Laboratorios de Matemáticas: Ángulos y Funciones Trigonométricas

Presenta: Prof. Rafael Ortiz
Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas
Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División
de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la
Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras.
Sufragado por fondos federales
de Título I -A.
1
Prof. Fredes Rodríguez
Prof. Miguel L. Colón

 Saludos
 Dinámica de presentación
 Estándares desarrollados en la presentación
 Taller
 Ángulos y sus medidas
 Funciones trigonométricas
 Triángulo rectángulo
 Ley del seno
 Ley del Coseno
 Post Prueba
 Evaluación del taller
2

3

4

5

Es la abertura formada por dos rayos divergentes que tienen
un extremo común que se denomina vértice. El lado B, se llama
el lado inicial (permanece fijo) y el segundo lado, lado A, se
llama lado terminal del ángulo. El ángulo comienza en la
posición del lado inicial y gira alrededor del vértice O en un
plano hasta que alcanza su posición terminal.
6
Elementos de un ángulo:
 O

A
B

Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del
reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el
sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo
(Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no
está limitado. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos
lados iníciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman
ángulos coterminales.
7

positivoángulo
Lado inicial
Lado terminal
Figura 1

negativoángulo
Lado terminal
Lado inicial
Figura 2

escoterminalángulos y

Lado terminal
Lado inicial
Figura 3

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la
posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado
inicial a lo largo del eje positivo de x. Si el lado terminal de un ángulo
que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice
que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.
8

ángulo cuadrantal
Lado inicial
Lado terminal
Nota:
Los ángulos que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos
cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).

Lado inicial
Lado terminal
ángulo en posición normal

Medición en grados
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600).
Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado
(10). El símbolo “0” denota grados. Los grados se subdividen en minutos y los minutos
en segundos, de tal modo que un grado tiene sesenta minutos y un minuto sesenta
segundos. Los símbolos utilizados para representar los grados, los minutos y los
segundos son, respectivamente: °, ', ''. Por ejemplo, un ángulo cuya medida es 34
grados 11 minutos y 56 segundos se denota por 34°11'56''.
Medición en radianes
Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio 𝑟 > 0, y la longitud
del arco opuesto a 𝜃 en la circunferencia es s, entonces 𝜃 medido en radianes está dado
por:
9
s
r
𝜃
𝜃 = 𝑠
𝑟
radianes
Un radián es el tamaño del ángulo central de un
círculo que interseca un arco de la misma longitud que el
radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en
las mismas unidades. Además, se usa de dos maneras:
para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.
Nota:
La medida en radianes es un escalar (número sin unidades), pues las unidades
en que se miden la longitud del arco y el radio se simplifican, por tanto, queda un
número sin unidades.

Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es
un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide
menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 900
pero menos de 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice
está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.
10

ángulo agudo

ángulo obtuso

ángulo recto

ángulo central

ángulo llano

La conversión de grados a radianes y de radianes a grados se
basa en que: 180° = 𝜋 radianes
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos
las siguientes factores:
180°
π
o
𝜋
180°
11
Ejemplo:
Cambiar el ángulo de grados a radianes
1. 210° 210° 𝜋
180° = 30° ∙ 7 𝜋
30°∙6 = 7𝜋
6
Cambiar el ángulo de radianes a grados
2. 4𝜋
3
4𝜋
3
180°
𝜋
= 4𝜋
3
3∙60°
𝜋
= 4 ∙ 60° = 240°

Dos ángulos diferentes pueden tener
los mismos lados iníciales y terminales,
estos ángulos se llaman ángulos
coterminales.
12
Ejemplo:
Hallar dos ángulos coterminales con 200°
θ 𝑐𝑜𝑡 = 𝜃 ± 360°𝑘 = 200° ± 360° 1 =
200° + 360° = 560°
200° − 360° = −160°
vueltasdenumeroeleskdonde;
radianesenángulospara,2
gradosenángulospara,360
mincot






k
k
aler





Lado terminal
Lado inicial
Para encontrar ángulos coterminales se utiliza la siguiente fórmula:

Un ángulo de referencia es la medida del ángulo agudo que
se forma desde el lado más cercano del eje horizontal hasta el
lado terminal del ángulo original.
13
𝜃 𝜃𝑟
𝜃𝑟
𝜃
𝜃𝑟
𝜃
𝜃𝑟
𝜃
En el cuadrante I
𝜃𝑟 = 𝜃
En el cuadrante II
𝜃𝑟 = 𝜃 − 180°
En el cuadrante III
𝜃𝑟 = 𝜃 − 180°
En el cuadrante IV
𝜃𝑟 = 𝜃 − 360°
Nota:
Los ángulos de referencias siempre son positivos porque representan
una medida. Los signos que surgen de la formula se refieren a los ángulos
medidos en dirección positiva o dirección negativa.

14
Ejemplo:
Encuentre l ángulo de referencia para
3
5
2

 r
3

 r
 150180r
0
30r
O
x
y
r

3
5
3
5
)

 a
0
708) b
O x
y
r 
870
Los ángulos 870° y 150°
son coterminales [porque
870° – 2(360°) = 150°]. Por lo
tanto, el lado terminal de este
ángulo esta en el cuadrante II.
El ángulo de referencia es
el ángulo agudo formado por
el lado terminal de 5𝜋
3
que esta
en el cuadrante IV.

15

Sea U una circunferencia unitaria, esto es,
perteneciente a un circulo trigonométrico. La
ecuación de dicha circunferencia es 𝑥2 + 𝑦2 = 1.
Dado cualquier número real 𝑡, se llama 𝜃 a
cualquier ángulo en posición estándar cuya
medida en radianes es 𝑡. Obsérvese la figura de
la derecha; 𝑃(𝑡) denota el punto de intersección
del lado terminal de 𝜃 con U.
16
El número real 𝑡, que es la longitud del arco 𝐴𝑃 de U, es la medida
en radianes del ángulo 𝜃.
Se puede asociar a cada 𝑡 ∈ 𝑅 , un punto único 𝑃(𝑡) de la
circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden
definir a partir de las coordenadas 𝑥, 𝑦 de 𝑃(𝑡) .

Si 𝑡 es un numero real y 𝑃(𝑥, 𝑦) es el punto de
una circunferencia unitaria U que corresponde a
𝑡 entonces:
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑦 cos 𝑡 = 𝑥
𝑡𝑎𝑛 𝑡 =
𝑦
𝑥
𝑐𝑜𝑡 𝑡 =
𝑥
𝑦
csc 𝑡 =
1
𝑦
sec 𝑡 =
1
𝑥
17
El número real 𝑡, que es la longitud del arco 𝐴𝑃 de U, es la medida
en radianes del ángulo 𝜃.
Se puede asociar a cada 𝑡 ∈ 𝑅 , un punto único 𝑃(𝑡) de la
circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden
definir a partir de las coordenadas 𝑥, 𝑦 de 𝑃(𝑡) .

Ejemplo:
Hallar las seis funciones trigonométricas de 𝑡 y (−3
5
, 4
5
) es el punto
de una circunferencia unitaria U que corresponde a 𝑡.
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑦 =
4
5
cos 𝑡 = 𝑥 =
−3
5
𝑡𝑎𝑛 𝑡 = 𝑦
𝑥
=
4
5
−3
5
= −4
3
𝑐𝑜𝑡 𝑡 = 𝑥
𝑦
=
−3
5
4
5
= −3
4
csc 𝑡 = 1
𝑦
=
1
4
5
= 5
4
sec 𝑡 = 1
𝑥
=
1
−3
5
= −5
3
18
Se aplica la definición de las razones trigonométricas y luego se
simplifica si es posible.

