Chuyên đề luyện thi Đại học 2014

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
KHẢO SÁT HÀM SỐ
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP

:………………………………………………………………….

TRƯỜNG

:…………………………………………………………………

HÀ NỘI, 8/2013

GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

www.VNMATH.com

CHUYÊN ĐỀ:
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ))
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ))
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I
3.Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f '(x ) = 0, ∀x ∈ I , ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp: Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y′. Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài tập cơ bản
HT 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
1) y = x 3 − 2x 2 + x − 2

2) y = (4 − x )(x − 1)2

3) y = x 3 − 3x 2 + 4x − 1
6) y =

4) y =

1 4
x − 2x 2 − 1
4

5) y = −x 4 − 2x 2 + 3

7) y =

2x − 1
x +5

8) y =

10) y = x + 3 + 2 2 − x

x −1
2 −x

11) y =

2x − 1 − 3 − x

1 4
1
x + x2 − 2
10
10

9) y = 1 −

1
1−x

12) y = x 2 − x 2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 1


0968.393.899

Dạng toán2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định
(hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số y = f (x, m ) , m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y ' = ax 2 + bx + c thì:

a = b = 0



c ≥ 0



• y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 

a > 0

∆ ≤ 0



a = b = 0



c ≤ 0


• y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 


a < 0

∆ ≤ 0



3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g (x ) = ax 2 + bx + c :

• Nếu ∆< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = −

b
)
2a

• Nếu ∆> 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm
thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x1, x 2 của tam thức bậc hai g (x ) = ax 2 + bx + c với số 0:

∆ > 0



• x1 < x 2 < 0 ⇔ P > 0


S < 0




∆ > 0



• 0 < x1 < x 2 ⇔ P > 0 • x1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0


S > 0




5) Để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước
sau:

• Tính y′.
• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

a ≠ 0

(1)

∆
 >0

• Biến đổi x1 − x 2 = d thành (x1 + x 2 )2 − 4x1x 2 = d 2

(2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
HT 2. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

3) y =
HT 3.

x +m
x −m

2) y =

x 3 mx 2
−
− 2x + 1
3
2

4) y =

1) y = x 3 − 3mx 2 + (m + 2)x − m

mx + 4
x +m

Tìm m để hàm số:

1) y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
2) y =

1 3 1
x − mx 2 + 2mx − 3m + 1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2


Page 2


www.VNMATH.com

0968.393.899

1
3) y = − x 3 + (m − 1)x 2 + (m + 3)x − 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
3
HT 4.

Tìm m để hàm số:

1) y =

x3
+ (m + 1)x 2 − (m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞).
3

2) y = x 3 − 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
3) y =

mx + 4
(m ≠ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +∞).
x +m

4) y =

x +m
đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
x −m

BÀI TẬP TỔNG HỢP – NÂNG CAO
HT 5.

Cho hàm số

y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên

khoảng (−∞; 0) . Đ/s: m
HT 6.

Cho hàm số

y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có đồ thị (Cm).Tìm m để hàm số đồng biến trên

khoảng (2; +∞) Đ/s: m
HT 7.

Cho hàm số y
Đ/s: m ≤

HT 8.

≤ −3

≤1

= x 3 + (1 − 2m )x 2 + (2 − m )x + m + 2 . Tìm m để hàm đồng biến trên (0;+∞) .

5
4

Cho hàm số

y = x 4 − 2mx 2 − 3m + 1 (1), (m là tham số).Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng

(1; 2). Đ/s: m ∈ [ − ∞;1)
HT 9.

Cho hàm số y = x 3 − 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (2; +∞)
Đ/s: −

7
5
≤m ≤
12
12

HT 10. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − (2m 2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) . Tìm mđể hàm số đồng biến trên [2; +∞).
Đ/s: −1 ≤ m ≤

5
2
---------------------------------------------------------


Page 3


0968.393.899

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ ℝ) và x 0 ∈ D
1) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho

f (x ) < f (x 0 ) , ∀x ∈ (a; b) {x 0} .
Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f .
2) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho

f (x ) > f (x 0 ) , ∀x ∈ (a; b) {x 0} .
Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f .
3) Nếu x 0 là điểm cực trị của f thì điểm (x 0 ; f (x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f '(x 0 ) = 0 .
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b) {xo }
1) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 .
2) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f '(x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại
điểm x 0 .
1) Nếu f "(x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 .
2) Nếu f "(x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 .

