Download luận văn nghiên cứu khoa học với đề tài: Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10, cho các bạn làm luận văn tham khảo Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://baocaothuctap.net

1. 1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ..........................................................................................................................i
Lời cam đoan .........................................................................................................................ii
Lời cảm ơn ............................................................................................................................iii
Mục lục..................................................................................................................................1
Danh mục các cụm từ viết tắt .............................................................................................4
MỞ ĐẦU ..............................................................................................................................5
Chƣơng 1
ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết...........................................................................................................8
1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng.........................................................8
1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng............................................................................8
1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng...........................................................................8
1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ..................................................8
1.2. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng........................................9
1.2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng...................................................................9
1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng...................................................................9
1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.................................9
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng .................................................................10
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng ...............................................................10
1.5. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc..............................................................11
1.6. Phương trình tổng quát của đường thẳng...............................................................11
1.7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng .....................................................................12
1.8. Khoảng cách và góc ...............................................................................................13
1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ............................................13
1.8.2. Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng ......................................................13
1.8.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng..................................13
1.8.4. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau .....13
1.8.5. Góc giữa hai đường thẳng ...............................................................................14
2. Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ .......................................14
2.1. Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng ...................................................14
2.2. Thiết lập phương trình đường thẳng.......................................................................19

2. 2
2.2.1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước ............20
2.2.2. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước..........22
2.2.3. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với
một đường thẳng cho trước...........................................................................................23
2.2.4. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc
khoảng cách...................................................................................................................25
2.2.5. Phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một điều
kiện về khoảng cách hoặc góc.......................................................................................32
2.2.6. Phương trình đường thẳng được thiết lập bằng phương pháp quỹ tích...........33
2.2.7. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau .....35
2.2.8. Các ví dụ tổng hợp...........................................................................................37
2.3. Vị trí tương đối.......................................................................................................41
2.4. Xác định tọa độ điểm .............................................................................................45
2.5. Các bài toán cực trị.................................................................................................48
Chƣơng 2
ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết.........................................................................................................51
1.1. Phương trình đường tròn ........................................................................................51
1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.................................................................51
1.3. Phương tích, vị trí tương đối của điểm và đường tròn...........................................52
1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn....................................................52
1.5. Vị trí tương đối của hai đường tròn........................................................................52
1.5.1. Trục đẳng phương của hai đường tròn ............................................................52
1.5.2. Vị trí tương đối của hai đường tròn.................................................................53
1.5.3. Tọa độ giao điểm của hai đường tròn..............................................................54
2. Một số bài toán về đƣờng tròn trong mặt phẳng tọa độ..........................................55
2.1. Xác định tâm, bán kính và điều kiện của đường tròn.............................................55
2.2. Lập phương trình đường tròn theo dạng
2 2
2 2 0x y ax by c     ........................56
2.2.1. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm..................................................56
2.2.2. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn, lập phương trình đường tròn
ngoại tiếp tứ giác...........................................................................................................57
2.3. Lập phương trình đường tròn theo dạng    
2 2 2
0 0x x y y R   
..........................58
2.3.1. Lập phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm và bán kính................58
2.3.2. Lập phương trình đường tròn bằng cách gọi tâm và bán kính ........................60
2.4. Vị trí tương đối.......................................................................................................70
2.4.1. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường tròn..............................................70
2.4.2. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng ...........................................74

3. 3
2.5. Tiếp tuyến của đường tròn .....................................................................................75
2.5.1. Tiếp tuyến tại một điểm với đường tròn..........................................................75
2.5.2. Tiếp tuyến đi qua một điểm.............................................................................76
2.5.3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ
phương, hệ số góc .........................................................................................................77
2.5.4. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ..................................79
2.6. Đường tròn và tập hợp điểm ..................................................................................84
2.6.1. Tập hợp tâm đường tròn..................................................................................84
2.6.2. Tập hợp điểm là đường tròn ............................................................................86
Chƣơng 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
Chƣơng 4
NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN
TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10
1. Các quan niệm sai lầm..............................................................................................110
2. Thực nghiệm..............................................................................................................112
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................117
PHỤ LỤC

4. 4
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
VTCP : Véctơ chỉ phương
VTPT : Véctơ pháp tuyến
a : Véctơ a
0 : Véctơ 0
 : Khác
// : Song song
 : Vuông góc
 : Thuộc
 : Không thuộc
 : Chứa trong
 : Chứa
 : Giao
 : Tương đương
 : Suy ra
PTTQ : Phương trình tổng quát
PTTS : Phương trình tham số
PTCT : Phương trình chính tắc

5. 5
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
“Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng
tâm của chương trình hình học lớp 10. Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề
chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Các bài toán thường phải áp dụng tính
chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số
thông thường như trước kia. Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực
phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa,... Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn nữa,
các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên
việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Đường thẳng và đường tròn trong hình học
tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc những kiến
thức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai lầm khi giải bài toán về
đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ.
2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ
lớp 10” một cách đúng đắn, đồng thời nhận ra những sai lầm và cách giải quyết khắc phục
những sai lầm đó.
Giúp giáo viên mang lại hiệu quả dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu. Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
3.2 Đối tƣợng nghiên cứu. Học sinh trung học phổ thông.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1 Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết
Thu thập, phân loại, tổng hợp các tài liệu có liên quan về phần đường thẳng và đường
tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
4.2 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn những bài tập về đường thẳng
và đường tròn trong hình học tọa độ để học sinh làm bài. Sau đó, kiểm tra kết quả và đúc
kết những sai lầm của học sinh dễ mắc phải khi làm bài.
4.3 Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia

6. 6
Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến của các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại học
Sài Gòn về đề tài đang nghiên cứu để thu thập những thông tin cần thiết cho đề tài, thu
lượm những ý kiến đánh giá từ các thầy cô trưởng Bộ môn về thực trạng và phương hướng
giải quyết đối với các vấn đề nghiên cứu.
4.4 Phƣơng pháp ứng dụng toán học
Sử dụng phương pháp thống kê trong xử lý các số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học
của đề tài.
5. Phạm vi nghiên cứu
5.1 Giới hạn về nội dung.
Đề tài nghiên cứu đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
5.2 Giới hạn về địa bàn
Thực nghiệm:
- Thời gian: Ngày 30/03/2016
- Địa điểm: Trường THPT Lương Thế Vinh, Quận 1, TPHCM
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể và đối
tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc khóa luận.
Phần nội dung: Gồm bốn chương
Chương 1: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Chương 2: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Chương 3: Một số bài toán tổng hợp
Chương 4: Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải các bài toán về đường thẳng và
đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Phần kết luận.
- Trình bày những kết quả nghiên cứu đã đạt được.
- Hướng mở rộng cho nghiên cứu.
Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh chúng tôi cố
gắng thể hiện các vấn đề sau:
Ở mỗi chương đều có tóm tắt kiến thức cơ bản, khái niệm kiến thức được đề cập tới
nhằm mục đích chỉ rõ mạch kiến thức hoặc mối liên quan giữa các vấn đề để người đọc
tiện theo dõi, nắm được tính hệ thống của tài liệu nghiên cứu.

7. 7
Sau phần khái niệm, kiến thức cơ bản của mỗi chương có một số dạng bài toán cơ bản
được phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ các khái niệm đã nêu ở trước đó, nhằm giúp
người đọc hiểu rõ hơn.
Khi phân tích mỗi một khái niệm, đặc biệt là những khái niệm khó, hầu hết chúng tôi
dẫn dắt từ các khía cạnh khác nhau bằng những ví dụ cụ thể, bằng những minh hoạ hình
học để người đọc có thể dễ dàng nắm được khái niệm đó.
Hệ thống các dạng toán được chúng tôi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa
dạng và mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, nêu ra nhiều cách làm
nhằm giúp các em học sinh dễ hiểu, nắm được cách trình bày và phân tích bài toán.
Chúng tôi có soạn thảo một chương cho những bài toán tổng hợp ở mức độ khó và
hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố những
hiểu biết chưa thấu đáo cùng với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại sao biết
phải làm như vậy?” một cách thoả đáng.
Trong chương cuối, chúng tôi dự kiến một số sai lầm của học sinh có thể mắc phải
trong việc giải bài toán về đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng toạ độ, dự kiến những
nguyên nhân dẫn đến sai lầm cùng với phần thực nghiệm trên học sinh.
Cuối cùng, dù đã rất cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này,
nhưng việc thiếu sót là điều khó tránh khỏi do những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế
từ chúng tôi. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến, đóng góp quý báu từ các quý
thầy cô và bạn đọc.