𝒕 = 𝟎:
En este caso las coordenadas de P son 𝑥 = 1 y 𝑦 = 0; y las funciones
trigonométricas se deducen a partir de su definición. La cotangente y la cosecante
no están definidas para t = 0 (la división por 0 no existe).
𝑠𝑒𝑛 0 = 0 cos 0 = 1
𝑡𝑎𝑛 0 =
0
1
= 0 𝑐𝑜𝑡 0 =
1
0
=indefinido
sec 𝑡 =
1
1
= 1 csc 0 =
1
0
=indefinido
19

𝒕 =
𝝅
𝟔
:
El arco 𝑃𝑃′
= 𝜋
3
, el segmento 𝑂𝐴 biseca el ángulo 𝑃𝑂𝑃′
, por lo tanto 𝒕 =
𝝅
𝟔
. Como el
triángulo 𝑃𝑂𝑃′
tiene los segmentos 𝑂𝑃 y 𝑂𝑃′
iguales que el radio r. Los ángulos 𝑂𝑃𝑃′
, 𝑂𝑃′
𝑃 y
𝑃𝑂𝑃′
son iguales a 60°, se tiene que: el triángulo 𝑃𝑂𝑃′
es un triángulo equilátero. El segmento
𝑃𝑃′
= 𝑟 = 1; por lo tanto el segmento 𝐴𝑃 = 𝑦 = 1
2
. El segmento 𝑂𝐴 = 𝑥 = 1 − 1
2
2
= 3
2
por
lo tanto el segmento 𝑂𝐴 = 3
2
.
𝑠𝑒𝑛
𝝅
𝟔
=
1
2
cos
𝝅
𝟔
=
3
2
𝑡𝑎𝑛
𝝅
𝟔
=
1
2
3
2
=
3
3
𝑐𝑜𝑡
𝝅
𝟔
=
3
2
1
2
= 3
sec
𝝅
𝟔
=
1
3
2
=
2 3
3
csc
𝝅
𝟔
=
1
1
2
= 2
20

𝒕 =
𝝅
𝟒
:
𝜋
4
es la mitad de 𝜋
2
; por lo tanto el segmento 𝑂𝑃 biseca el primer cuadrante. Se
tiene el triángulo isósceles 𝑂𝐴𝑃, con los segmentos 𝑂𝐴 y 𝐴𝑃 iguales, esto es 𝑥 = 𝑦.
Como 𝑥2 + 𝑦2 = 1 es la ecuación de la circunferencia unitaria, entonces sustituimos
y por x y despejamos para x. Se obtiene 𝑥 = 2
2
.
𝑠𝑒𝑛
𝝅
𝟒
=
2
2
cos
𝝅
𝟒
=
2
2
𝑡𝑎𝑛
𝝅
𝟒
=
2
2
2
2
= 1 𝑐𝑜𝑡
𝝅
𝟒
=
2
2
2
2
= 1
sec
𝝅
𝟒
=
1
2
2
= 2 csc
𝝅
𝟒
=
1
2
2
= 2
21

𝒕 =
𝝅
𝟑
:
En el triangulo 𝑃𝑂𝐵, los segmentos 𝑂𝑃, 𝑂𝐵 y 𝑃𝐵 son iguales al radio 𝑟 por lo tanto los
ángulos 𝑃𝑂𝐵, 𝑂𝑃𝐵 y 𝑃𝐵𝑂 son iguales a 60°, en el triángulo equilátero 𝑃𝑂𝐵 𝑠𝑒 tiene que el
segmento 𝐴𝑃 biseca el segmento 𝑂𝐵 que es igual al radio y este a su vez es igual a 1; por lo
tanto el segmento 𝑂𝐴 = 𝑥 = 1
2
. El segmento 𝐴𝑃 = 𝑦 = 3
2
.
𝑠𝑒𝑛
𝝅
𝟑
=
3
2
cos
𝝅
𝟑
=
1
2
𝑡𝑎𝑛
𝝅
𝟑
=
3
2
1
2
= 3 𝑐𝑜𝑡
𝝅
𝟑
=
1
2
3
2
=
3
3
sec
𝝅
𝟑
=
1
1
2
= 2 csc
𝝅
𝟑
=
1
3
2
=
2 3
3
22