II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng toán 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

• Tìm f '(x ) .
• Tìm các điểm x i (i = 1, 2,...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
• Xét dấu f '(x ) . Nếu f '(x ) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i .
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

• Tính f '(x )
• Giải phương trình f '(x ) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2,...)
• Tính f "(x ) và f "(xi ) (i = 1, 2,...) .
Nếu f "(x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i .

Nếu f "(x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i


Page 4


0968.393.899

www.VNMATH.com

HT 11. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2) y = x 3 − 2x 2 + 2x − 1

1) y = 3x 2 − 2x 3

1
3) y = − x 3 + 4x 2 − 15x
3
6) y = −

4) y =

x4
− x2 + 3
2

5) y = x 4 − 4x 2 + 5

7) y =

−x 2 + 3x + 6
x +2

8) y =

3x 2 + 4x + 5
x +1

4x 2 + 2x − 1

10) y = (x − 2)3 (x + 1)4

11) y =

13) y = x x 2 − 4

14) y = x 2 − 2x + 5

2x 2 + x − 3

9) y =

x4
3
+ x2 +
2
2

x 2 − 2x − 15
x −3

12) y =

3x 2 + 4x + 4
x2 + x + 1

15) y = x + 2x − x 2

Dạng toán 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f (x ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f '(x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f (x ) ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f '(x ) đổi dấu khi x đi qua x 0 .
Chú ý:

• Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ y(x 0 ) = ax 03 + bx 02 + cx 0 + d
+ y(x 0 ) = Ax 0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y′.
HT 12. Tìm m để hàm số:
1) y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu.
2) y = x 3 − 3(m − 1)x 2 + (2m 2 − 3m + 2)x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu.
3) y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x − m 3
4) y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 x = 2
5) y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 − 1)x + 2 đạt cực đại tại
6) y = −mx 4 + 2(m − 2)x 2 + m − 5 có một cực đại x =

1
.
2


Page 5


0968.393.899

HT 13. Tìm a, b, c, d để hàm số:
1) y = ax 3 + bx 2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng

1
4
tại x =
3
27

2) y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =

3.

HT 14. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
1) y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4

2) y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1)x − 1

HT 15. Tìm m để hàm số :
1) y = x 3 + 2(m − 1)x 2 + (m 2 − 4m + 1)x − 2(m 2 + 1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 sao cho:
1
1
1
+
= (x1 + x 2 ) .
x1 x 2
2

2) y =

1 3
x − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 2 sao cho: x1 − x 2 ≥ 8 .
3

3) y =

1
1
mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 sao cho: x1 + 2x 2 = 1 .
3
3

HT 16. Tìm m để đồ thị hàm số :
1) y = −x 3 + mx 2 − 4 có hai điểm cực trị là A, B và AB 2 =

900m 2
.
729

2) y = x 4 − mx 2 + 4x + m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm.

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
HT 17. Tìm m để đồ thị hàm số :
1) y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung. Đ/s: m = 0
2) y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Đ/s: m = ±

1
2

3) y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng d : 3x − 2y + 8 = 0 .

 4 

Đ/s: m ∈ − ;1 {0}

 3 



HT 18. Tìm m để đồ thị hàm số:
1) y = x 3 + 3x 2 + m có 2 điểm cực trị tại A, B sao cho AOB = 1200
Đ/s: m = 0, m =

−12 + 132
3

 3 9

2) y = x 4 − 2mx 2 + 2 có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua D  ;  Đ/s: m = 1


 5 5




Page 6


0968.393.899

www.VNMATH.com

3) y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc bằng 1200.
Đ/s: m = −

1
3

3

4) y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 4.
Đ/s: m = 3 2
1) y = x 3 − 3mx + 2 có hai điểm cực trị và đường tròn qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn tâm I (1;1) bán kính
bằng 1 tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Đ/s: m =

