Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
257 câu hệ phương trình
1. 1 Gi i h phương trình:
√
x+3
√
= y3 − 6
= z 3 − 25
bo
xm
ath
.
y+2
√
z+1
vn
257 Hệ Phương Trình từ BoxMath
= x3 + 1
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
√
√
Đ t a = x + 3, b = y + 2, c = z + 1 (a, b, c ≥ 0).
H phương trình tr thành
√
= b2 − 2
3
b = c2 − 1
3
a
c = a2 − 3
3
= b2 − 2
3
− 25 ⇔ b − c = c2 − 1
3
−6
+1
Ta có:
a
≥0
b
≥0
⇒
Suy ra:
2
a −3
3
+1>
√
a − b
c − a = a2 − 3
b2 − 2
3
3⇒
a
3
− a + 1 = h(a)
√
b
>
3
−3>
3
√
3−1>
1
2
1
3
(∗)
√
√
2
(b) = 3 b2 − 2 .2b − 1 > 3.1.2 3 − 1 > 0 ∀b > 3
√
√
2
g (c) = 3 c2 − 1 .2c − 1 > 3.22 .2 3 − 1 > 0 ∀c > 3
f
h
://
Ta có:
≥ 6 > 13
>
2
a
− c − 25 = g(c)
√
3
⇒
√
c > 3
≥ 25 > 23
3
c2 − 1
− b − 6 = f (b)
2
1 3 √
1 √
.2 3 − 1 > 3. .2 3 − 1 > 0 ∀a(∗)
(a) = 3 a − 3 .2a − 1 > 3.
2
2
Suy ra: f (b), g(c), h(a) là hàm đ ng bi n và f (2) = g(2) = h(2) = 0
Trư ng h p 1: a > 2 ⇒ h(a) > h(2) = 0 ⇒ c > a > 2 ⇒ g(c) > g(2) = 0 ⇒ b > c > 2 ⇒ f (b) >
f (2) = 0 ⇒ a > b > 2 ⇒ a > b > c > a. Suy ra trư ng h p a > 2 vô lý.
Trư ng h p 2: a < 2, lý lu n tương t ta suy ra đi u vô lý.
V y ta có:
a = 2 ⇒ c = a + h(a) = 2 ⇒ b = c + g(c) = 2
√
x = 1
x+3=2
√
a=b=c=2⇔
y + 2 = 2 ⇔ y = 2
√
z+1=2
z=3
2
htt
p
2
Th l i : x = 1, y = 2, z = 3 là nghi m c a h
V y h phương trình có 2 nghi m là: (x; y; z) = (1; 2; 3)
π
2 Gi i h phương trình:
1
1
= 2 (y 4 − x4 )
x 2y
1
+ 1 = (x2 + 3y 2 ) (3x2 + y 2 )
x 2y
−
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
boxmath.vn
1
2. Đi u ki n:
=0
=0
H phương trình tương đương v i
y
⇔
2
= 5y 4 x + x5 + 10x3 y 2
1 = 5x4 y + y 5 + 10x2 y 3
x5 + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3
⇔
+ 5xy 4 + y 5 = 2 + 1
x5 − 5x4 y + 10x3 y 2 − 10x2 y 3 + 5xy 4 − y 5 = 2 − 1
(x + y)5
⇔
⇔
bo
xm
ath
.