𝒕 =
𝝅
𝟐
:
En este caso las coordenadas de P son 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1; y las funciones
trigonométricas se deducen a partir de su definición. La tangente y la secante no
están definidas para 𝒕 =
𝝅
𝟐
(la división por 0 no existe).
𝑠𝑒𝑛
𝝅
𝟐
= 1 cos
𝝅
𝟐
= 0
t𝑎𝑛
𝝅
𝟐
=
1
0
= indefinido 𝑐𝑜𝑡
𝝅
𝟐
=
0
1
=0
sec
𝝅
𝟐
=
1
0
= indefinido csc
𝝅
𝟐
=
0
1
= 0
23

24
Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables
t  (x, y) sen t cos t tan t cot t sec t csc t
0 0°  0,1 0 1 0 No existe 1 No existe
6

30°  2
1
2
3
, 2
1
2
3
3
3
3 3
32
2
4

45°  2
2
2
2
, 2
2
2
2
1 1 2 2
3

60°  2
3
2
1
, 2
3
2
1
3 3
3
2 3
32
2

90°  1,0 1 0 No existe 0 No existe 1

Ejemplo para
resumir las funciones
trigonométricas
25

26
a) cos(135°)=
b) tan(390°)=
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones
45°
El lado terminal de 135° esta en el segundo
cuadrante por lo tanto el ángulo de referencia es
45° y el coseno es negativo en este cuadrante. El
coseno de 45° es
2
2
.
− 2
2
3
3
135°
y
x
O x
y
390o
30°
El lado terminal de 390° esta en el primer
cuadrante por lo tanto el ángulo de referencia es
30° y la tangente es positiva en este cuadrante.
La tangente de 30° es
3
3
.

27

Los triángulos rectángulos son
aquellos que tienen un ángulo de
90°. El teorema de Pitágoras
aplica, la suma de los cuadrados
de los catetos es igual que el
cuadrado de la hipotenusa.
28
Razones trigonométricas del ángulo 𝜃
seno cosecante
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
coseno secante
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
tangente cotangente
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
Cateto
opuestoal
ángulo
Cateto adyacente al ángulo


Ejemplo:
Hallar las seis razones
trigonométricas para el
ángulo 𝜃 del triángulo de la
derecha.
29
35
12

Solución:
Primero buscamos la hipotenusa.
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2
= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 2
+ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 2
= 12 2
+ 35 2
= 1369
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 1369 = 37
Después se busca cada razón trigonométrica y se simplifica si es
posible.
seno coseno
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
=
35
37
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
=
12
37

Ejemplo:
Hallar las seis razones
trigonométricas para el
ángulo 𝜃 del triángulo de la
derecha.
30
35
12

Solución:
Después se busca cada razón trigonométrica y se simplifica si
es posible.
tangente cotangente
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
=
35
12
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
=
12
35
cosecante secante
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
=
37
35
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
=
37
12

31

Ángulo de elevación
)

Ángulo de depresión
)
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un
plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas
horizontal y visual
Horizontal

Ejemplo:
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y
370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura
están los ovnis?
32
Solución
70 m
120m120m
90m
160m
+
H=
90 +70 = 160 H = 120m
70 m
O
53 o
37
H=

33
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos
en un plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y
oeste(O).
Dirección
La dirección de B respecto de A
es E30N o
N60E o
La dirección de C respecto de A
es o
S56 O S34O o
o
o
Rumbo
El rumbo de Q respecto de P
o
47
El rumbo de M respecto de P
o
27 al este del sur
al oeste del norte
E
N
S
O A
O
30
B
O
56
C
EO
S
N
P
Q o
47
o
27
M

Ejemplo:
Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección
N530O luego recorre 40 2 km en la dirección SO, finalmente
recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el
insecto de F ?
34
Observa que el triángulo
color rojo es notable.X = 20
Solución
34
x
24
3216
40 20 12
16
40
o
53
o
37
40 2
o
45
o
45 O
N
S
F
E
60

35

36

Los triángulos que no contienen un ángulo recto son
triángulos oblicuos.
Un triangulo esta determinado por tres de sus seis partes
(lados y ángulos conocidos).
LAL Conocidos dos lados y el ángulo entre ellos
LLA Conocidos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos
AAL Conocidos dos ángulo y un lado
ALA Conocidos dos ángulos y el lado entre ellos
LLL Conocidos tres lados
37
𝛼
𝛽
𝛾
𝑎
𝑏
𝑐
𝛼
𝛾
𝛽
𝑏
𝑐
𝑎