2± 3
2

9
2) y = 4x 3 + mx 2 − 3x có hai điểm cực trị x1, x 2 thỏa mãn: x1 +4x2 = 0 Đ/s: m = ±
2
1) y = 2x 3 + 3(m − 1)x 2 + 6(m − 2)x − 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng

y = −4x − 1 . Đ/s: m = 5
2) y = 2x 3 + 3(m − 1)x 2 + 6m(1 − 2m )x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = −4x .
Đ/s: m = 1
3) y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng

y = 3x − 7 . Đ/s: m = ±

3 10
2

4) y = x 3 − 3x 2 + m 2x + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): y =

1
5
x− .
2
2

Đ/s: m = 0
-------------------------------------------------------


Page 7


0968.393.899

VẤN ĐỀ 3: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Tính y ' .
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y ' = 0 hoặc không xác định.
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
• Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ
thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số
điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d

(a ≠ 0)

• Tập xác định D = ℝ .
• Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
• Các dạng đồ thị:
a>0

a<0

y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y

y

⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac > 0

I
0

x

0

I

x

y ' = 0 có nghiệm kép
⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac = 0

y ' = 0 vô nghiệm
⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac < 0

y

y
I

0

I

x


0

x

Page 8


0968.393.899

www.VNMATH.com

3. Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
• Tập xác định D = ℝ
• Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
a>0

a<0
y

y
có 3 nghiệm phân biệt
⇔

0

0

0

y

chỉ có 1 nghiệm

4. Hàm số nhất biến y =

x

x

y

⇔

x

0

x

ax + b
(c ≠ 0; ad − bc ≠ 0)
cx + d

 d
 
• Tập xác định D = ℝ − 
 
 c
 
 
• Đồ thị có một tiệm cận đứng là

x=−

d
a
và một tiệm cận ngang là y = . Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối
c
c

xứng của đồ thị hàm số.
y

y

0

x

0

x

ad – bc >

ad – bc <

HT 21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
x3
− x2 + x −1
3

1. y = −x 3 + 3x 2 − 1

2. y =

4. y = x 4 − 2x 2 + 2

5. y = −x 4 − x 2 + 1

7. y =

2x − 1
x −1

8. y =

3. y = −

6. y =

x3
+ x 2 − 2x + 1
3

x −1
x +1

x −1
−2x + 1

----------------------------------------------------


Page 9


0968.393.899

VẤN ĐỀ 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
Dạng toán 1: Dùng đồ thị hàm số biện luận số nghiệm phương trình
• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình:

(1)

f (x ) = g(x )

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x )
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x )
• Để biện luận số nghiệm của phương trình F (x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về dạng sau:

F (x, m) = 0 ⇔ f (x ) = g(m )

(1)

y

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

g(m

A

yCĐ

giao điểm của hai đường:

(C ) : y = f (x ) và d : y = g(m)

xA

(C)
(4) : y =
g(m)

x

yCT

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d . Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

HT 22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
1) y = x 3 − 3x + 1; x 3 − 3x + 1 − m = 0

2) y = −x 3 + 3x − 1; x 3 − 3x + m + 1 = 0

3) y = x 3 − 3x + 1; x 3 − 3x − m 2 − 2m − 2 = 0

4) y = −x 3 + 3x − 1; x 3 − 3x + m + 4 = 0

5) y = −

x4
+ 2x 2 + 2; x 4 − 4x 2 − 4 + 2m = 0
2

6) y = x 4 − 2x 2 + 2; x 4 − 2x 2 − m + 2 = 0

HT 23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
1) (C ) : y = x 3 − 3x 2 + 6;

x 3 − 3x 2 + 6 − m + 3 = 0
3

2) (C ) : y = 2x 3 − 9x 2 + 12x − 4; 2 x − 9x 2 + 12 x + m = 0
3) (C ) : y = (x + 1)2 (2 − x ); (x + 1)2 2 − x = (m + 1)2 (2 − m )