2
= 2y 4 − 2x4 + 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2
x
1
= 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2 − 2y 4 + 2x4
y
vn
L i gi i
x
=3
(x − y)5 = 1
√
x + y = 5 3
x − y
=1
√
5
3+1
=
√ 2
⇔
5
3−1
y =
2
x
√
5
3 Gi i h phương trình:
://
V y h phương trình đã cho có 1 nghi m là: (x; y) =
z 2
3+1
;
2
+ 2xyz = 1
2 2
√
5
3−1
2
(1)
2
3 4
3x y + 3xy = 1 + x y
z + zy 4 + 4y 3 = 4y + 6y 2 z
(2)
(3)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
htt
p
L i gi i
Vì z = 0 không là nghi m c a h phương trình nên:
(1) ⇔ xy =
1 − z2
2z
π π
Đ t z = tan ϕ (∗) v i ϕ ∈ − ,
{0}
2 2
Ta có:
1 − z2
1 − tan2 ϕ
xy =
=
= cot 2ϕ
2z
2 tan ϕ
Thay vào (2) ta đư c :
π
3cot2 2ϕ + 3y cot 2ϕ = 1 + ycot3 2ϕ ⇔ y =
3cot2 2ϕ − 1
1
=
= tan 6ϕ
3
cot 2ϕ − 3 cot 2ϕ
cot 6ϕ
Ta suy ra: x = cot 2ϕ. cot 6ϕ Thay vào (3) ta đư c :
boxmath.vn
z=
4 tan 6ϕ − 4tan3 6ϕ
= tan 24ϕ(∗∗)
1 − 6tan2 6ϕ + tan4 6ϕ
2
3. vn
T (∗)và (∗∗) ta có:
tan 24ϕ = tan ϕ
bo
xm
ath
.
⇔ 24ϕ = ϕ + kπ, k ∈ Z
kπ
, k∈Z
⇔ϕ=
23
π π
V iϕ∈ − ,
{0} ta thu đư c:
2 2
ϕ=±
π
2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10π 11π
,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,±
,±
23 23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
V y h phương trình có các nghi m là: (x; y; z) = (cot 2ϕ. cot 6ϕ; tan 6ϕ; tan ϕ)
π
2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10π 11π
v i ϕ = ± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,±
,±
23 23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
4 Gi i h phương trình:
x2
2
+ y 2 + xy = 37 (1)
+ z 2 + xz = 28
(2)
y + z 2 + yz = 19
(3)
x
2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
Ta có
(1) − (2) ⇒ y 2 − z 2 + x (y − z) = 9 ⇔ (y − z) (x + y + z) = 9 (4)
(2) − (3) ⇒ x2 − y 2 + z (x − y) = 9 ⇔ (x − y) (x + y + z) = 9 (5)
://
(4) − (5) ⇒ [(y − z) − (x − y)] (x + y + z) = 0 ⇔
x+y+z =0
y−z =x−y
Trư ng h p x + y + z = 0 ⇔ z = − (x + y). Thay vào h ta đư c:
x2
+ y 2 + xy = 37
2
x
+ y 2 + xy = 19
htt
p
x2 + y 2 + xy = 28 (vô nghi m)
=y+t
z
Trư ng h p: y − z = x − y = t ⇔
x
=y−t
Thay vào (4) ta đư c:
t (y + y + t + y − t) = 9 ⇔ ty = 3 ⇔ t =
3
y
(6)
Thay vào (3) ta đư c:
y 2 + (y − t)2 + y (y − t) = 19 ⇔ 3y 2 − 3ty + t2 = 19 ⇔ 3y 2 + t2 = 28
(7)
Thay (6) vào (7) ta đư c:
π
y 2 = 9 ⇔ y = ±3 ⇒ t = ±1
9
√
3y 2 + 2 = 28 ⇔ 3y 4 − 28y 2 + 9 = 0 ⇔
√
2
1
3
y
y = ⇔y=±
⇒ t = ±3 3
3
3
boxmath.vn
3
4.
y
=3
⇒
t = 1
y = −3
x
=4
z = 2
x =
⇒
−4
5 Gi i h phương trình:
1
4x+ 2 − 1
x
4
bo
xm
ath
.
