Chuong9

Định nghĩa, tính chất
Hai phương pháp tính tích phân
Tích phân suy rộng

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1
Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH
PHÂN SUY RỘNG

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 16 tháng 12 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH


Chương IX: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG

9.1 Định nghĩa, tính chất.





9.2 Hai phương pháp tính tích phân.





9.2 Hai phương pháp tính tích phân.

9.3 Tích phân suy rộng.


Định nghĩa, tính chất Bài toán diện tích hình thang cong
Hai phương pháp tính tích phân Ví dụ
Tích phân suy rộng Tính chất

Bài toán
Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi: đường cong y = f (x),
trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b



Bài toán
Chia S một cách tùy ý ra n miền con S1 , S2 , ..., Sn



Bài toán
Xấp xỉ mỗi miền con S1 , S2 , ..., Sn bằng các hình chữ nhật



Bài toán

Hình dưới là các trường hợp chia S thành 2 và 4 phần



Bài toán

Hình dưới là các trường hợp chia S thành 8 và 12 phần

Với n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác



Bài toán
Trên mỗi miền con S1 , S2 , ..., Sn lấy một điểm tùy ý

Ta có S = S1 + S2 + · · · + Sn
∗ ∗ ∗
S f (x1 ) (x1 − x0 ) + f (x2 ) (x2 − x1 ) + · · · f (xn ) (xn − xn−1 )
n
S f (xi∗ ) ∆xi
i=1


Bài toán

n
Nếu giới hạn I = lim f (xi∗ ) ∆xi tồn tại không phụ thuộc
∆xi →0 i=1
cách chia S và cách chọn điểm xi∗ , thì I được gọi là tích phân xác định
của hàm y = f (x) trên đoạn [a, b] và

n b

S= lim f (xi∗ ) ∆xi = f (x)dx
max(∆xi )→0
i=1 a



Ví dụ

Tính diện tích S giới hạn bởi: đường cong y = x 2 , trục hoành, hai
đường thẳng x = 0 và x = 1



Ví dụ

Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên trái



Ví dụ

Chia S thành 4 miền và chọn điểm trung gian bên phải



Ví dụ

Chia S thành 8 miền và chọn điểm trung gian bên trái, bên phải



Ví dụ




Ví dụ

Bảng thống kê một số giá trị



Tính chất I
1. Nếu các hàm f (x), g (x) khả tích trên [a, b] thì các hàm
f (x) + g (x), k.f (x) với k là hằng số cũng khả tích trên [a, b] và
b b b

[f (x) + g (x)]dx = f (x)dx + g (x)dx
a a a
b b

kf (x)dx = k f (x)dx
a a

2. Nếu hàm f khả tích trên các đoạn [a, c], [c, b] thì nó cũng khả tích
trên [a, b] và
b c b

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
a a c
b
3. Nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x) dx 0
a


Tính chất II
b b
4. Nếu f (x) g (x) , ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx g (x)dx
a a
5. Nếu m và M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f (x) trên [a, b]
thì
b

m(b − a) f (x)dx M(b − a)
a
a
6. Nếu f (x) là hàm lẻ thì f (x)dx = 0.
−a
a a
Nếu f (x) là hàm chẵn thì f (x)dx = 2 f (x)dx
−a 0
7. Công thức Newton- Leibnitz: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b]
và có nguyên hàm là F (x). Khi đó
b
b
f (x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a)
a


Tính chất III

8. Công thức đạo hàm theo cận trên: Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì
 
x ϕ(x)
 

f (t)dt  = f (x)  f (t)dt  = f (x).ϕ (x)
  

a a


Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp đổi biển số

Nếu f (x) là một hàm liên tục trên [a, b], x = ϕ(t) là một hàm xác
định và có đạo hàm liên tục trên [α, β] với ϕ(α) = a, ϕ(β) = b thì
b β

f (x)dx = f [ϕ(t)].ϕ (t)dt
a α



Ví dụ:

a √
Tính I = a2 − x 2 dx
0



Ví dụ:

a √
Tính I = a2 − x 2 dx
0
Giải: Phép đổi biến x = a sin x ta có:

a2 − x 2 = a2 (1 − sin2 t) = a2 cos2 t, dx = a cos tdt
π
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = a ⇒ t = . Do đó
2
π/ π/ π/
2 2 2
2
a
I = a cos t.a cos tdt = a2 cos2 tdt = (1 + cos 2t)dt
2
0 0 0
π/
a2 1 2 πa2
= t+ sin 2t =
2 2 0 4



