http://e-taksh.blogspot.gr/2015/03/637-2-5-10.html# Μαθηματικά Ε΄ 6.37. ΄΄ Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10 ΄΄

1. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 6 - Κεφάλαιο 37
΄΄ Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10 ΄΄
http://e-taksh.blogspot.gr
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

2. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.2
Φώτης Τουλιόπουλος

3. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3
Φώτης Τουλιόπουλος

4. Nansy Tzg
Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10 …………………………..
Στο μάθημα αυτό μάθαμε για τα κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10, δηλαδή
πότε ένα αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 5 και το 10.
Όλα αυτά μας χρειάζονται ώστε να ξέρουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με αυτούς, ώστε
να μη χάνουμε χρόνο σε περιπτώσεις που θέλουμε οι διαιρέσεις να είναι τέλειες.
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2 όταν το
τελευταίο του ψηφίο είναι 0, 2 ,4, 6 ,8.
Παράδειγμα 1: το 256 διαιρείται ακριβώς με το 2,
γιατί το τελευταίο του ψηφίο είναι 6.
Παράδειγμα 2 : το 378 είναι πολλαπλάσιο του 2 ,
γιατί το τελευταίο του ψηφίο είναι 8.
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5
όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.
Παράδειγμα 1: το 250 διαιρείται ακριβώς με το 5, γιατί το τελευταίο του ψηφίο
είναι 0.
Παράδειγμα 2 : το 375 είναι πολλαπλάσιο του 5 , γιατί το τελευταίο του ψηφίο
είναι 5.
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 10
όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
Παράδειγμα 1: το 250 διαιρείται ακριβώς με το 10, γιατί
το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
Παράδειγμα 2 : το 370 είναι πολλαπλάσιο του 10 , γιατί
το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
Το πιο σημαντικό όμως που θα πρέπει να θυμάσαι είναι:
Έστω ότι έχω να κάνω μια διαίρεση όπου:
δ= ο διαιρέτης, Δ= ο διαιρετέος, π = το πηλίκο, υ = το υπόλοιπο
τότε πάντα ισχύει: δ X π + υ = Δ και 0 < υ < δ
Δηλαδή: Όταν πολλαπλασιάζω τον διαιρέτη με το πηλίκο και προσθέτω το υπόλοιπο, βρίσκω
τον διαιρετέο. Το υπόλοιπο όταν η διαίρεση είναι ατελής θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το
μηδέν και μικρότερο από τον διαιρέτη.
Δ δ
υ π
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.4

5. Nansy Tzg
1. Χωρίς να κάνω καμία πράξη βρίσκω με ποιο αριθμό διαιρούνται ακριβώς οι
παρακάτω αριθμοί:
18, 27, 35, 42, 60, 86, 100, 125, 2.522, 8, 14, 26, 70, 95, 120
275, 9.580, 72.148, 451.672, 1.024.536
 Διαιρούνται ακριβώς με το 2: ……………………………………………………………………………………….
 Διαιρούνται ακριβώς με το 5: ……………………………………………………………………………………….
 Διαιρούνται ακριβώς με το 10: ……………………………………………………………….…………………….
2. Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο αριθμό που διαιρείται ακριβώς:
με το 2 με το 5 με το 10
……, 12, ……. ……, 25, ……. ……, 60, …….
……, 278 , ……… ………, 480 , ……… …….…, 4,350 , ………
……..…, 3.984, ……….. ……..…, 8.315, ……….. …….…..…, 256.730, ……….…..
3. Συμπληρώνω τα κενά με τον πιο κοντινό αριθμό, έτσι ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια.
με το 5 με το 10
14 → 26 →
4.654 → 3.789 →
72.419 → 85.943→
540.282 → 123.471→
1.742.398 → 6.254.732→
4. Συμπληρώνω τις προτάσεις και εξηγώ πως σκέφτηκα.
Αν διαιρέσω έναν αριθμό:
 με το 2, το υπόλοιπο θα είναι: …….. ή ……..
γιατί ……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
 με το 5, το υπόλοιπο θα είναι:
…….. …….. …….. …….. ……..
γιατί ……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
 με το 10, το υπόλοιπο θα είναι:
…….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. ……..
γιατί ……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

6. Nansy Tzg
5. Στο πρόγραμμα αθλητικών δραστηριοτήτων του δήμου μας συμμετέχουν
περισσότερα από 120 παιδιά και λιγότερα από 140. Αν τα παιδιά
χωριστούν σε πεντάδες ή δεκάδες δεν περισσεύει κανένα. Πόσα είναι τα
παιδιά που συμμετείχαν στο πρόγραμμα;
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. Ο Μάνος μαζί με την αδερφή του έχουν πάρα πολλά επιτραπέζια παιχνίδια. Είναι
περισσότερα από 15 και λιγότερα από 25, ενώ το πλήθος τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο
του 10. Πόσα επιτραπέζια παιχνίδια έχουν;
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
7. Δυο αριθμοί έχουν γινόμενο 18. Το πηλίκο τους είναι 2 και το άθροισμα τους 9. Ποιοι
αριθμοί είναι; …………………………………………………………………………………………………….………..
……………………………………………………………………………………………………………………..………………
Όνομα: ………………………………………………………………………………………………….
Καλή ξεκούραση!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.6

7. eva-edu
Όταν θέλουμε να δούμε πόσες φορές χωράει ακριβώς ένας αριθμός
σε ένα άλλο με υπόλοιπο μηδέν κάνουμε διαίρεση.
Μερικές φορές όμως η διαίρεση μας τρώει πολύ χρόνο.
Υπάρχουν κάποια «κολπάκια» που μας βοηθάνε να καταλάβουμε αν ένας
αριθμός χωράει ακριβώς ή όχι σε ένα άλλο. Αυτά τα «κολπάκια» τα ονομάζουμε
κριτήρια διαιρετότητας
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 2
Για να καταλάβουμε αν το 2 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το τελευταίο του
νούμερο. Αν αυτό είναι 0, 2, 4, 6, 8, τότε αυτός αριθμός λέμε ότι διαιρείται
με το 2.
π.χ. 2.340 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 0 άρα διαιρείται με το 2)
1.683 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαίρείται με το 2)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να εξετάσεις αν διαιρούνται με το 2 οι παρακάτω αριθμοί
2.180 -
1.321 -
2.134 -
146 -
147 -
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

8. eva-edu
Να βρεις αν οι παρακάτω αριθμοί διαιρούνται με το 2
ΑΡΙΘΜΟΣ
812
918
513
405
725
832
8.818
1.314
6.110
6.345
1.054
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

9. eva-edu
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 5
Για να καταλάβουμε αν το 5 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το τελευταίο του
νούμερο. Αν αυτό είναι 0, 5 τότε αυτός αριθμός λέμε ότι διαιρείται με το 5.
π.χ. 2.340 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 0 άρα διαιρείται με το 5)
1.683 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαιρείται με το 5)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να εξετάσεις αν διαιρούνται με το 5 οι παρακάτω αριθμοί
1.346 -
3.845 -
2.130 -
174-
550 -
665 –
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.9

10. eva-edu
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 10
Για να καταλάβουμε αν το 10 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το τελευταίο
του νούμερο. Αν αυτό είναι μόνο 0 τότε αυτός αριθμός λέμε ότι διαιρείται με το
102.
π.χ. 1.640 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 0 άρα διαιρείται με το 10)
2.553 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαιρείται με το 10)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να εξετάσεις αν διαιρούνται με το 10 οι παρακάτω αριθμοί
1.540 -
7.381 -
1.000 -
1.004 -
1.770 -
153 -
Να βρεις αν διαιρούνται με το 5 οι παρακάτω αριθμοί
2.134 –
1.555 –
1.640 –
1.783 –
2.445 –
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.10

11. eva-edu
Να βρεις αν διαιρούνται με το 10 οι παρακάτω αριθμοί
177 –
156 –
260 –
140 –
1.634 –
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.11

