(Semana 09 dinámica fisica i unac 2009 b)

DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA/ FÍSICA I

DINÁMICA RECTILÍNEA
SEMANA 08
1. CONCEPTO: Llámese Dinámica a la parte de la Mecánica que estudia las leyes del
movimiento de los cuerpos materiales sometidos a la acción de fuerzas. El movimiento de
cuerpos fue estudiado en la Cinemática desde el punto de vista puramente geométrico. En la
Dinámica, a diferencia de la Cinemática, durante el estudio del movimiento de los cuerpos se
tienen en cuenta las fuerzas efectivas, así como la inercia (masa) de los propios cuerpos
materiales. La noción de
fuerza como una magnitud Y
que caracteriza la medida de
la interacción mecánica de a
cuerpos materiales fue
introducida en la Estática.
F
Pero en la Estática m
consideramos que todas las
fuerzas son constantes y no X
tocamos el problema de las
posibles variaciones de estas SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL
fuerzas en función del
tiempo. Sin embargo a demás de las fuerzas constantes, actúan generalmente fuerzas variables,
cuyos módulos y direcciones varían durante el movimiento del cuerpo. La experiencia muestra
que las fuerzas variables pueden depender de un modo determinado del tiempo, de la posición
del cuerpo y de su velocidad. La fuerza en un resorte depende de la posición del cuerpo; la
fuera de resistencia del agua o del aire depende de la velocidad del cuerpo en el medio.

2. FUERZA Y MOVIMIENTO. Según el pensamiento Aristotélico, se supo que los cuerpos se
movían gracias a la existencia permanente de una fuerza en la dirección del movimiento. Así,
un borrador que se impulsa sobre una mesa se detiene inmediatamente después que dejamos de
empujarlo. De acuerdo con Galileo, los cuerpos impulsados como el del ejemplo anterior se
detienen como consecuencia de recibir una fuerza de rozamiento por parte del piso, de manera
que en un piso liso y horizontal el borrador nunca se detendría, y ello se debe a que posee
INERCIA.

3. SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL: Se denomina de este modo al sistema de
referencia que se encuentra fijo a la Tierra (reposo relativo) o se mueve con velocidad
constante en linea recta respecto a otro sistema de referencia fijo a la Tierra. El principio de
relatividad de Einstein, dice: “la expresión matemática de cualquier ley física debe tener la
misma forma en todos los sistemas inerciales de referencia”.

4. SEGUNDA LEY DE NEWTON O LEY DE ACELERACIÓN.
Sir Isaac Newton descubrió que un cuerpo sometido a una fuerza resultante F no nula presenta
siempre una velocidad variable; esto es, el cuerpo experimenta una aceleración. Sus
observaciones y experimentos le permitieron establecer la siguiente ley: “Toda fuerza
resultante desequilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce una aceleración que será de la
misma dirección y sentido que aquella, y su valor será directamente proporcional con la fuerza,
pero inversamente proporcional con su masa”.

“Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo, originará en él una aceleración en su

Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931 Página 1

misma dirección”.
La rapidez con que varia la cantidad de movimiento [ p = m.v ] de un punto material es igual a
la fuerza  F  que actúa sobre él.
 
La expresión matemática de la segunda ley de Newton, tiene la forma:
dp d
F= reemplazando tenemos que: F = ( m.v ) considerando que la masa del punto
dt dt
d
material es constante se obtiene la ecuación: F = m. ( v ) = m.a
dt
Las componentes de la aceleración en coordenadas cartesianas son:
Fx Fy Fz
ax = , ay = , az =
m m m
FRESULTANTE
La ley de la aceleración se expresa de la siguiente manera: a =
m
”Sila fuerza resultante diferente de cero actúa sobre un cuerpo, entonces este acelera
necesariamente. La aceleración que adquiere es directamente proporcional a la fuerza
resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Además la fuerza resultante y la
aceleración tienen la misma dirección”.

5. FUERZA DE GRAVEDAD (W ) : En una magnitud física vectorial. Se define como la
fuerza resultante que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que lo rodean. Se representa por un
vector vertical hacia abajo que indica en todo instante al centro de la Tierra. Analizando el
movimiento de caída libre, la fuerza resultante es la “fuerza de gravedad” (W) sobre el cuerpo
y la aceleración (a = g) es igual a la “aceleración de la gravedad”.
F = m.a ⇒ W = m.g
La fuerza se mide en newton. Un newton es la fuerza resultante que actuando sobre un cuerpo
de un kilogramo le produce aceleración de módulo de 1,0 m/s2. Equivalencia:
1,0 newton = 1,0 kg.m.s −2

6. INERCIA. Caracteriza a a
la propiedad de los
cuerpos materiales de
cambiar más rápido o F1= 40 N 2 kg 3 kg F2 = 100 N
más lentamente la A B
velocidad de su
movimiento bajo la
Para el ejemplo 01.1
acción de las fuerzas
aplicadas. Si, por
ejemplo, bajo la acción a a
de fuerzas iguales la
velocidad del primer
F1= 40 N 2 kg T 3 kg F2 = 100 N
cuerpo varía más
lentamente que la del A T B
segundo, se dice que el
primer cuerpo es más Para el ejemplo 01.2
inerte que el segundo y
viceversa. La Inercia es una propiedad intrínseca de la materia. Existen inercia mecánica,

inercia eléctrica, inercia magnética, inercia biológica, etc.

EJEMPLO 01: Se muestra dos bloques A y B de masas 3 kg y 2 kg. Sabiendo que no existe
rozamiento. Determinar el módulo de la aceleración de los bloques y de la tensión en la cuerda.

Resolución
Realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque y luego aplicamos la segunda ley de
Newton a cada cuerpo: FRESULTANTE = M .a
Cuerpo A: T − 40 = ( 2 ) .( a ) …. (1)
Cuerpo B: 100 − T = ( 3) .( a ) …. (2)
Adicionando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: 100 − 40 = ( 5 ) .( a )
Resolviendo la ecuación: a = 12 m/s2
Reemplazando en (1) tenemos: T − 40 = ( 2 ) .(12 )
Resolviendo la ecuación: T = 64 N
Respuesta: el módulo de la aceleración de los
bloques es 12 m/s2 y de la tensión es 64 N.

EJEMPLO 02: Un bloque se encuentra sobre un
plano inclinado perfectamente liso. Determine el
módulo de la aceleración del bloque sobre el plano
inclinado. (g: módulo de la aceleración de la
gravedad) θ
Resolución
Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra
y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. No hay movimiento en el eje Y, mientras
que el bloque acelera en el eje X. Entonces aplicamos la segunda ley de Newton en el eje X.

∑F =0
y
a
N = m.g.Cosθ N

y ∑F x = m.ax
m.g.Senθ = m.a x y
mg.Senθ
a x = g.Senθ θ
mg.Cosθ
Respuesta: el módulo de la x
aceleración sobre el plano es m.g
g.Senθ θ


7. MÉTODO DE ATWOOD PARA DETERMINAR LA ACELERACIÓN
Teniendo en cuenta que las fuerzas internas en un cuerpo rígido no producen aceleración,
entonces podemos determinar el módulo de la aceleración de un conjunto de cuerpos que tienen


común el módulo de la aceleración.

Pasos a seguir:

(1) Se hace el diagrama del cuerpo libre de u sistema de cuerpos.
(2) Se grafican solamente fuerzas externas al sistema. No se grafican las fuerzas internas al
sistema.
(3) Todos cuerpos involucrados deben ten el mismo modulo de aceleración.
(4) La fuerza resultante se obtiene de la diferencia, fuerzas a favor del movimiento menos las
fuerzas en contra del movimiento.
(5) En el denominador siempre se coloca la masa total del sistema, es decir se coloca siempre la
suma de masas de los cuerpos en movimiento.

a=
∑ fuerzas en favor del mov. − ∑ fuerzas encontra del mov.
∑ masas
George Atwood, ingeniero británico que debido a su experiencia docente, estableció ciertas
reglas prácticas para determinar el módulo de la aceleración de un conjunto de cuerpos que se
encuentran en movimiento.

EJEMPLO 03: Se muestra dos bloques A y B de masas 3 kg y 2 kg. Sabiendo que no existe
rozamiento. Determinar el módulo de la aceleración de los bloques.
Resolución
a
Aplicamos el método de George a
Atwood, para determinar el 3 kg
módulo de la aceleración: F1 = 100 N 2 kg F2 = 40 N
F1 − F2
a= A B
mA + mB
Reemplazando tenemos: Para el ejemplo 03
100 N − 40 N 60 N
a= = = 12 m.s −2
2 kg + 3 kg 5 kg

Respuesta: el módulo de la aceleración de los bloques es 12 m/s2.

8. SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL ( S2 ).
Es aquel sistema de referencia (S2) con movimiento acelerado o desacelerado respecto a otro
(respecto de la Tierra
S1). El sistema de Y
referencia no inercial S1
puede tener θ a
aceleración tangencial
y/o aceleración
centrípeta. Solamente
para observadores no S2
inerciales aparecen las X
fuerzas de inercia,
como por ejemplo la SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL
“fuerza centrifuga”


que el opuesto de la fuerza centrípeta.