Ví dụ:

π/
2 sin x
Tính I = dx
0 1 + cos2 x



Ví dụ:

π/
2sin x
Tính I = dx
0 1 + cos2 x
Giải: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, đổi cận
π
x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0
2
0 1
−dt dt 1 π
I = = = arctgt|0 =
1 + t2 1+t 2 4
1 0



Phương pháp tích phân từng phân

Nếu u và v là các hàm số cùng với các đạo hàm của chúng liên tục
trên [a, b] thì
b b b

f (x) dx = udv = uv |b
a − vdu
a a a




trên [a, b] thì
b b b

a − vdu
a a a
b b b b
Thật vậy, uv |b =
a d (uv ) = (vdu + udv ) = vdu + udv
a a a a
2
Ví dụ: Tính I = ln xdx
1




trên [a, b] thì
b b b

a − vdu
a a a
b b b b
Thật vậy, uv |b =
a d (uv ) = (vdu + udv ) = vdu + udv
a a a a
2
Ví dụ: Tính I = ln xdx
1
dx
Giải: Đặt u = ln x, dv = dx ta có du = , v = x suy ra
x
2
2
I = x ln x |1 − dx = 2 ln 2 − 1
1


Định nghĩa, tính chất Tích phân suy rộng loại 1
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm dưới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực tr
Tích phân suy rộng Bài tập

Bài toán
Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0
, trục hoành, đường thẳng x = a



Bài toán
Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = f (x) ≥ 0
, trục hoành, đường thẳng x = a

+∞ b

S= f (x) dx = lim f (x) dx
b→+∞
a a



Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích
phân
+∞ b

f (x) dx = lim f (x) dx
b→+∞
a a

được gọi là tích phân suy rộng loại 1.



Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) khả tích trên đoạn [a, b], với mọi b > a. Tích
phân
+∞ b

b→+∞
a a

được gọi là tích phân suy rộng loại 1.

Các tích phân sau cũng được gọi là tích phân suy rộng loại 1
a a
−∞ b→−∞ b
+∞ a +∞
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx
−∞ −∞ a



Sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 1

b
Nếu giới hạn lim f (x) dx tồn tại hữu hạn thì tích phân
b→+∞ a
+∞
f (x) dx được gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu tích phân không tồn tại
a
hoặc bằng vô cùng thì tích phân gọi là phân kỳ.




b
b→+∞ a
+∞
a

Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng




b
b→+∞ a
+∞
a

1 Tính tích phân suy rộng




b
b→+∞ a
+∞
a

1 Tính tích phân suy rộng
2 Khảo sát sự hội tụ



Tính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz)

Công thức Newton-Leibnitz
Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a, +∞) khi đó
+∞ b

f (x)dx = lim f (x)dx = lim (F (b) − F (a))
b→+∞ b→+∞
a a



Tính tích phân suy rộng (công thức newton-Leibnitz)

Công thức Newton-Leibnitz
Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên [a, +∞) khi đó
+∞ b

f (x)dx = lim f (x)dx = lim (F (b) − F (a))
b→+∞ b→+∞
a a

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim F (b) := F (∞)
b→+∞

+∞
+∞
f (x)dx = F (x)|a = F (+∞) − F (a)
a



Ví dụ
1
Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = , trục
x
hoành, đường thẳng x = 1



Ví dụ
1
Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y = , trục
x
hoành, đường thẳng x = 1

+∞ a
1 1 a
S= dx = lim dx = lim (ln |x|) |1 = lim (ln |a|) = +∞
x a→+∞ x a→+∞ a→+∞
1 1

S có diện tích là vô hạn


Ví dụ
1
Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y =
x2 +1
và trục hoành



Ví dụ
1
Tính diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi: đường cong y =
x2 +1
và trục hoành

+∞ +∞
1 1 a
S= dx = 2 dx = 2 lim arctan x |0 = π
x2 + 2 x2 + 2 a→+∞
−∞ 0

S có diện tích là π


Ví dụ

+∞
Tính tích phân I = e −2x dx
1



Ví dụ

+∞
1
Ta có
+∞
1 +∞ e −∞ e −2 1
I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − =
2 2 2 2e 2
1