12. Χρυσούλα Παγκάλου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Κριτήρια διαιρετότητας
Όλοι οι αριθμοί διαιρούν ακριβώς τα πολλαπλάσιά τους και φυσικά
τον εαυτό τους.
π.χ. ο αριθμός 7 διαιρεί ακριβώς το 7, που είναι ο εαυτός του, αλλά
και όλα τα πολλαπλάσιά του, όπως τα γνωρίζουμε και από την
προπαίδεια. Δηλαδή το 7 διαιρεί ακριβώς και τους αριθμούς: 14, 21,
28, 35, 42, … κλπ.
Μπορούμε όμως, να διαπιστώσουμε με απλό τρόπο και αν ένας
οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 4, το 5, το
6, το 9, το 10, το 100 κλπ.
Με το 2: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το τελευταίο ψηφίο τους
είναι: 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8 δηλαδή ένας οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός.
Με το 3: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι: 3 ή 6 ή 9 π.χ. 117: 3 διαιρείται γιατί 1+1+7=9
Με το 4: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τα δυο τελευταία ψηφία
τους διαιρούνται με το 4 ή τελειώνουν σε δυο μηδενικά.
Με το 5: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το τελευταίο ψηφίο τους
είναι: 5 ή 0.
Με το 6: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που είναι ζυγοί και διαιρούνται
παράλληλα και με το 3. (Δηλαδή είναι ζυγοί και ταυτόχρονα το
μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων τους είναι: 3 ή 6 ή 9).
Με το 9: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι: 9 π.χ. 216 : 9 διαιρείται γιατί 2+1+6=9
Με το 10: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τελειώνουν τουλάχιστον
σε ένα 0.
Με το 100: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τελειώνουν τουλάχιστον
σε δυο μηδενικά (…00).
Με το 1000: Διαιρούνται όλοι εκείνοι οι αριθμοί, που τελειώνουν
τουλάχιστον σε 3 μηδενικά (…000) κλπ.
Εύκολα, ε;
Έτσι, θα βρίσκετε γρήγορα
και το Ε.Κ.Π.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.12

13. Χαράλαμπος Δ. Δημόπουλος
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ
Έχουμε και λέμε :
 Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4,
6, 8 (όλοι δηλαδή οι ζυγοί αριθμοί)
 Με το 3 διαιρούνται οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι 3, 6, 9 (π.χ. 2.868  2+8+6+8=
24  2+4=6)
 Με το 4 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δύο τελευταία τους
ψηφία διαιρούνται με το 4 ή που τελειώνουν σε 00 (π.χ.
612  12:4=3, αλλά και οι 900, 1.200, 45.600 κλπ.
 Με το 5 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5
(π.χ. 3.125, 6.450)
 Με το 9 διαιρούνται οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι 9 (π.χ. 9.936  9+9+3+6=27 
2+7=9)
 Με το 10, 100, 1.000, 10.000 κλπ. διαιρούνται οι αριθμοί
που τελειώνουν σε 0, 00, 000, 0000 αντίστοιχα κλπ.
Πιστεύω, όταν λέει κριτήρια να εννοεί
κάποιους εύκολους κανόνες, γιατί αλλιώς
νομίζω ότι μπλέξαμε…
Τα κριτήρια αυτά μας βοηθούν, να
βρίσκουμε τους διαιρέτες ενός αριθμού με το
μυαλό μας.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.13

14. Χαράλαμπος Δ. Δημόπουλος
1. Να συμπληρώσεις τον παρακάτω πίνακα:
ΑΡΙΘΜΟΣ :2 :3 :4 :5 :9 :10
812
918
513
405
725
832
8.818
1.314
6.110
6.345
1.054
2.016
8.100
6.313
7.216
2.071
3.153
34.578
256.860
3.567.324
665.123.420
123.456.789
* Στα κουτάκια που γίνεται η διαίρεση να βάζεις , ενώ σε
αυτά που δε γίνεται να βάζεις ―
Ονοματεπώνυμο :
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.14

15. Εγκύκλιος Παιδεία
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 2, ΤΟΥ 5 ΚΑΙ ΤΟΥ 10
Για να διακρίνουμε εύκολα και γρήγορα αν ένας ακέραιος αριθμός
διαιρείται ακριβώς από έναν άλλο, χρησιμοποιούμε ορισμένους
κανόνες που ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας.
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 2, αν το τελευταίο
του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8(δηλαδή ζυγός αριθμός)
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 5, αν το τελευταίο
του ψηφίο είναι 5 ή 0
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 10, αν το τελευταίο
του ψηφίο είναι 0
Καλό θα είναι να μάθεις τα κριτήρια διαιρετότητας για όλους τους
αριθμούς. Και συγκεκριμένα:
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 3, όταν το άθροισμά
των ψηφίων του είναι 3 ή 6 ή 9
Παράδειγμα: ο αριθμός 174 διαιρείται με το 3 γιατί
1+7+4=12(2+1=3), ο 969 το ίδιο γιατί 9+6+9=24(2+4=6) κλπ.
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 4, όταν τα δυο
τελευταία του ψηφία διαιρούνται με το 4
Π. χ. Ο 324 διαιρείται με το 4, γιατί και το 24(δύο τελευταία)είναι
διαιρετό από το 4
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 6 αν
είναι ταυτόχροναδιαιρετός και με το 2 και με το 3
Π. χ. Ο 678 είναι διαιρετός από το 6 γιατί διαιρείται και με το
2(ζυγός) και με το 3(6+7+8=21=2+1=3)
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 8, όταν οι 3
τελευταίοιαριθμοί σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8
Π. χ. Ο 7.368 διαιρείται ακριβώς με το 8 γιατί και ο 368 διαιρείται με
το 8
 Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 9, όταν το άθροισμα
των ψηφίων του δίνει 9.
Π. χ. Ο 351 διαιρείται ακριβώς με το 9 γιατί 3+5+1=9. Το ίδιο και ο
459 γιατί 4+5+9=18(8+1=9)
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.15

16. Κριτήρια διαιρετότητας.............
salloumy
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.16

17. Είμαι μάγος;
Ρώτησέ με όποιον αριθμό θέλεις και θα σου
απαντήσω αν διαιρείται ή όχι με τους
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.17

18. Είστε όμως καλά παιδιά γι’ αυτό θα μοιραστώ τα
μυστικά μου μαζί σας
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.18

19. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 2;
• Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που το
τελευταίο τους ψηφίο είναι το
0, 2, 4, 6, 8,
• Παράδειγμα...
• 3020
• 456
• 23138
• 345
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.19

20. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 5;
• Με το 5 διαιρούνται οι αριθμοί που το
τελευταίο τους ψηφίο είναι το 0 ή 5
• Παράδειγμα...
• 3020
• 456
• 23100
• 345
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.20

21. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 10,
100, 1000;
• Με το 10, 100, 1000, κλπ, διαιρούνται οι
αριθμοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι
το 0 ή 00 ή 000 κλπ
• Παράδειγμα...
• 3020
• 4500
• 23102
• 345000
Με το 10
Με το 10, και το 100
Με το 10, το 100 και το 1000
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.21

22. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 4;
• Με το 4 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δυο
τελευταία τους ψηφία διαιρούνται με το 4
ή είναι 00
• Παράδειγμα...
• 3020
• 4500
• 23102
• 345084
Το 4 διαιρεί το 20
Τελειώνει σε 00
Το 4 διαιρεί το 84
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.22

23. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το
25;
• Με το 25 διαιρούνται οι αριθμοί που τα
δυο τελευταία τους ψηφία διαιρούνται με
το 25 ή είναι 00
• Παράδειγμα...
• 3025
• 4500
• 23102
• 345075
Το 25 διαιρεί το 25
Τελειώνει σε 00
Το 25 διαιρεί το 75
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.23

24. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 3;
• Με το 3 διαιρούνται οι αριθμοί που το
άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται
με το 3
• Παράδειγμα...
• 3021
• 4500
• 23102
• 345084
3 + 2 + 1 = 6
Το 3 διαιρεί το 6
4 + 5 = 9
το 3 διαιρεί το 9
3 + 4 + 5 + 8 + 4 = 24
Το 3 διαιρεί το 24
2 + 3 + 1 + 2 = 8
Το 3 δεν διαιρεί το 8
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.24

25. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 9;
• Με το 9 διαιρούνται οι αριθμοί που το
άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται
με το 9
• Παράδειγμα...
• 3024
• 4500
• 23102
• 34308
3 + 2 + 4 = 9
Το 9 διαιρεί το 9
4 + 5 = 9
το 9 διαιρεί το 9
3 + 4 + 3 + 8 = 18
Το 9 διαιρεί το 18
2 + 3 + 1 + 2 = 8
Το 9 δεν διαιρεί το 8
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.25

26. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 8;
• Με το 8 διαιρούνται οι αριθμοί που το
τελευταίο τριψήφιο τμήμα τους
διαιρείται με το 8, ή είναι 000
• Παράδειγμα...
• 3160
• 4000
• 23102
• 345088
Το 160 διαιρείται με το 8
Τα τρία τελευταία ψηφία
είναι 000
Το 088 διαιρείται με το 8
Το 102 δεν διαιρείται με το 8
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.26