9. PRINCIPIO D’ ALEMBERT Y LA FUERZA DE INERCIA.
Para el observador S2 (no inercial) la esfera suspendida en el techo del vagón se encuentra en
reposo relativo. Por consiguiente la fuerza resultante es NULA. El método de D’ Alembert
consiste en agregar una fuerza de INERCIA para producir el equilibrio relativo.
Convencionalmente la fuerza de inercia tiene dirección contraria (opuesto) de la aceleración
del sistema.
FINERCIA = − m.a
Para el observador S2 (no inercial) se cumplen todas las leyes, principios y propiedades de la
Estática, es decir del equilibrio de los cuerpos.

10. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Y GRAVEDAD EFECTIVA.
En el interior del sistema acelerado se genera una gravedad local cuya intensidad se denomina
gravedad efectiva. La intensidad del campo local se obtiene adicionando la gravedad que
genera la Tierra g más la
aceleración del sistema pero con T

dirección opuesta ( − a ) . θ T
Expresión vectorial para la
gravedad efectiva: θ
FINERCIA
g efectiva = g + ( − a ) M.g

Aplicado el teorema de Pitágoras FINERCIA = m.a
al triángulo rectángulo de
aceleraciones: M.g
Módulo de la gravedad efectiva: FUERZA DE INERCIA

g efectiva = g 2 + a 2 Y

θ θ
gefec
El principio de equivalencia a
gefec g
es una continuidad del
principio de D’Alembert
(fuerza de inercia). La fuerza a
S2
de inercia fue propuesto por
los físicos franceses
D’Alembert y Lagrange X
GRAVEDAD EFECTIVA O LOCAL
(1850) y el Principio de
Equivalencia fue desarrollado por Albert Einstein (1915) como una proposición que constituye
la base del Principio General de la Relatividad.

11. EL PESO ES RELATIVO:
Un hombre de masa m se encuentra parado sobre una balanza en el interior
de un ascensor en movimiento.
(1) Si el ascensor sube o baja con velocidad constante, la lectura en la
balanza es: P = m.g.
(2) Si el ascensor sube con aceleración constante a (acelerado), la lectura
en la balanza es: P = m(g + a)

(3) Si el ascensor baja con aceleración constante a (acelerado), la lectura en la balanza es:
P = m(g - a)
(4) Si el ascensor baja con aceleración constante a = g (acelerado), la lectura en la balanza es:
P = 0. La lectura en la balanza en nula.

12. Fuerza de Rozamiento: Cuando un cuerpo se pone en contacto con otro y se desliza o
intenta resbalar respecto a él, se generan fuerzas de oposición a estos movimientos, a los que
llamamos fuerzas de fricción o de rozamiento. La naturaleza de estas fuerzas es
electromagnética y se generan por el hecho de que las superficies en contacto tienen
irregularidades (deformaciones), las mismas que al ponerse en contacto y pretender deslizar
producen fuerzas predominantemente repulsivas. La fuerza de rozamiento es una componente
de la resultante de estas fuerzas, su línea de acción es paralela a las superficies, y su sentido es
opuesto al del movimiento relativo de los cuerpos. Debido a su compleja naturaleza, el cálculo
de la fuerza de rozamiento es hasta cierto punto empírico. Sin embargo, cuando los cuerpos son
sólidos, las superficies en contacto son planas y secas, se puede comprobar que estas fuerzas
dependen básicamente de la fuerza de reacción Normal (N), y son aproximadamente
independientes del área de
contacto y de velocidad relativa W
del deslizamiento.

13. Fuerza de Rozamiento Fexterna
Estático (fS):
Este tipo de fuerza aparece
cuando los cuerpos en contacto no fk
deslizan. Su valor máximo se
presenta cuando el deslizamiento N
es inminente, y el mínimo cuando FRICCIÓN
la intención de movimiento es
nula:
0 ≤ f s ≤ f s( max ) ⇒ f s( max ) = µ s .N

14. Fuerza de Rozamiento Cinético (fk): Estas fuerzas se presentan cuando las superficies en
contacto se deslizan una respecto a la otra. Su valor es prácticamente constante, y vienen dados
así: f k = µ k .N
µs : Coeficiente de rozamiento estático
µk : Coeficiente de rozamiento cinético

15. Coeficiente de Fricción ( µ ): el valor de “µ” representa de un modo indirecto el grado de
aspereza o deformación común que presentan las superficies secas de dos cuerpos en contacto.
Así mismo, “µ” depende de los materiales que forman las superficies.
µk < µ s a
µ : cantidad a dim en si o n al

80 N
EJEMPLO 04: Se muestra 5 kg
un bloque de 5 kg sobre una
superficie áspera donde el
coeficiente de rozamiento Para el ejemplo 04.1
cinético es 0,4. Si la fuerza

horizontal constante que actúa sobre el bloque tiene módulo 80 N, determinar el módulo de la
aceleración. (g = 10 m/s2)

Resolución
Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre
del bloque. No hay movimiento en el eje Y, ∑ Fy = 0 , mientras que el bloque acelera en el eje
X, ∑ Fx = m.ax
50 N
Cálculo de la reacción
Normal, en el eje vertical:
∑F y =0 ⇒ N = m.g 80 N a
5 kg
Cálculo de la fuerza de
rozamiento: f k = µ k .N
fk
⇒ f k = µ k .m.g
f k = ( 0 , 4 ) .( 5 ) .(10 ) = 20 N
Para el ejemplo 04.2 N
Entonces aplicamos la
segunda ley de Newton en el eje horizontal:
∑F x = m.ax ⇒ F − f k = m.a x
80 − 20 = ( 5 ) .ax ⇒ ax = 12 m.s −2
Respuesta: el módulo de la aceleración es 12,0 m/s2.

16. MASA. Es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo. La masa es al mismo tiempo, una
medida de las propiedades gravitacionales del cuerpo, porque según la ley de gravitación
universal, dos cuerpos se atraen recíprocamente con fuerzas que son directamente
proporcionales al producto de sus masas e inversamente proporcionales al cuadrado de la
distancia entre ellos. En Mecánica se considera que la masa [ m ] es una magnitud escalar
positiva y constante para cada cuerpo dado. La variación de la masa de un cuerpo se estudia en
Física Moderna.

17. PUNTO MATERIAL. El movimiento de un cuerpo no solo depende de la masa y de las
fuerzas aplicadas, sino también de las dimensiones del cuerpo y de la distribución de la masa
en el cuerpo. Para evitar la distribución de la masa en un cuerpo, se introduce el concepto de
punto material. Se llama punto material (un cuerpo que tiene masa), cuyas dimensiones
pueden ser despreciadas durante el estudio de su movimiento. Por ejemplo se puede considerar
como punto material a un planeta, durante el estudio de su movimiento alrededor del Sol. En
el estudio del choque entre dos esferas, podremos reemplazar por su equivalente, el choque
entre dos puntos materiales.

18. LEYES DE LA DINÁMICA. La Dinámica se basa en las leyes que generalizan los
numerosos experimentos y observaciones sobre el movimiento de cuerpos y que son
justificados por la amplia practica social e histórica de la humanidad. Por primera vez estas
leyes fueron sistematizadas por el científico inglés Isaac Newton en su obra clásica “Principios
matemáticos de la filosofía natural” editada en el año 1687.

19. La primera ley (ley de inercia) descubierta por el científico italiano Galileo Galilei (1638)
dice: “un punto material libre de toda influencia exterior, conserva su estado de reposo o de

movimiento rectilíneo y uniforme hasta que las fuerzas aplicadas a él lo obliguen a cambiar
de estado”.
El movimiento que realiza el punto material en ausencia de fuerzas se llama movimiento por
inercia.
La ley de la inercia refleja una de las propiedades esenciales de la materia: la de encontrarse
siempre en movimiento; y establece para los cuerpos materiales la equivalencia entre los
estados de reposo y de movimiento por inercia. De esta ley se deduce que si F R = 0 , el punto
material está en reposo o se mueve con velocidad constante en modulo y dirección. En este
caso, la aceleración del punto material es nula  a = 0  . Si el movimiento del punto material no
 
es uniforme y rectilíneo, entonces sobre este actúa una fuerza resultante diferente de cero.
El sistema de referencia, respecto de la cual la ley de inercia es válida, se llama sistema de
referencia de inercia (sistema de referencia inmóvil, fija a la Tierra).

