Đề tài: Phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
----------------------------------
VĂN BẢO NGÂN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG
CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: THS. TRẦN SƠN LÂM
Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng 5 năm 2017

2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công
trình nghiên cứu của tôi, các kết quả nghiên
cứu và số liệu thực nghiệm được nêu trong
khóa luận là trung thực và chưa từng được
công bố trong bất kì một công trình nào khác.
Tác giả khóa luận.
Văn Bảo Ngân

3
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến ThS. Trần Sơn Lâm –
thầy là người tận tình hướng dẫn cho tôi và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp tôi
hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này. Tôi đã học hỏi được từ thầy cách làm việc
khoa học và sự cẩn thận trong nghiên cứu toán học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm khoá luận đã dành
thời gian quý báu để xem xét và góp ý về khoá luận để tôi rút ra kinh nghiệm cho
quá trình nghiên cứu sau này.
Tôi vô cùng biết ơn và cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè đã luôn quan
tâm, động viên và khích lệ tinh thần tôi trong suốt thời gian thực hiện khoá luận.
Cuối cùng, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báo từ Quý Thầy, Cô cũng như
sự góp ý chân thành của các bạn.
Xin chân thành cảm ơn.
Tác giả khóa luận.
Văn Bảo Ngân

4
MỤC LỤC
Trang phụ bìa……………………………………………………………………...... 1
Lời cam đoan……………………………………………………………………...... 2
Lời cảm ơn………………………………………………………………………….. 3
Mục lục………………………………………………………………………….….. 4
Danh sách các chữ viết tắt………………………………………………………….. 7
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………... 8
1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………….... 8
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….….... 8
3. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………...9
4. Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………………... 9
NỘI DUNG……………………………………………………………….. 10
CHƯƠNG 1
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách…………………………………………………………………… 10
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng…………………………. 10
1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……………………………. 10
1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song……………….... 10
1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song………………………………. 11
1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……………………………. 11
1.5.1. Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung thứ nhất………………...11
1.5.1.1. Cạch 1.........................................................................................11
1.5.1.2. Cách 2…………………………………………….....................12
1.5.2. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng…..13
2. Góc.......................................................................................................................13
2.1. Góc giữa hai mặt phẳng……………………………………………………......13
2.1.1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng…………………………………13
2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau……………………13
2.1.3. Chú ý………………………………………………………………...14

5
2.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng…………………………………….... 14
2.2.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……………………14
2.2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………………...14
2.2.3. Chú ý…………………………………………………………….......14
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN
1. Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh của hình
chóp…………………………………………………………………………......15
1.1. Xét bài toán………………………………………………………….……..15
1.2. Áp dụng……………………………………………………………..............16
1.3. Chú ý……………………………………………………………….............18
2. Phân loại các dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình học không
gian………………………………………………………………….................. 19
2.1. Loại 1: Khoảng cách từ chân đường cao (tính từ đỉnh của hình chóp) đến
mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp......………………………..................19
2.2. Loại 2: Khoảng cách từ một điểm (khác chân đường cao của hình chóp) đến
mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp……………………….... 20
2.2.1. Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp...............................................20
2.2.2. Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp ……………………….......21
2.3. Loại 3: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa
đường cao của hình chóp…………………………………….......................23
2.4. Loại 4: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa chân đường cao của
hình chóp……………………………………………………........................23
3. Công thức tính các loại góc trong hình học không gian…………………….......25
3.1. Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (1) (công thức tính góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng)……………………………………………………………..................25
3.2. Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (2) (công thức tính góc giữa hai mặt phẳng cắt
nhau)…………………………………………………………………............25

6
CHƯƠNG 3
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Một số bài tập trong sách "Chinh phục các kỳ thi THPT trắc nghiệm môn Toán"
của NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2017…………………………..................27
1.1. Bài tập khoảng cách…………………………………………………............27
1.2. Bài tập góc…………………………………………………………..............33
2. Một số câu tính khoảng cách và góc trong đề thi thử của các trường THPT năm
2016……………………………………………………………………...............35
3. Bài tập thực tiễn ………………………………………………………………...48
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………………………… 51
PHỤ LỤC………………………………………………………………………….52
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………….. 62

7
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
THPT : Trung học phổ thông
GD-ĐT : Giáo dục – Đào tạo
NXB : Nhà xuất bản

8
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khoảng cách và góc là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học không
gian, đề tài này còn được ra trong các Kỳ thi THPT Quốc Gia, Kỳ thi học sinh giỏi
nhưng khi nhắc đến những câu tính khoảng cách và góc trong hình học không gian
thì nhiều học sinh khá ngại ngần vì phải vẽ thêm hình cũng như xác định khoảng
cách và xác định góc; thậm chí một số học sinh khá, giỏi chọn phương pháp gắn hệ
trục toạ độ để giải nhưng phương pháp này khá mất thời gian ảnh hưởng đến kết
quả bài thi của các em.
Vào ngày 28 tháng 9 năm 2016 Bộ GD-ĐT ra thông báo trong Kỳ thi tốt nghiệp
THPT Quốc Gia các môn Khoa học tự nhiên và Khoa học xã hội thi theo hình thức
trắc nghiệm khách quan (ngoại trừ môn Ngữ văn). Đặc biệt là môn Toán, vì trước
giờ các em đều trình bày theo phương pháp truyền thống là tự luận nên khi chuyển
đổi sang phương pháp trắc nghiệm các em gặp nhiều khó khăn, thậm chí một số học
sinh có ý định bỏ hẳn phần hình học không gian.
Là người giáo viên tương lai tôi trăn trở về vấn đề này nên chọn đề tài “Một số
phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian” để giúp các em
có hướng làm bài hiệu quả hơn mà vẫn rút ngắn được thời gian.
2. Mục đích nghiên cứu
“
Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian” là đề tài
giúp các em học sinh không còn e ngại giải các bài tập liên quan đến khoảng cách
và góc trong hình học không gian một cách hiệu quả trong thời gian ngắn nhất.
Hướng các em sử dụng máy tính cầm tay để hổ trợ tìm ra kết quả một cách hiệu quả
và nhanh nhất. Các máy tính cầm tay được phép mang vào phòng thi theo Quy định
của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
Lưu ý: Những công thức này chỉ có giá trị khi học sinh đã học qua bài toán khoảng
cách nghĩa là kiến thức này tương đối phù hợp với học sinh lớp 12 hơn.

9
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này tôi đã sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu trên
cơ sở đó tổng hợp và chứng minh các vấn đề nghiên cứu, đồng thời trình bày các
bài tập có liên quan và đã làm khảo sát phương pháp này đối với học sinh 11.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về nội dung liên quan đến “Khoảng cách và góc trong không gian”,
được thực nghiệm tại trường THPT Trần Khai Nguyên từ ngày 13/2/2017 đến ngày
8/4/2017.
Nội dung khóa luận gồm 3 chương
Chương 1. Lí thuyết về khoảng cách và góc trong không gian.
Chương 2. Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không
gian.
Chương 3. Bài tập áp dụng.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài khóa luận này nhưng vẫn còn nhiều
thiếu sót về kiến thức và kinh nghiệm. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp từ quý Thầy, Cô và các bạn sinh viên để khóa luận nghiên cứu của tôi được
hoàn chỉnh nhất.

10
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm 𝑂 và đường thẳng 𝑎. Trong mặt phẳng (𝑂, 𝑎)
gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝑂 lên 𝑎. Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng
cách từ điểm 𝑂 đến đường thẳng 𝑎. Kí hiệu là 𝑑(𝑂, 𝑎).
1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm 𝑂 và mặt phẳng (𝛼). Gọi 𝐻 là hình chiếu
vuông góc của 𝑂 lên (𝛼). Khi đó khoảng cách giữa
hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng cách từ điểm 𝑂
đến mặt phẳng (𝛼). Kí hiệu là 𝑑(𝑂, (𝛼)).
Phương pháp dựng khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.
𝐵1: Tìm một mặt phẳng ( 𝛽) qua điểm 𝑂 và vuông góc với mặt phẳng ( 𝛼).
𝐵2: Tìm giao tuyến Δ = ( 𝛼) ∩ ( 𝛽).
𝐵3: Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝑂 lên Δ thì : 𝑑(𝑂, ( 𝛼)) = 𝑂𝐻.
1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song
Cho đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼). Khoảng cách
giữa đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼) là khoảng cách
từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng 𝑎 đến mặt
phẳng (𝛼). Kí hiệu là 𝑑(𝑎, ( 𝛼)).

11
1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc
mặt phẳng này đến mặt phẳng đến mặt phẳng kia.
Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng (𝛼) và
(𝛽) song song nhau là 𝑑(( 𝛼), (𝛽)).Khi đó
𝑑(( 𝛼), (𝛽)) = 𝑑(𝑀, ( 𝛽)) với 𝑀 ∈ ( 𝛼) hay
𝑑(( 𝛼), (𝛽)) = 𝑑(𝑀′, ( 𝛼)) với 𝑀′ ∈ ( 𝛽).
1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai hai đường thẳng chéo nhau là độ
dài của đoạn vuông góc chung.
1.5.1. Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung
1.5.1.1. Cách 1: Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau
𝐵1: Dựng mặt phẳng (𝛼) chứa đường thẳng 𝑎 và song song với đường thẳng 𝑏.
𝐵2: Hạ hình chiếu vuông góc 𝑏′
của đường thẳng 𝑏 trên mặt phẳng ( 𝛼).
𝐵3: Đặt 𝐴 = 𝑎 ∩ 𝑏′

12
z𝐵4: Hạ hình chiếu vuông góc của điểm 𝐴 là 𝐵 lên đường thẳng 𝑏 thì 𝐴𝐵 là đoạn
vuông góc chung nên ta có 𝑑( 𝑎, 𝑏) = 𝐴𝐵.
1.5.1.2. Cách 2: Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau trong không gian và
( 𝑎, 𝑏) = 900
.
𝐵1: Tìm một mặt phẳng ( 𝛽) chứa đường thẳng 𝑏 và 𝑎 ⊥ ( 𝛽).
𝐵2: Đặt A = 𝑎 ∩ ( 𝛽).
𝐵3: Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝐴 lên 𝑏 thì : 𝑑( 𝑎, 𝑏) = 𝐴𝐻.

13
1.5.2. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau
𝐵1: Dựng mặt phẳng (𝛼) chứa đường thẳng 𝑎 và song song với đường thẳng 𝑏.
𝐵2: Ta có: 𝑑( 𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, ( 𝛼)) = 𝑑(𝑀, ( 𝛼)) (với 𝑀 là điểm thuộc đường thẳng 𝑏).
Như vậy nếu đề bài không yêu cầu dựng đoạn vuông góc chung mà chỉ tính khoảng
cách thì ta sẽ dựa vào phương pháp này để đưa bài toán về việc tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt, và ta sẽ xây dựng phương pháp cho loại khoảng cách này.
2. Góc
2.1. Góc giữa hai mặt phẳng
2.1.1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt
phẳng đó bằng 0°.
2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt
nhau
Giả sử hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) cắt nhau theo giao
tuyến là 𝑐. Từ một điểm 𝐼 bất kì nằm trên 𝑐 ta dựng
một đường thẳng 𝑎 nằm trong mặt phẳng
( 𝛼) vuông góc với 𝑐 và dựng một đường thẳng 𝑏
nằm trong mặt phẳng (𝛽) vuông góc với 𝑐. Góc
giữa hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) là góc giữa hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏.
2.1.3. Chú ý: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn [0; 90°].