= −1
z = −2
√
√
x = 10 3
y = 3
3√
3 ⇒
√
8 3
t = 3 3
z = −
3 √
√
x = − 10 3
y = − 3
3 ⇒
√ 3
√
8 3
t = −3 3
z =
3
V y h phương trình có 4 nghi m là:
√ √
√
√
√
√
(x; y; z) = (4; 3; 2) , (−4; −3; −2) , 103 3 ; 33 ; − 8 3 3 , − 103 3 ; − 33 ; 8 3 3
t
vn
Gi i t ng trư ng h p
1
4y+ 2 − 1 = 7.2x+y−1
(1)
+ 4y + 2x+y − 7.2x − 6.2y + 14 = 0 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
u
x
://
=2
(u > 0; v > 0)
Đ t:
v = 2y
Phương trình (2) tr thành u2 + (v − 7)u + v 2 − 6v + 14 = 0, có nghi m khi
∆ = (v − 7)2 − 4v 2 + 24v − 56 ≥ 0
7
3
M t khác vi t phương trình (2) dư i d ng v 2 + (u − 6)v + u2 − 7u + 14 = 0, có nghi m khi
⇔ −3v 2 + 10v − 7 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ v ≤
htt
p
∆ = (u − 6)2 − 4u2 + 28u − 56 ≥ 0
⇔ −3u2 + 16u − 20 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ u ≤
10
3
π
7
1
1
Phương trình (1) tương đương v i 2u − u 2v − v =
2
1
1
Xét hàm s : z = 2t − , t ≥ 1, có z = 2 + 2 > 0, ∀t ≥ 1
t
t
Do đó hàm s z đ ng bi n v i t ≥ 1
u ≥ 2 ⇒ 2u − 1 ≥ 7
u
2 ⇒ 2u − 1 2v − 1 ≥ 7
Khi đó:
u
v
2
1
v ≥ 1 ⇒ 2v − ≥ 1
v
u = 2
x = 1
D u b ng trong phương trình (1) x y ra khi
⇔
v = 1
y = 0
Vây h đã cho có 1 nghi m là : (x; y) = (1; 0)
boxmath.vn
4
5. vn
6 Gi i h phương trình:
√
log 2 + 2001x + 2004x = log 3 3 + 12 (2002x + 2003x )
2
3
√
log 2 + 2002x + 2003x = log 3 3 + 12 (2001x + 2004x )
3
2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
H phương trình tương đương v i
3log
⇔
2
bo
xm
ath
.
L i gi i
(2 + 2001x + 2004x ) = 2log3 [3 + 12 (2002x + 2003x )]
3log (2 + 2002x
2
3log (2 + 2001x
2
+ 2003x ) = 2log3 [3 + 12 (2001x + 2004x )]
+ 2004x ) = 2log3 [3 + 12 (2002x + 2003x )]
3log2 (2 + 2001x + 2004x ) + 2log3 [3 + 12 (2001x + 2004x )]
= 3log2 (2 + 2002x + 2003x ) + 2log3 [3 + 12 (2002x + 2003x )] (2)
Nên (I) ⇔
3log
2
://
Xét hàm s f (t) = 3log2 (2 + t) + 2log3 (3 + 12t) v i t ∈ (0; +∞)
24
3
Ta có: f (t) = (2+t) ln 2 + (3+12t) ln 3 > 0, ∀t ∈ (0; +∞) Suy ra f tăng trên (0; +∞)
M t khác: ∀x ∈ R, 2001x + 2004x > 0, 2002x + 2003x > 0
Do đó: (2) ⇔ 2001x + 2004x = 2002x + 2003x
Ta th y x = 0 là 1 nghi m c a (2) do 20010 + 20040 = 20020 + 20030
∀x ∈ R∗ , (2) ⇔ 2004x − 2003x = 2002x − 2001x Xét hàm s g (t) = tx v i x = 0 và t ∈ (0; +∞)
Hàm s g th a mãn đi u ki n c a đ nh lý Lagrange trên [2003; 2004] và [2001; 2002]
nên: ∃t1 ∈ (2003, 2004) : g (2004) − g (2003) = xtx−1 ⇔ 2004x − 2003x = xtx−1 v i t1 ∈ (2003; 2004)
1
1
x−1
x
x
Tương t : 2002 − 2001 = xt2 v i t2 ∈ (2001; 2002)
Do đó: 2004x − 2003x = 2002x − 2001x
x−1
⇔ xtx−1 = xtx−1 v i x = 0, (t1 ∈ (2003; 2004) ; t2 ∈ (2001; 2002)) ⇔ t1
=1⇔x=1
1
2
t2
(2 + 2001x + 2004x ) = 2log3 [3 + 12 (2002x + 2003x )]