8. 8
PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng
1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng
Định nghĩa. Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy , tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa
độ của điểm .M
Vectơ OM được biểu diễn theo i và j bởi hệ thức có dạng: OM xi y j  với
,x y R . Cặp số  ;x y là duy nhất và được gọi là tọa độ của điểm .M
Kí hiệu:  ;M x y hoặc  ;M x y . Số x được gọi là hoành độ của điểm M , số y
được gọi là tung độ của điểm M .
1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng
Định nghĩa. Đối với hệ trục tọa độ  ; ,O i j , nếu a xi y j  thì cặp số  ;x y được
gọi là tọa độ của vectơ a , kí hiệu là  ;a x y hay  ;a x y . Số thứ nhất x gọi là hoành
độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ a .
1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho    ' '
; , ,a x y b x y  , các điểm  ;A AA x y
 ;B BB x y ,  ;C CC x y và số thực k . Khi đó, một cách tổng quát, ta có:
a)  ' '
; ;a b x x y y   
b)  . ; ;k a kx ky
c)
'
'
;
x x
a b
y y
 
  

d) Vectơ b cùng phương vectơ 0a  khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho
'
x kx và
'
y ky hay
' '
x y
x y
 nếu 0x  và 0y  ;
e)      
2 2
;y y ;B A B A B A B AAB x x y AB x x y       

9. 9
f) I là trung điểm AB 2
;
2
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y


 
 

g) G là trọng tâm của tam giác ABC 3
.
3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
 

 
  

1.2. Vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
1.2.1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng
Định nghĩa. Vectơ u khác 0, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  d
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d .
Nhận xét
i. Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d thì mọi vectơ ku khác
vectơ 0 đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d ;
ii. Nếu  ;u a b (với 0a  ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d thì hệ
số góc của đường thẳng  d là
b
k
a
 ;
iii. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua
và một vectơ chỉ phương của nó.
1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
Định nghĩa. Vectơ n khác 0, có giá vuông góc với đường thẳng  d gọi là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng  d .
Nhận xét
i. Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d thì mọi vectơ kn khác
vectơ 0 đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d ;
ii. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua
và một vectơ pháp tuyến của nó.
1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến

10. 10
i. Nếu đường thẳng  d có vectơ pháp tuyến n và vectơ chỉ phương u thì
. 0;nu 
ii. Nếu  ;n a b là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d thì  ;u b a 
hoặc  ;u b a  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d ;
iii. Nếu  ;u a b là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d thì  ;n b a 
hoặc  ;n b a  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d ;
iv. Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp
tuyến;
v. Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là
vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
1.3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng  Oxy , đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và nhận
vectơ  ;u a b làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
   0
0
:
x x at
d t R
y y bt
 

 
.
Nhận xét
Nếu 0a  và 0b  thì phương trình tham số của  d là
0
0
x x
y y bt


 
 t R . Khi đó,
 d là đường thẳng vuông góc với trục Ox , cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 0 ;x
Nếu 0b  và 0a  thì phương trình tham số của  d là
0
0
x x at
y y
 


 t R . Khi đó,
 d là đường thẳng vuông góc với trục Oy , cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 0.y
1.4. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng  Oxy , đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và nhận
vectơ    ; 0, 0u a b a b   làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
  0 0
:
x x y y
d
a b
 
 .

11. 11
Nhận xét. Nếu 0a  hoặc 0b  thì đường thẳng  d không có phương trình
chính tắc.
1.5. Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc
Định nghĩa
Xét đường thẳng  d có phương trình tổng quát 0Ax By C   . Nếu 0B  thì
phương trình trên đưa được về dạng y kx m  với
A
k
B
  và
C
m
B
  . Khi đó k là hệ
số góc của đường thẳng  d và y kx m  gọi là phương trình của  d theo hệ số góc.
Định lý
Phương trình đường thẳng  d đi qua  0 0;M x y và có hệ số góc k có dạng:
 0 0y y k x x   .
1.6. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
Định lý
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng
0Ax By C   với 2 2
0A B  .
Trong mặt phẳng  Oxy , phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y
và có vectơ pháp tuyến  ; 0n A B  là      0 0: 0d A x x B y y    .
Nhận xét
Từ phương trình  : 0d Ax By C   ta luôn suy ra được
1. Vectơ pháp tuyến của  d là  ;n A B ;
2. Vectơ chỉ phương của  d là  ;u B A  hoặc  ;u B A  ;
3.    0 0 0 0; 0M x y d Ax By C     .
Mệnh đề  3 được hiểu là: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên một đường
thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng.
Các dạng đặc biệt của phƣơng trình tổng quát
Cho đường thẳng  : 0d Ax By C   , với 2 2
0A B  .

12. 12
i. Nếu 0A  thì  : 0
C
d By C y
B
     . Khi đó đường thẳng  d vuông
góc với trục Oy tại điểm có tung độ
C
B
 ;
ii. Nếu 0B  thì  : 0
C
d Ax C x
A
     . Khi đó đường thẳng  d vuông
góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
C
A
 ;
iii. Nếu 0C  thì  : 0d Ax By  . Đường thẳng  d đi qua gốc tọa độ;
iv. Nếu , ,A B C đồng thời khác 0 thì  d cắt Ox và Oy tại hai điểm
0 ;0
C
M
A
 
 
 
và 1 0;
C
M
B
 
 
 
. Khi đó phương trình  d có thể viết:
1 1
x y x y
Ax By C
C C a b
A B
        
 
với ;
C C
a b
A B
    . Phương trình
 1 0, 0
x y
a b
a b
    được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Hệ quả
Cho đường thẳng  : 0d Ax By C   .
i. Nếu  '
d song song với  d thì phương trình  '
d có dạng:
'
0Ax By C   với '
C C ;
ii. Nếu  '
d vuông góc với  d thì phương trình  '
d có dạng:
0Bx Ay C   hoặc 0Bx Ay C    .
1.7. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Trong mặt phẳng  Oxy cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tổng quát
 1 1 1 1: 0d A x B y C   và  2 2 2 2: 0d A x B y C   . Vì số điểm chung của hai đường
thẳng bằng số nghiệm của hệ  1 1 1
2 2 2
1
A x B y C
A x B y C
  

  
, nên từ kết quả của đại số ta có
i. Hệ  1 vô nghiệm  1d song song  2d ;
ii. Hệ  1 có nghiệm duy nhất  1d cắt  2d ;

13. 13
iii. Hệ  1 vô số nghiệm  1d trùng với  2d .
Trong trường hợp 2 2 2, ,A B C đều khác 0, ta có
i.    1 2,d d cắt nhau 1 1
2 2
;
A B
A B
 
ii.  1d song song  2d 1 1 1
2 2 2
;
A B C
A B C
  
iii.  1d trùng với  2d 1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
   .
1.8. Khoảng cách và góc
1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng  Oxy cho đường thẳng  : 0d Ax By C   và điểm
 0 0; .M x y Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng  d , ký hiệu là   ,d M d ,
được tính bởi công thức    0 0
2 2
,
Ax By C
d M d
A B
 


.
1.8.2. Vị trí tƣơng đối của điểm và đƣờng thẳng
Cho điểm  0 0;M x y và đường thẳng  : 0d Ax By C   .
i.      0 0, 0 0d M d M d Ax By C       ;
ii.      0 0, 0 0d M d M d Ax By C       .
1.8.3. Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một đƣờng thẳng
Cho đường thẳng  : 0d Ax By C   và hai điểm    ; , ;M M N NM x y N x y không
nằm trên  d . Khi đó
i. Hai điểm ,M N nằm cùng phía đối với  d khi và chỉ khi
   0M M N NAx By C Ax By C     ;
ii. Hai điểm ,M N nằm khác phía đối với  d khi và chỉ khi
   0M M N NAx By C Ax By C     .
1.8.4. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt
nhau

14. 14
Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình  1 1 1 1: 0d A x B y C   và
 2 2 2 2: 0d A x B y C   . Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường thẳng  1d và  2d có dạng 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
0
A x B y C A x B y C
A B A B
   
 
 
.
1.8.5. Góc giữa hai đƣờng thẳng
Định nghĩa. Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó.
Định lý
Cho hai đường thẳng  1 1 1 1: 0d A x B y C   và  2 2 2 2: 0d A x B y C   . Góc 
giữa hai đường thẳng  1d và  2d được tính bởi công thức
  1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
.
cos cos ,
. .
n n A A B B
n n
n n A B A B


  
 
, trong đó 1 2,n n lần lượt là
vectơ pháp tuyến của  1d và  2d .
Hệ quả
i.    1 2 1 2 1 2 0d d A A B B    .
ii. Cho hai đường thẳng  1 1 1: y k x m   và  2 2 2: y k x m   . Khi đó
+  1 song song   1 2
2
1 2
k k
m m

  

;
+  1 trùng với   1 2
2
1 2
k k
m m

  

;
+  1 cắt  2 1 2k k   ;
+  1 vuông góc  2 1 2. 1k k    .
2. Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ
2.1. Chuyển đổi các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng
Ví dụ 1. Cho đường thẳng  : 2 5d y x  .
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d .
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng  d .
c) Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d .