14
2.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.2.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( 𝛼):
+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼) bằng 900
.
+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì góc giữa d và
hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng ( 𝛼) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng ( 𝛼).
2.2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau
Khi d không vuông góc với mặt phẳng ( 𝛼) và d
cắt (𝛼) tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên
d khác điểm O.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( 𝛼)
và 𝜑 là góc giữa d và ( 𝛼) thì 𝐴𝑂𝐻̂ = 𝜑.
2.2.3. Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng có giá trị trong đoạn [0; 90°].

15
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng chứa đỉnh của
hình chóp.
1.1. Xét bài toán: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Hãy
xác định khoảng cách từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng ( 𝑆𝐵𝐶).
Giải:
Theo cách giải của SGK:
Tìm mặt phẳng (𝛼) chứa điểm 𝐴 và vuông góc với mặt
phẳng (𝑆𝐵𝐶).
Tìm giao tuyến của (𝛼) và (𝑆𝐵𝐶).
Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝐴 lên giao tuyến.
Thì: 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) = 𝐴𝐻.
Trình bày:
Kẻ 𝐴𝐾 ⊥ 𝐵𝐶 tại 𝐾.
Ta có: 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝐾), suy ra ( 𝑆𝐵𝐶) ⊥ (𝑆𝐴𝐾).
Lại có: ( 𝑆𝐵𝐶) ∩ ( 𝑆𝐴𝐾) = 𝑆𝐾.
Kẻ 𝐴𝐻 ⊥ 𝑆𝐾 tại 𝐻.
Suy ra: 𝐴𝐻 ⊥ (𝑆𝐵𝐶)⟹ 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) = 𝐴𝐻.
Xét tam giác vuông 𝑆𝐴𝐾 ta có :
1
𝐴𝐻2
=
1
𝑆𝐴2
+
1
𝐴𝐾2
Ta có:
𝑆𝐴 là đường cao của hình chóp.
𝐴𝐾 là khoảng cách từ điểm 𝐴 đến 𝐵𝐶.
Vì vậy ta có công thức sau:

16
1
𝑑2(𝐴,(𝑆𝐵𝐶))
=
1
𝑆𝐴2
+
1
𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)
(1)
1.2. Áp dụng:
Bài 1: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑆𝐴 =
𝑎. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Tính 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)).
A.
𝑎√3
3
B.
𝑎√3
2
C.
𝑎√2
3
A.
𝑎√2
2
Giải:
Do 𝑆𝐴 vuông góc đáy nên suy ra 𝐴 là chân đường cao, (𝑆𝐵𝐶) đi qua đỉnh 𝑆 nên ta
có thể sử dụng công thức (1), lại có cạnh đáy (𝑆𝐵𝐶) là 𝐵𝐶 và tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam
giác vuông cân tại 𝐴 nên suy ra: 𝑑( 𝐴, 𝐵𝐶) =
𝑎
√2
Áp dụng công thức (1) ta có:
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
𝑎√3
3
chọn A.
Bài 2: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, cạnh bên 𝑆𝐴 = 𝑎 vuông góc với đáy. Tính
(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) biết tam giác 𝐴𝐵𝐶:
a) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều cạnh:
A.
𝑎√7
21
B.
𝑎√21
7
C.
𝑎
√7
D.
𝑎√7
3
Giải :
Do 𝑆𝐴 vuông góc đáy nên suy ra 𝐴 là chân đường cao, (𝑆𝐵𝐶) đi qua đỉnh 𝑆 nên ta
có thể sử dụng công thức (1), lại có cạnh đáy (𝑆𝐵𝐶) là 𝐵𝐶.
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều nên suy ra: 𝑑( 𝐴, 𝐵𝐶) =
𝑎√3
2
.
Áp dụng công thức (1) ta có:
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
𝑎√21
7
chọn B.

17
b) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎√3:
A.
𝑎√7
21
B.
𝑎√21
7
C.
𝑎
√7
D.
𝑎√7
3
Giải :
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎√3 suy ra độ dài đường cao góc
𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: 𝐴𝐻 =
1
√
1
𝐴𝐵2+
1
𝐴𝐶2
=
𝑎√3
2
. Suy ra: 𝑑( 𝐴, 𝐵𝐶) =
𝑎√3
2
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
𝑎√21
7
chọn B.
c) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại A và có 𝐵𝐴𝐶̂ = 120∘
, 𝐴𝐵 = 𝑎:
A.
𝑎√7
21
B.
𝑎√21
7
C.
𝑎
√7
D.
𝑎√5
5
Giải :
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại A và có 𝐵𝐴𝐶̂ = 120∘
, 𝐴𝐵 = 𝑎 suy ra độ dài đường cao góc
𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: =
2𝑆∆𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶
=
2
1
2
𝐴𝐵.𝐴𝐶.𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐶̂
√ 𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−2𝐴𝐵.𝐴𝐶.𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐶̂
=
𝑎
2
.
Suy ra: 𝑑( 𝐴, 𝐵𝐶) =
𝑎
2
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
𝑎√5
5
chọn D.
d) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√2, 𝐴𝐶 = 𝑎√5:
A.
𝑎√7
21
B.
𝑎√3
3
C.
𝑎
√7
D.
𝑎√5
5
Giải :
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√2, 𝐴𝐶 = 𝑎√5 suy ra độ dài đường cao góc
𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: 𝐴𝐻 =
2.𝑆∆𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶
Sử dụng công thức Heron ta có: 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =
𝑎2
2

18
Suy ra: 𝑑( 𝐴, 𝐵𝐶) =
𝑎
√2
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
𝑎√3
3
chọn B.
1.3. Chú ý: Công thức số (1) chỉ sử dụng để tính khoảng cách từ chân đường cao
(tính từ đỉnh của hình chóp) đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp.
Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′
𝐵′𝐶′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎,
𝐴′
𝐴𝐵𝐶 là hình chóp tam giác đều, gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴′
𝐴 = 2𝑎.
Tính khoảng cách từ 𝐺 đến các mặt phẳng:
𝑎)( 𝐴′
𝐵𝐶)
𝑏)(𝐵𝐶𝐶′
𝐵′
)
Giải:
a) Ở câu này mặt phẳng (𝐴′
𝐵𝐶)
đã đi qua đỉnh 𝐴′ nên ta áp dụng trực tiếp công
thức (1):
𝑑(𝐺, (𝐴′
𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝐴′ 𝐺2 +
1
𝑑2( 𝐺, 𝐵𝐶)
=
1
√
1
𝐴′ 𝐴2−(
√3
3
𝐴𝐵)
2+
1
(√3
6
𝐴𝐵)
2
=
𝑎√165
45
b) Ở câu này mặt phẳng (𝐵𝐶𝐶′
𝐵′
) không đi qua đỉnh 𝐴′ nên ta không áp dụng
công thức (1) ngay được, mà ta sẽ dựng một đường cao phụ như sau:
Dựng hình bình hành 𝐺𝐴′𝐶′𝐻 thì ta có 𝐻 nằm trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và
𝐺𝐴𝐶𝐻 cũng là một hình bình hành.
Ta có:
𝑑(𝐺, ( 𝐵𝐶𝐶′
𝐵′)) = 𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐶𝐶′)).
𝑁𝐺
𝑁𝐻

19
⟺ 𝑑(𝐺, ( 𝐵𝐶𝐶′
𝐵′)) = 𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐶𝐶′)).
𝐺𝑀
𝐶𝐻
⟺ 𝑑(𝐺, ( 𝐵𝐶𝐶′
𝐵′)) = 𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐶𝐶′)).
𝐺𝑀
𝐴𝐺
⟺ 𝑑(𝐺, ( 𝐵𝐶𝐶′
𝐵′)) =
𝑑(𝐻,(𝐵𝐶𝐶′))
2
Đối với 𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐶𝐶′)) ta đã có công thức (1).
𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐶𝐶′)) =
1
√
1
𝐶′ 𝐻2+
1
𝑑2(𝐻,𝐶𝐵)
𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐶𝐶′)) =
1
√ 1
𝐴′ 𝐺2 +
1
𝐶𝐻2
⟹ 𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐶𝐶′))
=
𝑎√11
6
Với bài tập trên ta có một phương pháp là dựng hình bình hành để tạo ra các đường
cao phụ nhằm hỗ trợ ta đổi các khoảng cách không áp dụng được công thức số (1)
về các khoảng cách áp dụng được (1).
2. Phân loại các dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình học
không gian
Việc phân loại dựa trên tư tưởng sử dụng công thức (1), áp dụng được và không áp
dụng được công thức (1).
2.1. Trường hợp 1: Khoảng cách từ chân đường cao (tính từ đỉnh của hình
chóp) đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp
Đối với các bài tập dạng này ta có thể áp dụng công thức (1) để làm bài.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵.
Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎. Tính khoảng
cách từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷).
[Học Kì II- Trần Quang Diệu – Quãng Ngãi- 2016]
Giải:

20
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐷)) =
1
√
1
𝑆𝐴2 +
1
𝑑2(𝐴, 𝐵𝐷)
=
1
√ 1
𝑆𝐴2 +
1
𝐴𝐵2 +
1
𝐴𝐷2
=
2
3
𝑎
Ví dụ 2: Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có cạnh bằng 𝑎. Tính khoảng cách
từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng ( 𝐵𝐷𝐴′).
[Học Kì II- Nguyễn Du – Hòa Bình-2016]
Giải:
𝑑(𝐴, ( 𝐴′𝐵𝐷)) =
1
√
1
𝐴𝐴′2 +
1
𝑑2(𝐴, 𝐵𝐷)
=
1
√ 1
𝐴𝐴′2 +
1
𝐴𝐵2 +
1
𝐴𝐷2
=
√3
3
𝑎
Bài tập tương tự:
1. Cho hình hộp đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có đáy là hình vuông, tam giác 𝐴′𝐴𝐶 vuông
cân, 𝐴′
𝐶 = 𝑎. Tính thể tích của khối tứ diện 𝐴𝐵𝐵′𝐶′ và khoảng cách từ điểm 𝐴 đến
mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷′) theo 𝑎.
[Câu 5, Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối D]
2. Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐷 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶). Biết 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 =
4𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 3𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 5𝑐𝑚. Tính khoảng cách từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷).
[Câu IV, Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2002, khối D]
2.2. Trường hợp 2: Khoảng cách từ một điểm (khác chân đường cao của hình
chóp) đến mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp
Vì mặt phẳng này không chứa chân đường cao của hình chóp nên ta sẽ sử dụng
công thức đổi khoảng cách để biến đổi liên tục khoảng cách đề bài cần tính về
khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng cần tính. Đối với bài tập rơi vào loại
này tôi chia làm 2 dạng:
2.2.1. Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp:
Ta sử dụng phương pháp này khi dễ dàng nhìn ra giao điểm giữa điểm cần tính
khoảng đến chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính khoảng cách; và
ta cũng dễ lập được tỉ số đồng dạng giữa khoảng cách cần tính và khoảng cách từ
chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính.

