dernier ?
                                            Écrire vn sous la forme d’une somme et la
                                            calculer.




                                N Gilbert      Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations


Calcul de vn

                                            On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
   Rectangles supérieurs                    intervalles.
                                            Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
                                            Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
                                            deuxième ? ... du dernier ?
                                            Écrire vn sous la forme d’une somme et la
                                            calculer.

                                                               (n + 1)(2n + 1)
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                                                                     6n2




                                N Gilbert      Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                  Exemples
                               Le problème
                        Résumé et notations


Réponse au problème

  Rappel de l’énoncé
  Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
  x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .




                                  N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                  Exemples
                               Le problème
                        Résumé et notations


Réponse au problème

  Rappel de l’énoncé
  Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
  x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .


  L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn .




                                  N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                  Exemples
                               Le problème
                        Résumé et notations


Réponse au problème

  Rappel de l’énoncé
  Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
  x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .


  L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn .
  En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée.




                                  N Gilbert   Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                  Exemples
                               Le problème
                        Résumé et notations


Réponse au problème

  Rappel de l’énoncé
  Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
  x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .


  L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn .
  En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée.

                                                              1
                            lim un = lim vn =
                          n→+∞                n→+∞            3




                                  N Gilbert     Chapitre 11 : Intégration
Introduction
                                Exemples
                             Le problème
                      Résumé et notations




A retenir
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et C sa
courbe représentative.
L’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, C , et les droites
d’équations x = a et x = b est notée :
                                         b
                                             f (x)dx.
                                     a




                                N Gilbert        Chapitre 11 : Intégration

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  • 3. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations On sait calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un trapèze, d’un quadrilatère en général. On peut ainsi calculer une aire délimitée par l’axe des abscisses, deux droites verticales, et une fonction particulière (une fonction affine). N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 4. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 1 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite d’équation y = 2x). N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 5. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 1 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite d’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 6. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 1 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite d’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. base × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 7. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 1 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite d’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. base × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 8. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 1 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite d’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. base × hauteur 3×6 A= = = 9 unités d’aire. 2 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 9. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 2 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1 f (x) = − x + 4. 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 10. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 2 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1 f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 11. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 2 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1 f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 12. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 2 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1 f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 13. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 2 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1 f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= = 2 (f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 14. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 2 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1 f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= = 2 (f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) (9 + 3) × 6 = 2 2 2 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 15. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Exemple 2 On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1 f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= = 2 (f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) (9 + 3) × 6 = 2 2 = 18 2 2 unités d’aire. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 16. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Présentation Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ? N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 17. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Présentation Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ? Exemple Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 18. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations La méthode N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 19. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations La méthode On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1]. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 20. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations La méthode On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1]. On découpe l’aire en un certain nombre de rectangles et on ajoute les aires de ces rectangles. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 21. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations 2 possibilités Rectangles inférieurs N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 22. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations 2 possibilités Rectangles inférieurs Rectangles supérieurs N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 23. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réglage de la précision Comment augmenter la précision ? N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 24. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 25. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 26. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 27. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; vn désignant la somme des n rectangles supérieurs. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 28. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; vn désignant la somme des n rectangles supérieurs. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 29. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; vn désignant la somme des n rectangles supérieurs. Plus n est grand, plus les 2 aires sont proches et plus on se rapproche de l’aire recherchée. voir fichier geogebra N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 30. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Calcul de un On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles inférieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire un sous la forme d’une somme et la calculer. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 31. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Calcul de un On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles inférieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire un sous la forme d’une somme et la calculer. (n − 1)(2n − 1) un = 6n2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 32. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Calcul de vn On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles supérieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire vn sous la forme d’une somme et la calculer. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 33. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Calcul de vn On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles supérieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire vn sous la forme d’une somme et la calculer. (n + 1)(2n + 1) un = 6n2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 34. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 35. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn . N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 36. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn . En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 37. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations Réponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn . En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée. 1 lim un = lim vn = n→+∞ n→+∞ 3 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  • 38. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations A retenir Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et C sa courbe représentative. L’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, C , et les droites d’équations x = a et x = b est notée : b f (x)dx. a N Gilbert Chapitre 11 : Intégration