20. La segunda ley (ley fundamental de la Dinámica) establece como varia la velocidad del
punto material bajo la acción de una fuerza resultante diferente de cero. Ella textualmente dice:
“el producto de la masa del punto material por la aceleración que éste recibe bajo la acción
de la fuerza resultante, es igual en módulo de esta fuerza resultante; la dirección de la
aceleración coincide con la de la fuerza resultante”.
Matemáticamente esta ley se expresa por la igualdad vectorial: F R = ( m ) .a
La segunda ley de la dinámica, como la primera, se refiere solamente a un sistema de
referencia de inercia. De esta ley se ve inmediatamente que la medida (cuantitativa) de la
inercia de un punto material es su masa., porque bajo la acción de una misma fuerza dos puntos
materiales diferentes reciben la misma aceleración solamente cuando sus masas son iguales; si
las masas son diferentes, el punto de mayor masa recibe menos aceleración y viceversa.

21. La tercera ley (ley de la igualdad de la acción y reacción) establece el carácter de la
interacción mecánica entre los cuerpos materiales. Esta ley, para los puntos materiales, formula
los siguiente: “dos puntos materiales actúan uno sobre el otro con fuerza iguales en modulo
y dirigidas a los largo de la recta que une estos puntos, en direcciones opuestas (sentidos
opuestos)”.  F 1 = − F 2 
 
Recordemos que las fuerzas de interacción entre puntos (o cuerpos) materiales están aplicadas
a cuerpos diferentes. Si dos esferas que tienen la misma rapidez chocan frontalmente, después
del choque el cuerpo de menor masa tendrá mayor rapidez y el de mayor masa tendrá menor
rapidez, esta experiencia demuestra que las fuerzas de acción son fuerzas de igual valor pero
actúan en cuerpos diferentes y en direcciones opuestas.

22. MASA VARIABLE CON EL TIEMPO.
La masa de un cuerpo puede variar como resultado de que se separan o adhieran las partículas
de ciertas sustancias. Un ejemplo de masa variable es un cohete espacial, el combustible
disminuye con al transcurrir el tiempo.
La expresión matemática de la segunda ley de La Dinámica , tiene la forma:
dp d
FR = reemplazando tenemos que: FR = ( m.v ) considerando que la masa del punto
dt dt
material es variable con respecto del tiempo se obtiene la ecuación:
d  dm
F R = m. ( v ) +   .v
dt  dt 



d dm
FR = m. ( v ) + ( v − v1 ) .
dt dt
FR : es la fuerza resultante de las fuerzas externas aplicadas al punto material (o cuerpo).
dm
v1 : es la velocidad de las partículas que se separan, entonces, ≺0
dt
dm
v1 : es la velocidad de las partículas que se adhieren, entonces, ≻0
dt
Analizando el segundo miembro de la ecuación, identificamos a la fuerza relativa que se
define como:
dm dm
Frel = ( v − v1 ) = u. donde, u = v − v1 es la velocidad relativa de las partículas que se
dt dt
separan o se adhieren, o sea sus velocidades con respecto al sistema de referencia que se
traslada junto al cuerpo.

23. RESULTANTE DE LA FUERZA EXTERNA NULA.
Imaginemos un cohete lejos de la Tierra donde la fuerza resultante de todas las fuerzas externas
es nula, entonces la ecuación tiene la siguiente forma:
d dm d dm
0 = m. ( v ) + ( v − v1 ) . despejando tenemos la siguiente ecuación: m. ( v ) = −u.
dt dt dt dt
Si la velocidad relativa de salida de los gases es u entonces el cohete se moverá en dirección
opuesta.

Si la velocidad relativa u es constante, la relación entre la velocidad del cohete y su masa se
m 
expresa por la fórmula: v = − u.ln  0 
 m
donde m0 es la masa inicial del cohete y m la masa en el instante considerado.

La velocidad máxima que puede alcanzar un cohete en ausencia de las fuerzas externas es:
 m0 
v = −u.L n   donde mP es la masa inicial del combustible.
 m0 − mP 



PROBLEMAS PROPUESTOS DE DINÁMICA RECTILÍNEA

1. Un bloque de masa MA = 4 kg se encuentra encima de otro de masa MB = 5 kg. Se sabe que,
manteniendo fijo MB, se necesita por lo menos una fuerza de módulo 12 N para mover a MA.
considerando que entre MB y la mesa no hay fricción, determine el máximo módulo de la
fuerza horizontal de F en N sobre MB para que ambos bloques se muevan juntos.

a
A
F F
B 2M 3M

Para el problema 01
Para el problema 04

2. Cuando una misma fuerza se aplica a tres cuerpos diferentes adquieren aceleraciones de
módulos 2, 3 y 6 m/s2 respectivamente. Si los tres cuerpos de colocan juntos y se aplica la
fuerza anterior, el modulo de la aceleración será:

3. Se aplican fuerzas iguales (módulo y dirección) y constantes sobre dos cuerpos de masas M y
m, las que parten del reposo en el mismo instante. Cuando ha transcurrido en tiempo “t” la
rapidez del bloque M es V; mientras cuando ha transcurrido el tiempo “2t” la rapidez del
bloque “m” es 3V. Determine la relación entre las masas M/m.

4. Dos bloques de masas 2M y 3M que están unidos por una cuerda yacen sobre una mesa
horizontal. La cuerda puede soportar sin romperse una tensión de 12 N. Sin considerar la
fricción entre los cuerpos y la mesa, el modulo de la fuerza F máxima (en N) que puede
aplicarse al bloque 3M para que la cuerda no se rompa es:

V

g
g

3
1
P1

4
24 m
Para el problema 05 Para el problema 08
2

Para el problema 07

5. Una persona se encuentra en un ascensor parado sobre una balanza. Al comenzar a subir el
ascensor es acelerado y la balanza indica un peso P1. Después, sube a velocidad constante y la
balanza indica un peso P2. Finalmente, es desacelerado y la balanza indica un peso P3. La

relación entre las medidas de la balanza está dada por:
A) P1 > P2 = P3 B) P1 = P2 > P3 C) P1 = P2 = P3
D) P1 > P2 > P3 E) P1< P2 < P3

6. Un bloque de masa 4 kg descansa sobre el piso de un ascensor que desciende con aceleración
de módulo 3 m/s2, entonces el bloque presiona sobre el piso con una fuerza de módulo (en N):
g = 10 m/s2

7. En la figura los bloques tiene las siguientes masas: m1 = 4 kg y m2 = 1 kg. Si el sistema
empieza a moverse del reposo, ¿Cuál es el módulo de las velocidades (en m/s) cuando están al
mismo nivel? g = 10 m/s2

8. Un bloque de dimensiones 0,4x 0,4m2 de base y 0,8 m de altura se coloca son plano inclinado
rugoso, coeficientes de rozamiento estático y cinético 0,8 y 0,7 respectivamente, en estas
condiciones el bloque tiende a: g = 10 m/s2
A) No se desliza pero se volcará. B) Ni se desliza ni se volcará.
C) Deslizar con aceleración igual 5 m/s2 D) Deslizar con aceleración igual 4 m/s2
E) Deslizar con aceleración igual 3 m/s2

9. Una barra homogénea reposa sobre una superficie horizontal perfectamente lisa (sin fricción).
Su centro de gravedad esta en G, como indica la figura. Si el cuerpo se inclina ligeramente cae
al piso, ¿Dónde quedará su centro de gravedad G?
A) En P B) Dependiendo de hacia qué lado se haya producido el impulso, en Q y S.
C) En T D) En R E) Muy lejos de dichos puntos, pues no hay fricción.

g F

G 4

3
R
P Q S T Para el problema 12
Para el problema 09

10. Un bloque se desliza sin fricción desde el reposo hacia abajo sobre un plano inclinado que
hace un ángulo de 45° con la horizontal. Cuando se desliza sobre otro plano que tiene la misma
inclinación que la anterior con coeficiente de fricción cinética µ, también partiendo del reposo,
el tiempo empleado en recorrer la misma longitud es el doble. Determine el valor de µ.