21
Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta xét ví dụ 3.
Ví dụ 3: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 2√2𝑎,
𝐴𝐶𝐵̂ = 30°. Hình chiếu vuông góc 𝐻 của đỉnh 𝑆 trên mặt đáy là trung điểm của
cạnh 𝐴𝐶 và 𝑆𝐻 = 2𝑎. Tính khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵).
[Học Kì II- Lê Quảng Chí – Hà Tĩnh-2016]
Giải:
Ta có 𝐻 là chân đường cao của hình chóp nên ta biến
đổi tính khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵)
về tính khoảng cách từ điểm 𝐻 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵).
Ta có: 𝐶𝐻 ∩ ( 𝑆𝐴𝐵) = 𝐴 nên
𝑑(𝐶,(𝑆𝐴𝐵))
𝑑(𝐻,(𝑆𝐴𝐵))
=
𝐶𝐴
𝐻𝐴
= 2
⇒ 𝑑(𝐶, ( 𝑆𝐴𝐵)) = 2𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐴𝐵)) = 2.
1
√
1
𝑆𝐻2+
1
𝑑2(𝐻,𝐴𝐵)
=
2.
1
√
1
𝑆𝐻2+
1
(
1
2
𝐶𝐵)
2
=
4√33
11
𝑎
1. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 2𝑎, 𝐴𝐶𝐵̂ =
300
. Hình chiếu vuông góc 𝐻 của đỉnh 𝑆 trên mặt đáy là trung điểm của cạnh 𝐴𝐶 và
𝑆𝐻 = √2𝑎. Tính theo 𝑎 thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 và khoảng cách từ điểm 𝐶 đến
mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵).
[Câu 6, Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015]
2. Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎. Hình chiếu vuông góc
của 𝐴′ trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm của cạnh 𝐴𝐵, góc giữa đường thẳng 𝐴′𝐶
và mặt đáy bằng 600
. Tính theo 𝑎 thể tích của khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′𝐵′𝐶′ và khoảng
cách từ điểm 𝐵 đến mặt phẳng (𝐴𝐶𝐶′
𝐴′
).
[Câu 6, Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014, khối B]

22
2.2.2. Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp:
Ta áp dụng phương pháp này khi sử dụng phương pháp dời trực tiếp không thể đưa
khoảng cách cần tính về dạng tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng
chứa đỉnh của hình chóp (nghĩa là ta vẫn thấy giao điểm giữa điểm cần tính khoảng
cách đến chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính khoảng cách, nhưng
việc lập tỉ số đồng dạng giữa khoảng cách cần tính và khoảng cách từ chân đường
cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính không dễ dàng).
Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta xét ví dụ 4.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật (𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝐷′
) có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông
cạnh 𝑎√2, 𝐴𝐴′
= 2𝑎. Gọi 𝐼 là điểm đối xứng của 𝐴 qua 𝐷, tính 𝑑(𝑀, (𝐷′
𝐶𝐼)) với
𝑀 là trung điểm 𝐴𝐴′.
Giải:
Nếu đổi trực tiếp tính khoảng cách từ điểm M về tính khoảng cách từ điểm D thì rất
khó xác định được tỷ số.
Ta đổi tính khoảng cách từ điểm 𝑀 về tính
khoảng cách từ điểm 𝐴′ rồi đổi từ tính khoảng
cách từ điểm 𝐴′ về tính khoảng cách từ điểm 𝐷.
Gọi 𝐸 = 𝐴𝐴′ ∩ 𝐼𝐷′
Ta có:
𝑑(𝑀, ( 𝐶𝐷′
𝐼)) = 𝑑(𝐴′
, ( 𝐶𝐷′
𝐼).
𝐸𝑀
𝐸𝐴′
⟺ 𝑑(𝑀, ( 𝐶𝐷′
𝐼)) = 𝑑(𝐷, (𝐶𝐷′
𝐼).
3
2
Ta có:
𝑑(𝐷, ( 𝐷′
𝐶𝐼) =
1
√
1
𝐷′ 𝐷2+
1
𝑑(𝐷,𝐶𝐼)2

23
=
1
√
1
𝐷𝐷′2 + 𝐷𝐶2 + 𝐷𝐼2
=
2√5
5
𝑎
Vậy: 𝑑(𝑀, ( 𝐶𝐷′
𝐼)) =
3√5
5
𝑎
Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thang, 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐵𝐴𝐷̂ = 900
, 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝑎,
𝐴𝐷 = 2𝑎. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎√2. Gọi 𝐻 là hình chiếu
vuông góc của 𝐴 trên 𝑆𝐵. Chứng minh tam giác 𝑆𝐶𝐷 vuông và tính (theo 𝑎)
khoảng cách từ 𝐻 đến mặt phẳng ( 𝑆𝐶𝐷).
[Câu V.b Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2007, khối B]
2.3. Trường hợp 3: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt
phẳng chứa đường cao của hình chóp
Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, hãy tính khoảng cách từ
điểm 𝐵 đến mặt phẳng ( 𝑆𝐴𝐶).
Giải:
Gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝐵 lên 𝐴𝐶 thì ta có:
𝑩𝑯 = 𝒅(𝑩, ( 𝑺𝑨𝑪)) hay 𝒅(𝑩, ( 𝑺𝑨𝑪)) = 𝒅(𝑩, 𝑨𝑪) (2)
Ta gọi đây là công thức tính khoảng cách số (2)
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật (𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝐷′
) có đáy
𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh √2 . Tính 𝑑(𝐴, (𝐵𝐷𝐷′
))?
Giải:
Ta có 𝐵𝐵′ là đường cao của hình chóp (𝐵′
𝐴𝐵𝐷) mà 𝐵𝐵′ ⊂ (𝐵𝐷𝐷′
) và 𝐴′ ∈ (𝐴𝐵𝐷)
nên áp dụng công thức khoảng cách số (2)
Ta có: 𝑑(𝐴, (𝐵𝐷𝐷′
)) = 𝑑(𝐴, 𝐵𝐷) =
𝑎
√2

24
2.4. Trường hợp 4: Khoảng cách từ một điểm thuộc đáy đến mặt phẳng chứa
chân đường cao của hình chóp
Cho lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′
𝐵′𝐶′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎, 𝐴′
. 𝐴𝐵𝐶 là
hình chóp tam giác đều, gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴′
𝐴 = 2𝑎. Tính
𝑑(𝐵, ( 𝐺𝐶𝐶′)).
Dựng hình bình hành 𝐺𝐴′𝐶′𝐻 thì ta có 𝐻 nằm trên
mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và 𝐺𝐴𝐶𝐻 cũng là một hình bình
hành.
Lúc này thay vì ta tính trực tiếp thì rất khó. Vì vậy ta
tiến hành đổi khoảng cách này sang tính khoảng
cách mà ta đã có công thức, cụ thể chính là tính
khoảng cách 𝑑(𝐻, ( 𝐺𝐶𝐶′)) đã có công thức (1)
Gọi 𝑁 là giao điểm của 𝐺𝐻 và 𝐵𝐶.
Ta có: 𝑑(𝐵, ( 𝐺𝐶𝐶′)) = 𝑑(𝑁, ( 𝐺𝐶𝐶′)).
𝐶𝐵
𝐶𝑁
Lại có: 𝑑(𝑁, ( 𝐺𝐶𝐶′)) = 𝑑(𝐻, ( 𝐺𝐶𝐶′)).
𝐺𝑁
𝐺𝐻
Nên: 𝑑(𝐵, ( 𝐺𝐶𝐶′)) = 𝑑(𝐻, ( 𝐺𝐶𝐶′)).
𝐺𝑁
𝐺𝐻
.
𝐶𝐵
𝐶𝑁
Lúc này ta có:
𝑑(𝐻, ( 𝐺𝐶𝐶)) =
1
√
1
𝐶′ 𝐻2 +
1
𝑑2(𝐻, 𝐺𝐶)
𝑑(𝐻, ( 𝐺𝐶𝐶)) =
1
√ 1
𝐴′ 𝐺2 +
1
𝐻𝐾2
Như vậy một bài toán khoảng cách trở thành một bài tập tính các độ dài trong hình
học phẳng
𝐺𝑁
𝐺𝐻
.
𝐶𝐵
𝐶𝑁
và 𝐻𝐾 là các độ dài hoàn toàn dễ tính bằng các công cụ như :
Thales, diện tích, tam giác đồng dạng,…

25
Bài tập tương tự (trường hợp 3 và trường hợp 4):
Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang cân, 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 =
𝐶𝐷 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑆𝐴 = 2𝑎 và 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶).
a) Tính khoảng cách từ 𝐵 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶).
b) Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝑆𝐷. Tính khoảng cách từ 𝐵 đến mặt phẳng (𝐴𝐼𝐶).
3. Công thức tính các loại góc trong hình học không gian
3.1. Công thức sin𝝋 số (1) (công thức tính góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng):
Cho đường thẳng AB không song song với mặt phẳng (𝑃), đặt 𝜑 là góc giữa 𝐴𝐵 và
mặt phẳng (𝑃), đặt 𝐶 = 𝐴𝐵 ∩ (𝑃). Thì ta có:
𝒔𝒊𝒏𝝋 =
𝒅(𝑨, ( 𝑷))
𝒅(𝑨, 𝑪)
=
𝒅(𝑩, ( 𝑷))
𝒅( 𝑩, 𝑪)
(𝟏)
Nếu 𝐴𝐵 ∩ ( 𝑃) = 𝐵 thì ta có: 𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑑(𝐴,(𝑃))
𝑑(𝐴,𝐵)
=
𝑑(𝐴,(𝑃))
𝐴𝐵
Chú ý: Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 đặt 𝜑 là góc giữa 𝐴𝐵 và mặt phẳng ( 𝐵𝐶𝐷)
Thì ta có:
𝒔𝒊𝒏𝝋 =
𝒅(𝑨, ( 𝑩𝑪𝑫))
𝑨𝑩
=
𝟑. 𝑽 𝑨𝑩𝑪𝑫
𝑨𝑩. 𝑺 𝑩𝑪𝑫
1. Cho hình chóp đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, biết 𝑆𝑂 = 3𝑎
với 𝑂 là giao điểm của 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷. Gọi 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝑆𝐴𝐵. Tính góc
được tạo bởi 𝐵𝐷 và mặt phẳng (𝐵𝐶𝐺).
2. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh , mặt bên (𝑆𝐴𝐵) là
tam giác đều. Gọi 𝐻 là trung điểm của các cạnh 𝐴𝐵. Tính số đo góc giữa 𝑆𝐶 và mặt
phẳng (𝑆𝐻𝐷).

26
3.2. Công thức sin𝝋 số (2) (công thức tính góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng):
Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 đặt 𝜑 là góc giữa mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và mặt phẳng ( 𝐵𝐶𝐷)
Thì ta có:
𝒔𝒊𝒏𝝋 =
𝒅(𝑨, 𝑩𝑪)
=
𝒅(𝑫, ( 𝑨𝑩𝑪))
𝒅( 𝑫, 𝑩𝑪)
(𝟐)
Với 𝐵𝐶 = (𝐴𝐵𝐶) ∩ (𝐵𝐶𝐷)
Tổng quát ta có:
𝒔𝒊𝒏𝝋 =
𝒅(𝑨, 𝑩𝑪)
=
𝟑𝑽 𝑨𝑩𝑪𝑫
𝟐𝑺 𝑩𝑪𝑫. 𝑺 𝑨𝑩𝑪
Chú ý: Ta có một công thức đổi khoảng cách như sau:
Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 ta có:
𝑑(𝐴, ( 𝐵𝐶𝐷))
𝑑(𝐵, ( 𝐴𝐶𝐷))
=
𝑑(𝐴, 𝐶𝐷)
𝑑(𝐵, 𝐶𝐷)
Trong đó: ( 𝐵𝐶𝐷) ∩ ( 𝐴𝐶𝐷) = 𝐶𝐷
Công thức này thực ra chính là công thức đổi đỉnh khi sử dụng công thức thể tích để
tính khoảng cách, tuy nhiên bằng công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (2) ta có thể dễ dàng chứng
minh nó mà không cần thông qua khái niệm thể tích của lớp 12.
Bài toán tương tự:
Cho hình chóp đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 tâm 𝑂 cạnh 𝑎. Góc giữa mặt bên
và mặt đáy là 600
. Gọi 𝐼, 𝐽 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶. Tính góc giữa hai
mặt phẳng:
a) (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐵𝐶).
b) (𝑆𝐴𝐽) và (𝑆𝐶𝐼).