Actividad
38
Buscar el Manual de práctica
Ir a las paginas 5

Considera el triangulo BAD y determina
su altura.
sen 𝛼 =
ℎ
𝑐
ℎ = 𝑐 ∙ sen 𝛼
Al considerar el triangulo BCD y buscar
su altura se obtiene.
sen 𝜋 − 𝛾 =
ℎ
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝜋 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ∙ sen 𝛾 =
ℎ
𝑎
− −1 ∙ sen 𝛾 =
ℎ
𝑎
ℎ = 𝑎 ∙ sen 𝛾
39
𝐷
𝛼
𝛽
𝛾
𝑎
𝑏
𝑐
𝐴
𝐵
𝐶
ℎ
Ahora se iguala la altura obtenida de
cada triángulo
𝑐 ∙ sen 𝛼 = 𝑎 ∙ sen 𝛾
La razón entre el seno de un ángulo
y la medida de su lado opuesto se
obtiene dividiendo ambos lados de la
igualdad por 𝑎 ∙ 𝑐 .
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
La ecuación se conoce como Ley del Seno

Si ABC es un triángulo oblicuo como los anteriores, entonces
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
40
𝛼
𝛽
𝛾
𝑎
𝑏
𝑐
𝐴
𝐵
𝐶
𝛼
𝛾
𝛽
𝑏
𝑐
𝑎
𝐴 𝐵
𝐶
En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado
opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el
lado opuesto a ese ángulo.

41
48°
57°
𝛽
47
𝑐
𝑎
𝐴 𝐵
𝐶
Ejemplo:
Resuelve el triangulo ABC dado que 𝛼 = 48°, 𝛾 = 57° 𝑦 𝑏 = 47
Como la suma de todos los ángulos en
un triangulo es 180°.
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
𝛽 = 180° − 48° − 57° = 75°
Dado que conocemos el lado b y los tres
ángulos, se puede encontrar 𝑎 utilizando la
Ley del seno donde intervengan 𝑎, 𝛼, 𝑏 𝑦 𝛽.
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
𝑎 =
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛽
Se despeja para 𝑎
𝑎 =
47 𝑠𝑒𝑛 48°
𝑠𝑒𝑛 75°
Se sustituye 𝛼, 𝑏 𝑦 𝛽
𝑎 ≈ 36 Aproximar al entero mas cercano
Después para hallar el valor de 𝑐, basta
sustituir
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
con
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
de la solución
precedente de 𝑎, y resulta que
𝑐 =
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑐 =
47 𝑠𝑒𝑛 57°
𝑠𝑒𝑛 75°
𝑐 ≈ 41

42
Cuando conocemos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos,
no siempre el triangulo que se representa es único.
𝑏
𝛼
𝑎
𝐴
𝐶
𝑐
ℎ
𝑏
𝛼
𝑎
𝐴
𝐶
𝑐
ℎ
𝑏
𝛼
𝑎
𝐴
𝐶
𝑐
𝑎ℎ
𝑏
𝛼
𝑎
𝐴
𝐶
𝑐
ℎ
No hay triángulo, si
𝑎 < ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 . El lado 𝑎
no es lo suficientemente
largo para cerrar el
triángulo.
Un triángulo rectángulo,
si 𝑎 = ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 . El lado
𝑎 es lo suficientemente
largo para formar un
triángulo rectángulo.
Dos triángulos, si 𝑎 < 𝑏 y
ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 < 𝑎. El lado 𝑎
es lo suficientemente
largo para formar dos
triángulos diferentes.
Un triángulo, si 𝑎 > 𝑏. El
lado 𝑎 es mas largo que
𝑏 y forma un triángulo.