11. La mínima fuerza horizontal necesaria para mover un cuerpo es 10 kg que descansa sobre
una superficie horizontal es de módulo 40 N. Cuando esta fuerza se aplica al cuerpo este se
mueve con una aceleración de módulo 0,4 m/s2. Los coeficientes de fricción estático y cinético
son entonces, respectivamente: g = 10 m/s2


12. Mediante una fuerza constante horizontal se lleva hacia arriba, con movimiento uniforme, un
bloque de 5 kg sobre el plano inclinado mostrado en la figura. Si el coeficiente de fricción
cinético entre el bloque y el plano es 0,5, determinar el módulo de dicha fuerza (en N).
g = 10 m/s2

13. En la figura el automóvil está jalando a los vagones con aceleración de módulo 4 m/s2.
Determine el módulo de la tensión (en N) en cada cuerda. (considere que las llantas no resbalan
sobre el piso).

a
F
AUTO
100 kg 150 kg
θ Horizontal
Para el problema 13
53° a

g

Para el problema 14

14. El cuerpo mostrado en la figura acelera en la dirección mostrada con módulo a = 10 m/s2.
Luego el módulo de la fuerza F, adicional a la fuerza de gravedad, que actúa sobre el cuerpo
hace un ángulo θ con la horizontal es igual a: (g = 10 m/s2 )

g
A

B

1 kg

30°
Para el problema 16
Para el problema 15

15. Un resorte, cuya longitud natural es de 10 cm, se cuelga del techo de un ascensor y en su
extremo libre coloca un bloque de 1 kg. Cuando el ascensor sube con aceleración de módulo 2
m/s2, la longitud total del resorte es de 15 cm. ¿Cuál será, en cm, la longitud total del resorte
cuando un el ascensor baja con una aceleración de modulo 4 m/s2? g = 10 m/s2

16. Dos bloques A y B de masas 15 kg y 10 kg respectivamente, se desplazan a lo largo del
plano inclinado como se muestra en la figura. La fuerza de rozamiento sobre el bloque A es
constante de modulo 20 N y la fricción sobre el bloque B es nulo. Determine el modulo de la
tensión de la cuerda que une a los bloques (en N). g = 10 m/s2


17. Se muestra dos bloques A = 2 kg y B = 3 kg en movimiento sobre la superficie plana
horizontal lisa. Si el módulo de la fuerza es F = 120 N, determine el módulo de la tensión en la
cuerda C.

movimiento

C F
A B

18. Se muestra los bloques A = 2 kg y B = 3 kg en movimiento, sin rozamiento. Determine el
modulo de la tensión en l acuerda que une los bloques. (g = 10 m/s2)

B

A

19. Se muestra un sistema de bloques en movimiento, libre de rozamiento. Determine el
módulo de la aceleración del bloque de mayor masa (en m/s2). (g = 9,8 m/s2)

g

4m

m m

20. Se muestra dos bloques A = 1 kg y B = 4 kg en movimiento, sin rozamiento. Determine
el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2)

A

B

21. Se muestra tres bloques en movimiento, sin rozamiento. Si A = 2 kg, B = 3 kg y C = 5 kg,
determine el módulo de la tensión en la cuerda que une los bloquea B y C. (g = 10 m/s2)

B

A C

22. Se muestra la esfera de masa “m” sobre un plano inclinado, en movimiento. Determine el
valor de la mínima aceleración del carro, tal que, la esfera no caiga sobre el plano (en m/s2).
(g = 10 m/s2)



m
a

37°

23. La figura muestra los bloques A = 1 kg y B = 2 kg en movimiento, sin rozamiento. Si el
módulo de la fuerza es F = 18 N, determine el módulo de la aceleración del bloque B (en m/s2).
Desprecie la masa de la polea móvil.

A F
B

24. Se muestra dos bloques en movimiento, sin rozamiento. Si M = 1 kg, determine la tensión
en la cuerda que une a los bloques. (g = 10 m/s2)

M
2M
30°

25. La figura muestra una esfera de masa " m" y un carrito que se mueve con aceleración de
módulo a = 4.g y el dinamómetro D indica una lectura de valor 4.m.g . Si despreciamos la
masa del dinamómetro, determine la medida del ángulo θ .

D
a
m
θ

26. Sobre un cuerpo de masa 3M actúa una fuerza de modulo F1 produciendo una aceleración
de 2 m/s2. Si la fuerza F2 actuando sobre la masa 2M produce una aceleración 4 m/s2. ¿Qué
aceleración (en m/s2) producirá F1 y F2 actuando perpendicularmente sobre la masa 5M?
F1
5M

F2

27. Determine el módulo de F (en newtons) sabiendo que la barra homogénea se encuentra de
equilibrio, donde A = 4 kg y B = 1 kg. Desprecie el peso de la polea. (g = 10 m/s2)

L L

F

A B

28. Se muestra dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 20 kg. Determine el modulo de la
aceleración de cada bloque (en m/s2).


(2)
(1)

53° 30°

29. Usando una polea ingrávida, sobre una pista lisa, se jala un sistema de bloques de masas
m1 = m y m2 = 3m. Determine el máximo valor de F tal que el bloque (1) no resbale sobre (2).
Sabiendo que µ es el coeficiente de rozamiento entre los bloques.

µ 1 F
2

30. Se muestra un carro de masa M. El bloque de masa M se encuentra en reposo respecto del
carro. Determine la elongación que experimenta el resorte (en m), sabiendo que F = 40 N. La
constante elástica del resorte es K = 100 N/m. No hay rozamiento.

F
k
M

31. Determine el módulo de la aceleración del bloque Q (en m/s2) tal que el hombre de
encuentre cómodamente parado en posición horizontal. (g = 10 m/s2)
F
Q

30°

32. Se muestra un hombre de 88 kg en el interior de un ascensor de 32 kg. Determine el
módulo de la reacción entre los zapatos del hombre y el piso del ascensor (en newtons). (g = 10
m/s2)

100kg

33. Se muestra dos bloques en movimiento. Si no hay rozamiento, determine el módulo de la
aceleración. Sabiendo que la constante elástica en el resorte K = 100 N/m y m = 11 kg. (g = 10
m/s2).

m
6m
4m


34. Se muestra dos bloques tienen masas de módulos m1 = 1 kg y m2 = 1 kg. Si no hay
rozamiento, determine el módulo de la tensión en la cuerda (en N). Desprecie la masa de la
polea. (g = 10 m/s2)

2

1

35. Se muestra un carro de masa “3m” que se mueve horizontalmente sobre una superficie
que no ofrece fricción. Si m1 = 5m y m2 = 2m, determine el módulo de la fuerza de reacción
entre el bloque de masa m1 y la pared interior del carro (en N). El módulo de la fuerza es F =
100 N.

F
1 2

36. Determine el módulo de la aceleración que experimenta el bloque en cada caso:
5kg 2kg
16N 15N
4N 7N

Liso Liso
50N
5kg
37°
30N

Liso

37. Del gráfico, determine el módulo de F; si el módulo de la fuerza de rozamiento es de 10
N.
3kg 6m/s2
F

Aspero

38. Determine el módulo de la tensión que soporta la cuerda, si el módulo de la fuerza de
rozamiento sobre el bloque de 8 kg es de 20 N. (No existe rozamiento para el bloque de 2 kg)
8kg 2kg
80N

39. Determine el módulo de la fuerza de contacto entre los bloques mostrados. (Superficies
lisas).
60 N
7 kg 3 kg


40. Determine el módulo de la tensión que soporta la cuerda.

3kg

7kg

41. Si el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque es de 10 N; determine el módulo
de la tensión en la cuerda.
2kg

8kg

42. Una esfera de 5 kg se encuentra suspendida del techo de un ascensor que acelera hacia
arriba con 8 m/s2. Determine el módulo de la tensión en la cuerda.

8m/s2

5kg

43. Un hombre de 78 kg se encuentra en el interior de un ascensor, parado sobre una báscula.
Si el ascensor baja con aceleración de 5 m/s2, determine la lectura de la balanza.

78kg
5m/s2

44. Del gráfico determine el módulo de la aceleración de la plataforma si la esfera no se
mueve respecto a la plataforma.
θ

m

45. La gráfica muestra como varia el módulo de una fuerza horizontal aplicada a un bloque
de 5 kg en función del tiempo; determine el módulo de F en el instante en que su aceleración es


de +2 i (m/s); si el módulo de la fuerza de rozamiento es de 20 N.
F(N)
60

t(s)
10

46. Una fuerza horizontal a un bloque que se encuentra en reposo le produce una aceleración
de y cuando se aplica la misa fuerza a otro bloque que se encuentra también en reposo le
produce una aceleración de +3 i (m/s). ¿Cuál será el módulo de la aceleración que producirá la
misma fuerza a un bloque cuya masa es igual a la suma de las masas de los dos bloques
anteriores?

47. Si la aceleración del bloque de 6 kg es +3 i (m/s2); determine el módulo de F; si la fuerza
que ejerce el viento sobre el bloque es de -9 i (N)
F

53°
Liso

48. Si el bloque de 8 kg al ir de A hasta B tarda 5 segundos y el módulo de su velocidad se
incrementa en 20 m/s; determine el módulo de si F es constante.
F F

A B

49. Un bloque de 5 kg se encuentra en reposo; si de pronto se le ejerce una fuerza horizontal;
cuyo módulo varía con el tiempo según la gráfica; determine en que instante posee +3 i (m/s2).
F(N)
100
V= 0

µk= 0,4

+ (S)
50

50. Un bloque sometido a una fuerza resultante horizontal; experimenta una aceleración de +3
i (m/s2). ¿Cuál es la masa de dicho bloque, si se sabe que al aumentar el módulo de la fuerza
resultante en un 40% y disminuir la masa en 2 kg; la aceleración es +7 i (m/s2)?

51. Una persona de 60 kg se encuentra de pie sobre una balanza que está en el interior de un
ascensor; determine la lectura de la balanza; cuando el ascensor asciende con 7 j (m/s2).