27
CHƯƠNG 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Một số bài tập trong sách “Chinh phục các kỳ thi THPT trắc nghiệm môn
Toán” của NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2017
1.1. Bài tập khoảng cách
Câu 1: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, mặt bên 𝑆𝐴𝐵 là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khi đó, khoảng cách từ 𝐴 đến
mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) bằng
A.
𝑎√21
3
B.
𝑎√21
14
C.
𝑎√21
7
D.
𝑎√21
21
Giải
Ta có: {
𝐴𝑀 ∥ 𝐶𝐷
𝐴 ∈ 𝐴𝑀
⇒ 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐶𝐷)) = 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐶𝐷))
Ta có : 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
1
√
1
𝑆𝑀2+
1
𝑑2(𝑀,𝐶𝐷)
=
1
√
1
3
4
𝑎2
+
1
𝑎2
=
√21𝑎
7
⇒ 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
√21𝑎
7
Câu 2: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy
và 𝑆𝐴 = 2𝑎. Nếu điểm 𝑀 thuộc đoạn 𝐴𝐷 thì khoảng cách từ 𝑀 đến mặt phẳng
(𝑆𝐵𝐶) bằng
A.
𝑎√5
5
B.
2𝑎√5
5
C.
𝑎
5
D.
𝑎√6
3
Giải
Ta có: {
𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
𝑀 ∈ 𝐴𝐷
⇒ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐵𝐶)) = 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶))
Ta có : 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
1
√
1
4𝑎2+
1
𝑎2
=
2𝑎√5
5
⇒ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
2𝑎√5
5

28
Câu 3: Cho hình lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎. Hình chiếu
của 𝐴′ lên (𝐴𝐵𝐶) trùng với trung điểm 𝐻 của 𝐴𝐶. Biết 𝐴′𝐻 = 3𝑎. Khi đó, khoảng
cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng 𝐴𝐵𝐵′𝐴′ bằng
A.
6𝑎
7
B.
5𝑎
7
C.
3𝑎
7
D.
4𝑎
7
Giải
Ta có: 𝐶𝐻 ∩ ( 𝐴𝐵𝐵′
𝐴′) = 𝐴
⇒
𝑑(𝐶,(𝐴𝐵𝐵′ 𝐴′))
𝑑(𝐻,(𝐴𝐵𝐵′ 𝐴′))
=
𝐶𝐴
𝐻𝐴
= 2
Ta có :
𝑑(𝐻, ( 𝐴𝐵𝐵′
𝐴′)) =
1
√
1
𝐴′ 𝐻2+
1
𝑑2(𝐻,𝐴𝐵)
=
1
√
1
9𝑎2+
1
3
16
𝑎2
=
3𝑎
7
⇒ 𝑑(𝐶, ( 𝐴𝐵𝐵′
𝐴′)) =
6𝑎
7
Câu 4: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐵, 𝑆𝐴 vuông
với đáy. Biết 𝑆𝐴 = 𝑎 và 𝐴𝐵 = 𝑏. Khi đó, khoảng cách từ trung điểm 𝑀 của 𝐴𝐶 tới
mặt phẳng ( 𝑆𝐵𝐶) bằng
A.
𝑎𝑏
√𝑎2+𝑏2
B.
2𝑎𝑏
√𝑎2+𝑏2
C.
√3𝑎𝑏
√𝑎2+𝑏2
D.
𝑎𝑏
2√𝑎2+𝑏2
Giải
Ta có: 𝐴𝑀 ∩ ( 𝑆𝐵𝐶) = 𝐶
⇒
𝑑(𝑀,(𝑆𝐵𝐶))
𝑑(𝐴,(𝑆𝐵𝐶))
=
𝑀𝐶
𝐴𝐶
=
1
2
Ta có: 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
1
√
1
𝑎2+
1
𝑏2
=
𝑎𝑏
√𝑎2+𝑏2
⇒ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
𝑎𝑏
2√𝑎2+𝑏2
Câu 5: Cho tứ diện đều 𝐴𝐵𝐶𝐷 cạnh 𝑎. Gọi 𝑂 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
𝐵𝐶𝐷. Khoảng cách từ điểm 𝐷 đến mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) bằng

29
A.
𝑎√6
2
B.
𝑎√6
3
C.
𝑎√3
3
D.
𝑎√3
4
Giải
Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐵𝐶
Ta có: 𝐷𝑂 ∩ ( 𝐴𝐵𝐶) = 𝐼
⇒
𝑑(𝐷,(𝐴𝐵𝐶))
𝑑(𝑂,(𝐴𝐵𝐶))
=
𝐷𝐼
𝑂𝐼
= 3
Ta có: 𝑑(𝑂, ( 𝐴𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝐴𝑂2+
1
𝑑2(𝑂,𝐵𝐶)
=
1
√
1
2
3
𝑎2
+
1
1
12
𝑎2
=
√6
9
𝑎
⇒ 𝑑(𝐷, ( 𝐴𝐵𝐶)) =
√6
3
𝑎
Câu 6: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 ⊥ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷),
𝑆𝐴 = 𝑎. Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐷, khi đó khoảng cách từ điểm 𝐺 đến mặt
phẳng (𝑆𝐵𝐶) bằng
A.
𝑎√2
2
B.
𝑎
2
C.
𝑎√2
6
D.
𝑎√2
3
Giải
Ta có : 𝐴𝐺 ∩ ( 𝑆𝐵𝐶) = 𝐶
⇒
𝑑(𝐺,(𝑆𝐵𝐶))
=
𝐶𝐺
𝐶𝐴
=
2
3
Ta có : 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
=
1
√
1
𝑎2+
1
𝑎2
=
𝑎√2
2
⇒ 𝑑(𝐺, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
𝑎√2
3
Câu 7: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm 𝑂 cạnh 𝑎;
𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶 = 𝑆𝐷 = 𝑎√2. Gọi 𝑀 là trung điểm 𝑆𝐴. Khoảng cách từ điểm 𝑀
đến mặt phẳng(𝑆𝐵𝐶) bằng

30
A.
𝑎√42
14
B.
𝑎√6
2
C.
𝑎√42
28
D.
𝑎√42
7
Giải
Ta có: 𝑀𝐴 ∩ ( 𝑆𝐵𝐶) = 𝑆
⇒
𝑑(𝑀,(𝑆𝐵𝐶))
=
𝑆𝑀
𝑆𝐴
=
1
2
Ta có: 𝐴𝑂 ∩ ( 𝑆𝐵𝐶) = 𝐶
⇒
𝑑(𝑂,(𝑆𝐵𝐶))
=
𝐶𝐴
𝐶𝑂
= 2
⇒ 𝑑(𝑂, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝑆𝑂2+
1
𝑑2(𝑂,𝐵𝐶)
=
1
√
1
3
2
𝑎2
+
1
1
4
𝑎2
=
𝑎√42
14
⇒ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
𝑎√42
14
Câu 8: Cho hình lăng trụ 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm 𝑂 cạnh
𝑎 ; hình chiếu của 𝐴′ lên (𝐴𝐵𝐶𝐷) trùng với 𝑂 và 𝐴𝐴′
= 𝑎√2.
a) Khoảng cách từ điểm 𝐵′ đến mặt phẳng (𝐴′
𝐵𝐷) bằng
A.
𝑎√3
2
B.
𝑎√5
2
C.
𝑎
2
D.
𝑎√2
2
Giải
Dựng hình bình hành 𝑂𝐴′𝐵′𝐻′ thì 𝐻′ thuộc (𝐴𝐵𝐶𝐷)
⇒ 𝐵𝐴𝑂𝐻′ cũng là hình bình hành, vì 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
⇒ 𝑑(𝐵′
, ( 𝐴′
𝐵𝐷)) = 𝑑(𝐻′
, ( 𝐴′
𝐵𝐷))
Ta có : 𝑑(𝐻′, ( 𝐴′
𝐵𝐷)) = 𝑑( 𝐻′, 𝐵𝐷) = 𝑑( 𝐶, 𝐷𝐵) = 𝐶𝑂 =
𝑎√2
2
b) Lấy 𝑀 thuộc 𝐴𝐴′ sao cho 𝑀𝐴 =
3
2
𝑀𝐴′. Khoảng cách từ 𝑀 đến mặt phẳng
(𝐴′
𝐶𝐷) bằng
A.
𝑎√2
5
B.
𝑎
5
C.
𝑎√3
5
D.
2𝑎√2
5

31
Giải
Ta có: 𝐴𝑀 ∩ ( 𝐴′
𝐶𝐷) = 𝐴′
⇒
𝑑(𝑀,(𝐴′ 𝐶𝐷))
𝑑(𝐴,(𝐴′ 𝐶𝐷))
=
𝐴′ 𝑀
𝐴′ 𝐴
=
2
5
Ta có : 𝑑(𝐴, ( 𝐴′
𝐶𝐷)) = 𝑑( 𝐴, 𝐵𝐷) = 𝐴𝑂 =
𝑎√2
2
⇒ 𝑑(𝑀, ( 𝐴′
𝐶𝐷)) =
𝑎√2
5
Câu 9: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 = 𝑎√3 và
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trọng tâm 𝐺 của tam giác 𝑆𝐴𝐵 đến mặt phẳng
(𝑆𝐴𝐶) bằng
A.
𝑎√2
12
B.
𝑎
3
C.
𝑎√2
6
D.
2𝑎√2
3
Giải
Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵
Ta có : 𝑀𝐺 ∩ ( 𝑆𝐴𝐶) = 𝑆
⇒
𝑑(𝐺,(𝑆𝐴𝐶))
𝑑(𝑀,(𝑆𝐴𝐶))
=
𝑆𝐺
𝑆𝑀
=
2
3
Ta có : 𝑆𝐴 ∈ (𝑆𝐴𝐶)
⇒ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐴𝐶)) = 𝑑( 𝑀, 𝐴𝐶) =
1
2
.
1
√
1
𝐴𝐵2+
1
𝐵𝐶2
=
√2𝑎
4
⇒ 𝑑(𝐺, ( 𝑆𝐴𝐶)) =
𝑎√2
6
Câu 10: Hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang cân có hai đường chéo là
𝐴𝐶, 𝐵𝐷 vuông góc với nhau và 𝐴𝐷 = 2𝑎√2, 𝐵𝐶 = 𝑎√2. Hai mặt phẳng (SAC) và
(𝑆𝐵𝐷) cùng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) hợp với đáy một góc bằng 60°.
Khoảng cách từ trung điểm 𝑀 của 𝐴𝐵 đến mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) bằng
A.
2𝑎√15
5
B.
3𝑎√15
20
C.
3𝑎√15
10
D.
9𝑎√15
20