27. Το κριτήριο για το 7;
• Πάρε το τελευταίο ψηφίο και
διπλασίασέ το. Αφαίρεσέ το από τα
υπόλοιπα. Αν το αποτέλεσμα που
βρήκες χωράει στο 7 τότε ο αριθμός
διαιρείται με το 7
Π.χ 133 Παίρνω το τελευταίο ψηφίο
και το διπλασιάζω 3*2= 6. Το
αφαιρώ από τα υπόλοιπα ψηφία 13-
6= 7. Το 7 διαιρείται με το 7, άρα
διαιρείται και με τον 133
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.27

28. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το
11;
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν το
άθροισμα των διψήφιων τμημάτων που
προκύπτουν αν τον χωρίσουμε από δεξιά
προς τα αριστερά είναι ένας αριθμός που
διαιρείται με το 11, Παράδειγμα...
• 3168
• 4147
• 23102
• 415008
31 + 68 =99
41 + 47 = 88
41+ 50 + 08 =99
2 + 31 + 02 =35
Δεν διαιρείται
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.28

29. Αν ένας αριθμός διαιρείται από
άλλους δυο, θα διαιρείται και από
το γινόμενό τους
Για παράδειγμα ο αριθμός 12
διαιρείται και με το 3 και με το 2 άρα
διαιρείται και με το 6
Επίσης ο αριθμός 520 διαιρείται και
με το 4 και με το 2 άρα διαιρείται και
με το 8
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.29

30. Χρησιμοποιήστε όλα αυτά τα
μυστικά !!!!!!
Θα σας λύσουν πολλά
προβλήματα!!!!!!!!!!!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.30

31. Κριτήρια διαιρετότητας
Πότε ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλον;
www.schoolarxeio.weebly.com
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.31

32. Κριτήριο διαιρετότητας του 2
(πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2;)
1 χ 2 = 2
2 χ 2 = 4
2 χ 3 = 6
2 χ 4 = 8
2 χ 5 = 10
2 χ 6 = 12
2 χ 7 = 14
2 χ 8 = 16
2 χ 9 = 18
2 χ 10 = 20
• Ξέρω ότι τα πολλαπλάσια του 2
(2,4,6,8,…20)
διαιρούνται ακριβώς με το 2
• Τι παρατηρείς στα πολλαπλάσια του 2;
Παρατηρώ ότι σε όλα τα πολλαπλάσια
του 2 το τελευταίο ψηφίο είναι:
Ο,2,4,6,8
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.32

33. (πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2;)
Κριτήριο διαιρετότητας του 2
Συμπέρασμα (κριτήριο διαιρετότητας του 2)
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2,
όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι
ή 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.33

34. 3 χ 1 = 3
3 χ 2 = 6
3 χ 3 = 9
3 χ 4 = 12  1 + 2 = 3
3 χ 5 = 15  1 + 5 = 6
3 χ 6 = 18  1 + 8 = 9
3 χ 7 = 21  2 + 1 = 3
3 χ 8 = 24  2 + 4 = 6
3 χ 9 = 27  2 + 7 = 9
3 χ 10 = 30  3 + 0 = 3
Κριτήριο διαιρετότητας του 3
(πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 3;)
• Ξέρω ότι τα πολλαπλάσια του 3
(3, 6, 9…30)
διαιρούνται ακριβώς με το 3
• Τι παρατηρείς στα πολλαπλάσια
του 3;
Παρατηρώ ότι σε όλα τα
πολλαπλάσια του 3
το μονοψήφιο άθροισμα των
ψηφίων τους είναι
3, 6, 9
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.34

35. Κριτήριο διαιρετότητας του 3
(πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 3;)
Συμπέρασμα (κριτήριο διαιρετότητας του 3)
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 3,
όταν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι
ή 3 ή 6 ή 9
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.35

36. Κριτήριο διαιρετότητας του 5
(πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5;)
5 χ 1 = 5
5 χ 2 = 10
5 χ 3 = 15
5 χ 4 = 20
5 χ 5 = 25
5 χ 6 = 30
5 χ 7 = 35
5 χ 8 = 40
5 χ 9 = 45
5 χ 10 = 50
• Ξέρω ότι τα πολλαπλάσια του 5
(2,4,6,8,…20)
διαιρούνται ακριβώς με το 5
• Τι παρατηρείς στα πολλαπλάσια του 5;
Παρατηρώ ότι σε όλα τα πολλαπλάσια
του 5 το τελευταίο ψηφίο είναι:
5, 0
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.36

37. Κριτήριο διαιρετότητας του 5
(πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5;)
Συμπέρασμα (κριτήριο διαιρετότητας του 5)
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5,
όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι
ή 5 ή 0
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.37

38. Κριτήριο διαιρετότητας του 9
(πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 9;)
9 χ 1 = 9
9 χ 2 = 18  1 + 8 = 9
9 χ 3 = 27  2 + 7 = 9
9 χ 4 = 36  3 + 6 = 9
9 χ 5 = 45  4 + 5 = 9
9 χ 6 = 54  5 + 4 = 9
9 χ 7 = 63  6 + 3 = 9
9 χ 8 = 72  7 + 2 = 9
9 χ 9 = 81  8 + 1 = 9
9 χ 10 = 90  9 + 0 = 9
• Ξέρω ότι τα πολλαπλάσια του 9
(9,18,27,…90)
διαιρούνται ακριβώς με το 9
• Τι παρατηρείς στα πολλαπλάσια
του 9;
Παρατηρώ ότι σε όλα τα
πολλαπλάσια του 9
το μονοψήφιο άθροισμα των
ψηφίων τους είναι
9
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.38

39. Κριτήριο διαιρετότητας του 9
(πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 9;)
Συμπέρασμα (κριτήριο διαιρετότητας του 9)
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 9,
όταν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι
9
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.39

40. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
61
Μάθημα 15ο
Πολλαπλασιασμός Φυσικών Αριθμών
Προπαίδεια
Παρατηρήσεις :
 Το 1 όταν πολλαπλασιαστεί με ένα φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει :
π.χ. 8 • 1 = 8
 Στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή μπορώ να αλλάξω
την σειρά των παραγόντων ενός γινομένου :
π.χ. 5 • 6 = 6 • 5
 Ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση:
π.χ. 5 • ( 3 + 2 ) = 5 • 3 + 5 • 2
 Ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση:
π.χ. 4 • ( 5 – 2 ) = 4 • 5 – 4 • 2
 Όταν πολλαπλασιάσω έναν αριθμό με το 10, 100, 1.000, ξαναγράφω τον αριθμό
προσθέτοντας και τα αντίστοιχα μηδενικά, με το 10 ένα, με το 100 δύο, με το 1.000
τρία κλπ.
π.χ. 4 • 10 = 40, 5 • 100 = 500, 6 • 1.000 = 6.000
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225
: Στα κουτάκια αυτά είναι το γινόμενο των αριθμών με τον εαυτό τους.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.40

41. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
62
Διαίρεση Φυσικών Αριθμών
Κριτήρια Διαιρετότητας
Ένας Φυσικός αριθμός διαιρείται :
 με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4, 6, 8.
 με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
 με το 4, αν τα δύο τελευταία ψηφία του, είναι αριθμός που διαιρείται με το 4.
 με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5.
 με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
 με το 10, 100, 1.000, … αν λήγει σε 1, 2, 3, ….. μηδενικά.
 με το 25, αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι αριθμός που διαιρείται με το 25.
Ασκήσεις
1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται ακριβώς με το 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 ;
Βάλε Χ στο σωστό κουτάκι.
: 2 3 4 5 9 10 25
144
1.565
188.764
678.975
543.210
1.000.002
9.000.000
2. Ποια πρέπει να είναι τα τελευταία ψηφία στους παρακάτω αριθμούς ώστε να διαιρούνται
ακριβώς με το 3 :
12….. , 23 …… , 34 …… , 56 …… , 78 ….. ,
2….. , 39 …… , 98 …… , 75 …… , 64 ….. .
3. Ποια πρέπει να είναι τα τελευταία ψηφία στους παρακάτω αριθμούς ώστε να διαιρούνται
ακριβώς με το 4 :
12….. , 23 …… , 34 …… , 56 …… , 78 ….. ,
2….. , 39 …… , 98 …… , 75 …… , 64 ….. .
4. Ποια πρέπει να είναι τα τελευταία ψηφία στους παρακάτω αριθμούς ώστε να διαιρούνται
ακριβώς με το 5 :
12….. , 23 …… , 34 …… , 56 …… , 78 ….. ,
2….. , 39 …… , 98 …… , 75 …… , 64 ….. .
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.41

42. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
63
5. Ποια πρέπει να είναι τα τελευταία ψηφία στους παρακάτω αριθμούς ώστε να διαιρούνται
ακριβώς με το 9 :
12….. , 23 …… , 34 …… , 56 …… , 78 ….. ,
2….. , 39 …… , 98 …… , 75 …… , 64 ….. .
6. Ποια πρέπει να είναι τα τελευταία ψηφία στους παρακάτω αριθμούς ώστε να διαιρούνται
ακριβώς με το 10 :
12….. , 23 …… , 34 …… , 56 …… , 78 ….. ,
2….. , 39 …… , 98 …… , 75 …… , 64 ….. .
7. Ποια πρέπει να είναι τα τελευταία ψηφία στους παρακάτω αριθμούς ώστε να διαιρούνται
ακριβώς με το 25 :
12….. , 23 …… , 34 …… , 56 …… , 78 ….. ,
2….. , 39 …… , 98 …… , 75 …… , 64 ….. .
8. Ποιοι από τους αριθμούς 18, 35, 70, 102, 200, 605, 804, 1.225, 5.020, 6.115.
 διαιρούνται ακριβώς με το 2 : ……………………………………………………..
 διαιρούνται ακριβώς με το 5 : ……………………………………………………..
 διαιρούνται ακριβώς με το 10 : ……………………………………………………
 διαιρούνται ακριβώς και με το 2, το 5 και το 10 : ………………………………
9. Ποιοι από τους αριθμούς 18, 33, 63, 108, 213, 312, 333, 534, 621, 1.002.
 διαιρούνται ακριβώς με το 2 : ……………………………………………………..
 διαιρούνται ακριβώς με το 3 : ……………………………………………………..
 διαιρούνται ακριβώς με το 9 : ……………………………………………………..
 διαιρούνται ακριβώς και με το 2, το 3 και το 9 : ………………………………
10.Σε μια κατασκήνωση το πλήθος των παιδιών βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 125 και 135.
Αν τα παιδιά τα χωρίσουμε σε πεντάδες ή δεκάδες, δεν περισσεύει κανένα. Πόσα είναι τα
παιδιά που βρίσκονται στην κατασκήνωση ;
11.Ο Πέτρος μέτρησε τα αυτοκίνητα που περνούν στο δρόμο πέντε πέντε και ισχυρίζεται
ότι σε μια ώρα πέρασαν 237 αυτοκίνητα. Έχει δίκιο ή όχι και γιατί;
12.Ένας αγρότης, αφού μάζεψε τα μήλα του, τα κουβάλησε στο ψυγείο του χωριού, με το
φορτηγό του. Για να τα μεταφέρει όλα χρειάστηκε να κάνει 24 δρομολόγια, ενώ σε κάθε
δρομολόγιο φόρτωνε στο φορτηγό 87 κλούβες μήλα. Α) Πόσα ήταν τα μήλα που μάζεψε ο
αγρότης, αν κάθε κλούβα περιείχε 18 κιλά μήλα; Β) Πόσα χρήματα θα πληρώσει για
ψυκτικά στο ψυγείο, αν για κάθε κιλό μήλα πληρώνει 29 λεπτά ;
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.42

43. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
64
13.Ένας άλλος αγρότης πήρε 16 εργάτες για να μαζέψει τα δικά του μήλα. Κάθε εργάτης
μάζευε 638 κιλά μήλα την ημέρα. Α) Πόσα κιλά μήλα μάζεψε συνολικά ο αγρότης, αν οι
εργάτες δούλεψαν 18 ημέρες; Β) Πόσα χρήματα πλήρωσε συνολικά στους εργάτες ο
αγρότης αν τους έδινε στον καθένα μεροκάματο 25 € ;
14.Να κάνεις τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς :
356 478 875 497 847 965
x 80 x 60 x 90 x 70 x 50 x 40
…………………………………………………………………………………………..
15.Να κάνεις τις διαιρέσεις παρακάτω του πίνακα, γράφοντας το αποτέλεσμα της κάθε
πράξης κάτω από τον διαιρέτη, όπως στο παράδειγμα :
Πολλαπλασιαστέος
Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ τ ή ς
Δ ι α ι ρ έ τ η ς
10 100 1000
Πηλίκο Υπόλ. Πηλίκο Υπόλ. Πηλίκο Υπόλ.
1.250 125 0 12 50 1 250
230.120
3.200
35.500
400.000
40.350
4.134.000
34.500
603.000
70.400
8.450
9.700.000
105.200
11.000
12.400.500
1.475.000
3.160
18.680
19.800
2.037
23.300
256.000
29.824
3.568
38.790
40.700
43.652
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.43

44. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ
Διαιρούνται με:
2 οι ζυγοί αριθμοί (τελευταίο ψηφίο σε 0,2,4,6 ή 8)
4 Οι ζυγοί αριθμοί που τα τελευταία τους δύο ψηφία είναι πολλαπλάσια του
4 (00,04,08,12,…)
8 Οι ζυγοί αριθμοί που τα τελευταία τους τρία ψηφία είναι πολλαπλάσια
του 8 (000,008,016,…)
5 Οι αριθμοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι 0 ή 5
10 Οι αριθμοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι 0
20 Οι αριθμοί που τα τελευταία τους δύο ψηφία είναι 00 ή 20 ή 40 ή 60 ή 80
25 Οι αριθμοί που τα τελευταία τους δύο ψηφία είναι 00 ή 25 ή 50 ή 75
100 Οι αριθμοί που τα τελευταία τους δύο ψηφία είναι 00
3 Οι αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 3
9 Οι αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 9
6 Οι ζυγοί αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο
του 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
1. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: α=81, β=9225, γ=312, δ=800 και ε=530
διαιρούνται με
το 10: το 5: το 2: το 4: το 20:
το 3: το 9: το 8: το 25: το 100:
2. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: α=432, β=140, γ=1005, δ=132 και ε=120
διαιρούνται με
2 και 5: 2 και 3: 3 και 5: 2 και 9:
2, 5 και 8: 2, 3 και 10: 2, 5 και 20: 2, 3, 4, 5, 8, 10:
3. Να συμπληρώσετε τον αριθμό ώστε να διαιρείται με τους αριθμούς που είναι δίπλα
του:
α) 534 __ με τους αριθμούς 2 και 5 ε) 841__ με τους αριθμούς 2 και 3
β) 93__ με τους αριθμούς 3 και 5 ζ) 342__ με τους αριθμούς 5, 9 και 20
γ) 181__ με τους αριθμούς 2 και 9 η) 5__3__ με τους αριθμούς 3 και 4
δ) 547__ με τους αριθμούς 3 και 25 θ) 5__ __3__ με τους αριθμούς 2, 3, 5 και 9
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.44

45. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ (1)
1. Βρίσκω τα πολλαπλάσια των πιο κάτω αριθμών και συμπληρώνω τους
πίνακες:
Χ 2 Χ 5 Χ 10 Χ 20 Χ 25
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 7 7 7
75 10 10 8 8
82 29 18 9 9
138 46 51 10 10
219 57 70 11 11
300 98 123 12 12
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ (1)
1. Βρίσκω τα πολλαπλάσια των πιο κάτω αριθμών και συμπληρώνω τους
πίνακες:
Χ 2 Χ 5 Χ 10 Χ 20 Χ 25
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 7 7 7
75 10 10 8 8
82 29 18 9 9
138 46 51 10 10
219 57 70 11 11
300 98 123 12 12
Πηγή: http://www.akida.info/
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.45

46. Φύλλο Εργασίας
Έχω τους αριθμούς 138, 2.054, 360, 355, 1.789, 36.705, 654,
1.000.008, 732.842, 3.860, 7.965, 4.850, 2.475, 3.600, 978,
2.838.
Ποιοι από τους παραπάνω αριθμούς διαιρούνται ακριβώς:
με το 2: _______________________________________________
με το 5: _______________________________________________
με το 10:_______________________________________________
Παρατηρώ τους παρακάτω αριθμούς και υπογραμμίζω αυτούς που είναι
πολλαπλάσια του 5.
40, 78, 15, 155, 200, 5, 100, 344, 1090, 205, 8, 67, 90, 120.000,
1.000.000, 453, 1
Δραστηριότητα 1η
: “Βρίσκω τους αριθμούς”
Δραστηριότητα 2η
: “Υπογραμμίζω τους αριθμούς”
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.46