52. Si la esfera no se mueve respecto de la plataforma; determine θ, si todas las superficies son
lisas. El sistema acelerara con 7,5 i (m/s2).
θ

7,5m2

53. Si el bloque de 4 kg desliza hacia la derecha con +6 i (m/s2), determine el módulo de la
tensión que soporta la cuerda (1).
4kg

Liso

Polea Móvil

(1)

4kg

54. Determine el módulo de F; si el bloque de 2 kg no se mueve respecto a la cuña de 18 kg.
No hay rozamiento.

F

Liso
37°

55. Si el bloque de 2,5 kg resbala sobre la superficie mostrada, determine el módulo de su
aceleración.
25N

µ 0,3
37° 0,25

Taller Número 5
Pregunta 1
Usando las leyes de movimiento de Newton, analice y JUSTIFIQUE la verdad o falsedad de
las siguientes afirmaciones:
a) Una deportista está practicando el lanzamiento de bala (esfera maciza de acero). Se afirma
que cuando la deportista realiza el lanzamiento, la fuerza que ella aplica a la bala es mayor
que la fuerza que la bala hace sobre ella.


b) Una pequeña masita se deja caer por un plano inclinado. Cuando llega a la parte inferior
entra a una superficie horizontal. En los dos tramos desprecie la fricción. Se afirma: cuando
se mueve por el plano inclinado lo hace con rapidez constante y cuando se mueve por la
superficie horizontal decrece su rapidez.
c) Dos competidores se encuentran jalando una cuerda cada uno de un extremo y en sentidos
opuestos. Se afirma que la reacción a la fuerza con la que uno de los competidores jala la
cuerda actúa sobre el otro competidor.
d) Un levantador de pesas, levanta una pesa de masa m con una aceleración A hacia arriba,
aplicándole una fuerza F. Se afirma que la fuerza F aplicada por el deportista es igual a mA.

Pregunta 2
Un cuerpo de masa m = 1 kg se empuja mediante
una fuerza horizontal constante F = 15 N, desde el
punto más bajo del plano inclinado rugoso, que
forma un ángulo de 37º con la horizontal y cuyo
coeficiente de fricción cinético es 0,2. El cuerpo parte
del reposo, y la fuerza F solo actúa durante 3 s,
durante el cual el cuerpo sube una distancia X.
Luego continúa moviéndose una distancia X1 hasta
detenerse. Se pide:
a) Hallar la distancia total que recorrerá el bloque
hasta alcanzar el punto más alto.
b) Si luego de alcanzar el punto más alto el bloque
vuelve a bajar, hallar el tiempo que le toma llegar nuevamente a la posición inicial.

Pregunta 3
Un conductor va manejado una camioneta por una vía rápida a una rapidez de 80 km/h. En la
parte trasera la camioneta transporta una carga de 150 kg. El coeficiente de rozamiento
estático entre la camioneta y la carga es 1,2 y el coeficiente de rozamiento cinético es 0,6.
Repentinamente, el conductor observa que un incauto peatón intenta cruzar rápidamente la vía.
El conductor aplica los frenos cuando se encuentra 30 m detrás del peatón y la camioneta frena
con aceleración constante y se detiene justo antes de atropellar al peatón. Se pide determinar:
a) La aceleración de la camioneta.
b) La aceleración de la caja y la fuerza de fricción sobre esta.

Pregunta 4
El sistema de la figura está formado por dos
masas colocadas sobre distintas superficies
rugosas con µc = 0,2 y µc = 0,1. Sobre el bloque de
30 kg actúa permanentemente una fuerza vertical
de 50 N. Las masas se mueven de modo que el
bloque de 100 kg baja por el plano. La cuerda y la
polea son ideales.
a) Hallar la aceleración de cada una de las
masas.
b) Hallar la tensión de la cuerda y el valor de la
fuerza de fricción sobre cada masa.

Pregunta 5
Desde la base de un plano inclinado rugoso, que forma un ángulo de 35° con la horizontal, se
lanza, en forma ascendente y sobre la superficie del plano, un bloque de 1,5 kg de masa. Se
sabe que la velocidad inicial es de 9 m/s y que los coeficientes de fricción entre el bloque y la
superficie del plano son: µe = 0,6 y µc = 0,4.
a) Hallar la aceleración del bloque y la distancia que viaja hasta detenerse.
b) Una vez que el bloque se ha detenido, ¿se mantiene el bloque en reposo o vuelve a bajar?


c) Si vuelve a bajar, determinar la rapidez que tiene el bloque al retornar a la posición de
partida.

Pregunta 6
En la figura, el bloque A se encuentra sobre el bloque B y este
último sobre el suelo. Una fuerza F = 40 N se aplica al bloque
A formando un ángulo de 15º con la horizontal. Las masas de 15º
A y B son 20 kg y 30 kg, respectivamente, hallar la aceleración F
A
de cada bloque:
a) Si todas las superficies son lisas. B
b) Si los coeficientes de fricción estático y cinético entre A y B
son: 0,05 y 0,01, y entre B y el piso no hay fricción.

Pregunta 7
Un bloque de M = 4 kg y otro de m = 1 kg
están conectados por una cuerda que pasa
por una polea ideal, y se encuentran sobre un
plano inclinado 40° con la horizontal. El
sistema se encuentra inicialmente en reposo.
Si el plano es liso y entre los dos bloques hay
fricción, hallar
a) El rango de valores que puede tomar el
coeficiente de fricción estático.

Si el sistema inicia su movimiento y ahora considera que hay fricción en todas las superficies,
con coeficientes de fricción cinética, 0,2 entre el bloque de masa M y el plano inclinado y 0,1
entre los dos bloques, hallar:
b) La aceleración para ambos bloques y la tensión de la cuerda que une a los bloques.
c) La rapidez del bloque M después de 1 s de iniciado su movimiento.



DINÁMICA II

DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL
1. CONCEPTO: Una de las principales curiosidades del hombre ha sido, es y será el saber con
certeza porqué se mueven los cuerpos. Descubrirlo tomo muchos años. Sin embargo, lo que
más impacto nos causa es el hecho de que el conocimiento de las leyes que lo explican pueden
aplicarse tanto a cuerpos que están a nuestro alrededor como a los cuerpos celestes. El genio de
Isaac Newton puso a nuestro alcance toda la comprensión de los movimientos a partir de sus
causas, naciendo así la DINÁMICA. El trabajo de sus antecesores: Galileo, Kepler, Copérnico,
Descartes, etc.; le permitió tener una buena base para sus estudios, que culminaron en “Las
Tres Leyes de Newton”.

2. INTERACCIÓN: Es una propiedad cualitativa de la materia. Ejemplos: La Tierra y el Sol se
atraen mutuamente. El electrón gira en torno al núcleo del átomo por la atracción mutua entre
el electrón y el protón. El imán y una barra de acero se atraen entre sí. Los protones en el
núcleo experimentan repulsión mutua.

3. FUERZA: Es la medida cuantitativa de la interacción. Entre la Tierra y El Sol existe fuerza
de atracción gravitacional. Entre el electrón y el protón existe fuerza de atracción eléctrica. Los
protones en el núcleo experimentan una
B
fuerza de repulsión eléctrica. Entre el V
imán y la barra de acero existe una fuerza
de atracción magnética.

4. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac): ac
La aceleración centrípeta mide la rapidez V
de cambio que experimenta la velocidad
tangencial en dirección. Se representa por ac ac
O C
vector que indica al centro de curvatura. A
Su valor es directamente proporcional al
cuadrado de la velocidad tangencial e V
inversamente proporcional a l radio de
curvatura. Se mide en m/s2. ac
V 2 ( ω .R )
2

ac = = = ω 2 .R
R R V D
En función de la velocidad tangencial:
V2 ACELERACIÓN CENTRÍPETA
ac =
R
En función de la velocidad angular: ac = ω 2 .R
5. FUERZA CENTRÍPETA: Es la fuerza resultante de todas las fuerzas que tienen dirección
radial, sobre un cuerpo o partícula en un punto y en un instante de su movimiento mecánico.

Fc =
∑ F .hacia el centro − ∑ F .saliendo del centro
masa



De la segunda ley de Newton, la fuerza centrípeta es igual al producto de la masa por la
aceleración centrípeta.
V2
Fc = m.ac = m. …(1)
R
Fc = m.ac = m.ω 2 .R …(2)

2π
ω= = 2π . f …(3)
B
V
T

T
EJEMPLO 01: Una esfera de 800 gramos gira
V
en un plano horizontal con aceleración
centrípeta de módulo 20 m/s2. Determine el T T
módulo de la tensión en la cuerda que lo 0 C
A
mantiene en movimiento.
Resolución
V

Aplicamos la segunda ley de Newton al T
movimiento circunferencial:
Fc = m.ac
V D
La tensión en la fuerza representa a la fuerza Para el ejemplo 01
centrípeta:
T = m.ac
T = ( 0 ,8 kg ) .( 20 m.s −2 ) = 16 N
Respuesta: el módulo de la tensión en la B
V
fuerza es 16 newtons.