Ví dụ

+∞
1
Ta có
+∞
1 +∞ e −∞ e −2 1
I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − =
2 2 2 2e 2
1

+∞ dx
Ví dụ 2: Tính I =
4 x 2 − 5x + 6



Ví dụ

+∞
1
Ta có
+∞
1 +∞ e −∞ e −2 1
I = e −2x dx = − e −2x |1 = − − =
2 2 2 2e 2
1

+∞ dx
Ví dụ 2: Tính I =
4 x 2 − 5x + 6
Ta có
+∞ +∞
1 1 1 x −3 4−
I = 2 − 5x + 6
dx = − dx = lim ln −ln
x x −3 x −2 x→∞ x −2 4−
4 4



Ví dụ
+∞
Tính tích phân I = e −2x cos xdx
0



Ví dụ
+∞
Tính tích phân I = e −2x cos xdx
0
Đặt
+∞
u = e −2x ⇒ du = −2e −2x dx −2x +∞
⇒I = e sin x 0
+2 e −2x sin xdx
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
0

+∞
Ta có lim e −2x sin x = 0 suy ra I = 2 e −2x sin xdx
x→+∞ 0
u = e −2x ⇒ du = −2e −2x dx
Đặt
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
suy ra
+∞
+∞ 2
I = −2 e −2x cos x 0
−4 e −2x cos xdx = 2 − 4I ⇒ I =
5
0



Ví dụ

+∞ arctan x
Tính tích phân I = 3/2
dx
0 (1 + x 2 )



Ví dụ

+∞ arctan x
Tính tích phân I = 3/2
dx
0 (1 + x 2 )

dx x → 0 ⇒ t → 0
Đặt t = arctan x ⇒ dt = , đổi cận π
1 + x2  x → +∞ ⇒ t →
2
1
x = tan t ⇒ 1 + x 2 =
cos2 t
Suy ra

+∞ +∞ π/2
arctan x arctan x dx π
I = dx = √ = t cos tdt = −1
(1 + x 2)
3/2
1 + x2 1 + x2 2
0 0 0



Ví dụ
+∞ 1
Xét tích phân dx (a > 0)
a xα



Ví dụ
+∞ 1
a xα
1 Với α > 1
+∞
+∞
1 1 1 1
dx = =
xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1
a

hữu hạn, khác 0 nên tích phân hội tụ.



Ví dụ
+∞ 1
a xα
1 Với α > 1
+∞
+∞
1 1 1 1
dx = =
xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1
a

2 Với α < 1
+∞ +∞
1 x 1−α
dx = = +∞
xα 1−α a
a
nên tích phân phân kỳ.



Ví dụ
+∞ 1
a xα
1 Với α > 1
+∞
+∞
1 1 1 1
dx = =
xα 1 − α x α−1 a (α − 1) aα−1
a

2 Với α < 1
+∞ +∞
1 x 1−α
dx = = +∞
xα 1−α a
a
3 Với α = 1
+∞
1 +∞
dx = ln |x||a = +∞
x
a


Ví dụ

+∞ 1
Vậy tích phân I = dx (α > 0) hội tu khi α > 1 và phân kỳ khi
a xα
α 1



Tiêu chuẩn hội tụ

Định lý so sách 1
Giả sử các hàm số f (x) , g (x) khả tích trên [a, b] và
0 f (x) g (x) , x a. Khi đó
+∞ +∞
1 Nếu g (x) dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ.
a a




+∞ +∞
a a
+∞ +∞
2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ.
a a




+∞ +∞
a a
+∞ +∞
2 Nếu f (x) dx phân kỳ thì g (x) dx phân kỳ.
a a

+∞ +∞ dx
Để khảo sát sự hội tụ của I = f (x)dx thường so sánh với đã
a a xα
biết kết quả.



Chú ý:

Trong định lý so sánh 1
1 f (x) , g (x) là các hàm số không âm.
2 Chỉ cần tồn tại α sao cho α a (∀x ∈ [α, +∞)) f (x) g (x)
+∞ dx
3 Cận dưới của tích phân là số dương a > 0
a xα



Chú ý:

+∞ dx
a xα
+∞ dx
Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
1 2x 2 + sin2 3x



Chú ý:

+∞ dx
a xα
+∞ dx
1 2x 2 + sin2 3x
1 1 +∞ dx
Ta có f (x) = = g (x). Vì hội tụ, theo định
2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2
lý so sánh 1 suy ra I hội tụ.