32
Giải
Đặt 𝐸 = 𝐴𝐵 ∩ 𝐶𝐷, vì 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 2. 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ nên 𝐵𝐶 là đường trung bình của tam giác 𝐴𝐸𝐷
⇒ 𝐵 là trung điểm 𝐴𝐸
⇒ 𝑀𝐵 =
3
2
𝐵𝐸
Gọi 𝜑 là góc giữa mặt phẳng ( 𝑆𝐶𝐷) và (𝐴𝐵𝐶𝐷) .
Ta có:
𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑑(𝐵, ( 𝑆𝐶𝐷))
𝑑(𝐵, 𝐶𝐷)
⟹ 𝑑(𝐵, ( 𝑆𝐶𝐷))
=
𝐷𝐵
𝐷𝑂
. 𝑑( 𝑂, 𝐶𝐷). 𝑠𝑖𝑛𝜑
⟹ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐶𝐷))
𝐸𝐵
𝐸𝑀
=
𝐷𝐵
𝐷𝑂
. 𝑑( 𝑂, 𝐶𝐷). 𝑠𝑖𝑛𝜑
⟹ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐶𝐷))
2
3
=
3
2
1
√ 1
𝑂𝐶2 +
1
𝑂𝐷2
. 𝑠𝑖𝑛60° ⟹ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
9𝑎√15
20
Câu 11: Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có đáy là hình thoi cạnh 𝑎, 𝐵𝐴𝐷̂ =
120°. Góc giữa đường thẳng 𝐴𝐶′ và mặt phẳng ( 𝐴𝐷𝐷′
𝐴′) bằng 30°. Gọi 𝑀, 𝑁 lần
lượt là trung điểm của 𝐵𝐵′, 𝐴′𝐷′. Khoảng cách từ điểm 𝑀 đến mặt phẳng (𝐴𝑁𝐶′
)
bằng
A.
3𝑎√102
34
B.
𝑎√102
17
C.
𝑎√21
7
D.
3𝑎√21
14
Giải:
Ta có: 𝑂𝐴 =
𝑎
2
, 𝑂𝐵 =
𝑎√3
2
Đặt 𝜑 là góc giữa 𝐴𝐶′ và (𝐴𝐷𝐷′
𝐴′
)
Ta có:
𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑑(𝐶′(𝐴𝐷𝐷′ 𝐴′)
𝐶′ 𝐴
=
𝑑(𝐶′,𝐴′ 𝐷′)
√𝐶𝐴2+𝐶𝐶′2
=
2𝑑(𝑂,𝐴𝐷)
√𝐶𝐴2+𝐶𝐶′2

33
⟺
1
2
=
2.
1
√ 1
𝑂𝐴2 +
1
𝑂𝐷2
√𝐶𝐴2 + 𝐶𝐶′2
⟹ 𝐶𝐶′
= 𝑎√2
Gọi 𝑃 là trung điểm 𝐵𝐶
⟹ 𝑑(𝑀, ( 𝐴𝑁𝐶′)) = 𝑑(𝑀, ( 𝐴𝑁𝐶′
𝑃))
Đặt 𝐾 = 𝐵𝐵′
∩ 𝐶′𝑃 thì 𝐵 là trung điểm 𝐵′𝐾
Ta có:
𝑑(𝑀, ( 𝐴𝑁𝐶′)) =
3
2
𝑑(𝐵, ( 𝐴𝑁𝐶′)) =
3
2
𝑑(𝐶, ( 𝐴𝑁𝐶′))
=
3
2
.
1
√
1
𝐶𝐶′2 +
1
𝑑( 𝐶, 𝐴𝑃)2
=
3
2
.
1
√
1
𝐶𝐶′2 +
1
𝑑( 𝐶, 𝐴𝑃)2
Mà : 𝑑( 𝐶, 𝐴𝑃) = 2𝑑( 𝑂, 𝐴𝑃) = 2
1
√
1
𝑂𝐴2+
1
(
𝑂𝐵
2
)
2
=
𝑎√21
7
Vậy : 𝑑(𝑀, ( 𝐴𝑁𝐶′)) =
3𝑎√102
34
1.2. Bài tập góc
Câu 1: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎. Đường thẳng 𝑆𝐴
vuông với mặt phẳng đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎. Góc giữa mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) và mặt phẳng
(𝐴𝐵𝐶𝐷) là 𝜑, khi đó 𝑡𝑎𝑛𝜑 nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
A. 𝑡𝑎𝑛𝜑 =
√3
3
B. 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 1 C. 𝑡𝑎𝑛𝜑 = √2 D. 𝑡𝑎𝑛𝜑 = √3
Giải
Ta có: ( 𝑆𝐶𝐷) ∩ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐶𝐷
⇒ 𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑑(𝑆,(𝐴𝐵𝐶𝐷))
𝑑(𝑆,𝐶𝐷)
=
𝑆𝐴
𝑆𝐷
=
𝑎
𝑎√2
=
1
√2
⇒ 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 1

34
Câu 2: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎. Đường thẳng 𝑆𝐴
vuông với mặt phẳng đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎. Gọi 𝛼 là góc giữa đường thẳng 𝑆𝐶 và mặt
phẳng (𝑆𝐴𝐵), khi đó 𝑡𝑎𝑛𝛼 nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
A. 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
1
√2
B. 𝑡𝑎𝑛𝛼 = √2 C. 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 1 D. 𝑡𝑎𝑛𝛼 = √3
Giải
Ta có : 𝑆𝐶 ∩ ( 𝑆𝐴𝐵) = 𝑆
⇒ 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
𝑑(𝐶,𝑆)
=
𝐵𝐶
𝑆𝐶
=
𝑎
𝑎√3
=
1
√3
⇒ 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
1
√2
Câu 3: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc
với đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎√6
a) Góc 𝛼 giữa 𝑆𝐵 và mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) thỏa mãn hệ thức nào sau đây
A. 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
√14
14
B. 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
√14
14
C. 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
√2
14
D. 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
√2
14
Giải
Ta có: 𝑆𝐵 ∩ ( 𝑆𝐴𝐶) = 𝑆
⇒ sin 𝛼 =
𝑑(𝐵,(𝑆𝐴𝐶))
𝑑(𝑆,𝐵)
Do 𝑆𝐴 ∈ ( 𝑆𝐴𝐶) nên :
𝑑(𝐵,(𝑆𝐴𝐶))
𝑑(𝑆,𝐵)
=
𝑑(𝐵,𝐴𝐶)
𝑆𝐵
=
√2
2
𝑎
𝑎√7
=
√14
14
b) Góc 𝛽 giữa 𝐴𝐶 và (𝑆𝐵𝐶) thỏa mãn hệ thức nào sau đây
A. 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
√21
7
B. 𝑠𝑖𝑛𝛽 =
√3
7
C. 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
√3
7
D. 𝑠𝑖𝑛𝛽 =
√21
7
Giải
Ta có: 𝐴𝐶 ∩ ( 𝑆𝐵𝐶) = 𝐶

35
⇒ 𝑠𝑖𝑛𝛽 =
𝑑(𝐴,𝐶)
=
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
𝐴𝐶
=
1
√
1
6𝑎2+
1
𝑎2
𝑎√2
=
√21
7
Câu 4: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, 𝑆𝐴
vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎. Nếu góc giữa 𝑆𝐶 và
mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 45° thì góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐷) và (𝑆𝐶𝐷) bằng
A. 60° B. 30° C. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
√6
3
) D. 45°
Giải
Ta có:
𝑠𝑖𝑛(𝑆𝐶, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)̂ ) =
𝑑(𝑆,𝐶)
=
𝑆𝐴
𝑆𝐶
=
𝑆𝐴
√𝑆𝐴2+𝐴𝐶2
⇔
√2
2
=
𝑆𝐴
√𝑆𝐴2+2𝑎2
⇒ 𝑆𝐴 = 𝑎√2
Gọi 𝛼 là góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐷) và (𝑆𝐶𝐷)
Ta có: ( 𝑆𝐴𝐷) ∩ ( 𝑆𝐶𝐷) = 𝑆𝐷
⇒ 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
𝑑(𝐴,(𝑆𝐶𝐷))
𝑑(𝐴,𝑆𝐷)
=
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
𝑑2(𝐴,𝐶𝐷)
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
𝐴𝐷2
=
1
√
1
2𝑎2+
1
2𝑎2
1
√
1
2𝑎2+
1
4𝑎2
=
√3
2
⇒ 𝛼 = 60°
2. Một số câu tính khoảng cách và góc trong đề thi thử của các trường THPT
năm 2016
Câu 1: Cho hình chóp đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 = 2𝑎, 𝐴𝐵 = 𝑎. Gọi 𝑀 là trung điểm của
cạnh 𝐵𝐶. Tính theo 𝑎 thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 và khoảng cách từ 𝑀 tới mặt phẳng
(𝑆𝐴𝐵).
[Trường Thpt Phú Xuyên B, Hà Nội]
Giải

36
Gọi 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶
Ta có:
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =
1
3
. 𝑆𝐺. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
3
√𝑆𝐴2 − 𝐴𝐺2. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
√11
12
𝑎3
Ta có: 𝑀𝐺 ∩ ( 𝑆𝐴𝐵) = 𝐴 ⇒
𝑑(𝑀,(𝑆𝐴𝐵))
𝑑(𝐺,(𝑆𝐴𝐵))
=
𝐴𝑀
𝐴𝐺
=
3
2
⇒ 𝑑(𝑀, ( 𝑆𝐴𝐵)) =
3
2
. 𝑑(𝐺, ( 𝑆𝐴𝐵)) =
3
2
.
1
√
1
𝑆𝐺2 +
1
𝑑2(𝐺, 𝐴𝐵)
=
√165
30
𝑎
Câu 2: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thoi với 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝑎.
Góc 𝐵𝐴𝐷̂ = 1200
. Các mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶), (𝑆𝐵𝐷) cùng vuông góc với đáy
(𝐴𝐵𝐶𝐷). Tính theo 𝑎 thể tích tứ diện 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 và góc giữa 𝑆𝐵 và (𝑆𝐶𝐷).
[Trường Thpt Nguyễn Khuyến, Tphcm]
Giải
Gọi 𝐼 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 ⇒ 𝑆𝐼 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷)
Ta có: 𝑆𝐼 = √𝑆𝐴2 − 𝐴𝐼2 =
𝑎√3
2
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
. 𝑆𝐼. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =
𝑎3
4
Ta có: 𝑆𝐵 ∩ ( 𝑆𝐶𝐷) = 𝑆
⇒ sin(𝑆𝐵, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
𝑑(𝐵,(𝑆𝐶𝐷))
𝑑(𝐵,𝑆)
=
2.𝑑(𝐼,(𝑆𝐶𝐷))
𝑆𝐵
Ta có:
𝑑(𝐼, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
1
√
1
𝑆𝐼2+
1
𝑑(𝐼,𝐶𝐷)2
=
1
√
1
𝐼𝑆2+
1
𝐼𝐶2+
1
𝐼𝐷2
=
√15
10
𝑎
𝑆𝐵 = √ 𝑆𝐼2 + 𝐵𝐼2 = √𝑆𝐼2 + ( 𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛600)2 =
√6
2
𝑎