47. Ποιοι από τους αριθμούς 18, 35, 70, 102, 200, 605, 804, 1.225,
5.020, 6.115.
 διαιρούνται ακριβώς με το 2:
__________________________________________________
 διαιρούνται ακριβώς με το 5:
__________________________________________________
 διαιρούνται ακριβώς με το 10:
___________________________________________________
 διαιρούνται ακριβώς και με το 2, το 5 και το 10:
__________________________________________________
… συνέχεια
Δραστηριότητα 3η
: “Βρίσκω τους αριθμούς”
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.47

48. Βάζω χ σε όποιες διαιρέσεις έχουν:
i) Υπόλοιπο 0: 380:5 64:5 78:2 89:2
781:10
ii) Υπόλοιπο 1: 791:2 657:5 1001:10 37:2
996:5
iii) Υπόλοιπο 2: 89:2 157:5 202:10 450:5
197:5
Τέλος
Πηγή: http://ioannaprangiou.weebly.com/
Δραστηριότητα 4η
: “Βρίσκω το υπόλοιπο”
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.48

49. Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10
Ασκήσεις Εμπέδωσης
1. Εξετάζω σύμφωνα με τα κριτήρια διαιρετότητας τις παρακάτω διαιρέσεις και
σημειώνω ΝΑΙ ή ΟΧΙ σε κάθε στήλη:
Διαιρούνται ακριβώς
Αριθμοί με το 2 με το 5 με το 10
495
20.490
8.406
25.000
42.498
285.583
2. Συμπληρώνω το κατάλληλο ψηφίο που λείπει, ώστε ο κάθε αριθμός που θα
δημιουργηθεί:
να διαιρείται ακριβώς
με το 2 84… 3.46… 82.00… 49.90…
με το 5 2.68… 25.80… 1.491.55… 2.890.00…
με το 10 12.49… 695.53… 45.473.40… 75.409.09…
3. Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που
διαιρείται κάθε φορά ακριβώς:
Προβλήματα
1. Οι μαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από 280 και λιγότεροι από 300. Εάν
παραταχθούν σε δυάδες ή πεντάδες. Δεν περισσεύει κανένας. Πόσοι είναι οι μαθητές
αυτού του σχολείου;
2. Οι μπίλιες που έχει ο Αντρέας είναι λιγότερες από 56 και περισσότερες από 43.
όταν τις μετράει δύο δύο ή πέντε πέντε ή δέκα δέκα του περισσεύει πάντα 1. Πόσες
μπίλιες έχει ο Αντρέας;
3. Τα στρατιωτάκια που έχει ο Νίκος είναι λιγότερα από 109 και περισσότερα από
94. Όταν τα βάζει στη γραμμή, σε πεντάδες ή δεκάδες, του περισσεύουν πάντα 4.
Πόσα στρατιωτάκια έχει ο Νίκος;
με το 2 με το 5 με το 10
507 507 507
1.408 701 9.099
2.999 4.997 10.000
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.49

50. Ιωαννίδης Νικόλαος
Κριτήρια διαιρετότητας /
Θεωρία
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.50

51. Ιωαννίδης Νικόλαος
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.51

52. Ιωαννίδης Νικόλαος
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.52

53. Ιωαννίδης Νικόλαος
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.53

54. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
9ο
Δημ. Σχ. Αθηνών Τάξη: Ε2΄ Όνομα: …………….
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ:
1. Με το 2 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί οι οποίοι τελειώνουν σε 0 ή 2 ή 4 ή 6
ή 8 (δηλ. οι ζυγοί αριθμοί).
Π.χ. 80:2=40 12.344:2=6.172 256:2=128 100.048:2=50.024
2. Με το 3 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα των
ψηφίων τους είναι 3 ή 6 ή 9.
Π.χ. 21:3=7 (2+1=3) 123:3=41 (1+2+3=6) 10.242:3=3.414 (1+0+2+4+2=9)
3. Με το 5 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί οι οποίοι τελειώνουν σε 0 ή 5.
Π.χ. 120:5=24 13.455:5=2.691
4. Με το 9 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα των
ψηφίων τους είναι 9.
Π.χ. 104.562:9=11.618 (1+0+4+5+6+2=18 1+8=9)
5. Με το 10 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί οι οποίοι τελειώνουν σε ένα
τουλάχιστον μηδέν.
Π.χ. 110:10=11 2.500:10=250
6. Με το 100 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί οι οποίοι τελειώνουν σε δύο
τουλάχιστον μηδενικά.
Π.χ. 200:100=2 2.500:100=25 76.000:100=760
7. Με το 1.000 διαιρούνται ακριβώς οι αριθμοί οι οποίοι τελειώνουν σε τρία
τουλάχιστον μηδενικά.
Π.χ. 3.000:1.000=3 452.000:1.000=452 1.200.000:1.000=1.200
ΑΣΚΗΣΗ:
 Συμπλήρωσε τον επόμενο πίνακα:
ΑΡΙΘΜΟΣ
Διαιρείται ακριβώς με το …
2 3 5 9 10 100 1.000
10 Χ Χ Χ
150
1.500
4.500
45.000
105.003
6.300
17.002
17.005
1.710
2.304
1.412.000
6.709
12.123
456.980
4.005
Γιώργος Κατσαούνος
Γράψε όλα τα παραπάνω στο τετράδιό σου
και να τα μελετήσεις πολύ καλά!
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.54

55. 20ο
Δ. Σ. ΛΑΜΙΑΣ
ΠΑΠΑΤΣΑΝΗ ΚΑΤΕΡΙΝΑ
Πολλαπλάσια και Διαιρέτες
ΠΠοολλλλααππλλάάσσιιααενός αριθμού λέγονται όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν ως γινόμενο του
αριθμού με άλλους ακεραίους.
Κάθε αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δυο αριθμών είναι το μικρότερο από τα κοινά
πολλαπλάσια των δυο αριθμών.
Παράδειγμα: τα πολλαπλάσια του 8 είναι 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
τα πολλαπλάσια του 12 είναι 12, 24, 36, 48, ...
Τα κοινά πολλαπλάσια του 8 και του 12 είναι 24, 48, ...
Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 24, δηλ ΕΚΠ(8,12)=24
Διαιρέτης ενός αριθμού λέγεται κάθε αριθμός που τον διαιρεί ακριβώς (δηλαδή η
διαίρεση είναι τελεία)
Όλοι οι αριθμοί έχουν τουλάχιστον 2 διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό τους
Όλοι οι αριθμοί διαιρούν όλα τα πολλαπλάσιά τους
Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ) δυο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς
διαιρέτες.
Παράδειγμα: οι διαιρέτες του 8 είναι 1, 2, 4, 8
οι διαιρέτες του 4 είναι 1, 2, 4
οι κοινοί διαιρέτες του 8 και του 12 είναι οι 1, 2, 4
ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο 4 δηλ. ΜΚΔ(8,12)=4
Διαιρετότητα
Όταν λέμε διαιρετότητα εννοούμε κάποιες μεθόδους που μας επιτρέπουν να βρίσκουμε
με σύντομο τρόπο τους διαιρέτες ενός αριθμού.
Φυσικά αυτό μπορούμε να το εξακριβώσουμε κάνοντας διαιρέσεις, αλλά οι διαιρέσεις
απαιτούν χρόνο και κόπο.
Με τα κριτήρια διαιρετότητας καταφέρνουμε να αποφύγουμε τις διαιρέσεις και κάνοντας
κατάλληλες και σύντομες παρατηρήσεις να βρίσκουμε αν ο αριθμός που μας δίνεται έχει
διαιρέτη το 2, το 3 ή κάποιον άλλον.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.55