∈ {0; 1}
Khi x = 0, ta có: 3log2 (2 + 2) = 2log3 27 (đúng) ⇒ x = 0 là 1 nghi m c a (I)
Khi x = 1 , ta có: 3log2 (2 + 2001 + 2004) = log2 (4007)3 và 2log3 [3 + 12 (2002 + 2003)] = log3 (48063)2
Do (4007)3 > (48063)2 ⇒ log3 (48063)2 < log2 (48063)2 < log2 (4007)3
Suy ra x = 1 không là nghi m c a (I)
V y h đã cho có nghi m duy nh t x = 0
htt
p
x
7 Gi i h phương trình:
1
√
x
√
1
1
+√ +√ =3 3
y
z
x + y + z = 1
xy + yz + zx =
(1)
(2)
7
+ 2xyz
27
(3)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
π
Đi u ki n: x > 0, y > 0, z > 0
1
K t h p v i (2): x + y + z = 1 ta th y trong các s x, y, z ph i có ít nh t 1 s không l n hơn 3 , không
m t tính t ng quát ta gi s z ≤ 1 . Do đó z ∈ 0; 1
3
3
Đ t S = xy + yz + zx − 2xyz = xy (1 − 2z) + z (x + y) = xy (1 − 2z) + z (1 − z)
1−z 2
1−z 2
x+y 2
1
Do xy ≤
=
nên S ≤
(1 − 2z) + z (1 − z) = 4 (−2z 3 + z 2 + 1)
2
2
2
boxmath.vn
5
6. Suy ra f (z) ≤ f
1
3
=
7
, ∀z
27
1
∈ 0; 3 Do đó: S ≤
7
27
D u
vn
Xét hàm s f (z) = 1 (−2z 3 + z 2 + 1).
4
1
1
Ta có f (z) = 4 (−6z 2 + 2z) = 2 z (−3z + 1) ≥ 0, ∀z ∈ 0; 1 .
3
= x y ra khi và ch khi: x = y, z =
bo
xm
ath
.
Thay vào (2) ta đư c: x = y = z = 1
3
1
Th l i ta th y (x; y; z) = 1 ; 3 ; 1 th a mãn h phương trình.
3
3
1 1 1
; ;
3 3 3
V y h phương trình có nghi m duy nh t (x; y; z) =
8 Gi i h phương trình:
x + y
4
1
3
2003
+ xy = z 2
2002
+ 2z 2
22004
4
x + y = 2z
(x + y)z−1 =
(I)
(z + 2004)x−y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
2003
= x + y ≥ 2x y ⇒ xy ≤ z 2 (1)
T h ta có: 2z
2004
2
⇒ x+y ≤
L i có: (x + y)2 ≤ 2 (x2 + y 2 ) ⇒ (x + y)4 ≤ 4(x2 + y 2 ) ≤ 4.2 (x4 + y 4 ) = 16z 2
2002
2z 2 (2)
2003
2002
T (1) và (2) cho ta: x + y + xy ≤ z 2
+ 2z 2
2002
D u = x y ra khi và ch khi: x = = z 2
y
2002
x=y=z=1
x = y = z2
(I) ⇔
⇔
1
1
(2x)z−1 = (z + 2004)x−y
x = y = ; z = ± 22002
√
2
2
22004
4
4
2 2
9 Gi i h phương trình:
://
V y h phương trình có 3 nghi m: (x; y; z) = (1; 1; 1) ,
(3 − x)2003
1
log3 2z−y
2
1 1
; ;±
2 2
1
√
22002
2
=y+2
1 √
+ log 1 (y + 2) = log √3 9 + 4y
(I)
3
log2 (x + z 2 ) = 2 + log2 x
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
htt
p
L i gi i
x
>0
Đi u ki n: 2z > y
y > −2
H phương trình tương đương v i
2003
(3 − x)
(3 − x)2003
=y+2
=y+2
− log3 (2z − y) − log3 (y + 2) = −log3 (9 + 4y) ⇔ (2z − y) . (y + 2) = 9 + 4y
2
log2 x2 + z 2 = log2 4x
x + z 2 = 4x
π
⇔
(3 − x)2003
(3 − x)2003
=y+2
= y + 2 (1)
2
y 2 + 9 + z 2 + 6y − 2yz − 6z = z 2 − 2z ⇔ (y + 3 − z) = z 2 − 2z (2)
− 4x + 4 = 4 − z 2
(x − 2)2 = 4 − z 2 (3)
2
x
N u (x0 , y0 , z0 ) là nghi m c a h ta có:
(x0 − 2)2 = 4 − z0 2 ⇒ 4 − z0 2 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ z0 ≤ 2
boxmath.vn
(4)
6
7.