EJEMPLO 02: Una piedra de 800 gramos
gira en un plano vertical con velocidad T2
V
tangencial de módulo 20 m/s. Si una cuerda de
0,5 m de largo lo mantiene en movimiento,
determine el módulo de la tensión en la cuerda T1 0 T3 C
A
en la posición más baja de su trayectoria. (g =
10 m/s2)
Resolución V
T4
Aplicamos la segunda ley de Newton al
movimiento circunferencial:
Fc = m.ac V D
En la posición más baja, fuerza (T4 - m.g)
representa a la fuerza centrípeta: m.g
Para el ejemplo 02
T4 − m.g = m.ac
V2
T4 − m.g = m.
R


( 20 )
2

T4 − ( 0 ,8 ) .(10 ) = ( 0 ,8 ) .
0 ,5
T4 = 648 N
Respuesta: el módulo de la tensión en la fuerza es 648 newtons.

EJEMPLO 03: Un automóvil de 1000 kg circula con velocidad tangencial de módulo 10 m/s
por un puente que tiene la forma de un arco circular vertical de radio 50 m. Entonces el valor de
la fuerza de reacción (en kN) del puente sobre el automóvil en el punto más alto de la trayectoria
circunferencial es: Considere g = 10 m/s2.

Resolución
Aplicamos la segunda ley de Newton al N
movimiento circunferencial: V
Fc = m.ac
En la posición más baja, fuerza (W - N)
representa a la fuerza centrípeta: W
W − N = m.ac R
2
V
m.g − N = m. Para el ejemplo 03 O
R
(10 )
2

(1000 ) .(10 ) − N = (1000 ) .
50
N = 8000 newtons
Respuesta: el módulo de la fuerza de reacción normal es 8 kilonewtons.



PROBLEMAS PROPUESTOS DE DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL
1. Con una velocidad de módulo 144 km/h un automóvil entra a una curva que tiene una
inclinación respecto de la horizontal. Si el radio de curvatura es de 160 m, encontrar la medida
del ángulo que la pista hace con la horizontal, de manera que la fuerza de rozamiento sea nula
sobre las llantas del automóvil. Considere g = 10 m/s2.

2. A un vaso con aceite se hace describir un movimiento circunferencial uniforme mediante un
hilo de 2,5 de largo, el movimiento se realiza en un plano vertical. Determinar la rapidez
angular (en s -1) con la que tiene que girar en vaso, para que no caiga el aceite. Considere g =
10 m/s2.

3. Un objeto de masa “m” gira en un plano horizontal a una distancia “h” por debajo del punto P,
como se muestra en la figura. El período de revolución es igual a:

4. Una piedra atada a una cuerda rota uniformemente en un plano vertical. Encontrar la masa de
la piedra (en kg), si la diferencia entre el módulo de la tensión máxima y la mínima en la
cuerda es 100 N. Considere g = 10 m/s2.

C
ω

P

B
O
h
R

m
Para el problema 03
A
Para el problema 4 y 5 Para el problema 06

5. Cierto hilo se romperá si el modulo de la tensión en el excede de 3,7 N y se usa para mantener
un objeto de 50 gramos que gira en una circunferencia de 40 cm de radio. Considerando un
trayectoria circunferencial en un plano vertical, ¿con que rapidez angular máxima puede girar
el objeto antes de que el hilo se rompa? Considere g = 10 m/s2.

6. En los juegos mecánicos de una feria, un cilindro sin fondo de 2,0 metros de radio gira con
rapidez angular constante a razón de 5,0 rad/s. El coeficiente de fricción estático entre el
bloque y la superficie interna del cilindro es 0,5. Si el bloque de 60 kg no resbala, ¿Cuál es el
valor y la dirección de la fuerza de rozamiento sobre el bloque?

A) 3 kN, hacia arriba hacia el eje del cilindro B) 3 kN, vertical hacia arriba
C) 1,5 kN, vertical hacia abajo D) 1,5 kN, horizontal hacia el eje del cilindro
E) 0,6 kN, vertical hacia arriba

7. Un cuerpo de 5 kg describe una trayectoria circunferencial de radio 0,5 metro con velocidad
tangencial de módulo 10 m/s. Entonces el módulo de la fuerza centrípeta (en N) que mantiene


en movimiento al cuerpo es:

8. Un pequeño cuerpo de 200 gramos gira describiendo una circunferencia sobre una superficie
horizontal lisa, sujeto a un eje
clavado en la superficie por una
cuerda de 20 cm de largo. Si el
V
cuerpo da 2 vueltas completas por
segundo, el módulo de la fuerza
ejercida por la cuerda (en N) sobre
el cuerpo será:

9. Un automóvil de 4000 kg circula R
con velocidad tangencial de
Para el problema 09
módulo 20 m/s por un puente que O
tiene la forma de un arco circular
vertical de radio 100 m. Entonces
el valor de la fuerza de reacción (en O
kN) del puente sobre el automóvil R
en el punto más alto de la
trayectoria circunferencial es: (g =
10 m/s2) V

Para el problema 10
10. Un camión de 8 toneladas se
desplaza con velocidad tangencial
de módulo 90 km/h sobre una pista cóncava de radio 250 m como se nuestra en la figura. El
módulo de la fuerza que ejerce el camión (en kN) sobre la pista en el punto más bajo es:
Considere g = 10 m/s2.

11. Calcular la rapidez constante (en m/s) con la que un automóvil debe pasar sobre un puente
en forma de arco circunferencial, de 200 m de radio, para que el punto más alto del puente
soporte una fuerza igual a la mitad del peso del auto.

12. Un cuerpo de masa 2 kg realiza un M.C.U.V. de radio 2m. Si su posición angular θ (en
t2
radianes) en función del tiempo t (en segundos) es θ = 2t + , determine la fuerza (en N) que
2
actúa sobre el cuerpo en el instante t = 1 segundo.

13. Un niño de 25 kg sentado en un carrusel a 9 m del eje de giro, se está moviendo con
velocidad tangencial de módulo 1,5 m/s. ¿Cuál es el módulo (en N) de la fuerza radial actuante
sobre el niño?

14. Halle el módulo de la fuerza centrípeta (en mN) de un objeto de masa 2 kg situado en el
ecuador. Considere el radio ecuatorial igual a 6 400 km.

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL AVANZADO


1. En la figura el automóvil está jalando a los vagones con aceleración de módulo 5 m/s2.
Determine el módulo de la tensión en las cuerdas A y B. Desprecie la fuerza de rozamiento
sobre las llantas de los vagones.
F
a

A B
150 kg
AUTO θ Horizontal
100 kg

53° a
Para el problema 1

g

Para el problema 2

g
A

1 kg
B

30°
Para el problema 3
Para el problema 4

2. El cuerpo mostrado en la figura
acelera en la dirección mostrada
con módulo a = 10 m/s2. Luego el
módulo de la fuerza F, adicional a
la fuerza de gravedad, que actúa
sobre el cuerpo hace un ángulo θ
con la horizontal es igual a: (g =
10 m/s2)

3. Un resorte, cuya longitud natural
es de 10 cm, se cuelga del techo
de un ascensor y en su extremo
libre coloca un bloque de 1 kg.
Cuando el ascensor sube con A A
aceleración de módulo 2 m/s2, la
longitud total del resorte es de 15
cm. ¿Cuál será, en cm, la longitud
total del resorte cuando un el
ascensor baja con una aceleración B C B
de modulo 4 m/s2? g = 10 m/s2


4. Dos bloques A y B de masas 15 kg y 10
kg respectivamente, se desplazan a lo A
largo del plano inclinado como se

Para el problema 7
B C
L

A
A

Para el problema 12

muestra en la figura. La fuerza de rozamiento
sobre el bloque A es constante de modulo 20 N
y la fricción sobre el bloque B es nulo.
Determine el módulo de la tensión de la cuerda
que une a los bloques (en N). g = 10 m/s2

5. Los bloques A, B y C de masas 3 kg, 1,0 kg y Para el problema 8
1,5 kg respectivamente se mueven como se B
muestra en la figura. Determine el valor de la
aceleración de cada bloque. Desprecie las
masas de las poleas y toda forma de A
rozamiento.

6. Los bloques A y B de masas 2 kg, 3 kg
respectivamente se mueven como se muestra
en la figura. Determine el valor de la
aceleración de cada bloque. Desprecie las
masas de las poleas y toda forma de
rozamiento.

Para el problema 9
B



m

M
θ

Para el problema 13

2L L

L

A A
Para el problema 11

7. Los bloques A, B y C de
masas 5 kg, 2 kg y 3 kg Para el problema 10
B C
respectivamente se mueven
como se muestra en la figura.
Determine el valor de la
aceleración de cada bloque.
Desprecie las masas de las
poleas y toda forma de B
rozamiento.

8. Los bloques A y B de masas 2
kg, 3 kg respectivamente se
mueven como se muestra en la
figura. Determine el valor de la
aceleración de cada bloque.
Desprecie las masas de las Para el problema 14 A C
poleas y toda forma de
rozamiento.