Ejemplo:
¿Cuantos triángulos se forman si sabemos que 𝑎 = 5, 𝑏 =
25 𝑦 𝛼 = 65°?
43
Solucion:
Se dibuja el posible triángulo y
calculamos su altura. Luego comparamos
la medida del lado a y la altura.
ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 25𝑠𝑒𝑛 65° ≈ 23
como 23 es mayor que 15 no se
forma triángulo.
b = 25
h
65°
a = 15
A

Práctica
44
Ir a las paginas 6-9 y 12

Instalación de un panel solar
En la figura se ilustra un panel solar de 10 pies de ancho, que
debe instalarse en un techo que forma un ángulo de 25° con la
horizontal. Calcula la longitud d del puntal que se requiere para
que el panel haga un ángulo de 45° con la horizontal.
Ley del Seno
45

Inclinación de la torre de Pisa
Originalmente esta torre estaba perpendicular al suelo y
medía 179 pies de altura, debido al hundimiento del suelo, ahora se
ha inclinado a cierto ángulo 𝜃 de la perpendicular, como se muestra
en la figura. Cuando se observa la parte alta de la torre desde un
punto situado a 150 pies del centro de su base, el ángulo de elevación
es de 53.3°. a) Calcula el ángulo 𝜃. b) Calcula la distancia d que se ha
movido el centro de la parte superior de la torre con respecto a la
perpendicular.
Ley del Seno
46

Agrimensura
Para hallar la distancia entre dos puntos A y B en los
extremos opuestos de un río, un agrimensor trazó un segmento de
recta AC de 240 yardas de longitud paralelo a una de las orillas,
determino que las medidas de ∡BAC y ∡ACB son 63 °20′ y
54° 10′ respectivamente, (ver la figura). Calcula la distancia entre A
y B.
Ley del Seno
47

Altura de un globo de aire caliente
Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a
nivel del suelo son 24°10′ y 47°40′, respectivamente. Según nos
muestra la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas entre sí y el
globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano
vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo.
Ley del Seno
48

Altura de un poste
Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de
teléfonos inclinado a un ángulo de 9°en dirección opuesta al Sol
arroja una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo. Calcula la
longitud del poste.
Ley del Seno
49

50

51
C
h
A
B
m n
c b
a
𝛽 𝛾
𝛼
H
Ley del Coseno
La altura de un triángulo lo divide
en dos triángulos rectangulares. Para
buscar una ecuación que resuelva el
triángulo trabajaremos en el triángulo
ABC. En los triángulos ABH y ACH
podemos escribir por Pitágoras la altura
h de cada uno, que es ℎ2
= 𝑐2
− 𝑚2
y
ℎ2
= 𝑏2
− 𝑛2
repectivamente. La altura h
es común en los dos triángulos, por lo
tanto podemos decir que:
𝑐2
− 𝑚2
= 𝑏2
− 𝑛2
𝑐2
− 𝑎 − 𝑛 2
= 𝑏2
− 𝑛2
𝑐2 − 𝑎2 + 2𝑎𝑛 = 𝑏2
Sabemos que 𝑛 = 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛾 , se sustituye
y se obtiene:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾
Ecuación conocida como, Ley del Coseno

52
Dado el triángulo si representamos
otra vez La altura en términos de otro
ángulo obtendremos tres distintas
fórmulas.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛾
Esta fórmula la utilizamos cuando conocemos:
dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre estos
si tenemos los tres lados
C
h
A
B
m n
c b
a
𝛽 𝛾
𝛼
H

53
Ejemplo:
Resuelva el triángulo dado 𝑎 = 5, 𝑏 = 3 𝑦 𝛾 = 100°.
Solución: Si utilizamos la Ley de seno al igualar cualesquiera dos razones nos
quedaría una ecuación con dos desconocidas por lo cual debemos utilizar la Ley
del coseno.
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾
𝑐2 = 52 + 32 − 2(5)(3)cos(100°)
𝑐 ≅ 6.26 𝑐𝑚, continuamos con ley de seno
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼
, asi 𝛼 ≅ 𝑠𝑒𝑛−1
(0.7866)
α1 = 51.87° 𝑦 α2 = 180° − 51.87 = 128.13°
α1= 51.87° 𝑦 α2 = 128.13°, Pero α2 no es sirve dado que 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 > 180°
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100°
6.26
Así finalizamos hallando 𝛽 = 180° − 𝛼 − 𝛾 = 28.13°