56. 20ο
Δ. Σ. ΛΑΜΙΑΣ
ΠΑΠΑΤΣΑΝΗ ΚΑΤΕΡΙΝΑ
Κριτήρια διαιρετότητας
Ένας αριθμός διαιρείται με το:
22
Αν το ψηφίο των μονάδων του είναι 0, 2, 4, 6, 8.
(Όλοι οι ζυγοί αριθμοί)
4 Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι πολλαπλάσιο του 4 ή δύο μηδενικά
Π.χ. το 324 διαιρείται με το 4 γιατί το 24 είναι πολλαπλάσιο του 4
8
Αν είναι ζυγοί αριθμοί και το τελευταίο τριψήφιο τμήμα τους είναι
πολλαπλάσιο του 8 ή τρία μηδενικά
Π.χ. το 5824 διαιρείται με το 4 γιατί το 824 είναι πολλαπλάσιο του 8.
5 Αν το ψηφίο των μονάδων του είναι 0 ή 5
10 Αν τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά
20 Αν τα δύο τελευταία ψηφία είναι 00 ή 20 ή 40 ή 60 ή 80
25
Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι πολλαπλάσιο του 25 ή δύο
μηδενικά
Π.χ το 375 διαιρείται με το 25 γιατί το 75 είναι πολλαπλάσιο του 25 (Όλοι οι
αριθμοί που τα τελευταία τους δύο ψηφία είναι 00 ή 25 ή 50 ή 75)
100 Αν τελειώνει σε δύο ψηφία ή περισσότερα μηδενικά
3 Αν το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 3.
Π.χ το 324 διαιρείται με το 3 γιατί 3+2+4=9 Το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3
9 Αν το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 9
Π.χ το 819 διαιρείται με το 9 γιατί 8+1+9=18 Το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3
6
Αν είναι ζυγοί αριθμοί και το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο
του 3
Π.χ το 3324 διαιρείται με το 6 γιατί είναι ζυγός αριθμός και το άθροισμα
3+3+2+4=12 Το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.56

57. 20ο
Δ. Σ. ΛΑΜΙΑΣ
ΠΑΠΑΤΣΑΝΗ ΚΑΤΕΡΙΝΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: 81, 9225, 312, 800 και 530 διαιρούνται με
το 10: το 25:
το 5: το 2:
το 3: το 100:
το 9: το 8:
το 4: το 20:
2. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: 432, 140, 1005, 132 και 120 διαιρούνται με
2 και 5: 3 και 5:
2 και 3: 2 και 9:
2, 5 και 8: 2,3,4,5,8,10:
2,3και 10: 2, 5 και 20
3. Να συμπληρώσετε τους αριθμούς ώστε να διαιρούνται με τους αριθμούς που είναι
δίπλα τους:
α) 534 __ με τους αριθμούς 2 και 5 ε) 841__ με τους αριθμούς 2 και 3
β) 93__ με τους αριθμούς 3 και 5 ζ) 342__ με τους αριθμούς 5, 9 και 20
γ) 181__ με τους αριθμούς 2 και 9 η) 5__3__ με τους αριθμούς 3 και 4
δ) 547__ με τους αριθμούς 3 και 25 θ) 5__ __3__ με τους αριθμούς 2, 3, 5 και 9
Όνομα……………………………………………………………..
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.57

58. kristy
ΟΝΟΜΑ:
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
 Ένα βιβλίο έχει λιγότερες από 382 σελίδες και περισσότερες από 376σελίδες. Τις
μετρήσαμε πέντε-πέντε και δεν περίσσεψε καμία. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο;
 Ένα ενυδρείο έχει περισσότερα από 781 και λιγότερα από 799 ψαράκια. Αν τα
μετρήσουμε δύο-δύο ή πέντε- πέντε ή δέκα – δέκα δεν περισσεύει κανένα. Πόσα
είναι τα ψαράκια;
 Τρία πλοία φεύγουν ταυτόχρονα από το λιμάνι του Πειραιά προς διαφορετικές
κατευθύνσεις. Το πρώτο πλοίο πηγαίνει στον προορισμό του και επιστρέφει στο
λιμάνι κάθε 8 ημέρες, το δεύτερο κάθε 9 ημέρες και το τρίτο κάθε 12 ημέρες.
Μετά από πόσες τουλάχιστον ημέρες θα ξαναφύγουν τα τρία πλοία μαζί από το
λιμάνι του Πειραιά;
 Το λάδι που περιέχει ένα βαρέλι μπορεί να συσκευαστεί σε δοχεία των 4, των 8 ή
των 9 κιλών, χωρίς να περισσέψει καθόλου. Πόσα κιλά λάδι, το λιγότερο, περιέχει
το βαρέλι;
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.58

59. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.59

60. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ
ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ
Ðåñéå÷üìåíá:
36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá ......................................... óåë. 195
37. ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10 .......... óåë. 198
38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð. ......................................... óåë. 202
39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí .... óåë. 205
40. Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá ....... óåë. 209
6ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 213
41. ÌÝôñçóç ãùíéþí ........................................................ óåë. 216
42. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò ............................. óåë. 219
43. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò ........................... óåë. 224
44. Êáèåôüôçôá - ýøç ôñéãþíïõ........................................ óåë. 228
45. Äéáßñåóç ãåùìåôñéêþí ó÷çìÜôùí - Óõììåôñßá ........... óåë. 232
7ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 234
ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò ................................................. óåë. 238
Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïò
âéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçí
Ýããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.
Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:
ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ
Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:
ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓ
ÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÐËÏÕÌÁÊÇÓ ÊÙÍÓÔÁÍÔÉÍÏÓ
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ
Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:
FORWARD CREATIVE BUREAU
210 9585645
DTP - ÃñáöéêÜ:
Á×ÉËËÉÁ ÓÏÕËÔÁÍÁ
ÅéêïíïãñÜöçóç:
ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓ
ÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇË
ÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
Copyright:
Ç. ÌáíéáôÝáò
ÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.
ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝá
ôçë. 210 9546555
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.60

61. 195
36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá
ëýóç
Ïé áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí ðïëëáðëÜóéï
ôïí áñéèìü 1.500 åßíáé ïé:
2, 3, 5, 150, 500
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20
¢óêçóç á
Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù áñéèìïýò Ý÷ïõí ùò
ðïëëáðëÜóéï ôïí áñéèìü 1500;
2, 3, 5, 150, 500, 200, 1000, 800
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.61

62. 196
ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá
• ¸÷åé 4 ìáýñåò, 8 ìðëå êáé 12 êüêêéíåò Ýôóé þóôå
íá åðáíáëáìâÜíåôáé ìå ôïí êáíüíá:
2 ìáýñåò - 4 ìðëå - 6 êüêêéíåò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20
• ¼ëá ìáæß ôá ìõñìÞãêéá êïõâÜëçóáí 72 óðüñïõò óå ìßá þñá,
äéüôé (2 + 3 + 7) ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 72 .
• Ôï ìõñìÞãêé Á êïõâÜëçóå 12 óðüñïõò, äéüôé 2 ÷ 6 = 12.
Ôï ìõñìÞãêé  êïõâÜëçóå 18 óðüñïõò, äéüôé 3 ÷ 6 = 18.
Ôï ìõñìÞãêé à êïõâÜëçóå 42 óðüñïõò, äéüôé 7 ÷ 6 = 42.
• Ôï ìõñìÞãêé Á Ý÷åé ìåôáöÝñåé 180 óðüñïõò = 12 ÷ 15
Ôï ìõñìÞãêé  Ý÷åé ìåôáöÝñåé 270 óðüñïõò = 18 ÷ 15
Ôï ìõñìÞãêé à Ý÷åé ìåôáöÝñåé 630 óðüñïõò = 42 ÷ 15, äéüôé
Ý÷ïõí “åñãáóôåß” 1080 : 72=15 þñåò
A Â Ã
óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçò
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.62

63. 197
ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá
¢óêçóç â
Óå Ýíá åñãïóôÜóéï, ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí åßíáé ìåãáëýôåñïò ôïõ 130
êáé ìéêñüôåñïò ôïõ 200. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 11,
äåí áöÞíåé õðüëïéðï. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ
ìå ôï 10, áöÞíåé õðüëïéðï 2. Ðüóïé åßíáé ïé åñãÜôåò ôïõ åñãïóôáóßïõ;
ëýóç
Ïé áñéèìïß ðïõ åßíáé ìåãáëýôåñïé ôïõ 130 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 200, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 11
áöÞíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé:
132, 143, 154, 165, 176, 187, 198
Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò áõôüò ðïõ üôáí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ ìå ôï 10 áöÞíåé õðüëïéðï 2 åßíáé ï 132.
¢ñá ïé åñãÜôåò åßíáé 132.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 21
Ïé áñéèìïß ïé ìåãáëýôåñïé ôïõ 60 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 100, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 8
äßíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé ïé: 64, 72, 80, 88, 96.
Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò, áõôüò ðïõ äéáéñåßôáé êáé ìå ôï 6 êáé ìå ôï 7 êáé áöÞíåé õðüëïéðï
4 åßíáé ï 88.
¢ñá ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ åßíáé 88.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.63

