1. 活化教學演示
演示教師:陳炯輝老師
與H213全班同學

2. 三等分角問題
三等分角問題（trisection of an angle）
是二千四百年前，古希臘人提出的幾何三大作
圖問題之一，即 用圓規與直尺把一任意角三等
分。問題的難處在於作圖使用工具的限制。古
希臘人要求幾何作圖只許使用直尺 （沒有刻
度，只能作直線的尺）和圓規。這問題曾吸引
著許多人去研究，但都無一成功。１８３７年
凡齊爾（ １８１４－１８４８）運用代數方法
證明了，這是一個尺規作圖的不可能問題。

3. • 希臘人會試著去三等分任意角，可能是角
的平分之後的延伸。許多希臘數學家在這
個問題上，發明了許多的「程序」去三等
分一個角，其中包括阿基米德 (Archimedes,
287-212 B.C)及尼可門笛斯 (Nicomedes,
約240 B.C)。

4. •在研究「三等分角」的過程中發現了如蚌
線、心臟線、圓錐曲線等特殊曲線。人們
還發現，只要放棄「尺 規作圖」的戒律，
三等分角並不是一個很難的問題。古希臘
數學家阿基米德（前２８７－前２１２）
發現只要 在直尺上固定一點，問題就可解
決了。

5. 阿基米德在他的《引理集》(Book of Lemmas)的命題8寫道：
如果AB是以O為圓心上的任意弦，AB延長到C，使得BC等於圓的半徑；
如果CO交圓於D並延長到交圓於第二點E，則弧AE等於3倍的弧BD。
• 證明：作弦EF平行AB，連接
OB，OF
• 因為角OEF＝角OFE，
所以，角COF＝2角OEF＝2角
BCO（由平行）＝
2角BOD（因為BC＝BO）
• 所以， ，弧BF是弧BD的3
倍。而弧AE等於弧BF，所
以，弧AE是弧BD的3倍。

6. 問題是~~~????
若AE為給定的弧，延長
CO時不見得會交於E
點，所以，我們無法用
尺規作圖解決。

7. • 現簡介其法如下：在直尺邊緣
上添加一點Ｐ，命尺端為Ｏ。
• 設所要三等分的角是∠ＡＣ
Ｂ，以Ｃ為圓心，ＯＰ為半
徑作半圓交角邊於Ａ，Ｂ；使
Ｏ點在ＣＡ延線上移 動，
• Ｐ點在圓周上移動，當尺通過
Ｂ時，聯ＯＰＢ（見圖）。
• 由於ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以
∠ＣＯＢ＝∠ＡＣ Ｂ／３。
• 這裡使用的工具已不限於尺
規，而且作圖方法也與公設不
合。

8. 三等分任一角的另一解決途徑，為
尼可門笛斯的方法
• 如圖，角AOB為給定之角，
• (1)過B作AO的垂線交AO於
C，
• (2)作直線BD平行AO。
• (3)在直線BD上找一點Q，連
OQ，並交BC於P，使得PQ
＝2OB，則
• 3角AOQ=角AOB