15. 15
Phân tích
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng  : 0d Ax By C   với
2 2
0A B  mà phương trình của  d là 2 5y x  nên ta chỉ cần chuyển tất cả các số
hạng của phương trình về một vế.
b) Để đưa phương trình  d về dạng phương trình tham số  0
0
:
x x at
d
y y bt
 

 
 t R , ta cần tìm được một điểm cố định    0 0,M x y d và một vectơ chỉ phương
 ;u a b của đường thẳng d . Ngoài ra, ta có thể đưa phương trình  d về dạng phương
trình tham số bằng cách đặt x t , khi đó 2 5y t  , nghĩa là  0; 5M  và  1;2 .u 
c) Để đưa phương trình của  d về dạng phương trình theo đoạn chắn
 1 0, 0
x y
a b
a b
    , ta cần tìm giao điểm  ;0A a của  d với Ox và giao điểm
 0;B b của  d với Oy . Ngoài ra, vì phương trình  d có dạng 2 5y x  nên ta có thể
đưa phương trình của  d về dạng phương trình theo đoạn chắn bằng cách đưa các số
hạng chứa ,x chứa y về cùng một vế và hằng số ở vế còn lại rồi chia hai vế phương trình
cho 5 .
Các bƣớc giải
a) Để đưa đường thẳng  : 2 5d y x  về dạng phương tổng quát, ta cần
chuyển y sang cùng một vế với 2 5x  , ta được phương trình đúng dạng với dạng của
phương trình tổng quát của đường thẳng.
b) Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.
Cách 1
Bước 1. Từ câu a) ta tìm được một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d là
 2; 1n   ;
Bước 2. Từ vectơ pháp tuyến vửa tìm được ta suy ra vectơ chỉ phương của đường
thẳng  d là  1;2u  ;
Bước 3. Tìm một điểm  0; 5M  thuộc đường thẳng  d ;

16. 16
Bước 4. Từ vectơ chỉ phương và điểm M thuộc  d ta suy ra được phương trình
tham số của đường thẳng  d .
Cách 2
Tham số hóa x và y . Đặt x t , thay x t vào phương trình 2 5y x  ta được
2 5y t  . Vậy ta được phương trình tham số của đường thẳng  d .
c) Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.
Cách 1
Bước 1. Từ phương trình tổng quát  :2 5 0d x y   , ta chuyển hệ số tự do 5
sang vế phải, ta được 2 5x y  ;
Bước 2. Vì phương trình theo đoạn chắn có dạng  1 0, 0
x y
a b
a b
    nên để
vế phải bằng 1 ta cần chia hai vế của phương trình 2 5x y  cho 5 . Khi đó, ta được
2 1
1
5 5
x y  ;
Bước 3. Biến đổi phương trình vừa tìm được về đúng dạng phương trình theo đoạn
chắn 1
5 5
2
x y
 

.
Cách 2
Ta lần lượt tìm giao điểm của đường thẳng  d với trục Ox và Oy . Từ đó suy ra
phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Bài giải
a) Ta có: 2 5 2 5 0y x x y     
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  :2 5 0d x y   .
b) Cách 1
Ta có  :2 5 0d x y  
 vtpt    2; 1d
n    vtcp    1;2d
u 
Mà    0; 5M d 

17. 17
Nên phương trình tham số của đường thẳng  d đi qua điểm  0; 5M  và có
vtcp    1;2d
u  có dạng  
5 2
x t
t R
y t


  
.
Cách 2
Đặt  x t t R 
Thay x t vào phương trình 2 5y x  , ta được 2 5y t  .
Vậy PTTS của đường thẳng  d có dạng  
5 2
x t
t R
y t


  
.
c) Cách 1
Ta có:
2
2 5 0 2 5 1 1
55 5 5
2
x y x y
x y x y           

.
Đây là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d .
Cách 2
Gọi ,A B lần lượt là giao điểm của đường thẳng  d với ,Ox Oy .
Ta có:      
5
;0 0; 5
2
A d Ox B d Oy
 
       
 
Vậy phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d là 1
5 5
2
x y
 

.
Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  d biết
   
2
:
1 2
x t
d t R
y t
 

 
Phân tích
Phương trình chính tắc của đường thẳng  d có dạng   0 0
:
x x y y
d
a b
 
 với
0, 0a b  . Để lập được phương trình đường thẳng dạng chính tắc ta cần có tọa độ một
điểm thuộc đường và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Các bƣớc giải
Ta có hai cách giải.
Cách 1

18. 18
Bước 1. Từ phương trình đề ta tìm được một vectơ chỉ phương của đường thẳng
 d là  1; 2u   ;
Bước 2. Tìm tọa độ một điểm thuộc  d là  2;1M ;
Bước 3. Ta lập phương trình chính tắc của đường thẳng  d theo dạng
  0 0
:
x x y y
d
a b
 
 .
Cách 2
Bước 1. Từ hai phương trình 2x t  , ta suy ra được 2t x  ;
Bước 2. Từ hai phương trình 1 2y t  , ta suy ra được
1
;
2
y
t



Bước 3. Cho
1
2
2
y
x

 

, biến đổi về đúng dạng, ta tìm được phương trình chính
tắc của đường thẳng  d .
Bài giải
Cách 1. Ta có đường thẳng  d đi qua điểm  2;1M và có vtcp  1; 2u   .
Suy ra  
2 1
:
1 2
x y
d
 


.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng  
2 1
:
1 2
x y
d
 


.
Cách 2. Ta có
2
2 1 2 1
21
1 2 2 1 2
2
t x
x t y x y
xy
y t t
 
    
       
     
.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng  
2 1
:
1 2
x y
d
 


.
Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d biết
   
3
:
6 2
x t
d t R
y t
  

 
Phân tích

19. 19
Từ phương trình tham số của  d ta tìm được vectơ chỉ phương của  d , từ vectơ
chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến. Đồng thời, ta tìm một điểm thuộc đường thẳng  d
, như vậy ta có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  d .
Ngoài ra, ta có thể lập phương trình tổng quát của đường thảng  d bằng cách
khác. Chọn một trong hai phương trình, ta tìm t theo biến x hoặc y rồi thế t vào
phương trình còn lại, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng.
Các bƣớc giải
Cách 1
Bước 1. Chọn một trong hai phương trình để tìm t theo biến x hoặc y . Giả sử ta
chọn 3x t   . Ta tìm được 3t x  ;
Bước 2. Thay 3t x  vào phương trình 6 2y t  , rút gọn ta được phương trình
tổng quát 2 0x y  .
Cách 2
Bước 1. Xác định một điểm thuộc đường thẳng  d ;
Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d , từ vectơ chỉ phương
suy ra vectơ pháp tuyến của  d .
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và có vectơ
pháp tuyến  ;n A B có dạng      0 0: 0.d A x x B y y   
Bài giải
Cách 1
Ta có:
 
33 3
6 2 36 2 2 0
t xx t t x
y xy t x y
      
   
      
.
Vậy phương trình tổng quát của  d là 2 0x y  .
Cách 2
Ta có: vtcp    1; 2d
u    vtpt    2;1 .d
n 
Đường thẳng  d đi qua  3;6M  và có vtpt    2;1d
n  .
Vậy phương trình tổng quát của  d là
   2 3 6 0 2 0.x y x y      
2.2. Thiết lập phƣơng trình đƣờng thẳng

20. 20
2.2.1. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có phƣơng cho trƣớc
Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d biết  d đi qua điểm
 1; 2M  và có vectơ pháp tuyến  1;2n  .
Phân tích
Phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và có vectơ pháp tuyến
 ;n A B có dạng      0 0: 0d A x x B y y    nên để lập được phương trình tổng quát
của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của
đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng  d qua  1; 2M  và có vectơ pháp tuyến
 1;2n  , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng.
Các bƣớc giải
Bước 1. Xác định điểm  1; 2M  thuộc đường thẳng  d ;
Bước 2. Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và có vectơ
pháp tuyến  ;n A B có dạng      0 0: 0.d A x x B y y   
Bài giải
Đường thẳng  d đi qua điểm  1; 2M  và có vectơ pháp tuyến  1;2n  . Vậy
phương trình đường thẳng      :1 1 2 2 0 2 3 0d x y x y        .
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng  d biết  d qua  3;2N  và
có vectơ chỉ phương  1;2u  .
Phân tích
Đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và nhận vectơ  ;u a b làm vectơ chỉ
phương có phương trình tham số là    0
0
:
x x at
d t R
y y bt
 

 
nên để lập được phương
trình tham số của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ
chỉ phương của đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng  d qua  3;2N  và có
vectơ chỉ phương  1;2u  , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tham số
của đường thẳng.

21. 21
Các bƣớc giải
Bước 1. Xác định điểm  3;2N  thuộc đường thẳng  d ;
Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và nhận vectơ
 ;u a b làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là    0
0
: .
x x at
d t R
y y bt
 

 
Bài giải
Đường thẳng  d đi qua điểm  3;2N  và có vectơ chỉ phương  1;2u  . Vậy
phương trình đường thẳng    
3
:
2 2
x t
d t R
y t
  

 
.
Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng  d
đi qua 2 điểm  2;1A và  4;5B  .
Phân tích
Để lập được phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng  d
ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng, một vectơ pháp tuyến, một vectơ chỉ phương
của đường thẳng  d . Trong ví dụ này, đường thẳng  d đi qua hai điểm A và B nên có
vectơ chỉ phương là  d
u AB , từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến  d
n của
đường thẳng  d . Như vậy ta đã có đủ các yếu tố để lập phương trình tổng quát và phương
trình tham số của đường thẳng  d .
Các bƣớc giải
Phương trình tổng quát
Bước 1. Xác định điểm  2;1A hoặc  4;5B  thuộc đường thẳng  d ;
Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d ,    6;4d
u AB   ;
Bước 3. Từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến    4;6d
n  ;

22. 22
Bước 4. Phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và có vectơ
pháp tuyến  ;n a b có dạng      0 0: 0.d a x x b y y    Từ đó, ta viết phương trình
tổng quát của đường thẳng  d .
Phương trình tham số
Bước 1. Xác định điểm  2;1A hoặc  4;5B  thuộc đường thẳng  d ;
Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d ,    6;4d
u AB   ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  0 0;M x y và nhận vectơ
 1 2;u u u làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
   0 1
0 2
: .
x x u t
d t R
y y u t
 

 
Từ đó, ta viết phương trình tham số của đường thẳng  d .
Bài giải
Đường thẳng  d qua  2;1A và có vectơ chỉ phương    6;4d
u AB  
Vậy phương trình tham số của đường thẳng  d là    
2 6
: .
1 4
x t
d t R
y t
 

 
Ta có: vectơ chỉ phương    6;4d
u AB    vectơ pháp tuyến    4;6d
n 
Đường thẳng  d qua  2;1A và có vectơ pháp tuyến    4;6d
n 
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  d là  :2 3 7 0d x y   .
2.2.2. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trƣớc
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng  d biết  d đi qua  2;4M và có hệ số
góc 2k  .
Phân tích
Khi đề bài yêu cầu viết phương trình một đường thẳng thì ta có thể viết phương
trình đường thẳng đó dưới dạng tổng quát. Từ phương trình đường thẳng theo hệ số góc, ta
có thể chuyển nó sang phương trình tổng quát như sau:
 0 0 0 0 0.y y k x x kx y y kx       
Các bƣớc giải
Bước 1. Xác định một điểm  2;4M thuộc đường thẳng  d và hệ số góc 2k  ;
Bước 2. Lập phương trình đường thẳng  d .

