2. Bulk Modulus of a gas /vapour
k=(increase in pressure)/(relative change in volume)
( )
÷
ö
ç
æ
-=÷
ö
ç
æ D
-=÷
÷
ö
ç
ç
æ
-D+
=
dppppp
-ve sign because Volume decreases with Pressure increase
( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
D
D
-=
÷
÷
÷
ø
ç
ç
ç
è
÷
ø
ö
ç
è
æ D
-
-D+
= ®D
dv
dp
v
V
p
V
V
V
ppp
k oplim Eq. 1
3. Bulk Modulus of a gas /vapour
k=(increase in pressure)/(relative change in volume)
÷÷
ö
çç
æ
=÷
÷
÷
ö
ç
ç
ç
æ
÷÷
ö
çç
æ
-=Þ÷÷
ö
çç
æ
= r
dpdp
kv
11
Eq. 2÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
÷÷
÷
÷
ø
çç
ç
ç
è
÷÷
ø
ö
çç
è
æ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=Þ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
r
r
r
rr d
dp
d
dp
kv
1
11
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
r
r
d
dp
k
4. ¢ For Isothermal Process
¢ For Isentropic Process
¢ From Eqs. 1 & 3, Isothermal Bulk Modulus
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ=
v
p
dv
dp
constpv .
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ=+Þ= -
v
p
dv
dp
dpvdvvpconstpv
g
g ggg
0)(. 1 Eq. 4
Eq. 3
pkk ==
¢ From Eqs. 1 & 4, Isentropic Bulk Modulus
¢ Summary
pkk T ==
pkk s g==
Ts kk g= Eq. 5
5. Coeff of Compressibility
kc=(relative change in volume/(increase in pressure)
÷
ö
ç
æ
÷
ö
ç
æ
-=÷
ö
ç
æ D
÷
ö
ç
æ
-=÷
÷
ö
ç
ç
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ D
-
=
dvVV
V
11
-ve sign because Volume decreases with Pressure increase
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
D
D
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
÷
÷
÷
ø
ç
ç
ç
è
D
øè=
dp
dv
vp
V
Vp
V
kc
11
Eq. 6
6. ¢ For Isothermal Process
¢ For Isentropic Process
¢ From Eqs. 6 & 7, Coeff. of Isothermal compressibility
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
Þ=
p
v
dp
dv
constpv .
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
Þ=+Þ= -
p
v
dp
dv
dpvdvvpconstpv
g
g ggg
0)(. 1 Eq. 8
Eq. 7
÷÷
ö
çç
æ
=÷÷
ö
çç
æ
== kk
11
¢ From Eqs. 6 & 8, Coeff. of Isentropic compressibility
¢ Summary
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
==
T
cTc
kp
kk
11
cscT kk g= Eq. 9
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
==
s
csc
kp
kk
11
g
8. ¢ Important parameter in
compressible flow is the speed
of sound (a)
— Speed at which infinitesimally
small pressure wave travels
¢ Consider a duct with a moving
piston (Velocity c)
adc
Speed of Sound (a) and MachNo (M/ Ma)
piston (Velocity c)
— Creates a sonic wave moving to
the right with Velocity a.
— Fluid to left of wave front
experiences incremental change
in properties
— Fluid to right of wave front
maintains original properties
dc
9. SPEED OF SOUND AND MACH NUMBER
¢ Construct CV that encloses wave
front and moves with it
¢ Mass balance
Wavefront is made Stationary
by imposing Opp Velocity a
)()( dcaAdAa -+= rrr
rr addc = Eq. 21
a-dc a )( dcdaddcaAAa rrrrr -+-=
0=- dcad rr
10. SPEED OF SOUND AND MACH NUMBER
¢ Momentum Equation gives
Wavefront is made Stationary
by imposing Opp Velocity C
[ ] [ ]))(()(
.
dpppAadcam +-=--
[ ] [ ])()(
.
dpAdcm =[ ] [ ])()( dpAdcm =
Acm r=
.
adcdp r= Eq. 22
a-dc a
11. SPEED OF SOUND AND MACH NUMBER
¢ Momentum Equation gives
adcdp r= Eq. 22
rr addc = Eq. 21
= r2
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
==
=
r
r
d
dp
aSoundVel
dadp 2
aa-dc
Eq. 23
12. SPEED OF SOUND AND MACH NUMBER
T
M
R
TR
pk
d
dp
a
w
U
G
s
gg
r
g
rr
=====
Sound Velocity is related to T,Ks,KC,& Mw
Eq. 24
13. SPEED OF SOUND AND MACH NUMBER
¢ Since
— RG is constant for a given
gas
T
M
R
TRa
w
U
G gg ==
gas
— g is only a function of T
— Hence, Speed of sound is
only a function of
temperature for a given gas.