9. Los bloques A y B de masas 2 kg, 3 kg respectivamente se mueven como se muestra en la
figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas de las poleas y
toda forma de rozamiento.

10. Los bloques A, B y C de masas 5 kg, 2 kg y 3 kg respectivamente se mueven como se
muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie las masas
de las poleas, la masa de la barra y toda forma de rozamiento.


11. Se muestra un bloque pequeño de masa “m” y una barra de masa M y longitud L= 2,1
metros. Las masas de las poleas, así como la fricción son despreciables. El bloque A se
establece en el nivel de extremo inferior de la barra y se suelta.
¿Al cabo de cuánto tiempo el bloque A se iguala con el extremo
exterior de la barra? Considere: T
 m 8
 M = 5
 
a
12. En el arreglo que se muestra en la figura, la barra tiene una
masa de 300 gramos y el bloque A 200 gramos. El bloque tiene
un agujero que le permite resbalar a lo largo del cable metálico
de masa despreciable con alguna fricción. En el instante inicial el
bloque se coloca en el al nivel del extremo inferior de la barra. A B
Cuando el conjunto se libera del reposo, ambos cuerpos
empiezan con aceleración constante. Determine la fuerza de
Para el problema 15
fricción entre el bloque A y el cable, si después de 0,5 segundo el
bloque llega al extremo superior de la barra cuyo largo es 50
centímetros.
A
13. La cuña de masa M y
ángulo θ está en reposo sobre
una superficie horizontal lisa. B
Sobre la cuña se coloca un θ
bloque de masa “m” tal como
se muestra en la figura.
Despreciando toda forma de
rozamiento, determine el valor
de la aceleración de la cuña.
Para el problema 16

14. Los bloques A, B y C de
masas 1 kg, 2 kg y 3 kg C
como se muestra en la figura. Determine el valor de la aceleración de cada bloque. Desprecie
las masas de las poleas y toda forma de rozamiento.

15. Los bloques A y B de d
masas 2 kg, 3 kg A
como se muestra en la C
figura. El ascensor acelera
hacia arriba con valor de 2
m/s2. Determine el valor de
la tensión T en la cuerda Para el problema 18
unida al techo del ascensor.
Desprecie las masas de las
poleas y toda forma de
rozamiento. (g = 10 m/s2) B

16. Los bloques A, B y C de masas 3 kg, 5 kg y 2 kg respectivamente se mueven como se
muestra en la figura. La cuña B que tiene un ángulo θ de medida 37° está inicialmente en


reposo sobre una superficie horizontal lisa Determine el valor de la aceleración de cada bloque.
Desprecie la masa de la polea, la masa de la cuerda y toda forma de rozamiento.
a
17. Los bloques A, B y
C de masas 5 kg, 3 kg y 2 A
kg respectivamente se
mueven como se muestra
en la figura. Determine el
valor de la aceleración de
F
cada bloque. Desprecie C
las masas de las poleas, la
masa de la barra y toda B
forma de rozamiento. Para el problema 19

18. Si el sistema
mostrado se deja en
libertad a partir del reposo, hallar el tiempo que tarda el bloque A de masa 2 kg, en recorrer la
distancia d = 5 metros
sobre el bloque C de
masa 6 kg. Los bloques
A y B tienen igual masa.
No hay rozamiento y las A
poleas tienen masa
despreciable. (g = 10 C
2
m/s )
Para el problema 17
19. En el sistema
mostrado determinar el B
valor de la fuerza “F”
con la finalidad de que el
bloque A de masa 20 kg
y la esfera B de masa 10 kg permanezcan en reposo respecto del carro C de masa 90 kg.
Desprecie toda forma de rozamiento. (g = 10 m/s2)

A B
A B

x
L x 2L -
2L - x
x

W

P
Para el problema 22
Para el problema 20
Para el problema 21


20. Una cadena uniforme y perfectamente flexible está colgado en un clavo perfectamente
liso. Si lo separamos ligeramente de su posición de equilibrio, ¿con qué rapidez abandona la
cadena el clavo?, siendo “2L” la longitud de la cadena. Desprecie el diámetro del clavo. No hay
rozamiento.

21. Sobre una polea de radio R se cuelga una
cadena flexible de largo ( 2L + πR ) metros, que C
pesa Q newtons por cada metro. Al principio x = L
, si lo separamos ligeramente de su posición de
A
equilibrio, desciende hasta x = 2L a la que llega B

con una rapidez U. Determinar:
a) la aceleración de la cadena prescindiendo de la
masa de la polea, b) la rapidez U y c) las tensiones
de la cadena en A y B para una posición cualquiera
α α
L ≤ x ≤ 2L . Desprecie toda forma de Para el problema 23
rozamiento.

22. Sobre una polea de radio R se cuelga una
C
cadena flexible de largo ( 2L + πR ) metros, que
pesa Q newtons por cada metro. En los extremos de
W P
la cadena se cuelgan los pesos W y P expresados en
newtons. El mayor de ellos es P, se encuentra al
principio en su posición más alta x = L , y desciende
hasta su posición más baja x = 2L a la que llega una
rapidez U. Determinar:
α β
a) la aceleración de los bloques prescindiendo de la Para el problema 24
masa de la polea, b) la rapidez U y c) las tensiones de
la cadena en A y B para una
posición cualquiera Para el problema 25
L ≤ x ≤ 2L . Desprecie
toda forma de
rozamiento.

23. Una cadena pesada y
perfectamente flexible de
longitud ACB igual a “2L” B
se coloca sobre dos planos
inclinados en cuyo vértice
C va una pequeña polea de
masa despreciable. La θ A
cadena está inicialmente en
reposo, si lo separamos
ligeramente de su A B
Para el problema 26
posición de equilibrio, la


cadena resbala. Determinar la rapidez de la cadena en el instante en que su extremo A llega a
C. Desprecie toda forma de
rozamiento.
2 a
24. Se muestra dos bloques de m
pesos W y P expresados en
newtons, unidos por una
cuerda flexible de masa
despreciable. Sabiendo que
existe rozamiento de coeficiente
cinético µ c , determine el m
módulo de la aceleración de θ Para el problema 27
cada bloque (en m/s2).
Considere que el bloque de la
izquierda desciende.

25. Se muestra los bloques Ay B de
masas 6,0 kg y 1,0 kg respectivamente.
Determinar la aceleración de cada Para el problema 28
bloque. Desprecie toda forma de B A
rozamiento.

26. Se muestra los bloques A y B de
masas 2,0 kg cada uno. En el plano
inclinado θ = 37º existe rozamiento,
cuyo coeficiente de rozamiento
A Para el problema 29
cinético es 0,5. Si la polea móvil tiene
masa de 1,0 kg, determinar la K
aceleración de cada bloque. Desprecie B
la masa de la polea fija y el rozamiento
en el eje de la polea.

27. Determinar la aceleración a del sistema, de tal
manera que la esfera de masa [ 2m ] permanezca en θ θ
reposo respecto del plano inclinado. La esfera pequeña
de masa [ m ] se desvía hacia la izquierda debido a la
inercia. Desprecie toda forma de rozamiento.

28. Se muestra los bloques A y B de masas 1,0 kg y 2,5 W
kg respectivamente. Existe rozamiento solamente entre
los bloques A y B cuyo coeficiente de rozamiento
Para el problema 25
cinético es 0,5. Determine el valor de la aceleración de A
y B. Desprecie la masa de las poleas.



29. Se muestra dos bloques A y B de B
masa 1,0 kg y 2,0 kg en equilibrio, Para el problema 31
donde el resorte de constante elástica
K = 60 N / m se encuentra comprimido.
El coeficiente de rozamiento entre el
bloque B y el piso horizontal es 0,2 y
0,1 estático y cinético respectivamente.
Sabemos que el bloque B está pronto a g
resbalar. ¿Qué aceleración adquiere el
bloque B cuando levantamos al bloque A
A? ¿Qué aceleración tiene el bloque B
cuando el resorte alcanza la posición M
de equilibrio? θ

30. Una cuerda elástica sostiene a un bloque de peso “W”, sujeto al techo de un ascensor en
forma simétrica como se
Para el problema 27
muestra. El ángulo de suspensión F
es θ = 37º cuando el ascensor
está en reposo. En cambio
cuando el ascensor se mueve con θ
M
aceleración constante ángulo es
θ = 53º . Encontrar el valor y el
sentido de la aceleración del ascensor. Desprecie el peso de las cuerdas.

31. Una barra AB de masa “m” Para el problema 33
puede moverse sin fricción tanto A
hacia arriba como hacia abajo entre
cuatro rodillos fijos. El extremo
inferior de la barra toca la superficie B F
lisa de una cuña de masa “M”. La
cuña está sobre una superficie θ
horizontal plana sin rozamiento.
Determinar la aceleración de la barra
AB y de la cuña.