23. 23
Bài giải
Đường thẳng  d đi qua  2;4M và có hệ số góc 2k  có dạng
   : 4 2 4d y x  
2 4 0x y   
Vậy phương trình đường thẳng  d là 2 4 0x y   .
2.2.3. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông
góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc
Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến.
Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng  d biết  d đi qua  1;2A  và song song
với đường thẳng  :2 3 1 0x y    .
Phân tích
Đường thẳng  d song song với đường thẳng   nên hai đường thẳng có cùng
vectơ pháp tuyến. Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d kết hợp
với giả thiết  d đi qua  1;2A  ta lập được phương trình đường thẳng  d .
Các bƣớc giải
Bước 1. Vì đường thẳng  d song song với đường thẳng   nên phương trình
đường thẳng  d có dạng  2 3 0 1x y m m     ;
Bước 2. Giả thiết điểm  1;2A  thuộc đường thẳng  d . Thay tọa độ điểm
 1;2A  vào phương trình 2 3 0x y m   , ta tìm được m;
Bước 3. So điều kiện 1m   với giá trị m vừa tìm được. Nếu 1m   , ta nhận giá
trị m và thay m vào phương trình 2 3 0x y m   , ta tìm được phương trình đường thẳng
 d thỏa yêu cầu bài toán. Nếu 1m   , ta loại giá trị m này vì với 1m   ta tìm được
phương trình đường thẳng  : 2 3 1 0d x y   trùng với phương trình đường thẳng  
không thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải
Vì  d song song với   nên  d có dạng  2 3 0 1x y m m    
Ta có:      1;2 2. 1 3.2 0 4A d m m          (nhận).

24. 24
Thay 4m   vào 2 3 0x y m   , ta được 2 3 4 0.x y  
Vậy phương trình đường thẳng  :2 3 4 0d x y   .
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng  d biết  d đi qua  3; 2B  và vuông
góc với đường thẳng  : 2 3 0x y    .
Phân tích
Đường thẳng  d vuông góc với đường thẳng   nên vectơ chỉ phương của  
là vectơ pháp tuyến của  d . Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d
kết hợp với giả thiết  d đi qua  3; 2B  ta lập được phương trình đường thẳng  d .
Các bƣớc giải
Bước 1. Vì đường thẳng  d vuông góc với đường thẳng   nên phương trình
đường thẳng  d có dạng 2 0x y m   ;
Bước 2. Giả thiết điểm  3; 2B  thuộc đường thẳng  d . Thay tọa độ điểm
 3; 2B  vào phương trình 2 0x y m   , ta tìm được m;
Bước 3. Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình 2 0x y m   , ta tìm được
phương trình đường thẳng  d thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải
Vì  d vuông góc với   nên  d có dạng 2 0x y m  
Ta có:    3; 2 2.3 2 0 4B d m m         .
Thay 4m   vào 2 0x y m   , ta được 2 4 0x y  
Vậy phương trình đường thẳng 2 4 0x y   .
Ví dụ 3. Viết phương trình đường trung trực  d của đoạn thẳng MN biết
 1; 1M   và  1;9N .
Phân tích
Đường thẳng  d là đường trung trực của đoạn thẳng MN nên đường thẳng  d đi
qua trung điểm của đoạn MN và vuông góc với MN . Do đó, vectơ pháp tuyến của  d là
vectơ chỉ phương của đường thẳng MN . Để lập phương trình đường thẳng ta cần thêm
một điểm thuộc đường thẳng  d , điểm đó là trung điểm của MN .

25. 25
Các bƣớc giải
Bước 1. Gọi I là trung điểm của MN , tìm tọa độ điểm I bằng công thức tính tọa
độ trung điểm;
Bước 2. Tìm vectơ chỉ phương MN . Suy ra vectơ pháp tuyến  d
n MN ;
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng  d đi qua I và có vectơ pháp tuyến
 d
n MN .
Bài giải
Gọi  ;I II x y là trung điểm của .MN
Tọa độ điểm I thỏa
1 1
0
2 2
1 9
4
2 2
M N
I
M N
I
x x
x
y y
y
  
  

     

 0;4I .
Vì  d vuông góc với MN nên    2;10 .d
n MN 
Phương trình đường thẳng  d đi qua I và có vectơ pháp tuyến  d
n là
   2 0 10 4 0 2 10 40 0 5 20 0.x y x y x y           
Vậy phương trình đường thẳng  : 5 20 0d x y   .
2.2.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc
khoảng cách
Phƣơng pháp
Đường thẳng  d đi qua  0 0;M x y và có vectơ pháp tuyến  ;n A B có dạng
   0 0 0A x x B y y    với 2 2
0A B  ;
Từ điều kiện của góc hay khoảng cách được cho trong giả thiết bài toán, ta tìm ra
một phương trình với hai ẩn A và B . Tìm A, suy ra B hoặc ngược lại. Thay A và B
vừa tìm được vào phương trình    0 0 0A x x B y y    , ta được phương trình đường
thẳng  d cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hai điểm  1;2M  và  3;5N . Viết phương trình đường thẳng  d
đi qua M biết rằng khoảng cách từ N đến đường thẳng  d bằng 3.

26. 26
Phân tích
Giả sử đường thẳng  d có phương trình là     0M MA x x B y y   
 2 2
0A B  . Từ giả thiết khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  d bằng 3, ta sử
dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình
hai ẩn là ,A B , giải phương trình đó ta tìm được vectơ pháp tuyến  d
n của đường thẳng
 d . Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng  d đi qua điểm M và có vectơ pháp
tuyến  d
n .
Các bƣớc giải
Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  1;2M  và có vectơ
pháp tuyến  ;n A B có dạng      : 1 2 0d A x B y     2 2
0A B 
2 0Ax By A B     ;
Bước 2.   ; 3d N d  . Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến
 ;n A B ;
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng  d .
Bài giải
Đường thẳng  d đi qua điểm  1;2M  và có vectơ pháp tuyến  ;n A B có dạng
     : 1 2 0d A x B y     2 2
0A B  2 0Ax By A B    
Ta có:   , 3d N d 
2 2
3 5 2
3
A B A B
A B
  
 

2 2
4 3 3A B A B   
2 2 2 2
16 24 9 9 9A AB B A B    
2
7 24 0A AB  
0
0
24
7 24 0
7
A
A
B
A B A

      

Trường hợp 1. 0A  , vì 2 2
0A B  nên chọn 1B 

27. 27
Thay 0; 1A B  vào  : 2 0d Ax By A B    , ta được phương trình đường
thẳng  : 2 0d y   .
Trường hợp 2.
24
7
B
A

 , vì 2 2
0A B  nên chọn
24
1
7
B A   
Thay
24
; 1
7
A B   vào  : 2 0d Ax By A B    , ta được phương trình đường
thẳng  
24 38
: 0
7 7
d x y   .
Ví dụ 2. Cho ba điểm      3;0 , 5;4 , 10;2M N P . Viết phương trình đường thẳng
 d qua P và cách đều ,M N .
Phân tích
Giả sử phương trình đường thẳng  d đi qua điểm P có dạng
     2 2
0, 0P PA x x B y y A B      . Giả thiết đường thẳng  d cách đều hai điểm M
và N , điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d bằng với
khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng  d . Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn là A và B , giải phương trình
tìm được vectơ pháp tuyến  d
n của đường thẳng  d . Khi đó, ta lập được phương trình
đường thẳng  d đi qua điểm P và có vectơ pháp tuyến  d
n .
Các bƣớc giải
Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  10;2P và có vectơ
pháp tuyến  ;n A B có dạng        2 2
: 10 2 0, 0d A x B y A B     
10 2 0Ax By A B     ;
Bước 2.      ; ;d M d d N d . Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp
tuyến  ;n A B ;
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng  d .
Bài giải
Đường thẳng  d đi qua điểm  10;2P và có vectơ pháp tuyến  ;n A B có dạng
       2 2
: 10 2 0, 0d A x B y A B     
10 2 0Ax By A B    
Ta có: đường thẳng  d cách đều hai điểm ,M N
      ; ;d M d d N d
2 2 2 2
3 10 2 3 10 2A A B A A B
A B A B
   
 
 

28. 28
7 2 15 2A B A B     
7 2 15 2
7 2 15 2
A B A B
A B A B
    
    
8 4 0 2 0
2
22 0 0
0
B
A B A B A
A A
A

             
Trường hợp 1. 0A  , vì 2 2
0A B  nên chọn 1B  .
Thay 0; 1A B  vào  : 10 2 0d Ax By A B    , ta được phương trình đường
thẳng  : 2 0d y   .
Trường hợp 2.
2
B
A  , vì 2 2
0A B  nên chọn 2 1B A  
Thay 1; 2A B  vào  : 10 2 0d Ax By A B    , ta được phương trình đường
thẳng  : 2 14 0d x y   .
Nhận xét
Ngoài ra, ta có thể sử dụng tính chất hình học tổng hợp để giải bài toán trên.Vì
, ,M N P không thẳng thàng nên ta chia hai trường hợp.
Trường hợp 1
M và N cùng phía với đường thẳng  d mà hai điểm ,M N cách đều đường thẳng
 d nên MN song song với đường thẳng  d . Kết hợp với giả thiết đường thẳng  d đi
qua điểm P , ta lập được phương trình đường thẳng  d đi qua điểm P và song song với
MN .
Trường hợp 2