64. 198
37.ÊñéôÞñéáäéáéñåôüôçôáòôïõ2,ôïõ5êáéôïõ10
Ï êõñéïò ÄçìÞôñçò ìðïñåß íá ÷ùñßóåé ôá ðáéäéÜ, óå ßóåò ïìÜäáò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé
êáíÝíá ðáéäß, óôá ðáñáêÜôù áèëÞìáôá:
• ìðÜóêåô: óå 12 ïìÜäåò, ôùí 5 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.
• âüëåú: óå 10 ïìÜäåò, ôùí 6 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 22
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 22
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 22
1.606 1.610 300 305 990 1.000
11.078 11.082 5.000 5.005 19.160 19.170
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.64

65. 199
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 22
Ðåñéóóüôåñá ðïëëáðëÜóéá Ý÷åé ôï 2 êáé ëéãüôåñá ôï 10, äéüôé
ôá ðïëëáðëÜóéá:
• ôïõ 2 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 2 = 499.500
• ôïõ 5 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 5 =199.800
• ôïõ 10 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 10 = 99.900
¢óêçóç â
Ðïéïò áñéèìüò, ðïõ äéáéñåßôáé áêñéâþò ìå ôï 10,
âñßóêåôáé ðéï êïíôÜ óôïõò áñéèìïýò:
7.714, 501, 237, 23.999
ëýóç
Ôï 10 åßíáé äéáéñÝôçò åíüò áñéèìïý, áí
ôï øçößï ôùí ìïíÜäùí åßíáé 0.
7.714 → 7710
501 → 500
237 → 240
23999 → 24000
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23
ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.65

66. 200
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò æ
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23
ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10
Áí ôï õðüëïéðï ìéáò äéáßñåóçò ìðïñåß íá åßíáé 0 Þ 1 Þ 2 Þ 3 Þ 4, ôüôå ï äéáéñÝôçò åßíáé ï
áñéèìüò 5.
•
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23
• To 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 5, Üñá 450: 5 = 90
Ìðïñþ íá Ý÷ù 5 óåéñÝò ìå 90 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 30 áðü êÜèå åßäïò.
• Ôï 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 10, Üñá 450 : 10 = 45
Ìðïñþ íá Ý÷ù 10 óåéñÝò ìå 45 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 15 áðü êÜèå åßäïò.
ÕðÜñ÷ïõí êáé Üëëïé äõíáôïß óõíäõáóìïß.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.66

67. 201
¢óêçóç â
Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ãéíüìåíï 4.050. Ôï ðçëßêï ôïõò åßíáé 50 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 459. Ðïéïé åßíáé
ïé áñéèìïß áõôïß;
ëýóç
Ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ôï 450 êáé ôï 9, äéüôé:
450 ÷ 9 = 4.050
450 : 9 = 50
450 + 9 = 459
Ãéá íá êáôáëÞîïõìå óôïõò áñéèìïýò 450 êáé 9, êÜíáìå áíÜëõóç ôïõ áñéèìïý 4.050 óå ãéíüìåíï
ðáñáãüíôùí.
ÄçëáäÞ:
Ðáñáôçñïýìå üôé: 450 : 9 = 50 êáé 450 + 9 = 459
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ç
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23
Ïé áñéèìïß, ðïõ ôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé ßóï ìå 96, ôï
ðçëßêï ôïõò åßíáé 6 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 28, åßíáé ï
áñéèìüò 24 êáé ï áñéèìüò 4.
ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.67

68. 202
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 24
38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 24
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.68

69. 203
ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 24
Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ôïí áñéèìü 60 åßíáé ïé:
10, 12, 5
Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ìéêñüôåñï áðü ôïí áñéèìü 50 åßíáé ïé:
5, 10, 25
¢óêçóç á
Ôá ðáéäéÜ åíüò ó÷ïëåßïõ êÜíïõí ðñüâåò ãéá ôçí ðáñÝëáóç. Ìðïñïýí üëïé ïé ìáèçôÝò íá óôïé÷é-
èïýí êáôÜ ôåôñÜäåò, åîÜäåò Þ ïêôÜäåò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé êáíÝíá ðáéäß.
Ðüóá åßíáé ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ, üôáí ãíùñßæù ðùò ï áñéèìüò ôùí ðáéäéþí åßíáé ìåôáîý ôïõ 80
êáé ôïõ 100;
ëýóç
Ôï Å.Ê.Ð. (4, 6, 8) = 24
Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 24: 24, 48, 72, 96, 120, ...
¢ñá óýìöùíá ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ Ý÷ù,
êáôáëáâáßíù üôé ôï ó÷ïëåßï Ý÷åé 96 ðáéäéÜ.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 24
Ôï Å.Ê.Ð. (3, 4, 6) = 12
Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 12: 12, 24, 36, ...
Ôá ðáéäéÜ ó’ áõôÞ ôçí ôÜîç åßíáé 24 (áöïý äåí õðÜñ÷åé ôÜîç ìå ðåñéóóüôåñá
áðü 30 ðáéäéÜ).
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.69

70. 204
ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 24
ÓðÜñôç: 06:00 10:00 14:00 18:00 22:00
Áãñßíéï: 06:00 14:00 22:00
ÐÜôñá: 06:00 08:00 10:00 12:00 14:00
16:00 18:00 20:00 22:00
Ôá ëåùöïñåßá ãéá ôéò ôñåéò ðüëåéò, óôçí Ýîïäü
ôïõò, èá óõíáíôçèïýí óôéò: 06:00, 14:00, 22:00.
¢ñá ôñåéò öïñÝò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25
• 15.000
• 15.000
• 15.000
• 17.500
• 22.500
¢óêçóç â
Íá âñåèïýí ôá êïéíÜ ðïëëáðëÜóéá ôùí áñéèìþí 2, 3, 4.
Íá âñåèåß ôï åëÜ÷éóôï êïéíü ðïëëáðëÜóéï ôùí 2, 3, 4 êáé íá ãñáöïýí ôá êëÜóìáôá
2
3
,
3
4
êáé
1
2
óå
éóïäýíáìá êëÜóìáôá.
ëýóç
Ð2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,
30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48
Ð3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42,
45, 48, ...
Ð4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...
Ê.Ð. { 2, 3, 4 } = 12, 24, 36, 48
Å.Ê.Ð. { 2, 3, 4 } = 12
2 8
3 12
=
3 9
4 12
=
1 6
2 12
=
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò æ
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25
Ê.Ð. { 5, 4, 10 } = 20, 40, 60
Å.Ê.Ð. { 5, 4, 10 } = 20
Éóïäýíáìá êëÜóìáôá:
2 8
5 20
= ,
3 15
4 20
= ,
7 14
10 20
=
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.70

71. 205
39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 26
5 2 7
10 10 10
+ =
5 2 3
10 10 10
− =
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 26
Ôçí 1ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôï
1
12
ôïõ ðáæë, äçëáäÞ
5
60
.
Ôçí 2ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôá
3
10
ôïõ ðáæë, äçëáäÞ
18
60
.
¸öôéáîáí, ëïéðüí, (1ç - 2ç åâäïìÜäá) ôá:
5 18 23
60 60 60
+ = ôïõ ðáæë.
• Ôï ìÝñïò ôïõ ðáæë ðïõ Ýìåéíå ãéá íá ôï ïëïêëçñþóïõí ôçí 3ç åâäïìÜäá åßíáé:
60 23 37
60 60 60
− =
• Ôçí 1ç åâäïìÜäá ôá:
5
60
Ôçí 2ç åâäïìÜäá ôá:
18
60
Ôçí 3ç åâäïìÜäá ôá:
37
60
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.71

72. 206
¢óêçóç á
Ç ¢ííá êáé ç ÅëÝíç ðÞñáí ìßá ôïýñôá. Ç ¢ííá ´Ýöáãå ôï
1
3
ôçò
ôïýñôáò êáé ç ÅëÝíç ôï
1
4
ôçò ôïýñôáò. Ðüóç ôïýñôá Ýöáãáí êáé ôá
äýï ðáéäéÜ ìáæß.
ëýóç
ÐñïóèÝôù ôá êïììÜôéá ðïõ Ýöáãáí.
Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. (3, 4) = 12
1 1 4 3 7
3 4 12 12 12
+ = + =
¸öáãáí ôá
7
12
ôçò ôïýñôáò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 26
Ï Ãéþñãïò Ýöáãå ôï:
1 1 1 10 8 5 23
4 5 8 40 40 40 40
+ + = + + = ôçò ðßôóáò.
¢óêçóç â
ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ: • + =
1 2
4 5 • + + =
1 3 5
3 4 6
ëýóç
• Å.Ê.Ð.(4, 5) = 20
1 2 5 8 13
4 5 20 20 20
+ = + =
• Å.Ê.Ð.(3, 4, 6) = 12
1 3 5 4 9 10 23
3 4 6 12 12 12 12
+ + = + + =
ÐñüóèåóçêáéáöáßñåóçåôåñþíõìùíêëáóìÜôùí
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.72

