I. El documento presenta una recopilación de ejercicios y respuestas de matemática para la PSU, organizados en 38 capítulos que abarcan diversos temas como números, álgebra, geometría y trigonometría. II. Incluye 17 ejemplos de ejercicios PSU resueltos sobre diferentes temas matemáticos como números enteros, proporciones, ecuaciones, funciones y probabilidad. III. El documento fue compilado por Álvaro M. Sánchez Vásquez con el objetivo de preparar

1. LIBRO RECOPILACIÓN PSU
EJERCICIOS DEMRE
CONTENIDOS
EJERCICIOS PSU
RESPUESTAS
ENSAYOS
ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
2010
1

2. INDICE
Contenido Página
1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3
2 Números racionales, operatoria, propiedades 10
3 Potencias, propiedades, aplicaciones 20
4 Operatoria algebraica 26
5 Simbología 38
6 Razones y proporciones 42
7 Tanto por ciento 49
8 Raíces, propiedades, aplicaciones 57
9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de 64
ecuaciones
10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 79
11 Ecuación de segundo grado 83
12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 85
13 Funciones, operatoria, tipos de funciones 88
14 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de 108
Pitágoras, teorema de Euclides
15 Congruencia de triángulos 129
16 Semejanza de triángulos 133
17 Cuadriláteros 141
18 Polígonos 152
19 Ángulos en la circunferencia 153
20 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 162
21 Poliedros, volumen 166
22 División interior y exterior 173
23 Trigonometría 175
24 Probabilidad 183
25 Estadística 198
26 Transformaciones isométricas 209
27 Teorema de Tales 221
28 Evaluación de suficiencia de datos 226
29 Respuestas 243
30 Resumen contenidos Primer año medio 248
31 Resumen contenidos Segundo año medio 258
32 Resumen tercer año medio 269
33 Resumen Cuarto año medio 280
34 Ensayo 1 290
35 Ensayo 2 308
36 Ensayo 3 329
37 Ensayo 4 348
38 Ensayo 5 365
39 Ensayo 6 384
2

3. RESUMEN PSU MATEMATICA
I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 )
Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, …} se denominan “números naturales”. Si a este
conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, …} llamado
“conjunto de los números cardinales”.
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Los elementos del conjunto Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros”
Algunos subconjuntos de Z son:
+
Z+ = {1, 2, 3, …} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2, … } enteros no negativos
−
Z- = {-1, -2, -3, …} enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3, …} enteros no positivos
1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,
256, …
2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -
1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …
MÚLTIPLO Y DIVISOR
En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c
o bien b y c son divisores o factores de a.
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
Por Cuando
2 Termina en cifra par.
3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son
Ceros.
5 La última cifra es cero o cinco.
6 Es divisible por dos y por tres a la vez.
7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las
Cifras restantes es múltiplo de siete.
8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son
Ceros.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
10 Termina en cero.
11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y
Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.
3

4. NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores
de números primos
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.
CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
PRIMOS
Se descomponen los números en factores primos:
1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir
factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando
aquel que posea el exponente menor.
OPERATORIA EN Z
ADICIÓN
i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando
el signo común.
ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de
menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
MULTIPLICACIÓN
i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.
ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.
OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0
n, si n ≥ 0
DEFINICIÓN: 
− n si n < 0
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Si D: d = c, entonces D = d ⋅ c + r
r //
D = dividendo
d = divisor
c = cuociente o cociente
r = resto
4

5. OBSERVACIONES:
1) 0 ≤ r < d
2) La división por cero no está definida.
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los paréntesis.
2. Realizar las potencias.
3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.
RELACIÓN DE ORDEN EN Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que:
i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.
ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.
iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).
EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta
A) – 2
B) 2
C) 4
D) – 4
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y
el de las unidades es n, entonces a + 1 =
A) m + n + 1
B) 10m + n + 1
C) 100m + n + 1
D) 100m + 10n + 1
E) 10(m + 1) + n
EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)?
A) -11
B) -5
C) 5
D) 7
E) -7
5

6. EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31
niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que
cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 0
E) 7
EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde
depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el
banco?
A) $ 8p
B) $ 10p
C) $ 12p
D) $ 16p
E) $ 14p
EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el
último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número
de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?
A) 5 x 4 20
B) 7 4 9
C) 8 8 13
D) 9 24 16 55
E) 16
EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos
II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar
de círculos
III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras
consecutivas es 2
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
6

7. EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21
monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de
dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) En total hay 27 monedas
II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero
III) En el monedero hay $600
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-9: Se define a ◊ b = ab + b y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, el
valor de (2 ◊ 5) # (-2) es:
A) 82
B) 66
C) 60
D) 38
E) 22
EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7),
3(3x - 9), 4(4x + 11), . . . , resulta
A) 41x - 2
B) 61x + 25
C) 41x - 109
D) 41x + 109
E) 41x - 21
EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una
cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?
A) De 1 forma
B) De 2 formas
C) De 4 formas
D) De 3 formas
E) De 6 formas
EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a
partir de hoy?
A) Viernes
B) Sábado
C) Lunes
D) Miércoles
E) Jueves
7

8. EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4
pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180
cada uno?
A) $280
B) $200
C) $120
D) $100
E) $ 40
EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3),
respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres
artículos T?
A) 6n - 14
B) 6n – 6
C) 5n – 14
D) 3n – 14
E) 3n - 6
EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros
positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q?
A) p = nq + r
B) q = np + r
C) q = np
D) p = nq
p 1
E) =1+
q q
EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la
siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”.
¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?
A) 8
B) 6
C) 9
D) 10
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a
A) -12
B) -7
C) -2
D) 4
E) 12
8

9. EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene
factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de
cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si
repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:
1.000
A)
12
 1.000 
B) 6 •  
 2 
1.000
C)
26
1.000
D)
6
1.000
E)
25
EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre:
I) divisible por 3
II) divisible por 6
III) divisible por 9
Es(son) verdadera(s):
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a
estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La suma del menor y el mayor es 0
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) El mayor menos el menor es 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
9

10. II. NÚMEROS RACIONALES
a
Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números
b
enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la
letra Q.
2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
a c
Si , ∈Q, entonces:
b d
OBSERVACIONES
a a
1. El inverso aditivo (u opuesto) de es - , el cual se puede escribir también como
b b
−a a
o
b −b
b
2. El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
a c
Si , ∈Q, entonces:
b d
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
OBSERVACIÓN
−1
a  a b
El inverso multiplicativo (o recíproco) de es   = , con a ≠ 0
b b  a
10

11. RELACIÓN DE ORDEN EN Q
OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes
procedimientos:
a) igualar numeradores.
b) igualar denominadores.
c) convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un
desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.
a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras
decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales
b) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte
entera y el período.
Ejemplo: 0,444.... = 0, 4
c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la
parte entera, un anteperíodo y el período.
Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 23
OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales
se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal
bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.
Así por ejemplo: 0,19
3,81
+ 22,2
26,20
2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales,
se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de
derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en
conjunto.
Así por ejemplo: 3,21 · 2,3
963
642
7,383
11

12. 3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar
el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.
Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como números enteros
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número
decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales
tenga dicho número.
324
Por ejemplo: 3,24 =
100
2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número
decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que
anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.
215 − 2
Por ejemplo: 2, 15 =
99
3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que
anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el
período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
534 − 53
Por ejemplo: 5,3 4 =
90
 0,05 
EJEMPLO PSU-1: 5 • 
 

 0,5 
A) 0,5
B) 0,05
C) 0,005
D) 50
E) 500
2 5 3
EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a = , b = y c = de menor a mayor es
3 6 8
A) a < b < c
B) b < c < a
C) b < a < c
D) c < a < b
E) c < b < a
EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 ⋅ 2,5 + 10 =
A) 0
B) -20
C) 60
D) 75
E) 250
12

13. 9 3
EJEMPLO PSU-4: − =
8 5
A) 0,15
B) 0,5
C) 0,52
D) 0,525
E) 2
5 1
EJEMPLO PSU-5: Si a se le resta resulta:
6 3
1
A) −
2
1
B)
2
2
C)
3
4
D)
3
2
E)
9
1 1
EJEMPLO PSU-6: +
3 3
− 0,75 − 0,25
8 8
15
A)
3
16
B)
3
16
C) −
3
D) 4
8
E)
3
t −r
EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces =
r
A) 80,89
B) 80,9
C) 88,9
D) 89
E) Ninguno de los valores anteriores
13

14. 1 1 1
EJEMPLO PSU-8: En la igualdad = − , si P y R se reducen a la mitad, entonces
P Q R
para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe
A) duplicar.
B) reducir a la mitad.
C) mantener igual.
D) cuadruplicar.
E) reducir a la cuarta parte.
EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que
cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool
II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet
III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
1 1 1
EJEMPLO PSU-10: + + =
x x x
A) 3
1
B)
x3
3
C)
x
1
D)
3x
3
E)
x3
14