Práctica
54
Ir a las paginas 14-19

Calcular las diagonales de un paralelogramo
Un paralelogramo tiene lados de longitudes 30cm y 70cm y
uno de los ángulos mide 65°. Calcular la longitud de cada diagonal
al cm más cercano.
55
Ley del Coseno

Hallar la longitud de un cable
Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que
forma un ángulo de 17° con la horizontal. Calcula la longitud mínima de
cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies
cuesta abajo (medido desde la base del poste).
56
Ley del Coseno
73°
107°

Dimensiones de un terreno triangular
El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 75° y los lados
que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. Calcula la
longitud del tercer lado.
57
Ley del Coseno

Distancia de vuelo
Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 130° y
luego 80 millas en dirección 245°. A qué distancia aproximadamente se
encontrará del punto A?
58
Ley del Coseno

Distancia en un parque de béisbol
Un parque de béisbol tiene cuatro bases que forman un cuadrado y está
a 90 pies una de la otra; el montículo del lanzador se halla a 60.5 pies del
plato. Calcula la distancia del montículo del lanzador a cada una de las
otras tres bases.
59
Ley del Coseno

Ejercicios
adicionales
60

Ángulos de un terreno triangular
Un terreno triangular que tiene lados de 420, 350 y 180 pies de longitud.
Calcule la medida del ángulo más pequeño entre los lados.
61
Ley del Coseno

Distancia entre vehículos
Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en
carreteras rectas que difieren 84° en dirección. Si viajan a 60 millas y 45 millas
por horas, respectivamente, a que distancia aproximada se hallaran uno del
otro al cabo de 20 minutos?
62
Ley del Coseno

Uso de rumbos
Un punto P a nivel del suelo está a 3.0 kilómetros al norte del
punto Q. Un corredor avanza en dirección N25°E desde Q al punto R,
y luego de R a P en dirección S70°O. Calcula la distancia recorrida.
Ley del Seno
63

Rumbo de una lancha de motor
Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta con lados de 2 km,
4 km y 3 km, respectivamente. Recorrió el primer lado en direccio N20°O
y el segundo en direccion S𝜃°O, donde 𝜃° es la medida de un ángulo
agudo en grados. Calcula, al minuto más cercano, la dirección en que
recorrió el tercer lado.
64
Ley del Coseno

Tiempo perdido por error de curso de vuelo
En un vuelo de la ciudad A a la ciudad B el piloto sigue un curso
con un margen de error de 10°, como muestra la figura. Después de
volar una distancia de 50 millas, el piloto corrige el rumbo girando
en un punto C y volando otras 70 millas más hasta B. Si la velocidad
del avión fue constante de 250 millas por hora, cuánto tiempo de
vuelo se perdió debido al error?
Ley del Seno
65

Calcular distancias en el mar
El capitán de un barco en alta mar divisa dos faros alineados a la
orilla del mar. Se sabe que los faros quedan separados entre sí por 3
millas. El capitán determina que los ángulos formados entre la línea
de observación de los faros y la línea directa a la orilla son de 15° y
35°, (ver la fígura)
a) Cuán lejos queda el barco del faro A?
b) Cuán lejos queda el barco del faro B?
c) Cuán lejos queda el barco de la orilla?
Ley del Seno
66

Prof. Rafael Ortiz
Aplicaciones
adicionales de
trigonometría en
general

Prof. Rafael Ortiz
Evaluaciones trigonométricas
Halle el valor exacto para las seis funciones trigonométricas
para el ángulo 𝜃.
𝜃
7
25

Prof. Rafael Ortiz
Resuelva el triángulo
Determine el valor exacto de 𝛼, 𝛽, 𝑎 𝑦 𝑏 en el siguiente triángulo.
30°
𝛽
12
b
a

Prof. Rafael Ortiz
Aplicaciones trigonométricas
Utilice el siguiente triángulo para determinar el valor de cada una
de las siguientes expresiones
𝛼
𝛽
7
x
y
a) 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛽
b) 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛼
c) 𝑡𝑎𝑛𝛼 cot 𝛽
d) 𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
e) 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼
f) 𝑠𝑒𝑐𝛼 cos 𝛽