29. 29
M và N khác phía với đường thẳng  d mà hai điểm ,M N cách đều đường thẳng
 d nên  d đi qua trung điểm của MN . Vậy đường thẳng  d đi qua điểm P và trung
điểm của MN .
Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng  1 : 1 0d x y   và  2 :2 2 0d x y   . Viết
phương trình đường thẳng  3d đối xứng với  2d qua  1d .
Phân tích
Nhận thấy hai đường thẳng  1d và  2d cắt nhau, vì đường thẳng  3d đối xứng
với đường thẳng  2d qua đường thẳng  1d nên giao điểm của hai đường thẳng  1d và
 2d cũng thuộc đường thẳng  3d .
Vì đường thẳng  3d đối xứng với đường thẳng  2d qua đường thẳng  1d nên
mọi điểm thuộc đường thẳng  1d đều cách đều hai đường thẳng  2d và  3d . Giả sử
 1M d , ta có      3 2, ,d M d d M d , giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp
tuyến  d
n của đường thẳng  3d . Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng  3d đi
qua giao điểm của hai đường thẳng    1 2,d d và có vectơ pháp tuyến  d
n .
Các bƣớc giải
Bước 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  1d và  2d , ta được hai đường
thẳng  1d và  2d cắt nhau;
Bước 2. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng  1d và  2d , tìm tọa độ điểm I
bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng  1d và  2d . Suy ra I
cũng thuộc đường thẳng  3d
Bước 3. Viết phương trình của đường thẳng  3d đi qua điểm I và có vectơ pháp
tuyến  ;n A B có dạng      : 0A Ad A x x B y y     2 2
0A B  ;

30. 30
Bước 4. Tìm điểm  0;1M thuộc đường thẳng  1d ;
Bước 5. Vì đường thẳng  3d đối xứng với đường thẳng  2d qua đường thẳng
 1d nên      3 2, ,d M d d M d . Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến
 ;n A B ;
Bước 6. Viết phương trình đường thẳng  3d .
Bài giải
Xét hai đường thẳng  1 : 1 0d x y   và  2 :2 2 0d x y   .
Ta có:    1 2
1 1
,
2 1
d d  cắt nhau.
Gọi    1 2I d d  . Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
1 0 1 1
2 2 0 2 2 0
x y x y x
x y x y y
       
   
       
.
Vậy  1;0 .I
Vì  3d đối xứng  2d qua  1d nên    31;0I d .
Phương trình đường thẳng  3d đi qua điểm  1;0I và có vectơ pháp tuyến
 ;n A B có dạng      : 1 0 0d A x B y     2 2
0A B  0Ax By A    .
Gọi    10;1M d
 3d đối xứng  2d qua  1d      3 2, ,d M d d M d 
2 2 2 2
2.0 1 2
2 1
B A
A B
  
 
 
2 2
1
5
B A
A B

 

2 21
5
B A A B   
 
2
2 2 21
5
B A A B
 
    
 
 2 24 4
2 0 *
5 5
A AB B   
Trường hợp 1. 0 0A B   (không thỏa 2 2
0A B  )
Trường hợp 2. 0A  . Chia hai vế phương trình  * cho
2
A

31. 31
 
2
1
1
4 4 2* 2 0 2
5 5
22
B
B AB B A
BA A
B A
A

                 
Với
1
2
B A , chọn 2 1A B   .
Thay 2; 1A B  vào  : 0d Ax By A   , ta được phương trình đường thẳng
 :2 2 0d x y   .
Với 2B A , chọn 1 2A B   .
Thay 1; 2A B  vào  : 0d Ax By A   , ta được phương trình đường thẳng
 : 2 1 0d x y   .
Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng  d biết  d qua  2;0K  và tạo với
đường thẳng  : 3 3 0x y    một góc 0
45 .
Phân tích
Từ giả thiết đường thẳng  d tạo với đường thẳng  : 3 3 0x y    một góc 0
45 ,
ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn, giải
phương trình tìm được vectơ pháp tuyến  d
n của đường thẳng  d . Khi đó, ta lập được
phương trình đường thẳng  d đi qua điểm  2;0K  và có vectơ pháp tuyến  d
n .
Các bƣớc giải
Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng  d đi qua điểm  2;0K  và có vectơ
pháp tuyến  ;n A B có dạng      : 2 0 0d A x B y     2 2
0A B 
2 0Ax By A    ;
Bước 2.              
   
.
cos , cos ,
.
d
d
d
n n
d n n
n n



   . Giải phương trình này ta tìm
được vectơ pháp tuyến  ;n A B ;
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng  d .
Bài giải
Đường thẳng  d đi qua điểm  2;0K  và có vectơ pháp tuyến  ;n A B có dạng
     : 10 2 0d A x B y     2 2
0A B  2 0Ax By A   
Ta có:      0
cos , cos45d  
     2
cos ,
2d
n n 
 

32. 32
   
   
. 2
2.
d
d
n n
n n


 
2 2
1 1
3 2
2. 10
A B
A B

 

 2 2
3 5A B A B   
2 2 2 2
6 9 5 5A AB B A B    
 2 2
2 3 2 0. *A AB B   
Trường hợp 1. 0 0A B   (không thỏa 2 2
0A B  )
Trường hợp 2. 0A  . Chia hai vế phương trình  * cho
2
A , ta có:
Pt  
2
1
1
2* 2 3 2 0 2
22
B
B AB B A
BA A
B A
A

                 
.
Với
1
2
B A , chọn 2 1A B   .
Thay 2; 1A B  vào  : 2 0d Ax By A   , ta được phương trình đường thẳng
 :2 4 0d x y   .
Với 2B A  , chọn 1 2.A B   
Thay 1; 2A B   vào  : 2 0d Ax By A   , ta được phương trình đường thẳng
 : 2 2 0d x y   .
2.2.5. Phƣơng trình đƣờng thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một
điều kiện về khoảng cách hoặc góc
Phƣơng pháp
Nếu giả thiết cho vectơ pháp tuyến  ;n a b , ta gọi phương trình
 : 0d ax by c   ;
Nếu giả thiết cho hệ số góck , ta gọi phương trình  :d y kx m  ;
Từ điều kiện về khoảng cách hoặc góc, ta suy ra c hoặc m.
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng  d song song với đường thẳng
 : 2 0x y    và cách   một khoảng bằng 3 2 .
Phân tích

33. 33
Vì đường thẳng  d song song với đường thẳng   nên vectơ pháp tuyến của  
cũng là vectơ pháp tuyến của  d . Phương trình đường thẳng  d có dạng
 : 0d x y m   , 2m  . Đường thẳng  d song song với đường thẳng   nên khoảng
cách từ   đến  d bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng   đến
đường thẳng  d . Ta dễ dàng tìm được một điểm M thuộc đường thẳng   , khi đó
khoảng cách từ M đến  d bằng 3 2 , sử dụng công thức tính khoảng cách, ta lập được
một phương trình có ẩn m, giải phương trình này ta tìm được m. Như vậy, ta tìm được
phương trình đường thẳng  d thỏa yêu cầu bài toán.
Các bƣớc giải
Bước 1. Lập phương trình đường thẳng  d song song với   . Đường thẳng  d
có dạng 0x y m    2m  ;
Bước 2. Tìm điểm  M   .
Bước 3.        , 3 2 , 3 2d d d M d    . Giải phương trình này ta tìm được
m.
Bước 4. So sánh giá trị m vừa tìm được với điều kiện 2m  . Nếu 2m  , ta nhận
giá trị m và thay m vào phương trình 0x y m   , ta tìm được phương trình đường
thẳng  d thỏa yêu cầu bài toán. Nếu 2m  , ta loại giá trị m này vì với 2m  ta tìm được
phương trình đường thẳng  : 2 0d x y   trùng với phương trình đường thẳng  
không thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải
Phương trình đường thẳng  d song song với  : 2 0x y    có dạng
 : 0d x y m   , 2 .m 
Gọi    0; 2M   
Ta có:     , 3 2d d 
  , 3 2d M d 
2
3 2
2
m 
 
8
2 6
4
m
m
m

      
(nhận)
Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán
 1 : 8 0d x y   và  2 : 4 0d x y   .
2.2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng đƣợc thiết lập bằng phƣơng pháp quỹ tích
Phƣơng pháp

34. 34
Giả sử cần lập phương trình đường thẳng  d . Gọi  ;M x y là điểm bất kì thuộc
đường thẳng  d . Từ giả thiết bài toán đưa ra, ta tìm được phương trình với hai ẩn x và y.
Đó chính là phương trình của đường thẳng  d .
Ví dụ. Cho hai đường thẳng  1 : 2 1 0d x y   và  2 : 2 3 0d x y   . Viết
phương trình đường thẳng   cách đều  1d và  2d .
Phân tích
Đường thẳng   cách đều hai đường thẳng    1 2,d d nên khoảng cách từ một
điểm bất kì thuộc đường thẳng   đến hai đường thẳng    1 2,d d là bằng nhau. Từ đó, sử
dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta tìm được một
phương trình hai ẩn x và y. Đó chính là phương trình đường thẳng   cần tìm.
Các bƣớc giải
Bước 1. Gọi điểm M bất kì thuộc   ;
Bước 2.                1 2 1 2, , , ,d d d d d M d d M d     , biến đổi ta được
một phương trình hai ẩn x và y . Đây là phương trình đường thẳng   thỏa yêu cầu bài
toán.
Bài giải
Gọi    ;M x y  
Ta có:          1 2, ,d d d d  
     1 2, ,d M d d M d 
   