37
⟹ sin(𝑆𝐵, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
√10
5
⟹ (𝑆𝐵, ( 𝑆𝐶𝐷)) ≈ 390
14′
Câu 3: Cho hình lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴 𝐵 𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐵 với
𝐴𝐵 = 2𝑎. Hình chiếu vuông góc của 𝐵 xuống mặt đáy (𝐴 𝐵 𝐶) là trung điểm 𝐻
của cạnh 𝐴 𝐵. Tính theo 𝑎 thể tích khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴 𝐵 𝐶 và khoảng cách từ 𝐶
đến mặt phẳng (𝐴 𝐵𝐶) biết góc giữa đường thẳng 𝐵𝐶’ và mặt phẳng (𝐴 𝐵 𝐶) bằng
450
.
[Trường Thpt Hàn Thuyên, Bắc Ninh]
Giải
Ta có: Góc giữa 𝐵𝐶′ và (𝐴′
𝐵′
𝐶′
) là góc
( 𝐵𝐶′
, 𝐻𝐶′) = 𝐵𝐶′𝐻̂ = 45°
⇒ 𝐵𝐻 = 𝑎√5
Ta có: 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ = 𝐵𝐻. 𝑆 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ = 2√5𝑎3
Ta có : 𝑑(𝐶′
, ( 𝐴′
𝐵𝐶)) = 𝑑(𝐵′
, ( 𝐴′
𝐵𝐶))
Lại có: 𝐵′
𝐻 ∩ ( 𝐴′
𝐵𝐶) = 𝐴′
⇒
𝑑(𝐵′,(𝐴′ 𝐵𝐶))
𝑑(𝐻,(𝐴′ 𝐵𝐶))
=
𝐴′𝐵′
𝐻𝐴′
= 2 (2)
⟹ 𝑑(𝐵′
, ( 𝐴′
𝐵𝐶)) = 2𝑑(𝐻, ( 𝐴′
𝐵𝐶))
Kẽ 𝐴′𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: 𝑑(𝐻, ( 𝐴′
𝐵𝐶)) = 𝑑(𝐻, ( 𝐵𝐸𝐴′))
=
1
√
1
𝐵𝐻2 +
1
𝑑( 𝐻, 𝐸𝐴′)2
=
1
√ 1
𝐵𝐻2 +
1
𝐻𝐴′2
=
√30
6
𝑎
⇒ 𝑑(𝐶′
, ( 𝐴′
𝐵𝐶)) =
√30
3
𝑎

38
Câu 4: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thoi cạnh 𝑎, 𝐴𝐵𝐶̂ = 600
.
Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy và cạnh bên 𝑆𝐶 tạo với mặt đáy một góc 600
.
Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐵𝐶, 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 lên 𝑆𝐼.
a) Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷.
b) Tính khoảng cách từ điểm 𝐻 đến mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) theo a.
[Trường Thpt Như Xuân, Thanh Hóa]
Giải
Ta có : (𝑆𝐶, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) = ( 𝑆𝐶, 𝐴𝐶) = 𝑆𝐶𝐴̂ = 60°
⟹ 𝑆𝐴 = 𝐴𝐶. 𝑡𝑎𝑛60° = 𝑎√3
Ta có: 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
. 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =
𝑎3
2
Ta thực hiện liên tiếp đổi khoảng cách từ H về A
𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐶𝐷)) = 𝑑(𝐼, ( 𝑆𝐶𝐷)).
𝑆𝐻
𝑆𝐼
=
𝑆𝐻
𝑆𝐼
. 𝑑(𝐵, ( 𝑆𝐶𝐷)).
𝐶𝐼
𝐶𝐵
=
𝑆𝐻.𝐶𝐼
𝑆𝐼.𝐶𝐵
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐶𝐷))
Ta có :
𝑆𝐻.𝐶𝐼
𝑆𝐼.𝐶𝐵
=
1
2
.
1
2
=
1
4
𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
𝑑(𝐴,𝐶𝐷)2
Lại có : 𝑑( 𝐴, 𝐶𝐷) =
𝑎√3
2
⇒ 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐶𝐷)) = 𝑎
√15
5
⇒ 𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐶𝐷)) = 𝑎
√15
20
Câu 5: Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴 𝐵 𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎, hình chiếu vuông
góc của 𝐴 trên (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm cạnh 𝐴𝐵, góc giữa đường thẳng 𝐴′𝐶 và mặt
đáy bằng 600
. Tính thể tích khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴 𝐵 𝐶 và tính khoảng cách từ 𝐵 đến
mặt phẳng (𝐴𝐶𝐶 𝐴).
[Trường Thcs&Thpt Nguyễn Viết Xuân, Phú Yên, 25/02/2016]

39
Giải :
Gọi 𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐵, ta có :
(𝐴′𝐶, ( 𝐴𝐵𝐶)) = ( 𝐴′
𝐶, 𝐶𝐻) = 𝐴′𝐶𝐻̂ = 60°
⟹ 𝐴′
𝐻 = 𝐻𝐶. 𝑡𝑎𝑛600
=
3𝑎
2
𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ = 𝐴′
𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
3√3
8
𝑎3
Ta có: 𝐵𝐻 ∩ ( 𝐴𝐶𝐶′
𝐴′) = 𝐴
⇒
𝑑(𝐻,(𝐴𝐶𝐶′ 𝐴′))
𝑑(𝐵,(𝐴𝐶𝐶′ 𝐴′))
=
𝐻𝐴
𝐵𝐴
= 2
⇒ 𝑑(𝐵, ( 𝐴𝐶𝐶′
𝐴′)) = 2. 𝑑(𝐻, ( 𝐴𝐶𝐶′
𝐴′)) = 2.
1
√
1
𝐴′ 𝐻2 +
1
𝑑2( 𝐻, 𝐴𝐶)
Ta có : 𝑑( 𝐻, 𝐴𝐶) =
1
2
𝑑( 𝐵, 𝐴𝐶) =
𝑎√3
4
⇒ 𝑑(𝐵, ( 𝐴𝐶𝐶′
𝐴′)) =
3√13
13
𝑎
Câu 6: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 𝑎,
𝐴𝐷 = 2𝑎, 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷). Tính theo 𝑎 thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 và khoảng
cách từ 𝐷 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝑀) với 𝑀 là trung điểm của 𝐶𝐷 biết góc giữa 𝑆𝐶 và
mặt phẳng chứa đáy là 𝛼 với 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
1
√5
.
[Trường Thpt Thuận Thành I, Bắc Ninh]
Giải
(𝑆𝐶, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) = ( 𝑆𝐶, 𝐴𝐶) = 𝑆𝐶𝐴̂ = 𝛼
⇒ 𝑆𝐴 = 𝑡𝑎𝑛𝛼. 𝐴𝐶 =
1
√5
. 𝐴𝐶 = 𝑎
Ta có: 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
2
3
𝑎3
Gọi 𝐼 = 𝐴𝐷 ∩ 𝐵𝑀
Ta có:
𝑑(𝐷,(𝑆𝐵𝑀))
𝑑(𝐴,(𝑆𝐵𝑀))
=
𝐷𝐼
𝐴𝐼
=
1
2

40
⇒ 𝑑(𝐷, ( 𝑆𝐵𝑀)) =
1
2
. 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝑀𝐵)) =
1
2
.
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
𝑑2(𝐴,𝐵𝑀)
𝑑( 𝐴, 𝐵𝑀) =
1
2
𝑑( 𝐷, 𝐵𝑀) =
1
2
.
1
√
1
𝐷𝐼2+
1
𝐷𝑀2
=
√17𝑎
17
⇒ 𝑑(𝐷, ( 𝑆𝐵𝑀)) =
√2
12
𝑎
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD
là hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
bằng 450
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc giữa đường thẳng SD
và mặt phẳng (SBC).
[Trường Thpt Triệu Sơn I, Thanh Hóa]
Giải
Gọi 𝜑 là góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) và (𝐴𝐵𝐶𝐷)
Ta có: ( 𝑆𝐶𝐷) ∩ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐶𝐷
𝑑(𝑆,𝐶𝐷)
=
𝑆𝐴
𝑆𝐷
=
𝑆𝐴
√𝑆𝐴2+𝐴𝐷2
⇒ 𝑆𝐴 = 3𝑎
Ta có: 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
. 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 12𝑎3
Ta có: 𝑆𝐷 ∩ ( 𝑆𝐵𝐶) = 𝑆
⇒ sin(𝑆𝐷, ( 𝑆𝐵𝐶)) =
𝑑(𝐷,(𝑆𝐵𝐶))
𝑑(𝐷,𝑆)
=
𝑆𝐷
=
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
𝑆𝐷
=
1
√
1
𝑆𝐴2+
1
𝐴𝐵2
𝑆𝐷
=
2√2
5
⇒ (𝑆𝐷, ( 𝑆𝐵𝐶)) ≈ 340
45′
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC vuông ở C
có AB = 2a, 𝐶𝐴𝐵̂ = 300
. Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính cosin của
góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).
[Trường Thpt Thạch Thành I, Thanh Hóa]
Giải

41
Gọi 𝜑 là góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC)
Ta có: 𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑑(𝐴,𝑆𝐵)
=
1
√
1
𝑆𝐴2 +
1
𝑑2(𝐴, (𝐵𝐶)
𝑑(𝐴, 𝑆𝐵)
=
1
√ 1
𝑆𝐴2 +
1
𝐴𝐶2
1
√ 1
𝑆𝐴2 +
1
𝐴𝐵2
=
√42
7
Từ sin2
𝜑 + cos2
𝜑 = 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
√7
7
( vì 𝜑 𝑛ℎọ𝑛)
Câu 9: Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C , đáy ABC là tam giác vuông tại A, =AC a,
2BC a và ' 3AA a . Tính thể tích của lăng trụ. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC và I là trung điểm cạnh AB, tính góc giữa đường thẳng IG và mặt phẳng
(ABC).
[Trường THCS – THPT M.V. Lômônôxốp, Hà Nội]
Giải:
Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵
Ta có: 𝑉𝐴𝐶𝐵.𝐴′𝐵′𝐶′ = 𝐴𝐴′
. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
3
2
𝑎3
Ta có :𝐼𝐺 ∩ ( 𝐴𝐵𝐶) = 𝐺
sin(𝐼𝐺, ( 𝐴𝐵𝐶)) =
𝑑(𝐼, ( 𝐴𝐵𝐶))
𝑑(𝐼, 𝐺)
=
𝑑(𝐴′
, ( 𝐴𝐵𝐶))
𝐼𝐺
=
𝐴𝐴′
√𝐼𝑀2 + 𝑀𝐺2
=
𝐴𝐴′
√𝐴𝐴′2 + 𝑀𝐺2
Ta có : 𝑀𝐺 =
1
3
𝐶𝑀 =
1
3
√𝐴𝐶2 + 𝐴𝑀2 =
𝑎√7
6
Vậy :sin(𝐼𝐺, ( 𝐴𝐵𝐶)) =
6√3
√115
⟹ (𝐼𝐺, ( 𝐴𝐵𝐶)) ≈ 9,29°
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB = 2a. Hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác

42
ABC, góc giữa SA và mặt phẳng ( )ABCD bằng 300
. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).
[Trường Thpt Yên Lạc, Vĩnh Phúc]
Giải
Ta có: sin(𝑆𝐴, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) =
𝑑(𝑆,𝐴)
=
𝑆𝐺
𝑆𝐴
=
𝑆𝐺
√𝑆𝐴2+𝐴𝐺2
⇒ 𝑆𝐺 =
2√15
9
𝑎
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
. 𝑆𝐺. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =
8𝑎3√15
27
Ta có: 𝐴𝐶 ∩ ( 𝑆𝐴𝐵) = 𝐴
⇒ sin(𝐴𝐶, ( 𝑆𝐴𝐵)) =
𝑑(𝐶,𝐴)
=
3.𝑑(𝐺,(𝑆𝐴𝐵))
𝐶𝐴
=
3.
1
√
1
𝑆𝐺2+
1
𝑑2(𝐺,𝐴𝐵)
𝐶𝐴
Ta có: 𝑑( 𝐺, 𝐴𝐵) = 𝑑( 𝑀, 𝐴𝐵).
𝐺𝐴
𝑀𝐴
=
2
3
𝑀𝐵 =
2
3
𝑎
Vậy : sin(𝐴𝐶, ( 𝑆𝐴𝐵)) =
√5
4
⟹ cos(𝐴𝐶, ( 𝑆𝐴𝐵)) =
√11
4
Câu 11: Cho hình chóp .S ABC có mặt phẳng ( )SAC vuông góc với mặt phẳng
( )ABC , 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 2𝑎 và 𝐴𝑆𝐶̂ = 𝐴𝐵𝐶̂ = 900
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SBC .
[Trường Thpt Chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội]
Giải.
Ta tính được 𝑆𝐶 = 𝐶𝐵 = 𝑎√3
Gọi H là hình chiếu của S lên AC thì 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶)
⟹ 𝑆𝐻 =
𝑎√3
2
, lại có 𝑆𝐻 = 𝐻𝐵, suy ra 𝑆𝐵 =
𝑎√6
2
Gọi 𝜑 là góc giữa hai mặt phẳng ( 𝑆𝐴𝐶) và ( 𝑆𝐵𝐶)

43
Ta có: ( 𝑆𝐴𝐵) ∩ ( 𝑆𝐵𝐶) = 𝑆𝐵
Ta có: 𝑆𝐵 = √𝑆𝐻2 + 𝐻𝐵2 = √2𝑆𝐻2 =
𝑎√6
2
𝑑(𝐶,(𝑆𝐵𝐴))
𝑑(𝐶,𝑆𝐵)
=
𝑑(𝐻,(𝑆𝐵𝐴)).
𝐶𝐴
𝐻𝐴
√ 𝑆𝐶2−(
𝑆𝐵
2
)
2
=
𝐶𝐴2
𝐻𝐴.𝐶𝐴
1
√
1
𝑆𝐻2+𝑑(𝐻,𝐴𝐵)2
√42
4
𝑎
Ta có : 𝑑( 𝐻, 𝐴𝐵) = 𝑑( 𝐶, 𝐴𝐵).
𝐻𝐴
𝐶𝐴
=
𝐻𝐴
𝐶𝐴
. 𝐶𝐵 =
𝐻𝐴.𝐶𝐴
𝐶𝐴2
. 𝐶𝐵 =
𝑆𝐴2
𝐶𝐴2
. 𝐶𝐵 =
1
4
. 𝑎√3
4.
1
√
1
(
𝑎√3
2
)
2
+(
𝑎√3
4
)
2
√42𝑎
4
=
4√70
35
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
√105
35
Câu 12: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵,
AD = 3. BC = 3√3a, AB = 2√2a. Tam giác 𝑆𝐴𝐵 đều trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷). Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 và góc tạo bởi đường
thẳng 𝑆𝐴 với mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷).
[Trường Thpt Trung Giã, Hà Nội]
Giải
Đặt 𝐹 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷
Ta có: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷
=
1
3
(2√2.
√3
2
𝑎) (
𝑎√3+3√3𝑎
2
) . 2√2𝑎 = 8𝑎3
Đặt 𝜑 là góc giữa 𝑆𝐴 và (𝑆𝐶𝐷)
Ta có : 𝑆𝐴 ∩ ( 𝑆𝐶𝐷) = 𝑆
𝑑(𝐴,(𝑆𝐶𝐷))
𝑑(𝐴,𝑆)
=
𝐴𝐹
𝐻𝐹
.𝑑(𝐻,(𝑆𝐶𝐷))
𝑆𝐴
𝐴𝐹
𝐻𝐹
=
𝐴𝐵+𝐵𝐹
𝐻𝐵+𝐵𝐹
=
𝐴𝐵+
𝐸𝐶.𝐵𝐶
𝐸𝐷
𝐻𝐵+
𝐸𝐶.𝐵𝐶
𝐸𝐷
=
2√2𝑎+2√2𝑎.
1
2
√2𝑎+2√2𝑎.
1
2
=
3
2

44
𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
1
√
1
𝑆𝐻2+𝑑(𝐻,𝐶𝐷)2
=
1
√
1
𝑆𝐻2+𝑑(𝐸,𝐶𝐷)2
=
1
√
1
𝑆𝐻2+
1
𝐸𝐶2+
1
𝐸𝐷2
=
2√6
3
𝑎
⟹𝑠𝑖𝑛𝜑 =
3
2
.
2√6
3
𝑎
2√2𝑎
=
√3
2
⟹ 𝜑 = 60°
Câu 13: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴, 𝐵𝐶 = 2𝑎, góc
𝐴𝐶𝐵̂ = 600
. Mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶), tam giác 𝑆𝐴𝐵 cân
tại 𝑆, tam giác 𝑆𝐵𝐶 vuông tại 𝑆. Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 và khoảng cách từ
điểm 𝐴 tới mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶).
[Sở Gd & Đt Thanh Hóa, Trường Thpt Lê Lợi]
Giải
Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵
Ta có: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. 𝑠𝑖𝑛60° = 𝑎√3 và
𝐻𝐶 = √𝐴𝐻2 + 𝐴𝐶2 =
𝑎√7
2
Bài toán giấu độ dài 𝑆𝐻 mà lại cho tam giác 𝑆𝐵𝐶 vuông tại 𝑆
Đặt độ dài cạnh 𝑆𝐻 là ℎ (ℎ > 0) , ta tính 𝑆𝐶 và 𝑆𝐵 theo h, cụ thể:
{
𝑆𝐶 = √ℎ2 +
7𝑎2
4
𝑆𝐵 = √ℎ2 +
3𝑎2
4
áp dụng định lý Pytagoes cho tam giác SBC ta được một
phương trình ẩn là ℎ từ đó ta tìm được ℎ
𝑆𝐶2
+ 𝑆𝐵2
= 𝐵𝐶2
⟺ 2ℎ2
+
5𝑎2
2
= 4𝑎2
⟺ ℎ =
𝑎√3
2
Ta có: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
3
𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
3
𝑎√3
2
1
2
𝑎2
√3 =
𝑎3
4
Ta có: 𝑑(𝐴, ( 𝑆𝐵𝐶)) = 2𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐵𝐶))

45
=
2
√
1
𝑆𝐻2+
1
𝑑(𝐻,𝐵𝐶)2
=
2
√
1
𝑆𝐻2+
1
(
1
2
𝑑(𝐴,𝐵𝐶))
2
=
2
√
1
𝑆𝐻2+4
1
(𝑑(𝐴,𝐵𝐶))
2
=
2
√
1
𝑆𝐻2+4(
1
𝐴𝐵2+
1
𝐴𝐶2)
=
𝑎√15
5
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, BC = a.
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB,
biết rằng SH = 2a. Tính theο a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (MAC), trong đó M là trung điểm của cạnh SB.
[Trường Thpt Hùng Vương, Bình Phước]
Giải
Ta có: 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =
1
3
. 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
3
𝑎3
Ta có: 𝐵𝐻 ∩ ( 𝑀𝐴𝐶) = 𝐴
⇒
𝑑(𝐵,(𝑀𝐴𝐶))
𝑑(𝐻,(𝑀𝐴𝐶))
=
𝐵𝐴
𝐻𝐴
= 2
⇒ 𝑑(𝐵, ( 𝑀𝐴𝐶)) = 2. 𝑑(𝐻, ( 𝑀𝐴𝐶)) =
2.
1
√
1
𝐺𝐻2+
1
𝑑2(𝐻,𝐴𝐶)
=
4𝑎
5
Câu 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh AB
= a, AA’ = 2a. Tính theο a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ A
đến (A’BC).
[Sở Giáo dục & Đào tạo Bình Phước Trường THPT Hùng Vương]
Giải
Ta có: 𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ = 𝐴𝐴′
. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
𝑎3
√3
2
Ta có: 𝑑(𝐴, ( 𝐴′
𝐵𝐶)) =
1
√
1
𝐴𝐴′
+
1
=
2𝑎√57
19
Câu 16: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC
= a và AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là trung điểm H của đoạn AB.

46
Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600
. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
[Trường Thpt Marie Curie, Tphcm]
Giải
Gọi 𝐸 là trung điểm 𝐴𝐷,ta có: 𝐶𝐸 =
𝐴𝐷
2
⇒ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐶𝐷
Ta có: (𝑆𝐶, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑆𝐶𝐻̂ = 60°
𝑆𝐻 = 𝐻𝐶. 𝑡𝑎𝑛600
= √𝐵𝐶2 + 𝐵𝐻2. 𝑡𝑎𝑛600
=
𝑎√15
2
⇒ 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
. 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =
𝑎3√15
2
𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
1
√
1
𝑆𝐻2+
1
𝑑(𝐻,𝐶𝐷)2
Ta có: 𝑑( 𝐻, 𝐶𝐷) = 𝑑( 𝐴, 𝐶𝐷).
𝐻𝐹
𝐴𝐹
=
3
4
𝑑( 𝐴, 𝐶𝐷) =
3
4
𝐴𝐶
⇒ 𝑑( 𝐻, 𝐶𝐷) =
3√2
4
𝑎 ⇒ 𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
3√65
26
𝑎
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo
với mặt đáy một góc 600
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và
SB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng
(DMN).
[Trường Thpt Đăkmil, Đăknông]
Giải
Ta có: 𝑆𝐴 = 𝐴𝐶. 𝑡𝑎𝑛60° = 𝑎√15
⇒ 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
3
2𝑎3√15
3
Ta có: 𝑑(𝑆, ( 𝐷𝑀𝑁)) = 𝑑(𝐴, ( 𝐷𝑀𝑁)) =
1
√
1
𝑀𝐴2+
1
𝑑(𝐴,𝐶𝐷)2

47
Ta có : 𝑀𝐴 =
1
2
𝑆𝐴 =
𝑎√15
2
; 𝑑( 𝐴, 𝐶𝐷) = 𝐴𝐷 = 2𝑎
Vậy : 𝑑(𝑆, ( 𝐷𝑀𝑁)) =
2√465
31
𝑎
Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng 60° . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN).
[Trường Thpt Việt Yên Ii, Bắc Giang]
Giải
Gọi 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶 ⇒ 𝑆𝐺 ⊥ (𝐴𝐵𝐶)
Ta có: (𝑆𝐵, ( 𝐴𝐵𝐶)) = ( 𝑆𝐵, 𝐺𝐵) = 𝑆𝐵𝐺̂ = 60°
𝑆𝐺 = 𝐺𝐵. 𝑡𝑎𝑛60° =
2
3
𝑑( 𝐺, 𝐴𝐶)√3 = 𝑎
Ta có: 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =
1
3
. 𝑆𝐺. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
√3
12
𝑎3
Ta có: 𝐶𝐺 ∩ ( 𝑆𝑀𝑁) = 𝑀
⇒
𝑑(𝐶,(𝑆𝑀𝑁))
𝑑(𝐺,(𝑆𝑀𝑁))
=
𝐶𝑀
𝐺𝑀
= 3
⇒ 𝑑(𝐶, ( 𝑆𝑀𝑁)) = 3. 𝑑(𝐺, ( 𝑆𝑀𝑁)) = 3.
1
√
1
𝑆𝐺2+
1
𝑑2(𝐺,𝑀𝑁)
Ta có: 𝑑( 𝐺, 𝑀𝑁) = 𝐺𝐵 −
1
2
𝑑( 𝐵, 𝐴𝐶) =
1
6
𝑑( 𝐵, 𝐴𝐶) = 𝑎
√3
12
Vậy : 𝑑(𝐶, ( 𝑆𝑀𝑁)) =
3
7
𝑎
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC =
4a và AB vuông góc với mặt phẳng (SBC). Biết SB = 2a 3 và 𝑆𝐵𝐶̂ = 300
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
[Sở Gd&Đt Bắc Giang Trường Thpt Ngô Sĩ Liên Lần 2]
Giải