Prof. Rafael Ortiz
Halle el valor exacto de las restantes funciones trigonométricas
para el ángulo agudo 𝛼 si 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
5
8
1) 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
5
8
2) cos𝛼 =
3) 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
4) 𝑠𝑒𝑐𝛼 =
5) csc𝛼 =
6) 𝑐𝑜𝑡𝛼 =

Prof. Rafael Ortiz
Sea −5, 12 un punto contenido en el lado terminal del ángulo
en posición estándar 𝜃 . Halle el valor exacto de las seis
funciones trigonométricas para 𝜃
1) 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
2) cosθ =
3) 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
4) 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
5) cscθ =
6) 𝑐𝑜𝑡𝜃 =

Prof. Rafael Ortiz
𝜃
2 x
Utilice el siguiente triángulo para mostrar que la igualdad
dada es cierta.
𝑐𝑜𝑠2θ
1 + 𝑡𝑎𝑛2θ
=
1
4
4 − 𝑥2 2

Prof. Rafael Ortiz
Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones considerando x
contenido en una revolución positiva.
1) 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0
2) 2𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 6
3) 𝑐𝑜𝑠
π
2
+ 3𝑥 + 2 =1

Prof. Rafael Ortiz
Use identidades trigonométricas para verificar las siguientes
identidades
1) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝛼 =
𝑠𝑒𝑐𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
2)
𝑠𝑒𝑛𝛼
1+𝑐𝑜𝑠𝛼
+
1+𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
2
𝑠𝑒𝑛𝛼

Prof. Rafael Ortiz
Halle el valor exacto de las siguientes expresiones
trigonométricas sin el uso de la calculadora
1)
𝑠𝑒𝑛2120°𝑐𝑜𝑠 −180°
𝑡𝑎𝑛 −135° 𝑐𝑜𝑡 405°
2)𝑠𝑒𝑛1200° + 𝑐𝑜𝑠 −1080°
3)10𝑐𝑜𝑡315°𝑠𝑒𝑛 −150° 𝑐𝑜𝑠225°

Prof. Rafael Ortiz
Calcule 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼, si se sabe que:
𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
7
8

Prof. Rafael Ortiz
Calcule 𝑠𝑒𝑛3
𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3
𝛼 , si se sabe
que 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
1
2
.

Prof. Rafael Ortiz
Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base,
el ángulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60°.
8.66m
60°

Prof. Rafael Ortiz
Una torre de 40 metros de altura está situada en la orilla de un
lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión a la orilla
opuesta al lago es de 30°. ¿Cuál es el ancho del lago?
30°
40m

Prof. Rafael Ortiz
Dos puntos A y B están señalados en la orilla de un lago. Un
topógrafo se encuentra en un punto C tal que AC=120 metros y BC=
80 metros, y determina que ACB mide 52°. ¿Cuál es la distancia entre
A y B?
B
C
A
52°

Prof. Rafael Ortiz
Los puntos A y B son los extremos de un túnel que pasará debajo
de una montaña. Desde un punto C, lejos de la montaña, un
topógrafo puede ver esos puntos y determina que AC mide 480
metros, CB mide 320 metros y el ángulo C mide 72°. ¿Cuál es la
longitud del túnel?
B
C
A
72°

Prof. Rafael Ortiz
Dos guardabosques separados 3 km en los puntos A y B
observan un incendio en un punto C del bosque. El
guardabosques A mide un ángulo de 44.3° mientras el
guardabosques B mide un ángulo de 76.5°. ¿A qué distancia
está el fuego desde un camino recto que va de A a B?
B
A
C
44.3°
3 km

Prof. Rafael Ortiz
Dos casa quedan ubicadas en puntos extremos de la falda de
una montaña. Para medir la distancia entre ellas un
agrimensor se aleja 40 pies de la casa A hasta un punto C y
luego camina 60 pies hasta la casa B. Si el ángulo ACB mide
60°, qué distancia separa ambas casa?
A
B
C
60°

Post Prueba
85

Fin
86

Laboratorios de Matemáticas: Ángulos y Funciones Trigonométricas

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