x0
vn
(y0 + 3 − z0 )2 = z0 2 − 2z0 ⇒ z0 2 − 2z0 ≥ 0 ⇔ z0 ≤ 0 ∨ z0 ≥ 2 (5)
K t h p v i đi u ki n bài toán là z0 ≥ 0 v i và (5) ta có: z0 = 0 ∨ z0 = 2
(4)
x0 = 4
x0 = 0
không th a đi u ki n bài toán
∨
- V i z0 = 0 t (2) và (3) ta có
y = −3 y = −3
0
0
=2
y
bo
xm
ath
.
Th a mãn phương trình (1) và đi u ki n bài toán.
= −1
V y h phương trình có nghi m duy nh t là: (x; y; z) = (2; −1; 2) .
- V i z0 = 2 t (2) và (3) ta có
0
10 Gi i h phương trình:
x + y + z + t = 15
2
x + y 2 + z 2 + t 2 =
3
x
(1)
65
(2)
+ y 3 + z 3 + t3 = 315 (3)
xt = yz
(4)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
(2) ⇔ (x + t)2 + (y + z)2 − 2xt − 2yz = 65
⇔ (x + y + z + t)2 − 2(x + t)(y + z) − 4xt = 65(do(4))
⇔ (x + y + z + t)2 − 2(x + t) [15 − (x + t)] − 4xt = 65(do(1))
⇔ 152 − 2(x + t) [15 − (x + t)] − 4xt = 65
⇔ (x + t)2 − 15(x + t) − 2xt = −80 (5)
(3) ⇔ (x + t)3 + (y + z)3 − 3xt(x + t) − 3yz(y + z) = 315
://
⇔ (x + t)3 + (y + z)3 − 3xt(x + y + z + t) = 315(do(4))
⇔ (x + y + z + t)3 − 3(x + t)(y + z)(x + y + z + t) − 45xt = 315(do(1))
⇔ 153 − 45(x + t) [15 − (x + t)] − 45xt = 315
⇔ (x + t)2 − 15(x + t) − xt = −68 (6)
L y (6) tr (5), ta đư c: xt = 12
htt
p
Thay vào (5) ta đư c: (x + t)2 − 15(x + t) + 56 = 0 ⇔
Ta có h phương trình sau:
x + t
xt
Thay vào h (I) ta có:
y
= 12
+z =7
yz
= 12
Thay vào h (I) ta có: (I) ⇔
y
⇔
⇔
=6
t
=8
x
=2
y
=4
z
=3
+z =8
⇔
∨
y
x+t=8
x+t=7
=2
t
∨
x
=6
y
= 3 x + t = 7
z
= 4 xt = 12
=6
∨
y
⇔
x
=4
t
=3
∨
x
=3
t
=4
=2
z = 2 z = 6
= 12
V y h phương trình có các nghi m
(x; y; z; t) = (6; 4; 3; 2), (6; 3; 4; 2), (2; 4; 3; 6), (2; 3; 4; 6), (4; 6; 2; 3), (4; 2; 6; 3), (3; 6; 2; 4), (3; 2; 6; 4)
yz
π
11 Gi i h phương trình:
3
x
+ 4y = y 3 + 16
1 + y 2
(1)
= 5 (1 + x2 ) (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
boxmath.vn
7
8. 2
(2) ⇔ y − 5x = 4 (3)
Thay vào (1) ta có:
x=0
x2 − 5xy − 16 = 0
bo
xm
ath
.
