1. Homotopy
Type Theory
(1)
!
門脇 香子

2. The HoTT Book
• 500ページくらいある（多い）
• 大きく２部に分かれていて，用途によってどちら
かだけ読むのでもいいよとも書いてある
• http://homotopytypetheory.org/book/

3. HoTTとは
• 主に２つの側面がある:
(1) univalent foundation (数学の新しい基礎) としての HoTT
(2) 形式化されたホモトピー論としての HoTT
• (1) は Martin-lof type theory などに何らかの extentionality
principle を追加しようという試み
̶ ホモトピー論に限らず -groupoid をベースにしていろいろしよ
うとしている
• (2) は型理論を homotopy theory の視点から形式化しようという試
み
̶ Agda や Coq で homotopy theory が書けるかも

4. なぜAgdaでホモトピー論が出来るのか？
• weak -groupoid を使うことによる定式化
空間も型も weak -groupoid である
• ホモトピー論の概念を weak -groupoid に(が
んばって)移植する

5. Type theory
• 言わずと知れた型理論
• object は型によって分類される
• 型が weak -groupoid であることは証明でき
る
• このテキストでは informal な型理論を勉強する

6. homotopy theory
• 位相幾何学における概念の一
つ
• 「連続的変形」の数学的表現
• 点や線や面，それらの間の連
続写像が連続的に移り合うこ
とを定式化したもの
• 一般的には，連続的に変形す
る連続写像の族によって定式
化される
A
B

7. homotopy type theory
• 型を集合論的に対応づけるのではなくホモトピー論的に対応づける
例）a : A
• 集合論では ( a A )
a は set A の element である
• 型理論では
a は A という型をもつ値である
!
• HoTT では
a is a point of the space A

8. homotopy type theory
• ホモトピー論ではあるが位相や連続性等の幾何学的な概念は使わない
̶ 開集合や被覆等は定義しない
• 型を groupoid と解釈して考える
̶ groupoid : 型Tに対するobjectの集まりがTで，x,y : T に関する射の集
まりを型 x = y で考える
̶ 反射律，推移律，対称律がそれぞれ成立する
• 型 T に対して，x,y : T について x=y が groupoid であるとき， p,q : x=y
に関して，p=qもgroupoidである
̶ この連鎖を無限に続けたものが -groupoid
• 現在は(Agdaやcoqにおいては) -groupoid を扱うのは難しすぎるので
Kan complex が代用されている

9. Univalent foundations
•型理論では universe U があるとき，すべての型
は A : U のようになる
•IdU(型同士の同値性を表す型，例 : A=B)はどのよ
うな(小さな)型にも存在する．
•このときpath p : A ↝ B は何を表しているのだろ
うか？

10. Univalent foundations
•AからBへのUにおける小さな型に関する恒等写像を
IdU(A,B)，AからBへの同値なpathの集まりを
Equiv(A,B) とすると，どの恒等写像も同値であること
から
IdU(A,B) → Equiv(A,B)
という写像が存在する
•これを公理として一般化すると
(A = B) (A B)
• 恒等性は同値性と同値

11. Univalent foundations
•同値であることの表現は
と表される

12. Higher Inductive Types(HIT)
• 帰納的に型を定義する
̶ 例) A+B という型は A → A+B , B → A+B から導出できる
• HoTT でも帰納的に spaces を定義する
̶ higher path などの概念も出てくる．
これらの spaces を CW complexes という
• 帰納的に定義された spaces は型理論における帰納的な推論規
則と対応づけられる
• Agda では HIT を直接定義することはできないので，公理を自
分で入れなければならない

13. Sets in univalent foundations
• univalent foundation としての集合
• 型の階層を集合として振る舞うように定義する
ことが出来る
̶ 圏論的な集合をLawvereの公理を満たすよう
に作る
• このように univalent foundation は様々な数学
的概念のベースとすることが出来る

14. 型 論理 集合 ホモトピー
A 命題 集合 space
a : A 証明 要素 point
B(x) 前提 集合族 fibration
b(x) : B(x) 条件付きの証明 要素の族 section
0,1 ,⊤ , { } , ∗
A ＋ B A B 直和 coproduct
A B A B ペアの集合 product space
A → B A B 関数の集合
stssyuugou
function space
Σ(x：A)B(x) x：AB(x) disjoint sum total space
Π(x：A)B(x) (x：A)B(x) 直積 space of sections
IdA equality = { (x, x) ¦ x A } space of path A

15. 型 論理 集合 ホモトピー
A 命題 集合 space
a : A 証明 要素 point
B(x) 前提 集合族 fibration
b(x) : B(x) 条件付きの証明 要素の族 section
0,1 ,⊤ , { } , ∗
A ＋ B A B 直和 coproduct
A B A B ペアの集合 product space
A → B A B 関数の集合
stssyuugou
function space
Σ(x：A)B(x) x：AB(x) disjoint sum total space
Π(x：A)B(x) (x：A)B(x) 直積 space of sections
IdA equality = { (x, x) ¦ x A } space of path A