2 22 2
2 1 2 3
1 2 1 2
x y x y   
 
   
2 1 2 3x y x y     
 
2 1 2 3
2 1 2 3
x y x y
x y x y
    
 
     
 1 3 1
2 2 0.
2 4 4 0
x y
x y
 
    
  
(vì (1) vô lý)

35. 35
Vậy phương trình đường thẳng   là 2 2 0x y   .
Nhận xét
Bài toán trên có thể đưa về bài toán lập phương trình đường thẳng khi biết vectơ
pháp tuyến và một điều kiện về khoảng cách. Dễ thấy  1d song song  2d ,   cách đều
hai đường thẳng    1 2,d d nên   có cùng vectơ pháp tuyến với    1 2,d d . Từ đó, lập
phương trình đường thẳng   khi biết vectơ pháp tuyến  : 2 0x y m   
 1, 3m m  , sử dụng giả thiết bài toán tìm m. Như vậy, ta tìm được phương trình
đường thẳng   thỏa yêu cầu bài toán.
2.2.7. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt
nhau
Ví dụ. Cho tam giác ABC có      1;1 , 3; 2 , 0;1A B C  . Viết phương trình tổng
quát các đường phân giác trong  AD và phân giác ngoài  AE của góc BAC . Trong đó,
D,E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài trên BC.
Phân tích
Hai đường thẳng    ,AB AC cắt nhau có phương trình lần lượt là
  1 1 1: 0AB A x B y C   và   2 2 2: 0AC A x B y C   . Khi đó, phương trình hai đường
phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng    ,AB AC có dạng
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
0
A x B y C A x B y C
A B A B
   
 
 
. Như vậy, để viết được phương trình đường phân giác
thỏa yêu cầu bài toán, ta cần tìm hai phương trình đường thẳng    ,AB AC .
Các bƣớc giải
Bước 1. Viết phương trình đường thẳng  AB và phương trình đường thẳng  AC ;
Bước 2. Lập phương trình các đường phân giác của góc A;
Bước 3. Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C với hai đường phân giác, ta suy ra
phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc A.
Bài giải
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng  AB là  4; 3u AB   

36. 36
 vectơ pháp tuyến    3; 4AB
n   .
Đường thẳng  AB đi qua  1;1A và có vectơ pháp tuyến    3; 4AB
n  
 ptđt  :3 4 1 0AB x y   .
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng  AC là  1;0u AC    vectơ pháp
tuyến    0;1AC
n  .
Đường thẳng  AC đi qua  1;1A và có vectơ pháp tuyến    0;1AC
n  .
 ptđt  : 1 0AC y  
Phương trình hai đường phân giác của góc BAC là
 
2 2 22
3 4 1 1
0 13 4
x y y  
 
 
 3 4 1 5 1 .x y y     
Suy ra hai đường phân giác là  1 : 3 2 0d x y   và  2 :3 4 0.d x y  
Xét hai điểm    3; 2 , 0;1B C  và đường thẳng  1 : 3 2 0.d x y  
Ta có:    3 2 3 2 5 0B B C Cx y x y       
,B C nằm khác phía so với đường thẳng  1 .d
 1d là đường phân giác trong  .AD
 2d là đường phân giác ngoài  AE .
Nhận xét
Ngoài cách giải như trên, ta có thể giải bài toán bằng cách dựa vào tính chất đường
phân giác trong của tam giác để tìm tọa độ chân đường phân giác trong. Khi đó, bài toán
tìm phương trình đường phân giác trong trở thành bài toán viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm. Như vậy ta tìm được phương trình đường phân giác trong. Đồng thời ta sử
dụng tính chất hai đường phân giác trong và ngoài vuông góc với nhau để lập phương trình
đường phân giác ngoài.

37. 37
Các bƣớc giải
Bước 1. Gọi  ;D x y là chân đường phân giác trong của góc A. Tìm tọa độ D bằng
hệ thức
AB
DB DC
AC
   ;
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và D . Đó là phương
trình đường phân giác trong;
Bước 3. Viết phương trình đường phân giác ngoài đi qua A và vuông góc với đường
phân giác trong.
2.2.8. Các ví dụ tổng hợp
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , biết      1; 1 , 2;1 , 3;5A B C 
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh , ,AB BC AC .
b) Viết phương trình đường cao  AH của tam giác ABC .
c) Viết phương trình đường trung tuyến  AM của tam giác ABC .
Phân tích
a) Đường thẳng đi qua hai điểm cho trước nhận vectơ tạo bởi hai điểm đó làm
VTCP.

38. 38
b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH BC , suy ra VTCP của
 BC là VTPT của  AH . Bài toán trở thành viết ptđt qua điểm A và có VTPT
   AH BC
n u .
c) Vì M là trung điểm của BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm M bằng
công thức tính tọa độ trung điểm. Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm A và M .
Các bƣớc giải
a) Bước 1. Tìm VTCP AB , suy ra VTPT  AB
n ;
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng  AB đi qua  1; 1A  và có VTPT  AB
n .
Tương tự viết ptđt    ,AC BC .
b) Bước 1. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC ;
Bước 2. Ta có    AH BC
AH BC n u   ;
Bước 3. Viết ptđt  AH đi qua  1; 1A  và có VTPT  AH
n .
c) Bước 1. Gọi M là trung điểm của BC , tìm tọa độ điểm M bằng công thức
tìm tọa độ trung điểm;
Bước 2. Tìm VTCP AM , suy ra VTPT  AM
n ;
Bước 3. Viết ptđt  AM đi qua  1; 1A  và có VTPT  AM
n .
Bài giải
a) Đường thẳng  AB VTCP  3;2u AB    VTPT    2;3AB
n  .
Phương trình đường thẳng  AB đi qua điểm  1; 1A  và có VTPT    2;3AB
n  có
dạng  :2 3 1 0AB x y   .
Đường thẳng  AC có VTCP  2;6u AC   VTPT    6; 2 .AC
n  
Phương trình đường thẳng  AC đi qua điểm  1; 1A  và có VTPT    6; 2AC
n  
có dạng  :3 4 0AC x y   .
Đường thẳng  BC có VTCP  5;4u BC   VTPT    4;5 .BC
n  

39. 39
Phương trình đường thẳng  BC đi qua điểm  2;1B  và có VTPT    4;5BC
n  
có dạng  : 4 5 13 0BC x y    .
b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC .
Suy ra  AH đi qua  1; 1A  và vuông góc với  : 4 5 13 0.BC x y   
Vì  AH vuông góc với  : 4 5 13 0BC x y    nên phương trình đường thẳng
 AH có dạng 5 4 0x y m  
     1; 1 5.1 4. 1 0 1.A AH m m         
Thay 1m   vào 5 4 0x y m   ta được  :5 4 1 0AH x y   .
c) Gọi M là trung điểm của BC .
1
2
2
3
2
B C
M
M
B C
MM
x x
x
x
y y
yy

   
  
   
1
;3
2
M
 
  
 
.
Đường thẳng  AM đi qua  1; 1A  và có VTCP
1
;4
2
u AM
 
   
 
 VTPT
 
1
4; .
2AM
n
 
  
 
Phương trình đường thẳng  
1 7
: 4 0
2 2
AM x y   .
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có  2;2A và trực tâm H , phương trình các đường
cao  BH và  CH lần lượt là 9 3 4 0x y   và 2 0x y   .
a) Viết phương trình đường thẳng  AB và đường thẳng  AC .
b) Viết phương trình đường thẳng  AH .
Phân tích
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB CH . Đường thẳng  AB vuông
góc với đường thẳng  CH nên vectơ chỉ phương của  CH là vectơ pháp tuyến của
 AB . Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng  AB kết hợp với giả thiết
 AB đi qua  2;2A ta lập được phương trình đường thẳng  AB .
Với cách giải tương tự, ta tìm được phương trình đường thẳng  AC .

40. 40
Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của hai đường cao  BH và  CH . Từ đó, ta
tìm được tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình đường cao.
Bài toán viết phương trình đường thẳng  AH trở thành bài toán viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm A và .H
Các bƣớc giải
a) Bước 1. Vì  AB vuông góc với  CH nên phương trình đường thẳng  AB
có dạng: 0x y m    ;
Bước 2. Giả thiết điểm  2;2A thuộc đường thẳng  AB . Thay tọa độ điểm
 2;2A vào phương trình 0x y m    , ta tìm được m;
Bước 3. Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình 0x y m    , ta tìm được
phương trình đường thẳng  AB thỏa yêu cầu bài toán.
Với cách giải tương tự, ta tìm được phương trình đường thẳng  AC .
b) Bước 1. Giải hệ phương trình
9 3 4
2
x y
x y
 

 
, ta tìm được tọa độ điểm H;
Bước 2. Tìm vectơ chỉ phương AH , suy ra vectơ pháp tuyến  AH
n ;
Bước 3. Viết ptđt  AH đi qua  2;2A và có VTPT  AH
n .
Bài giải
a) Vì  AB vuông góc với  CH nên phương trình đường thẳng  AB có
dạng: 0x y m    .
Ta có:    2;2 2 2 0 0.A AB m m       
Thay 0m  vào 0x y m    , ta được 0x y   .
Vậy ptđt  : 0AB x y   .
b) Vì  AC vuông góc với  BH nên phương trình đường thẳng  AC có
dạng: 3 9 0x y m   .
Ta có:    2;2 2.2 9.2 0 22.A AC m m       
Thay 22m   vào 3 9 0x y m   , ta được 3 9 22 0x y   .
Vậy phương trình đường thẳng  :3 9 22 0AC x y   .