32. Se muestra un bloque de masa M sobre un superficie horizontal rugosa, cuyo coeficiente
de rozamiento cinético es
µ . Determinar la medida
del ángulo θ tal que la
aceleración del bloque de
masa M sea máxima.

33. Se muestra dos A Para el problema 34
boques A y B de masas B
“m” y “M” θ
respectivamente, de
superficies rugosas cuyo coeficiente de rozamiento estático es µ . Determine el de valor de la
fuerza “F” mínima y máxima, tal que el bloque A no resbale sobre el bloque B.


34. Se muestra dos boques A y B
de masas “m” y “M” B
respectivamente. Si no existe g
rozamiento, determine la
aceleración de A y de B. Desprecie
la masa de la polea fija.
Para el problema 35
A θ
35. La barra AB de masa “M”
F
está articulada en el extremo A.
Determine el valor de la PLATAFORMA
aceleración horizontal a , tal que,
la barra permanezca en equilibrio
respecto de la plataforma formando un ángulo θ respecto de la horizontal.

A a
A B
d
a
a d
a
m ω
d m
a
6m
6m

36. Se muestra una estructura de masa despreciable en forma de “T” en cuyos extremos se
encuentra soldada esferas de masa “m” y “6m”.
Determinar la velocidad angular ω con que gira
el eje vertical. La distancia “a” se mide en 0,3 m 0,3 m
metros. A
y
C
37. Se muestra una estructura de masa
despreciable en forma de “T” en cuyos extremos
se encuentra soldada esferas de masa “m” y ω 0,4 m
“6m”. Determinar la aceleración a con que se
desplaza el vagón. La distancia “d” se mide en
y’ D
metros.
0,2 m
38. La barra AB es mantenida en posición Para el problema 38
vertical por medio de la cuerda CD cuando el B
sistema gira alrededor del eje y − y′ . La barra AB de peso 300 N puede girar libremente
alrededor de la articulación en A. Si la máxima tensión que puede resistir la cuerda CD es 1,0
kN, calcular la máxima velocidad angular con que puede girar el sistema sin que la cuerda se
rompa.


39. El manguito A puede deslizarse libremente alrededor
y
del anillo de radio R. Cuando el sistema gira alrededor del eje ω
vertical y − y′ con velocidad angular constante ω se
encuentra en la posición mostrada. Determine la medida del
ángulo θ que define la posición de equilibrio.

ω
O R
K X=0
θ

Para el problema 40
L A
y’
Para el problema 39
y
ω

ω R
O R

θ

A
y’ Para el problema 41
Para el problema 42

R

R
Para el problema 43
40. Un bloque pequeño de 200 gramos está sujeto a un eje vertical por intermedio de un
resorte de longitud natural “L” igual a 80 cm y constante elástica “K” igual a 36 N/m. Si el
bloque puede deslizarse radialmente por una ranura sobre la superficie horizontal, determinar
la elongación producida en el resorte cuando el sistema gira alrededor del eje con velocidad
angular constante de 6 rad/s.

41. Una cadena flexible de masa “M” y longitud “L” cuyos extremos están unidos, fue
colocada en un disco de madera sobre un plano horizontal, el cual gira respecto de un eje
vertical con velocidad angular constante ω . Determinar el valor de la tensión en la cadena.


42. Una bolita de masa “m” descansa inicialmente en la parte baja de un casquete esférico
cuyo interior es liso y tiene radio R de y
2,0 metros. Cuando el sistema gira ω
alrededor del eje vertical y − y′ con Para el problema
velocidad angular constante ω de 44
módulo π (rad / s) se encuentra en la
posición mostrada. Determine la
medida del ángulo θ que define la O
R
posición de equilibrio.
θ
43. ¿Cómo están relacionados entre
sí las fuerzas con las cuales un tanque y’
hace presión en el centro de un puente
cóncavo y de un puente convexo? El
y
radio de curvatura del puente en ω
ambos casos es de 45 m y la velocidad
tiene módulo de 54 km/h.
L

m
θ θ L

m

m 2L
Para el problema 48 θ θ

Para el problema 45
44. Sobre un plano inclinado y’
descansa un bloque de masa “m”, cuyo
coeficiente de
rozamiento de C
rozamiento estático es
µ . Cuando el sistema
gira alrededor del eje B
vertical y − y′ con
velocidad angular g
constante ω , el bloque
A
tiende a deslizarse.
Determine la máxima
rapidez angular Para el problema 46
constante tal que el O R R R
bloque permanezca en
reposo respecto del plano inclinado, como se muestra.

45. Se muestra dos esferas de masa iguales (m = 12 kg) sujetadas por cables de largo L y 2L.
Determine la tensión en la cuerda de largo “2L”, cuando el sistema gira alrededor del eje

vertical y − y′ con velocidad angular constante
ω de módulo 5 rad/s. Considere L= 0,5 metro. ω Para el problema 47

y m
46. Se muestra tres esferitas A, B y C de 5 kg
cada una, que se encuentran unidas por tres
cuerdas de largo R igual 1 m. Si se hace girar en
un plano vertical, ¿Qué tensión soportará la y’
R
cuerda que une las esferas B y C, cuando la
tensión en cuerda que une el centro de rotación
“O” con la esfera A sea
igual a cero? Para el problema 49

47. Se muestra un
sistema que gira R
O
alrededor del eje vertical
y − y′ con velocidad θ
angular constante ω . El
bloque de masa “m” se
encuentra apoyada en un 24 m
plano vertical áspero
cuyo coeficiente de
rozamiento estático es µ
, ¿con que rapidez angular mínima debe
girar el sistema tal que el bloque no ω Para el problema 50
resbale?
y
48. Se muestra un ascensor que sube con
aceleración constante de valor a = 3.g ,
d
dentro del cual se encuentra una esfera
atada a una cuerda de largo 2,0 metros que y’
L
gira con velocidad angular constante. ¿Qué
ángulo θ formará el péndulo cónico con la
vertical?

49. Se hace girar una esfera de 3 kg en un ω
plano vertical unida a una cuerda de largo R y
igual a 2,0 metros, la cual se rompe en la M
posición que se muestra, cuando la cuerda
forma un ángulo θ de 53° con la vertical.
Si luego la esfera describe una trayectoria y’
parabólica obteniendo un alcance horizontal
de 24 m, determine la tensión en la cuerda R
en el instante que se rompe.
Para el problema 51
m
50. Una barra uniforme y homogénea de
longitud “L” y masa “M”, gira alrededor de
un eje vertical y − y′ con velocidad angular constante ω . ¿Qué tensión horizontal experimenta
la barra a una distancia “d” del eje de giro?


51. Un bloque de masa “M” descansa sobre una preforma horizontal. Una cuerda une a éste
bloque con otro de masa “m” que se encuentra en el eje de rotación. Cuando el sistema gira
alrededor del eje
vertical y − y′ ω
Para el problema 47
con velocidad Para el problema y
angular constante 53 K
ω de módulo O R
π / 3 (rad / s) se M
encuentra en la
posición y’ R
mostrada. Si V
M = 2.m y el
coeficiente de
rozamiento
estático entre el
bloque M y el plano es µ = 3−1 , determine
los valores máximo y mínimo del radio R
para que el bloque de masa M permanezca
en reposo respecto de la plataforma.
θ
52. Un bloque de masa M se encuentra
sobre una superficie horizontal, donde puede
moverse radialmente libre de rozamiento.
Cuando el sistema gira alrededor del eje
vertical y − y′ con velocidad angular
constante [ 2ω] el radio de la circunferencia R
es [ R = 3L ] . Se repite el experimento pero Para el problema 54
con velocidad angular [ ω] tal que el radio
de curvatura es [ R = 2L ] . ¿Cuál es la
longitud natural del resorte de constante elástica “K”?

53. Se muestra una manguera de goma, doblado en forma de un tubo circunferencial, circula
el agua con velocidad de módulo “V”. Si el diámetro “d” se tubo es menor, mucho menor que
“R”, ¿Cuál es el valor de la tensión en el tubo de goma? Considere “R” como el radio interior
del anillo de goma y [ δ ] la densidad del agua.
54. Un avión describe una circunferencia en un plano horizontal durante el vuelo. Si demora
un intervalo de tiempo “T” en cada vuelta, determinar el ángulo de inclinación, si este se
desplaza con velocidad tangencial de módulo “V”.
55. Un automóvil de 1,2 toneladas describe un trayectoria circunferencial de radio 60 m en
una plano horizontal con velocidad tangencial constante de módulo 15 m/s. Determinar el valor
de la fuerza centrípeta que actúa sobre el automóvil. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento
estático entre las llantas y la pista es 0,54; ¿Cuál es la máxima velocidad que puede desarrollar
el automóvil sin salir de la circunferencia debido al resbalamiento?
FUENTES DE INFORMACIÓN:
http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com
http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com walter_perez_terrel@hotmail.com
wperezterrel@gmail.com
walter_perez_terrel@yahoo.com


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