1. Ми - теоретики.
Наша мета- ознайомити
вас з основними
поняттями теорії
ймовірностей.
Бажаємо вам успіху у
навчанні!

2. Основні поняття теорії ймовірності
◦ Подія – це явище про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов.
◦ Випробування – це умови, в результаті яких відбувається чи не відбувається подія.
Наприклад:
Подія В – підкидання кубика:
A – випаде 1;
B – випаде 2;
C – випаде 3;
D – випаде 4;
E – випаде 5;
F – випаде 6;
◦ Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного
випробування.
◦ Масовими називаються однорідні події, що спостерігаються за певних умов, які можуть бути відтворені
необмежену кількість разів.
◦ Вірогідною називається подія, як внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться.
◦ Неможливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.
◦ Повною групою подій називається множина подій, що в результаті кожного випробування обов’язково повинна
відбутися хоча б одна з них.
◦ Попарно не сумісні події – це події, дві з яких не можуть відбутися разом.
◦ Рівноможливі події – це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час
багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

3. Якщо події:
1)Утворюють повну групу подій;
2)Є несумісними;
3)Є рівноможливими.
То такі події утворюють простір елементарних подій. Тобто:
В – кидання грального кубика.
Простір елементарних подій:
А1 – поява числа 1;
А2 – поява числа 2;
А3 – поява числа 3;
А4 – поява числа 4;
А5 – поява числа 5;
А6 – поява числа 6.
А – випало парне число (А2, А4, А6 ).
◦ Відношення числа подій, які сприяють події А до загальної кількості подій простору елементарних подій, називається
ймовірністю випадкової події і позначається P(A).
, де
А – подія;
P(A) – ймовірність події;
n – загальна кількість подій простору елементарних подій;
m – число подій, які сприяють події А.
Ймовірність вірогідної події дорівнює 1.
Ймовірність неможливої події дорівнює 0.

4. Наприклад:
Гральний кубик кинули 1 раз. Знайти ймовірність таких подій:
1)подія А – поява непарного числа
n=6
m=3
P(A)=
P(A)==
Упорядковані множини
◦ Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n-елементів, називається перестановкою з n-елементів і
позначається Pn
◦ Перестановки з n-елементів відрізняються між собою лише порядком елементів.
Наприклад:
a i b – елементи. Їх впорядковують двома способами: ab, ba
P2=2
Pn=n!
Таблиця факторіалів:
0! = 1 6! = 720
1! = 1 7! = 5040
2! = 2 8! = 40320
3! = 6 9! = 362880
4! = 24 10! = 3628800
5! = 120
Наприклад:
Скількома способами можна розмістити на майданчику 6 волейболістів?
P6 = 6!
P6 = 720 – способів.

5. Комбінацією (сполучення) n- елементів по m-елементів називається будь-яка підмножина В
підмножини А, що складається з m-елементів причому дві такі підмножини вважаються
різними, якщо відрізняються за складом и позначаються .
Скількома способами можна роздати 6 різних предметів трьом особам, так щоб кожен отримав по 2 предмета
I ос. –
II ос. –
III ос.–
За правилом добутку:
!)!(
!
mmn
n
Cm
n
m
nС
n
m
nm
n
P
A
C
2
2C
2
4C
2
6C
90
22
6543
1
!2!2
!4
!2!4
!62
2
2
4
2
6 ССС

6. Розміщенням з n - елементів по m називається будь-яка упорядкована підмножина В
множини А, така, що вона містить m - елементів, при чому дві такі підмножини вважаються
різними, якщо вони відрізняються складом або порядком елементів.
№1
А= {1; 2; 3}
Розміщення:
По 1 елем.: {1} , {2}, {3} . – 3
По 2 елем.: {1; 2} , {2; 1} , {1; 3} , {3; 1} , {2; 3} , {3; 2} – 6
Формула числа розміщене з n-елементів по m-елементів
-число розміщене з n-елементів по m-елементів.
, тобто число розміщене з n-елементів по m-
елементів дорівнює добутку послідовних натуральних чисел, найбільше з яких
дорівнює n.
Якщо n=m, то , тобто перестановка - окремий випадок розміщень.
)( nm
)!(
!
mn
n
Am
n
m
nA
)1(...)2()1( mnnnnAm
n
n
m
n PA

7. 1. - Відрізняються одна від одної порядком розташування.
2. - Відрізняються або виробом елементів, або порядком розташування.
3. - Відрізняються тільки виробом елементів (порядок не враховується).
Щоб вибрати ту чи іншу формулу для розв’язку задачі, необхідно з’ясувати, чи враховується порядок розміщення елементів.
Якщо так, то чи всі елементи входять у сполуку. Маємо два випадки: – якщо так ; – якщо ні. Якщо ні ,то маємо .
Вибір формули для розв’язання контрольних задач можна записати за допомогою такого алгоритму таблиці.
nP
m
nA
m
nC
m
nAnP
m
nC

9. Бажаємо вам вивчити всі правила
і вміти їх використовувати
при розв’язуванні задач !
Роботу виконали:
Бєлік Анастасія
Царенко Микита
Сисоєв Ілля