14. SPEED OF SOUND AND MACH NUMBER
¢ Second important
parameter is the
Mach number Ma
¢ Ratio of fluid velocity
to the speed of sound
C=320
C=320
M < 0.33 : Low Speed Aerodynamics
0.33<M < 1 : Subsonic
M » 1 : Transonic ( 0.8<M<1.2)
M = 1 : Sonic
M > 1 : Supersonic
M > 4 : Hypersonic
M=c/a
Flow regimes Classification based on Mach No
Eq. 24
15. Mach Angle/ Mach Cone
¢ A source of disturbance is moving from right to
left with a velocity u in the fluid
¢ Pt. S represents present location of source while
1,2 &3 show its location before 1,2 &3 seconds1,2 &3 show its location before 1,2 &3 seconds
respectively.
¢ Distance travelled by sound is a,2a,3a meters in
1,2 ,3 seconds respectively.
¢ Four cases considered are
Mach No =( 0,1/2,1 & 2)
18. Supersonic flow (M=2, a=u/2)
÷
ø
ö
ç
è
æ
=Þ== -
MM
utatSin
1
sin
1
/ 1
aa
Semi Cone Angle=Mach Angle
Eq. 24
19. Energy Conservation Equation for
Compressible flows CV
CS
Outlet 2
Outlet 4
Inlet 1
C1,z1,h1,T1,u1
Unsteady Flow Energy Equation (2-2)
·
Q
·
CVE
Time Rate of
Energy Change
in CV
=
For flow Process
Outlet 4
Inlet 3
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
+++ú
û
ù
ê
ë
é
+++-
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
+++ú
û
ù
ê
ë
é
+++=
·······
44
2
4
422
2
2
233
2
3
311
2
1
1
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
hgz
c
mhgz
c
mWhgz
c
mhgz
c
mQECV
·
W
Time Rate of
Energy Inflows
to CV
Time Rate of
Energy Outflows
from CV
-
Eq. 31
20. Energy Conservation Equation for
Compressible flows CV
CS
Unsteady Flow Energy Equation (0-0)
For non- flow Process
·
Q
·
CVE
Time Rate of
Energy Change
in CV
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
þ
ý
ü
î
í
ì
=
···
WQECV
·
W
Time Rate of
Energy Inflows
to CV
Time Rate of
Energy Outflows
from CV
+
þ
ý
ü
î
í
ì
+
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì ···
CVEWQ
þ
ý
ü
î
í
ì
Ñ+
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì ···
CVUWQ
Eq. 32
21. Energy Conservation Equation for
Compressible flows CV
CS
Outlet 2
Outlet 4
Inlet 1
Steady Flow Energy Equation (2-2)
C1,z1,h1,T1,u1
Time Rate of
Energy Change
in CV
= 0
For flow Process
·
Q
Outlet 4
Inlet 3
ú
û
ù
ê
ë
é
+++ú
û
ù
ê
ë
é
+++=ú
û
ù
ê
ë
é
+++ú
û
ù
ê
ë
é
+++
······
44
2
4
422
2
2
233
2
3
311
2
1
1
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
hgz
c
mhgz
c
mWhgz
c
mhgz
c
mQ
4231
····
+=+ mmmm
·
W
Eq. 33
22. Energy Conservation Equation for
Compressible flows CV
CS
Outlet 2
Inlet 1
Steady Flow Energy Equation (2-1)
·
Q
C1,z1,h1,T1,u1
Inlet 3
ú
û
ù
ê
ë
é
+++=ú
û
ù
ê
ë
é
+++ú
û
ù
ê
ë
é
+++
·····
22
2
2
233
2
3
311
2
1
1
2
)(
2
)(
2
)(
hgz
c
mWhgz
c
mhgz
c
mQ
···
=+ 231 mmm
·
W
23. Energy Conservation Equation for
Compressible flows CV
CS
Outlet 2
Outlet 4
Inlet 1
Steady Flow Energy Equation (1-2)
·
Q
C1,z1,h1,T1,u1
Outlet 4
ú
û
ù
ê
ë
é
+++ú
û
ù
ê
ë
é
+++=ú
û
ù
ê
ë
é
+++
·····
44
2
4
422
2
2
211
2
1
1
2
)(
2
)(
2
)(
hgz
c
mhgz
c
mWhgz
c
mQ
421
···
+= mmm
·
W
24. Energy Conservation Equation for
Compressible flows CV
CS
Outlet 2
Inlet 1
ú
û
ù
ê
ë
é
+++=ú
û
ù
ê
ë
é
+++
····
22
2
2
211
2
1
1
2
)(
2
)(
hgz
c
mWhgz
c
mQ
Steady Flow Energy Equation (1-1)
·
Q
C1,z1,h1,T1,u1