41. 41
Ta có:    H BH CH  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
5
9 3 4 5 76
; .
2 7 6 6
6
x
x y
H
x y
y

    
    
     

Đường thẳng  AH qua  2;2A và có VTCP
7 5
;
6 6
u AH
 
    
 
.
Suy ra VTPT    
5 7 1
; 5; 7 .
6 6 6AH
n
 
    
 
Phương trình đường thẳng      :5 2 7 2 0 5 7 4 0.AH x y x y       
2.3. Vị trí tƣơng đối
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  1d và  2d . Nếu chúng cắt
nhau thì tìm tọa tộ giao điểm của chúng.
a)  1 :2 3 1 0d x y   , 2 :4 5 6 0d x y   .
b)  1 :4 2 0d x y   , 2 : 8 2 1 0d x y    .
c)    1
5
:
1 2
x t
d t R
y t
 

  
, 2 : 3 4 0d x y   .
Bài giải
a) Xét hai đường thẳng  1 :2 3 1 0d x y   và  2 :4 5 6 0d x y   .
Ta có:
2 3
4 5
   1d và  2d cắt nhau.
Gọi    1 2A d d  . Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
23
2 3 1 0 23
; 82
4 5 6 0 2
8
x y x
A
x y
y

      
     
       
.
b) Xét hai đường thẳng  1 :4 2 0d x y   và  2 : 8 2 1 0d x y    .
Ta có:
4 1 2
8 2 1

 

  1d song song với  2 .d
c) Ta có:    
 1
55
: 2 9 0
1 2 51 2
t xx t
d t R x y
y xy t
   
       
       
.

42. 42
Xét hai đường thẳng  1 : 2 9 0d x y    và  2 : 3 4 0d x y   .
Ta có:    1 2
2 1
,
1 3
d d
 
  cắt nhau.
Gọi    1 2 .B d d  Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
23
2 9 0 23 15
; .
3 4 0 1 5 5
5
x
x y
B
x y
y

      
     
       

Ví dụ 2. Cho  3;0M và đường thẳng  :2 1 0d x y   .
a) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d .
b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng  d .
c) Viết phương trình đường thẳng  D đối xứng với  d qua M .
Phân tích
a) Giả thiết cho tọa độ điểm  3;0M và phương trình đường thẳng
 :2 1 0d x y   . Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng, ta tìm được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d .
b) Điểm N đối xứng với điểm M qua đường thẳng  d nên đường thẳng  d
là đường trung trực của đoạn thẳng MN , suy ra đường thẳng  d vuông góc với đoạn
thẳng MN tại trung điểm E của đoạn MN.
Để tìm được tọa độ điểm N ta cần tìm tọa độ trung điểm E. Vì E là giao điểm của
đường thẳng  d và MN nên tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình gồm hai
phương trình đường thẳng  d và đường thẳng  MN . Ta dễ dàng lập được phương trình

43. 43
đường thẳng  MN đi qua điểm  3;0M và vuông góc với đường thẳng  d . Giải hệ
phương trình ta tìm được tọa độ điểm E . Từ đó, ta áp dụng công thức tọa độ trung điểm
để tìm tọa độ điểm .N
c) Vì đường thẳng  D đối xứng với đường thẳng  d qua điểm M nên
đường thẳng  D song song với đường thẳng  d và bất kì điểm nào thuộc đường thẳng
 d cũng có điểm đối xứng qua điểm M thuộc đường thẳng  D . Ta tìm một điểm P tùy
ý thuộc đường thẳng  d , suy ra tọa độ điểm Q đối xứng với điểm P qua điểm M và
điểm Q thuộc đường thẳng  D . Ta có M là trung điểm của PQ , dễ dàng tìm được tọa
độ điểm Q . Mặt khác, vì đường thẳng  D song song với đường thẳng  d nên ta tìm
được phương trình đường thẳng  D đi qua điểm Q và song song với đường thẳng  d .
Các bƣớc giải
a) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng
 : 0d Ax By C   là    0 0
2 2
,
Ax By C
d M d
A B
 


, thực hiện tính toán và kết luận.
b) Bước 1. Viết phương trình đường thẳng  MN đi qua điểm  3;0M và
vuông góc với đường thẳng  :2 1 0d x y   ;
Bước 2. Gọi E là giao điểm của đường thẳng  d và đường thẳng  MN . Tìm tọa
độ điểm E bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng  d và
đường thẳng  MN ;
Bước 3. Vì N đối xứng với M qua đường thẳng  d nên E là trung điểm của
.MN Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm, ta suy ra tọa độ điểm N cần tìm;
Bước 4. Kết luận.

44. 44
Bài giải
a) Khoảng cách từ điểm  3;0M đến đường thẳng  : 2 1 0d x y   là:
  
 
22
2.3 0 1
, 5
2 1
d M d
 
 
 
.
Vậy   , 5d M d  .
b) Phương trình đường thẳng  MN đi qua điểm  3;0M và vuông góc với
đường thẳng  : 2 1 0d x y   có dạng  : 2 0MN x y m   .
Ta có:    3;0 3 2.0 0 3M MN m m        .
Thay 3m   vào 2 0x y m   ta được phương trình đường thẳng  MN là
 : 2 3 0MN x y   .
Gọi    E MN d  . Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:
 
2 1 0 1
1;1 .
2 3 0 1
x y x
E
x y y
    
  
    
Ta có: E là trung điểm của MN .
 
2 1
1;2
2 2
N E M N
N E M N
x x x x
N
y y y y
    
    
   
.
Vậy tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua đường thẳng  d là  1;2 .N 
c) Ta có:    0; 1 :2 1 0P d x y     .
Gọi Q là điểm đối xứng của P qua M , mà  D đối xứng với  d qua M nên
 Q D .
Ta có: M là trung điểm của PQ .
 
62
6;1 .
1
2
P Q
M
Q
P Q Q
M
x x
x x
Q
y y y
y

  
   
  

Đường thẳng  D qua  6;1Q và song song  :2 1 0d x y   có dạng:
2 0x y m    1 .m  

45. 45
Ta có:    6;1 2.6 1 0 11Q d m m        (nhận).
Thay 11m   vào 2 0x y m   ta được đường thẳng  :2 11 0D x y   .
2.4. Xác định tọa độ điểm
Phƣơng pháp
1) Áp dụng công thức tọa độ trung điểm và tọa độ trọng tâm.
2) Quy về bài toán tương giao
Điểm M là giao điểm của  1 1 1 1: 0d a x b y c   và  2 2 2 2: 0d a x b y c   khi và
chỉ khi tọa độ điểm M thỏa mãn hệ
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
  

  
.
3) Phương pháp đặt ẩn
   0 1
0 2
:
x x tu
M d t R
y y tu
 
 
 
, ta giả sử  0 1 0 2;M x tu y tu  ;
 :M d y kx m   , ta giả sử  0 0;M x kx m ;
 : 0M d ax by c    , ta giả sử  0 0;M x y , khi đó 0 0 0ax by c   ;
Từ điều kiện bài toán ta đưa ra phương trình hoặc hệ phương trình. Từ đó suy ra
tọa độ điểm cần tìm.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có      3;2 , 0; 1 , 1;4A B C   . Xác định tọa độ trọng
tâm G .
Phân tích
Giả thiết đã cho tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC . Ta có G là trọng tâm của tam
giác ABC , áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác để tìm tọa độ điểm .G
Bài giải
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC .
4
4 53 3
; .
5 3 3
3 3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
G
y y y
y
 
    
    
     

Ví dụ 2. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biết phương trình
 :5 2 13 0AB x y   ,  : 1 0BC x y   ,  :2 5 22 0AC x y   .
a) Xác định tọa độ các đỉnh , , .A B C

46. 46
b) Xác định tọa độ trực tâm H của tam giác .ABC
Phân tích
a) Vì A là giao điểm của AB và AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
phương trình gồm hai phương trình đường thẳng    ,AB AD . Tương tự ta tìm được tọa
độ điểm B và .C
b) Gọi ,E F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và B của tam giác ABC . H
là giao điểm của AE và BF nên tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình gồm hai
phương trình đường thẳng  AE và  BF . Vậy ta cần tìm phương trình đường thẳng  AE
và  BF . Đường thẳng  AE đi qua A và vuông góc với  : 1 0BC x y   . Tương tự
với đường thẳng  .BF
Các bƣớc giải
a) Bước 1. Giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng  AB và
 AC . Nghiệm của hệ là tọa độ điểm A;
Bước 2. Tương tự tìm tọa độ điểm B và C ;
Bước 3. Kết luận.
b) Bước 1. Gọi ,E F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và B của tam giác
ABC . Viết phương trình đường thẳng  AE và  BF ;
Bước 2. Giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng  AE và  BF .
Nghiệm của hệ phương trình là tọa độ điểm H ;
Bước 3. Kết luận.
Bài giải
a) Ta có: .B AB BC  Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
15
5 2 13 0 15 87
; .
1 0 8 7 7
7
x
x y
B
x y
y

     
    
      

Ta có: A AB AC  . Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
 
5 2 13 0 1
1;4 .
2 5 22 0 4
x y x
A
x y y
    
  
    

47. 47
Ta có:C BC AC  . Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
27
1 0 27 207
; .
2 5 22 0 20 7 7
7
x
x y
C
x y
y

     
    
      

Vậy  
15 8 27 20
1;4 , ; , ; .
7 7 7 7
A B C
   
   
   
b) Gọi ,E F lần lượt là chân đường cao kẻ từ ,A B của tam giác .ABC
Đường thẳng  AE qua A và vuông góc với  : 1 0BC x y   có dạng:
0x y m   .
   1;4 1 4 0 5A AE m m        .
Đường thẳng  BF qua B và vuông góc với  : 2 5 22 0AC x y   có dạng:
5 2 0x y n    .
 