73. 207
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 26
•
1 2 3
3 7 10
+ = åßíáé ëÜèïò
1 2 7 6 13
3 7 21 21 21
+ = + = óùóôü.
• 1 2 7 10
3 7 10 20
+ + = åßíáé ëÜèïò
1 2 7 70 60 147 277
3 7 10 210 210 210 210
+ + = + + = óùóôü
•
5 3 2
6 4 2
− = åßíáé ëÜèïò
5 3 10 9 1
6 4 12 12 12
− = − = óùóôü
ÕðÜñ÷åé ëÜèïò, äéüôé ç áöáßñåóç äýï êëáóìÜôùí ãßíåôáé ìåôáôñÝðïíôáò ôá êëÜóìáôá óå ïìþíõ-
ìá êáé ü÷é áöáéñþíôáò ôïõò áñéèìçôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï áñéèìçôÞò êáé áöáéñþíôáò ôïõò ðáñï-
íïìáóôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï ðáñïíïìáóôÞò ôïõ áðïôåëÝóìáôïò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27
1ç åðéëïãÞ ìå ãñÞãïñç åêôßìçóç:
1 1
4 18
+
2ç åðéëïãÞ ìå áêñéâÞ õðïëïãéóìü:
2 4 1 4 5
1
14 7 7 7 7
+ = + = <
Ðñïôåßíù ôñßá äéáöïñåôéêÜ áèñïßóìáôá:
2 1 1 5 8 12
, ,
9 18 3 12 21 35
+ + +
•
9 2 1 2 3 1 3 12 3
, ,
20 5 20 5 10 10 7 35 35
− = − = − =
Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.73

74. 208
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27 Ôá
7
9
ôùí ÷ñçìÜôùí ðïõ å÷åé ç Ìáñßá åßíáé 70 .
• Íá õðïëïãßóåôå ðüóá ÷ñÞìáôá Ý÷åé.
ÐëÞñùóå ãéá Ýíá ðáé÷íßäé −
7 3
9 12
ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò.
• Ðüóá ÷ñÞìáôá ôçò ðåñßóóåøáí;
Ëýóç
• Ôá
7
9
ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò åßíáé 70 , ïðüôå ôï
1
9
åßíáé: 70 : 7 = 10 .
¢ñá ôï óýíïëï ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò, ôá
9
9
äçëáäÞ, åßíáé 9 ÷ 10 = 90
• Ôá
7 3 28 9 19
9 12 36 36 36
− = − = ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò êüóôéóå ôï ðáé÷íßäé,
äçëáäÞ :
19 19χ90 1710
x90 € € € 47,50€
36 36 36
 
= = = 
 
¢ñá ôçò ðåñßóóåøáí: ( )90 47,50 € 42,50€− =
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò æ
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27
ÊÜèå ðáéäß Ýöáãå:
1 1 2 1 3 1
6 12 12 12 12 4
+ = + = =
• Ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò ôùí ðáéäéþí ðïõ ìðïñåß íá âñÝèçêáí óôï
ðÜñôé åßíáé 4.
• Ìßá Þôáí ç ðßôóá ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç.
ÐñüóèåóçêáéáöáßñåóçåôåñþíõìùíêëáóìÜôùí
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.74

75. XMaths
Κριτήρια διαιρετότητας.
Ο αριθμός που προκύπτει από τα δύο τελευταία
ψηφία αν διαιρείται με 4, τότε και ο αρχικός αριθμός
διαιρείται με 4.
πχ διαιρείται ο αριθμός 1232 με το 4;
τελευταία 2 ψηφία : 32 Διαιρείται; ΝΑΙ Άρα ο 1232
διαιρείται με το 4.
Κριτήριο του 6
Αρκεί ο αριθμός να διαιρείται με 2 και με 3 (επειδή 6
= 2*3)
πχ διαιρείται ο αριθμός 1232 με το 6;
τελευταίο ψηφίο : 2 διαιρείται με 2.
άθροισμα ψηφίων: 1+2+3+2 = 8 δεν διαιρείται με 3.
Άρα ο 1232 δεν διαιρείται με το 6.
Κριτήριο του 7
Διπλασίασε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, και
αφαίρεσέ το από τον αριθμό που προκύπτει απόο
τα υπόλοιπα ψηφία. Αν διαιρείται το αποτέλεσμα με
7 τότε διαιρείται και το αρχικό νούμερο. Αν δεν
μπορώ να καταλάβω αν διαιρείται, συνεχίζω μέχρι
να είμαι σίγουρος.
πχ διαιρείται ο αριθμός 12345 με το 7;
τελευταίο ψηφίο : 5 ------>2 * 5 = 10
1234 - 10 = 1224 Διαιρείται;(δεν
ξέρω)
τελευταίο ψηφίο : 4 ------>2 * 4 = 8
122 - 8 = 114 Διαιρείται;(δεν ξέρω)
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.75

76. τελευταίο ψηφίο : 4 ------>2 * 4 = 8
11 - 8 = 3 Διαιρείται; ΟΧΙ Άρα ο
12345 δεν διαιρείται με το 7.
Κριτήριο του 8
Ο αριθμός που προκύπτει από τα δύο τελευταία
ψηφία αν διαιρείται με 4, τότε και ο αρχικός αριθμός
διαιρείται με 8.
πχ διαιρείται ο αριθμός 1232 με το 8;
τελευταία 2 ψηφία : 32 Διαιρείται; ΝΑΙ Άρα ο 1232
διαιρείται με το 8.
Κριτήριο του 11
Αφαίρεσε το τελευταίο ψηφίο από τον αριθμό που
προκύπτει από τα υπόλοιπα ψηφία. Αν διαιρείται το
αποτέλεσμα με 11 τότε διαιρείται και το αρχικό
νούμερο. Αν δεν μπορώ να καταλάβω αν διαιρείται,
συνεχίζω μέχρι να είμαι σίγουρος.
πχ διαιρείται ο αριθμός 12345 με το 11;
τελευταίο ψηφίο : 5 ------>1234 - 5
= 1229 Διαιρείται;(δεν ξέρω)
τελευταίο ψηφίο : 9 ------>122 - 9 = 113
Διαιρείται;(δεν ξέρω)
τελευταίο ψηφίο : 3 ------>11 - 3 = 8 Διαιρείται;
ΟΧΙ Άρα ο 12345 δεν διαιρείται με το 11.
Κριτήριο του 12
Αρκεί ο αριθμός να διαιρείται με 3 και με 4 (επειδή
12 = 3*4)
πχ διαιρείται ο αριθμός 13032 με το 12;
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.76

77. τελευταία 2 ψηφία : 32 διαιρείται με 4.
άθροισμα ψηφίων: 1+3+0+3+2 = 9 διαιρείται με 3.
Άρα ο 13032 διαιρείται με το 12.
Κριτήριο του 13
Τετραπλασίασε το τελευταίο ψηφίο και πρόσθεσέ το
στον αριθμό που προκύπτει από τα υπόλοιπα
ψηφία. Αν διαιρείται το αποτέλεσμα με 13 τότε
διαιρείται και το αρχικό νούμερο. Αν δεν μπορώ να
καταλάβω αν διαιρείται, συνεχίζω μέχρι να είμαι
σίγουρος.
πχ διαιρείται ο αριθμός 50661 με το 13;
τελευταίο ψηφίο : 1 ------> 1 * 4 = 4 --------> 5066+4
= 5070 Διαιρείται;(δεν ξέρω)
τελευταίο ψηφίο : 0 ------> 0 * 4 = 0 --------> 507+0
= 507 Διαιρείται;(δεν ξέρω)
τελευταίο ψηφίο : 7 ------> 7 * 4 = 28 -------> 50+28
= 78 Διαιρείται;(δεν ξέρω)
τελευταίο ψηφίο : 8 ------> 8 * 4 = 32 -------> 7+32
= 39 Διαιρείται; ΝΑΙ
Άρα ο 50661 διαιρείται με το 13.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.77