Chú ý:

+∞ dx
a xα
+∞ dx
1 2x 2 + sin2 3x
1 1 +∞ dx
2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2
+∞ ln3 xdx
1 x +5



Chú ý:

+∞ dx
a xα
+∞ dx
1 2x 2 + sin2 3x
1 1 +∞ dx
2x 2 + sin2 3x 2x 2 1 2x 2
+∞ ln3 xdx
1 x +5
ln3 x 1 1 +∞ dx
Ta có f (x) = > > = g (x) , ∀x > 5. Vì phân kỳ,
x +5 x +5 2x 1 2x
theo định lý so sách 1 suy ra I phân kỳ.


Định lý so sánh 2

Giả sử các hàm số f (x) , g (x) không âm, khả tích trên [a, b] và
f (x)
lim = k. Khi đó
x→+∞ g (x)
+∞ +∞
Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân f (x) dx và g (x) dx cùng
a a
hội tụ hay cùng phân kỳ.




f (x)
lim = k. Khi đó
x→+∞ g (x)
+∞ +∞
a a
+∞ +∞
Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx
a a
hội tụ.




f (x)
lim = k. Khi đó
x→+∞ g (x)
+∞ +∞
a a
+∞ +∞
Nếu k = 0 và tích phân g (x) dx hội tụ thì tích phân f (x) dx
a a
hội tụ.
+∞
k = +∞ và tích phân g (x) dx phân kỳ thì tích phân
a
+∞
f (x) dx phân kỳ.
a



Chú ý:
Cách sử dụng định lý so sánh 2
1 Kiểm tra f (x) là các hàm số không âm.
2 Tìm hàm g (x) bằng cách tìm hàm tương đương của f (x) khi
x → +∞
f (x)
3 Tính K = lim và kết luận
x→+∞ g (x)



Chú ý:
x → +∞
f (x)
x→+∞ g (x)

x→+∞ +∞
Hai hàm f (x) , g (x) không âm: Nếu f (x) g (x) thì f (x) dx và
a
+∞
g (x) dx cùng tính chất trên.
a



Chú ý:
x → +∞
f (x)
x→+∞ g (x)

x→+∞ +∞
a
+∞
a √
+∞ x 3 dx
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
1 1 + x2



Chú ý:
x → +∞
f (x)
x→+∞ g (x)

x→+∞ +∞
a
+∞
a √
+∞ x 3 dx
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = 2
1 1+x
 √ 3 
x
 1 + x2  +∞ dx
Giải: Ta có lim   1  = +∞. Do
 phân kỳ, nên theo định
x→+∞ 1 x
x
lý so sánh 2 suy ra I phân kỳ.


Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ

Định lý
+∞
Giả sử hàm số f (x) có dấu bất kỳ. Khi đó nếu |f (x)| dx hội tụ
a
+∞
thì f (x) dx cũng hội tụ.
a




Định lý
+∞
a
+∞
a

Định nghĩa:
+∞ +∞
Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi
a a
+∞
f (x) dx hội tụ tuyệt đối.
a




Định lý
+∞
a
+∞
a

Định nghĩa:
+∞ +∞
Nếu |f (x)| dx hội tụ thì f (x) dx hội tụ và được gọi
a a
+∞
f (x) dx hội tụ tuyệt đối.
a
+∞ +∞ +∞
Nếu f (x) dx hội tụ nhưng |f (x)| dx phân kỳ thì f (x) dx
a a a
được gọi là bán hội tụ.



Chú ý

Trường hợp f (x) có dấu bất kỳ, để khảo sát sự hội tụ của tích phân
+∞
f (x) dx ta khảo sát sự hội tụ của tích phân có hàm không âm
a
+∞
|f (x)| dx. Khi đó ta có thể sử dụng được các định lý so sánh.
a



Ví dụ:
+∞ sin xdx
Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
1 x 2 + ln 2x



Ví dụ:
+∞ sin xdx
1 x 2 + ln 2x
Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá
sin x 1 x→+∞ 1
f (x) = = g (x)
x2 + ln 2x x2 + ln 2x x2

suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f (x) có dấu bất kỳ.