x3 + y 2 − 5x2 y = y 3 + 16 ⇔ x3 − 5x2 y − 16x = 0 ⇔
vn
L i gi i
2
x = 0 ⇒ y 2 = 4 ⇔ y = ±2
x2 − 16
5x
x2 − 5xy − 16 = 0 ⇔ y =
x2 − 16
5x
⇔
2
− 5x2 = 4 ⇔ 124x4 + 132x2 − 256 = 0 ⇔ x2 = 1
x = 1 ⇒ y = −3
x = −1 ⇒ y = 3
V y h phương trình đã cho có 4 nghi m là: (x; y) = (0; ±2) , (1; −3) , (−1; 3)
12 Gi i h phương trình:
2 2
x y
3
2x
− 2x + y 2 = 0
(1)
+ 3x2 + 6y − 12x + 13 = 0 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
://
(1) ⇔ 2x = x2 y 2 + y 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0
2x
(1) ⇔ y 2 x2 + 1 = 2x ⇔ y 2 = 2
≤ 1 ⇒ −1 ≤ y ≤ 1
x +1
(2) ⇔ 2x3 + 3x2 − 12x + 7 + 6y + 6 = 0
⇔ (x − 1)2 (2x + 7) + 6 (y + 1) = 0
htt
p
Ta có: (x − 1)2 (2x + 7) ≥ 0 (do x ≥ 0 ⇒ 2x + 7 > 0)
6 (y
D u
+ 1) ≥ 0 (−1 ≤ y ≤ 1)
= x y ra khi và ch khi
(x − 1)2 (2x + 7)
=0
+1=0
Th l i ta th y x = 1, y = −1là nghi m c a h
V y h phương trình có 1 nghi m là: (x; y) = (1; −1)
⇒ (x − 1)2 (2x + 7) + 6 (y + 1) ≥ 0
⇔
y
x
=1
y
= −1
13 Gi i h phương trình:
3
x (2 + 3y)
x (y 3
=1
− 2) = 3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
1
= 3 (1)
x
(I) ⇔
(do x = 0 không là nghi m c a h )
3
3
y − 2 = (2)
x
π
2 + 3y
boxmath.vn
8
9. vn
L y (1) + (2) v theo v ta đư c:
1
1
3
1
+ ⇔ y3 − 3 + 3 y −
=0
3
x
x
x
x
1
1
1
1
y
y
y2 + 2 +
+3 y−
=0⇔ y−
y2 + 2 + + 3 = 0
x
x
x
x
x
x
3
1 2
1
+ 2 +3 =0⇔y =
y+
2x
4x
x
1
x
1
⇔ y−
x
⇔ y−
bo
xm
ath
.