15 8 15 8 59
; 5 2 0
7 7 7 7 7
B BF n n
 
          
 
.
Suy ra phương trình đường thẳng  
59
: 5 2 0
7
BF x y    .
Gọi H AE BF  . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC . Tọa độ điểm H là
nghiệm của hệ phương trình
129
5 0
129 11649
; .59
116 49 495 2 0
7
49
x y x
H
x y
y

       
    
        
Vậy
129 116
; .
49 49
H
 
 
 
Ví dụ 3. Cho    1;2 , 3;4 .A B Xác định điểm C thuộc đường thẳng
 : 2 1 0d x y   sao cho tam giác ABC vuông tại .C
Phân tích
Điểm C thuộc  : 2 1 0d x y   nên tọa độ điểm C là  2 1;C t t . Tam giác
ABC vuông tại C khi và chỉ khi tích vô hướng của AC và BC bằng 0 . Từ đó, ta suy ra
được tọa độ điểm .C
Các bƣớc giải

48. 48
Bước 1.    : 2 1 0 2 1;C d x y C t t      ;
Bước 2. 2
. 0 5 14 8 0AC BC t t     . Giải phương trình này ta tìm được t, thay t
vào  2 1;C t t suy ra tọa độ C . Kết luận.
Bài giải
Ta có:    : 2 1 0 2 1;C d x y C t t      .
   2 ; 2 , 2 4; 4 .AC t t BC t t    
Tam giác ABC vuông tại C
2
2
. 0 5 14 8 0 4
5
t
AC BC t t
t

      
 

.
Vậy có hai điểm C thỏa yêu cầu bài toán  3;2C hoặc
3 4
; .
5 5
C
 
 
 
2.5. Các bài toán cực trị
Bài toán 1. Tìm trên đường thẳng  d những điểm M sao cho: 2 2
M MF ax by  lớn
nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp đại số hóa
Bước 1. Chuyển phương trình  d về dạng tham số;
Bước 2. Gọi  0 1 0 2; .M x u t y u t  Chuyển 2 2
M MF ax by  về biểu thức đại số  f t ;
Bước 3. Tìm Min, Max của  f t theo t (điều kiện để có dấu " " là 0t t );
Bước 4. Thế 0t vào tọa độ M . Suy ra điểm cần tìm.
Ví dụ. Tìm trên đường thẳng  : 2 3 0d x y   điểm M sao cho 2 2
M MF x y 
nhỏ nhất.
Phương trình tham số của đường thẳng  d là
1 2
1
x t
y t
 

 
 t R .
Ta có:    1 2 ;1M d M t t    .
   
2 22 2 2 9
1 2 1 5 2 2
5
M MF x y t t t t          .

49. 49
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
1
5
t  .
Suy ra
3 6
;
5 5
M
 
 
 
. Vậy tọa độ điểm
3 6
;
5 5
M
 
 
 
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài toán 2. Với ,A B là những điểm có tọa độ cho trước. Tìm trên đường thẳng  d
những điểm M sao cho: F MA MB  là nhỏ nhất.
Phương pháp
Sử dụng tính chất hình học tổng hợp.
Bước 1. Xét vị trí tương đối của A và B với  d ;
Bước 2. Nếu ,A B khác phía với  d . Gọi
'
M là giao điểm của AB với  d . Suy ra
MA MB AB  . Dấu “  ” xảy ra khi
'
M M .
Nếu ,A B cùng phía với  d . Gọi 1A là điểm đối xứng với A qua  d ,
'
M là giao điểm
của 1AB với  d , suy ra ' '
1 1MA MB MA MB AB M A M B      . Vậy  Min MA MB
khi M là giao điểm của 1AB và  d .
Bước 3. Quy về bài toán tương giao để tìm điểm .M

50. 50
Đại số hóa (tương tự bài toán 1).
Ví dụ. Tìm trên trục hoành điểm P sao cho PA PB nhỏ nhất. Với ,A B có tọa độ là
a)    1;1 , 2; 1 .A B 
b)    1;1 , 3;3 .A B
a) Ta có A và B nằm về hai phía so với trục hoành.
Đường thẳng  AB đi qua điểm  1;1A và có VTCP là  1; 2AB    VTPT
   2;1AB
n  .
Ptđt  : 2 3 0AB x y   .
Gọi Q Ox AB  . Tọa độ điểm Q là nghiệm của hệ phương trình
3
2 3 0 3
;0 .2
0 2
0
x y x
Q
y
y

      
    
    
Ta có: PA PB AB QA QB   
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi P Q . Suy ra
3
;0 .
2
P
 
 
 
Vậy
3
;0
2
P
 
 
 
thì PA PB nhỏ nhất.
b) Ta có: A và B nằm khác phía so với trục hoành.
Gọi '
A là điểm đối xứng của A qua trục hoành, suy ra  '
1; 1A  .
Đường thẳng  '
A B đi qua điểm  '
1; 1A  và có VTCP    '
2;4 2 1;2A B   
VTPT    '
2; 1A B
n   .
Ptđt  '
: 2 3 0.A B x y  
Gọi '
K AB Ox  . Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình
3
2 3 0
2
0
0
x y x
y
y

    
 
  
3
;0
2
K
 
  
 
.
Ta có: ' ' '
PA PB PA PB A B KA KB KA KB       
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi P K . Suy ra
3
;0
2
P
 
 
 
.
Vậy
3
;0
2
P
 
 
 
thì PA PB nhỏ nhất.

51. 51
CHƢƠNG 2
ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Phƣơng trình đƣờng tròn
Định lý 1
Trong mặt phẳng toạ độ  Oxy , cho đường tròn  C có
tâm  0 0;I x y và bán kính R . Ta có điểm  ;M x y thuộc đường
tròn  C khi và chỉ khi
   
2 2 2
0 0x x y y R    .  1
Định nghĩa: Phương trình  1 được gọi là phương trình đường tròn tâm  0 0;I x y
bán kính R .
Nhận xét: Trường hợp đặc biệt, nếu 0 0x  và 0 0y  thì phương trình  1 trở thành
2 2 2
x y R  . Đây là phương trình đường tròn có tâm là góc tọa độ O và bán kính R .
Định lý 2
Phương trình 2 2
2 2 0x y ax by c     , với điều kiện 2 2
a b c  , là phương trình
đường tròn tâm  ;I a b và bán kính 2 2
R a b c   .
Ngoài ra đường tròn  C còn có thể biểu diễn dưới dạng tham số là
 
cos
0;2
sin
x a R t
t
y b R t

 

 
.
1.2. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn
Định lý. Trên mặt phẳng toạ độ, đường thẳng tiếp
tuyến  d tại điểm  0 0;M x y trên đường tròn  C có tâm
 0 0;I x y và bán kính R là :
     0 0 0 0 0x a x x y b y y     
.
Nhận xét. Cho đường thẳng  : 0Ax By C    và đường tròn  C có tâm
 0 0;I x y và bán kính R . Khi đó
R
I
M
R
(d)
I
M

52. 52
  tiếp xúc  C    0 0
2 2
,
Ax By C
d I R R
A B
 
    

.
1.3. Phƣơng tích, vị trí tƣơng đối của điểm và đƣờng tròn
Định nghĩa. Cho đường tròn  C có tâm I , bán kính R và một điểm M cố định.
Một cát tuyến thay đổi đi qua M , cắt đường tròn tại hai điểm A và B . Khi đó tích .MAMB
được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn  C . Kí hiệu là  /M C
P
 
2 2
/
.M C
P MA MB IM R  
Nhận xét. Cho đường tròn  C có tâm I , bán kính R và điểm  0 0;M x y , khi đó ta
có
i.  /
0M C
P M  nằm ngoài đường tròn  ;C
ii.  /
0M C
P M  nằm trên đường tròn  ;C
iii.  /
0M C
P M  nằm trong đường tròn  ;C
iv. Hai đường thẳng ,AB CD phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng
, , ,A B C D ). Khi đó, nếu . .MAMB MC MD thì bốn điểm , , ,A B C D cùng thuộc một đường
tròn.
1.4. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng tròn
Cho đường tròn  C có tâm I , bán kính R và đường thẳng  d , khi đó ta có
i.     ,d I d R d  không cắt đường tròn  ;C
ii.     ,d I d R d  tiếp xúc đường tròn  ;C
iii.     ,d I d R d  cắt đường tròn  C tại hai điểm phân biệt.
Nhận xét. đường thẳng  d là tiếp tuyến của đường tròn  C khi và chỉ khi
  ,d I d R .
1.5. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn
1.5.1. Trục đẳng phƣơng của hai đƣờng tròn
Định lý. Cho hai đường tròn không đồng tâm    1 1 2 2; , ;O R O R lần lượt có phương
trình
2 2
1 1 12 2 0x y a x b y c     , với
2 2
1 1 1 0;a b c  