ú
û
ù
ê
ë
é
++-ú
û
ù
ê
ë
é
+++=
····
22
2
2
211
2
1
1
2
)(
2
)(
hgz
c
mhgz
c
mQW
·
··
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
++-ú
û
ù
ê
ë
é
++= 22
2
2
11
2
1
2
)(
2
)(
hgz
c
hgz
c
mW
But Mass Conservation gives that
···
== mmm 21
And for Adiabatic flow,
·
W
Adiabatic Energy Equation
Eq. 34
25. Application of Steady Flow Energy Conservation (SFEE)
Equation
ú
û
ù
ê
ë
é
+++=ú
û
ù
ê
ë
é
+++
····
22
2
2
211
2
1
1
2
)(
2
)(
hgz
c
mWhgz
c
mQ
Steady Flow Energy Equation (1-1)
ú
û
ù
ê
ë
é
++-ú
û
ù
ê
ë
é
+++=
····
22
2
2
211
2
1
1
2
)(
2
)(
hgz
c
mhgz
c
mQW
···
== mmm 21
For Insulated Devices
·
··
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
++-ú
û
ù
ê
ë
é
++= 22
2
2
11
2
1
2
)(
2
)(
hgz
c
hgz
c
mW
Adiabatic Energy Equation
26. Application of Steady Flow Energy Conservation (SFEE)
Equation
Steady Flow Energy Equation (1-1)
·
··
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
++-ú
û
ù
ê
ë
é
++= 22
2
2
11
2
1
2
)(
2
)(
hgz
c
hgz
c
mW
Adiabatic Energy Equation
For Insulated Devices
Applicable Equation for Turbines & Turbo compressors:
ú
û
ù
ê
ë
é
++=ú
û
ù
ê
ë
é
++ 22
2
2
11
2
1
2
)(
2
)(
hgz
c
hgz
c
Applicable Equation for Nozzles & Diffusers (W=0):
ú
û
ù
ê
ë
é
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ 2
2
2
1
2
1
2
)(
2
)(
h
c
h
c
ú
û
ù
ê
ë
é
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ 2
2
2
1
2
1
2
)(
2
)(
h
c
h
c
Note:
dh=d(u+pv)=Cp(dT) Eq. 35
27. STAGNATION STATE
ú
û
ù
ê
ë
é
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ 2
2
2
1
2
1
2
)(
2
)(
h
c
h
c
When Flow is isentropically decelerated to final Zero velocity,
We get Stagnation State
[ ] ú
û
ù
ê
ë
é
+= 1
2
1
0
2
)(
h
c
h
0=+ cdcdh
[ ] ú
û
ù
ê
ë
é
+= 1
2
1
0
2
)(
TC
c
TC pp
pC
c
TT
2
)( 2
1
10 +=
Eq. 36
ûë 2 ûë 2 pC2
1
2
1
1
0
2
)(
1
TC
c
T
T
p
+=ú
û
ù
ê
ë
é
1
2
1
1
0
1
2
)(
1
T
R
c
T
T
G
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
+=ú
û
ù
ê
ë
é
g
g
1
2
1
1
0 )(
2
1
1
TR
c
T
T
Gg
g
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
1
&
1 g
g
g
G
p
G
v
R
C
R
C
Eq. 37
28. STAGNATION & STATIC STATES
1
2
1
1
0 )(
2
1
1
TR
c
T
T
Gg
g
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é
2
1
2
1
1
0
)(
)(
2
1
1
a
c
T
T
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é g
( )21T öæ -
+=
ùé g
( ) ( )1
0
1
0
1
00
---÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
ú
ù
ê
é
=ú
ù
ê
é
=ú
ù
ê
é
=ú
ù
ê
é
gg
g
g
rvpT
But( )2
1
1
0
2
1
1 M
T
T
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é g
1
0
1
0
1
0
1
0
øè
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
r
r
v
v
p
p
T
T
But
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é 1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
&
gg
g
r
r
T
T
T
T
p
p
Eq. 40 Eq. 41
29. RELATIONSHIP BETWEEN
STAGNATION & STATIC PROPERTIES
MT
T 2
1
1
0
2
1
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é g
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é 1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
&
gg
g
r
r
T
T
T
T
p
p
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
ú
ù
ê
é
÷
ö
ç
æ -
+=ú
ù
ê
é 12
1
0
2
1
1
g
g
g
Mp
p
Eq. 42ú
û
ê
ë
÷
ø
ç
è
+=ú
û
ê
ë
1
1 2
1 Mp