48
Ta có: 𝑐𝑜𝑠300
=
𝑆𝐵
𝐵𝐶
⇒ ∆𝑆𝐵𝐶 vuông tại 𝑆
⇒ 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =
1
3
. 𝐴𝐵. 𝑆𝑆𝐵𝐶 = 2𝑎3
√3
Ta có: 𝑑(𝐵, ( 𝑆𝐴𝐶)) =
1
√
1
𝐴𝐵2+
1
𝑑2(𝐵,𝑆𝐶)
=
6𝑎√7
7
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên (SAB)
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuong góc của S trên mặt đáy
là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH = 2.AH. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là
600
. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
[Trường Thpt Chuyên Vĩnh Phúc Lần 2]
Giải:
Ta có: (𝑆𝐶, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) = ( 𝑆𝐶, 𝐶𝐻) = 𝑆𝐶𝐻̂ = 60°
𝐻𝐶 = √𝐵𝐶2 + 𝐻𝐵2 = √ 𝐵𝐶2 + (
2
3
𝐴𝐵)
2
=
10
3
𝑎
⟹ 𝑆𝐻 =
10√3
3
𝑎
𝑑(𝐻, ( 𝑆𝐶𝐷)) =
1
√
1
𝑆𝐻2 +
1
𝑑( 𝐻, 𝐶𝐷)2
=
1
√
1
(
10√3
3
𝑎)
2 +
1
42
=
20√37
37
𝑎
3. Bài tập thực tiễn
Bài 1: Nhà bạn An có một cái kho chứa đồ như hình vẽ, một hôm bạn An rủ bạn
Tuấn đá banh trong nhà kho này, cả 2 đứng vào mép tường 𝐴𝐵 và đá tới bức tường
𝐷𝐶𝐻𝐾, giả sử đường bay của trái banh là đường thẳng và luôn chạm được vào

49
tường, khoảng cách giữa mép tường 𝐴𝐵 và trái banh
là không đáng kể xem như trái banh nằm trên đường
thẳng 𝐴𝐵.
Hãy cho biết quãng đường ngắn nhất mà trái banh có
thể đi được, biết rằng 𝑀, 𝑁 là trung điểm 𝐴𝐷 và 𝐵𝐶,
𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật có 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 8𝑚,
𝐻𝑀 = 6𝑚.
Giải:
Bài toán chính là tìm khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng 𝐴𝐵 đến mặt phẳng
𝐷𝐶𝐻𝐾
Ta có : 𝑑(𝐴, ( 𝐷𝐶𝐻𝐾)) = 𝑑(𝑀, ( 𝐷𝐶𝐻𝐾)) =
1
√
1
𝐻𝑀2+
1
𝑀𝐷2
=
12√13
13
(𝑚)
Bài 2: Nhà bạn An có ý định xây một cái kho chứa
đồ có đáy là hình chữ nhật như hình vẽ. Biết rằng
bạn An muốn xây mặt tường 𝐻𝐷𝐶𝐾 là một hình
vuông có 𝐶𝐷 = 6𝑚, bạn An được bạn Minh tư vấn
là nên xây làm sao cho mặt tường 𝐻𝐷𝐶𝐾 hợp với
mặt phẳng 𝐿𝐵𝐶𝐻 một góc 900
thì nhà kho sẽ có
hình dạng rất cân đối và đẹp mặt, hỏi rằng bạn An
phải xây cột nhà kho 𝐻𝑀 cao bao nhiêu được?
Giải:
Ta có: ( 𝐻𝐷𝐶𝐾) ∩ ( 𝐿𝐵𝐶𝐻) = 𝐻𝐶
Gọi 𝜑 là góc giữa 2 mặt phẳng này thì 𝜑 = 90°
Ta có : 𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑑(𝐷,(𝐿𝐵𝐶𝐻))
𝑑(𝐷,𝐻𝐶)
=
𝑑(𝑀,(𝐿𝐵𝐶𝐻))
𝐶𝐷√2
2
⟹ 𝑑(𝑀, ( 𝐿𝐵𝐶𝐻)) = 3√2(𝑚)
Lại có: 𝑑(𝑀, ( 𝐿𝐵𝐶𝐻)) =
1
√
1
𝐻𝑀2+
1
𝑑(𝑀,𝐵𝐶)2
=
1
√
1
𝐻𝑀2+
1
𝐶𝐷2
⟹
1
√
1
𝐻𝑀2+
1
36
= 3√2

50
⟹ 𝐻𝑀 = 6𝑚
Bài 3: Thầy 𝑇 đang dự định xây dựng khung đu
dây cho các bé hàng xóm vui chơi. Địa điểm thầy
muốn làm là nhà thiếu nhi Quận 𝑋, nhà thiếu nhi
có dạng hình hộp như hình vẽ, thầy 𝑇 sẽ bắt một
điểm trên cạnh cột 𝐴𝐴′
sau đó kéo dây nối xuống
điểm 𝐶 để tạo dây đu cho các bé, biết rằng
𝐴𝐵 = 6𝑚, 𝐵𝐶 = 8𝑚. Để an toàn cho các bé thì
thầy 𝑇 dự định để dây hợp với mặt đáy một góc dưới 300
. Hỏi thầy 𝑇 phải chọn
điểm như thế nào trên cạnh cột 𝐴𝐴′ để đảm bảo an toàn cho các bé.
Giải:
Gọi 𝑑 là sợi dây sẽ bắt thì ta có (𝑑, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝜑 < 30°
Gọi 𝑀 là điểm sẽ chọn.
Ta có:
𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑑(𝑀,(𝐴𝐵𝐶𝐷))
𝑑(𝑀,𝐶)
<
1
2
⟹ 𝑑(𝑀, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) <
1
2
𝑑( 𝑀, 𝐶) =
1
2
√ 𝑑(𝑀, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷))
2
+ 𝐴𝐶2
Đặt 𝑡 = 𝑑(𝑀, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)). Ta có bất phương trình: 𝑡 <
1
2
√𝑡2 + 102 ⟺ 𝑡 <
10.√3
3
(𝑚)
Lại có: 𝑑(𝑀, ( 𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑀𝐴 <
10
3
. √3 ≈ 5,77(𝑚)
Vậy thầy T nên chọn điểm 𝑀 sao cho 𝑀𝐴 = 5,77𝑚 là hợp lý nhất cho việc xây
dựng.

51
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Tôi viết khóa luận này nhằm mục đích xây dựng một số mô hình tính khoảng cách
và góc và đưa ra hệ thống bài tập tương ứng với mô hình đó giúp các em học sinh
có những phương pháp làm bài tập hình học không gian hiệu quả mà vẫn tiết kiệm
thời gian.
Trong tương lai, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu phương pháp này phát triển theo hướng
tính khoảng cách và góc trong hình học không gian khi chưa có sẵn đường cao của
hình chóp. Nếu làm tốt công việc này, sẽ giúp cho việc học toán của học sinh trở
nên nhẹ nhàng hơn và giúp các em có kết quả tốt trong các lần thi học kỳ, thi tốt
nghiệp cũng như đại học.
Mặc dù đă cố gắng nhưng khóa luận chắc chắn vẫn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý Thầy, Cô và các
bạn.

52
PHỤ LỤC
Do trong quá trình thực tập tôi chỉ được phân công dạy hai lớp 11 gồm một lớp khối
𝐴1 (11A7) và một lớp khối 𝐷 (11A12) nên tôi chỉ thực hiện khảo sát ở hai lớp này.
Đề kiểm tra của lớp 11A7
Đề kiểm tra của lớp 11A12

53
Đối với lớp 11A12 tôi cho các em sử dụng phương pháp sách giáo khoa để giải và
cho các em làm 5 câu, còn lớp 11A7 tôi đã hướng dẫn phương pháp tính góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng, tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau nên trong bài làm
các em sẽ sử dụng phương pháp này để giải từ câu 4) đến câu 6).
Kết quả khảo sát:
Ở lớp 11A7 (40 học sinh)
 24 học sinh đạt 10 điểm
 8 học sinh đạt từ 8,5 đến 9,5 điểm
 1 học sinh 6 điểm
 1 học sinh 4 điểm
 6 học sinh luyện thi Olympic được miễn kiểm tra
Ở lớp 11A12 (35 học sinh)
 5 học sinh đạt 10 điểm

54
 22 học sinh đạt từ 7 đến 9 điểm
 5 học sinh dưới điểm trung bình
 3 học sinh luyện thi Olympic được miễn kiểm tra
Một số bài kiểm tra minh họa của học sinh:
 Lớp 11A7

62
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo khoa
“Hình học 11” (cơ bản), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên), sách giáo khoa
“Hình học 11” (nâng cao), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[3] Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo khoa “Bài tập Hình học 11” (cơ bản),
Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[4] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), “Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kí năng
môn Toán lớp 11”, Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[5] Cao Văn Tuấn – Lê Bá Bảo – Nguyễn Đỗ Chiến – Đặng Quang Hiếu – Nguyễn
Mạnh Hùng, “Chinh phục các kỳ thi THPT trắc nghiệm môn Toán”, Nhà Xuất Bản
Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2017.
[6] Các đề thi thử THPT của các trường năm 2016:
 Trường Thpt Phú Xuyên B, Hà Nội.
 Trường Thpt Nguyễn Khuyến, Tphcm.
 Trường Thpt Hàn Thuyên, Bắc Ninh.
 Trường Thpt Như Xuân, Thanh Hóa.
 Trường Thcs&Thpt Nguyễn Viết Xuân, Phú Yên.
 Trường Thpt Thuận Thành I, Bắc Ninh.
 Trường Thpt Triệu Sơn I, Thanh Hóa.
 Trường Thpt Thạch Thành I, Thanh Hóa.
 Trường Thcs&Thpt M.V. Lômônôxốp, Hà Nội.
 Trường Thpt Yên Lạc, Vĩnh Phúc.
 Trường Thpt Chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội.
 Trường Thpt Trung Giã, Hà Nội.
 Trường Thpt Lê Lợi, Thanh Hóa.
 Trường Thpt Hùng Vương, Bình phước.

63
 Trường Thpt Marie Curie, Tphcm.
 Trường Thpt Đăkmil, Đăknông.
 Trường Thpt Việt Yên II, Bắc Giang.
 Trường Thpt Ngô Sỹ Liên, Bắc Giang.
 Trường Thpt Chuyên Vĩnh Phúc.
[7] Các đề thi THPT, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng:
 Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015
 Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014, khối B.
 Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối D.
 Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2002, khối D.
 Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2007, khối B.

Đề tài: Phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Đề tài: Phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học

Similar to Đề tài: Phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học (20)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Đề tài: Phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học