4) (C ) : y =

x −1
x +1

x −1
x −1
x −1
x −1
= m;
= m;
= m;
=m
x +1
x +1
x +1
x +1

------------------------------------------------


Page 10


0968.393.899

www.VNMATH.com

Dạng toán 2: Tìm điều kiện tương giao giữa các đồ thị
1.Cho hai đồ thị (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) ta giải phương trình:
f (x ) = g(x ) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔ Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
HT 24. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

2




y = − x + 3x − 3
y = 2x − 4




2
2
1) 
2) 
x −1


y = −x 2 + 2x + 4
y = x + 1





2 2




y = 4x 3 − 3x

3) 

y = −x + 2




HT 25. Tìm m để đồ thị các hàm số:
1) y = (x − 1)(x 2 − mx + m 2 − 3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
2) y = mx 3 + 3mx 2 − (1 − 2m )x − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3) y = x 3 + 2x 2 + mx + 2m; y = x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
4) y = x 3 + 2x 2 − 2x + 2m − 1; y = 2x 2 − x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
HT 26. Tìm m để đồ thị các hàm số:
1) y = x 4 − 2x 2 − 1; y = m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
2) y = x 4 − m(m + 1)x 2 + m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
3) y = x 4 − (2m − 3)x 2 + m 2 − 3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
HT 27. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:


x3


y = x 3 − 3x − 2
y = −

+ 3x


1) 
2) 
3

y = m(x − 2)
y = m(x − 3)






HT 28. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
3x + 1
; y = x + 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
1) y =
x −4
2) y =

4x − 1
; y = −x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
2 −x


Page 11


0968.393.899
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO

1) y =

2x − 1
(C ) cắt đường thẳng ∆ : y = x + m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2 Đ/s: m = −1; m = 7
x +1

2) y =

x −1
(C ) cắt đường thẳng ∆ : y = −x + m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B có độ dài nhỏ nhất.
2x

Đ/s: m =

3) y =

1
2

2x − 1
(C ) cắt đường thẳng ∆ : y = x + m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
x −1

Đ/s: m = −2
4) y =

2mx − 2m − 3
(C ) cắt đường thẳng ∆ : y = x − 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AOB = 450
x +2

5) y =

(1 + m )x + 2(1 − m )
OA OB
+
=4
cắt đường thẳng ∆ : y = x tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:
x
OB OA

6) y =

3x + 1
cắt đường thẳng ∆ : y = (m + 1)x + m − 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích
x −1

bằng

3
.
2

7) y =

x +1
(C ) cắt đường thẳng ∆ : 2mx − 2y + m + 1 = 0, cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu
2x + 1

thức P = OA2 + OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

x +2
(C ) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho tam giác
x −1
IAB nhận H (4; −2) làm trực tâm. Đ/s: (2; 4),(−2; 0)

HT 30. Cho hàm số y =


−x + 1
(C ) Xác định m để đường thẳng ∆ : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
2x − 1

có hoành độ x1, x 2 sao cho tổng f '(x1 ) + f '(x 2 ) đạt giá trị lớn nhất.

x −1
(C ) Xác định m để đường thẳng ∆ : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có
2x + 1

hoành độ x1, x 2 sao cho tổng f '(x1 ) + f '(x 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất.

3x − 4
(C ) Xác định tọa độ các điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến
2x − 3
trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng.
-----------------------------------------------------



Page 12


www.VNMATH.com

0968.393.899

VẤN ĐỀ 5: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f (x ) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của
hàm số tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là:

y − y0 = f '(x 0 )(x − x 0 )

(y0 = f (x 0 ))

2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

 f (x ) = g(x )


(*)

 f '(x ) = g '(x )


Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C1 ) : y = px + q và (C 2 ) : y = ax 2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau
⇔ phương trình ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.

Dạng toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C ) : y = f (x ) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) :

• Nếu cho x 0 thì tìm y0 = f (x 0 )
Nếu cho y0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f (x ) = y0 .

• Tính y ' = f '(x ) . Suy ra y '(x 0 ) = f '(x 0 ) .
• Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y − y0 = f '(x 0 )(x − x 0 )
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C ) : y = f (x ) biết ∆ có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

• Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f′ (x0).
•∆ có hệ số góc k ⇒ f′ (x0) = k (1)
• Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của ∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m.
•∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f (x ) = kx + m


(*)

 f '(x ) = k




Page 13


0968.393.899

• Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:
+ ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tanα
+ ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+ ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = −

+ ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc α thì

1
a

k −a
= tan α
1 + ka

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f(x), biết ∆ đi qua điểm A(x A ; yA ) .
Cách 1:Tìm toạ độ tiếp điểm.

• Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y′0 = f′ (x0).
• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f′ (x0).(x – x0)
•∆ đi qua A(x A; yA ) nên: yA – y0 = f′ (x0).(xA – x0)

(2)

• Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của ∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(x A; yA ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – x1)
•∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:


 f (x ) = k (x − x A ) + yA

 f '(x ) = k



(*)

• Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.

HT 34. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
1) (C ) : y = 3x 3 − x 2 − 7x + 1 tại A(0; 1)

2) (C ) : y = x 4 − 2x 2 + 1 tại B(1; 0)

3) (C): y =

3x + 4
tại C(1; –7)
2x − 3

4) (C): y =

x +1
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
x −2

5) (C): y = 2x − 2x 2 + 1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
6) (C): y = x 3 − 3x + 1 tại điểm uốn của (C).
HT 35. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
1) (C): y = 2x 3 − 3x 2 + 9x − 4 và d: y = 7x + 4 .


Page 14


www.VNMATH.com

0968.393.899

2) (C): y = 2x 3 − 3x 2 + 9x − 4 và (P): y = −x 2 + 8x − 3 .
HT 36. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra:
5x + 11
(C): y =
tại điểm A có xA = 2 .
2x − 3
HT 37. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S
cho trước:
2x + m
1
1) (C): y =
tại điểm A có xA = 2
và S = .
2
x −1
2) (C): y =

9
x − 3m
tại điểm B có xB = –1 và S = .
2
x +2

3) (C): y = x 3 + 1 − m(x + 1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8.
HT 38. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ có hệ số góc k được chỉ ra:
2x − 1
1) (C): y = 2x 3 − 3x 2 + 5 ; k = 12
2) (C): y =
; k = –3
x −2
HT 39. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ song song với đường thẳng d cho trước:
1) (C): y =

x3
− 2x 2 + 3x + 1 ; d: y = 3x + 2
3

2) (C): y =

2x − 1
3
; d: y = − x + 2
x −2
4

HT 40. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ vuông góc với đường thẳng d cho trước:
1) (C): y =

x
x3
− 2x 2 + 3x + 1 ; d: y = − + 2
8
3

2) (C): y =

2x − 1
; d: y = x
x −2

HT 41. Tìm m để tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:
1) (C): y =

(3m + 1)x − m 2 + m
(m ≠ 0) tại điểm A có yA = 0 và d: y = x − 10 .
x +m

HT 42. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆đi qua điểm được chỉ ra:
1) (C): y = −x 3 + 3x − 2 ; A(2; –4)
2

3) (C): y = (2 − x 2 ) ; C(0; 4)

5) (C): y =

x +2
; E(–6; 5)
x −2

2) (C): y = x 3 − 3x + 1 ; B(1; –6)
4) (C): y =

 3
1 4
3
x − 3x 2 + ; D 0; 


 2


2
2

6) (C): y =

3x + 4
; F(2; 3)
x −1

HT 43. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
1) (C 1 ) : y = x 3 + (3 + m )x 2 + mx − 2; (C 2 ) : trục hoành
2) (C 1 ) : y = x 3 − 2x 2 − (m − 1)x + m; (C 2 ) : trục hoành
3) (C 1 ) : y = x 3 + m(x + 1) + 1; (C 2 ) : y = x + 1
4) (C 1 ) : y = x 3 + 2x 2 + 2x − 1; (C 2 ) : y = x + m
HT 44. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
1) (C 1 ) : y = x 4 + 2x 2 + 1; (C 2 ) : y = 2mx 2 + m


Page 15

Chuyên đề luyện thi Đại học 2014

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to Chuyên đề luyện thi Đại học 2014

Similar to Chuyên đề luyện thi Đại học 2014 (20)

More from tuituhoc

More from tuituhoc (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Chuyên đề luyện thi Đại học 2014