y 3 + 3y =
Thay vào (2) ta đư c :
1
x3
−2=
3
x
⇔ 2x3 + 3x2 − 1 = 0 ⇔
V y h phương trình có 2 nghi m là: (x; y) = (−1; −1) ,
14 Gi i h phương trình:
√ 1
1+2x2
+√
1
1+2y 2
x (1 − 2x) +
=
x = −1 ⇒ y = −1
1
x= ⇒y=2
2
1
;2
2
√ 2
1+2xy
y (1 − 2y) =
2
9
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
x (1 − 2x)
1
2
ĐK: y (1 − 2y) ≥ 0 ⇔
1
0 ≤ y ≤
1 + 2xy > 0
2
≥0
0
≤x≤
√
(α) V i ĐK (α) ta có BĐT :
1
1
2
+√
≤√
2
2
1 + 2xy
1 + 2y
1 + 2x
://
Theo BCS ta có:
(∗)
2
1
1
1
1
√
+√
≤2
+
(1)
1 + 2x2 1 + 2y 2
1 + 2y 2
1 + 2x2
√
= ⇔ 1 + 2x2 = 1 + 2y 2 ⇔ x = y (do x,y ≥ 0)
1
1
2
2(y − x)2 (2xy − 1)
+
−
=
≤ 0 (doα)
1 + 2x2 1 + 2y 2 1 + 2xy
(1 + 2x2 ) (1 + 2y 2 ) (1 + 2xy)
1
2
1
+
≤
(2)
⇒
2
2
1 + 2x
1 + 2y
1 + 2xy
htt
p
Ta có:
D u = x y ra khi và ch khi x = y T (1) và (2) ta có BĐT (∗) D u = x y ra khi và ch khi x = y
Ta có h phương trình:
√
9 − 73
x = y
x = y =
36
√
⇔
2
x (1 − 2x) + x (1 − 2x) =
9 + 73
x=y=
9
36
V y h phương trình có 2 nghi m là: (x; y) =
√
√
9− 73 9− 73
; 36
36
,
√
√
9+ 73 9+ 73
; 36
36
π
15 Gi i h phương trình:
3
4x
3
y
+ 3xy 2 = 7y
+ 6x2 y = 7
(1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
boxmath.vn
9
10. Ta có: x = y = 0 không là nghi m c a h
(2) ⇔ y (y 2 + 6x2 ) = 7 > 0 ⇒ y > 0
(1) ⇔ x (4x2 + 3y 2 ) = 7y > 0 ⇒ x > 0
bo
xm
ath
.
(1) − (2) ⇒ 4x3 + 3xy 2 − y 3 − 6x2 y = 7 (y − 1)
vn
L i gi i
⇔ (x − y) 4x2 − 2xy + y 2 = 7 (y − 1) (3)
Ta suy ra x − y, y − 1 cùng d u
Ta có: 4x2 − 2xy + y 2 = 3x2 + (x − y)2 > 0 (do x, y > 0)
N u: 0 < y < 1 ⇒ y − 1 < 0 ⇒ x − y < 0 ⇒ 0 < x < y < 1 ⇒ y 3 + 6x2 y < 7(mâu thu n v i (2))
N u: y > 1 ⇒ y − 1 > 0 ⇒ x − y > 0 ⇒ x > y > 1 ⇒ y 3 + 6x2 y > 7 (mâu thu n v i (2))
Nên y = 1 thay vào (2) ta suy rax = 1
V y h phương trình có 1 nghi m là: (x; y) = (1; 1)
16 Gi i h phương trình:
x3 + y 3 + x2 (y + z) = xyz + 14 (1)
3
y
3
z
+ z 3 + y 2 (x + z) = xyz − 21
(2)
+ x3 + z 2 (x + y) = xyz + 7
(3)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
L i gi i
(1) + (2) + (3) ⇒ x3 + y 3 + z 3 + x2 + y 2 + z 2 (x + y + z) = 3xyz
://
⇔ (x + y + z)3 − 3 (x + y + z) (xy + yz + zx) + x2 + y 2 + z 2 (x + y + z) = 0
⇔ (x + y + z) x2 + y 2 + z 2 − (xy + yz + zx) + x2 + y 2 + z 2 = 0
⇔
x2 + y 2 + z 2 − (xy + yz + zx) + x2 + y 2 + z 2 = 0 (∗)
x + y + z = 0 (∗∗)
TH (∗) ta có:
+ y 2 + z 2 − (xy + yz + zx) ≥ 0
x2
+ y2 + z2 ≥ 0
htt
p
x2
⇒ V T(5) ≥ 0
D u = x y ra khi: x = y = z = 0
TH(∗∗) : x + y + z = 0 ⇔ z = − (x + y)
Thay vào (1) và (3) ta có h phương trình sau:
y3
x3
Xét x = 0
+ xy (x + y) = 14
+ xy (x + y) = 7
(I) ⇔
y3
0
= 14
=7
(I)
(vn)
π
Xét x = 0 Đ t: y = kx ta có:
boxmath.vn
(I) ⇔
x3
k 3 + k 2 + k = 14 (4)
3
x
k 2 + k + 1 = 7 (5)
10