Ví dụ:
+∞ sin xdx
1 x 2 + ln 2x
Giải: Nếu áp dụng định lý so sánh đánh giá
sin x 1 x→+∞ 1
f (x) = = g (x)
x2 + ln 2x x2 + ln 2x x2

suy ra I hội tụ, Kết quả này sai vì f (x) có dấu bất kỳ.
+∞ sin x
Xét tích phân có hàm không âm J = dx, ta có
1 x 2 + ln 2x

sin x 1 x→+∞ 1
|f (x)| =
x 2 + ln 2x x 2 + ln 2x x2
+∞ 1
Do dx hội tụ, do đó J hội tụ. Áp dụng định lý suy ra I hội tụ tuyệt
1 x2
đối.



Chú ý

a +∞
1 Các tích phân f (x) dx, f (x) dx cũng có kết quả tương tự.
−∞ −∞



Chú ý

a +∞
−∞ −∞
+∞
2 Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng f (x)dx khi tách có
a
+∞ +∞
dạng vô định G (x)|a + H(x)|a = ∞ − ∞ chưa kết luận được
tích phân ban đầu phân kỳ.



Chú ý

a +∞
−∞ −∞
+∞
2 Với các tích phân chỉ có một điểm suy rộng f (x)dx khi tách có
a
+∞ +∞
dạng vô định G (x)|a + H(x)|a = ∞ − ∞ chưa kết luận được
tích phân ban đầu phân kỳ.
+∞
3 Với tích phân có hai điểm suy rộng f (x) dx khi tách ra thành
−∞
a +∞
các tích phân f (x)dx + f (x)dx chỉ cần một trong hai tích
−∞ a
phân phân kỳ thì tích phân ban đầu phân kỳ.



Định nghĩa

Định nghĩa 1
Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường
cong y = f (x) nếu lim f (x) = ∞
x→x0



Định nghĩa

Định nghĩa 1
Điểm x0 được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của đường
cong y = f (x) nếu lim f (x) = ∞
x→x0

Giả sử trên [a, b] hàm số y = f (x) có một điểm bất thường duy nhất
là x0 = b

Khi đó
b b−t

f (x)dx := lim f (x)dx
t→0
a a

(0 < t < b − a) được gọi là tích
phân suy rộng loại hai của f (x)
trên [a, b]



Định nghĩa

là x0 = a

Khi đó tích phân suy rộng loại hai
của f (x) trên [a, b] là
b b

f (x)dx := lim f (x)dx
t→0
a a+t

trong đó (0 < t < b − a)



Định nghĩa

là c ∈ [a, b]



Định nghĩa

là c ∈ [a, b]

b c b

f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx
a a c

c−t b

= lim f (x)dx + lim f (x)dx
t→0 t→0
a c+t



Định nghĩa

là c ∈ [a, b]

b c b

f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx
a a c

c−t b

= lim f (x)dx + lim f (x)dx
t→0 t→0
a c+t

Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ.



Nhận xét

1 Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng
loại một.



Nhận xét

loại một.
2 Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho
tích phân hàm không âm.



Nhận xét

loại một.
2 Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho
tích phân hàm không âm.
3 Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng
loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.



Ví dụ

0 dx
Tính I = √
−1 1 − x2



Ví dụ

0 dx
Tính I = √
−1 1 − x2
Giải: Ta có điểm x = −1 là điểm bất thường nên
0 dx 0 dx 0
I = √ = lim √ = lim arcsin x |−1+ε
−1 1 − x2 ε→0 −1+ε 1 − x2 ε→0
π
= lim (− arcsin (−1 + ε)) =
ε→0 2



Ví dụ

3 dx
Tính tích phân I =
0 x −1



Ví dụ

dx 3
Tính tích phân I =
0 x −1
Giải: Ta có điểm x = 1 là điểm bất thường trên [0, 3] nên
1 3
dx dx
I = + = I1 + I2
x −1 x −1
0 1

Mặt khác do
1−t
dx 1−t
I1 = lim = lim ln |x − 1| |0 = lim ln |t| = +∞
t→0 x − 1 t→0 t→0
0

Vậy I phân kỳ


Chuong9

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from tuongnm

More from tuongnm (20)

Chuong9