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é 1
1
2
1
1
0
2
1
1
gg
r
r
M
Eq. 42
Eq. 43
30. Static Velocity of Sound at state x
xGx TRa g=
Stagnation Velocity of Sound
( ) ( ) oopoGo hTCTRa 11 -=-== ggg
Stagnation & Static Enthalpies
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
22
2
1
1
2
c
h
c
h o
o ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
2
2
1
1
c
hho
Co=0
( ) ( )1212 TTChh p -=- ( ) ( )refxprefx TTChh -=-
Eq. 44
32. RELATIONS FOR STAGNATION ENTHALPY
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
2
2
c
hho
TRTCh Gp ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
==
1g
g
TRp Gr=
TRa Gg=2
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
==
rg
g
g
pa
TCh p
11
2
TRa Gg=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
212122
22222
0
cpcac
TC
c
hh p
rg
g
g
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
21212
2
max
2
0
222
0
cacac
TCh p
gg
33. RELATIONS FOR STAGNATION ENTHALPY
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
21212122
2
max
2
0
22222
0
cacpcac
TC
c
hh p
grg
g
g
00max
1
2
2 ahc ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
==
g
÷
ö
ç
æöæöæ 222
cca 2 22
÷
ö
ç
æ
÷
ö
ç
æ ca
Eq. 45
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- 221
2
max
22
cca
g ( )
1
1
2
2
max
2
2
max
2
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
- c
c
c
a
g
12
max
2
2
0
2
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
c
c
a
a
Eq. 46
34. STEADY FLOW ELLIPSE
& DIFFERENT REGIMES OF FLOW
12
max
2
2
0
2
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
c
c
a
a
Governing Equation Eq. 46
35. GAS DYNAMICS RELATIONS…
¢ Max Flow Velocity ( cmax)
00max
1
2
2 ahc ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
==
g
airfor
c
..24.2
2max
=÷
ö
ç
æ
=÷
ö
ç
æ
Eq. 47
Eq. 48airfor
a
c
..24.2
1
2
0
max
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
g
Eq. 48
36. GAS DYNAMICS RELATIONS…
¢ Critical Flow Velocity ( ccritical / C*)
It is the flow velocity when M=1
***
== TRaC Gg Eq. 49
( )2
1
1
0
2
1
1 M
T
T
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é g
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ +
=÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é
Þ÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é
*
*
*
2
1
2
1
1
2
1
1 020 ggg
T
T
M
T
T
Eq. 50
37. GAS DYNAMICS RELATIONS…
¢ Critical Flow Velocity ( ccritical / C*)
***
== TRaC Gg ÷
ø
ö
ç
è
æ +
=ú
û
ù
ê
ë
é
*
2
10 g
T
T
0
0
1
2
1
2 a
T
RaC G
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
== **
gg
g
Eq. 51
0
11
G
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è +÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è + gg
**
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
== caahc
1
1
1
1
1
2
2 00max
g
g
g
g
g
airfor
a
c
c
c
..45.2
1
1
**
maxmax
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
=÷
ø
ö
ç
è
æ
=÷
ø
ö
ç
è
æ
g
g
Eq. 56
38. TEMPERATURE RATIOS
( )20
2
1
1 M
T
T
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=ú
û
ù
ê
ë
é g
÷
ø
ö
ç
è
æ +
=ú
û
ù
ê
ë
é
*
2
10 g
T
T
&
2
*
12
M
T
÷÷
ö
çç
æ -
+÷÷
ö
çç
æ
=ú
ù
ê
é g 2
1
1
1
2
M
T
T
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=ú
û
ù
ê
ë
é
g
g
g Eq. 57