15. 1
EJEMPLO PSU-11: Si P = RH , entonces H-1 es igual a:
2
2P
A)
R
R
B) −
2P
2P
C) −
R
2R
D)
P
R
E)
2P
1 1 1
EJEMPLO PSU-12: + ⋅ =
3 6 2
5
A)
12
2
B)
15
1
C)
9
2
D)
3
1
E)
4
2,6 − 2 ⋅ 3,8
EJEMPLO PSU-13: =
2,6 ⋅ 6 + 3,8
1
A) −
3
5
B) −
19,4
5
C)
19,4
2,28
D)
19,4
7,6
E)
9,8
15

16. 1 2
EJEMPLO PSU-14: + =
3 1
1−
4
3
A)
2
1
B)
3
11
C)
6
D) 1
E) 3
50
+ 0,5
EJEMPLO PSU-15: 100 =
(0,5) ⋅ 2
A) 10
B) 1
C) 0,1
D) 0,25
E) 0,75
EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850
metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?
A) 4,45 km
B) 4,55 km
C) 5,55 km
D) 5,45 km
E) 6,62 km
EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta
3 3 3
entre las fracciones: p = t = r =
a a−1 a+1
A) p <t < r
B) r < p < t
C) t < r < p
D) r < t < p
E) p < r < t
16

17. EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del
licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
a+b
A) $
3
a+b
B) $
5
C) $(2a + 3b)
3a + 2b
D) $
18
5 ⋅ (3a + 2b)
E) $
18
1
EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 2
3
litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?
1
A) 2
3
2
B) 2
3
3
C) 2
2
1
D) 3
3
2
E) 1
3
1 1 2
EJEMPLO PSU-20: + • =
3 4 3
1
A)
2
1
B)
4
1
C)
5
1
D)
12
4
E)
21
17

18. 1
EJEMPLO PSU-21: Se define a ∗ b = , entonces a ∗ (b ∗ c) es igual a:
ab
1
A)
abc
a
B)
bc
bc
C)
a
ab
D)
c
c
E)
ab
EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si
a a
P = + d y Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre
b c
verdadera(s)?
I) P - Q ≠ 0
P c
II) =
Q b
a2
III) P — Q = + d2
bc
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
1
EJEMPLO PSU-23: =
1
1+
1
1+
1+1
5
A)
2
2
B)
5
C) 1
3
D)
5
1
E)
2
18

19. EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3
segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Javier llegó después de Marcelo
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la
meta
III) Arturo llegó primero
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de
azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe
multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan?
A) 33, 3
B) 200
C) 1.200
D) 6
E) 0,03
a a
EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si S = + , entonces S −1 es:
b d
bd
A)
2a
ad + ab
B)
bd
b+d
C)
a
b+d
D)
2a
bd
E)
a( b + d )
EJEMPLO PSU-27: (0 ,2 ) −2 =
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
1
E)
5
19

20. III. POTENCIAS EN Z
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
1. 0 n = 0, si n ∈Z+
2. 1 n = 1
3. Si n es par, (−1) n = 1
4. Si n es impar, (−1) n = -1
Positivo si a ≠ 0 y n es par
Signos de una potencia: a n = 
Negativo si a < 0 y n es impar
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b ∈ Z, m y n ∈ Z+
1.- Multiplicación de potencias de igual base
2.- División de potencias de igual base
3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente
4.- División de potencias de distinta base e igual exponente
DEFINICIÓN
OBSERVACIÓN:
0 0 no está definido
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
POTENCIAS DE BASE 10
1
10 0 = 1 10 −1 = =0,1
10
20

21. 1
10 1 = 10 10 −2 = =0,01
100
1
10 2 = 100 10 −3 = =0,001
1000
10 3 = 1000
Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:
1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k · 10 n , en que 1
≤ k < 10 y n ∈ Z.
2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p · 10n, en que p es
el menor entero y n ∈ Z.
3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la
suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la
potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,
centésima...) abcde = a · 10 2 + b · 10 1 + c · 100 + d · 10 −1 + e · 10 −2
3 −1 + 4 −1
EJEMPLO PSU-1: =
5 −1
12
A)
35
35
B)
12
7
C)
5
5
D)
7
5
E)
12
0 ,0009 ⋅ 0 ,0000002
EJEMPLO PSU-2: =
6 ⋅ 0 ,0003
A) 10-15
B) 10-12
C) 10-7
D) 10-6
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51⋅ 10 −6 ; N = 45,1⋅ 10 −5 y P = 451⋅ 10 −7 ,
de menor a mayor, es
A) M, N, P
B) P, M, N
C) N, M, P
D) P, N, M
E) M, P, N
21

22. −3
1 
EJEMPLO PSU-4:  a − 2  =
2 
6
A ) 8a
B ) 8a − 5
1
C ) a −5
2
1
D ) a −6
8
1 6
E) a
2
EJEMPLO PSU-5: Si 2 2 x = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?
A) 6
9
B)
2
C) 3
3
D)
2
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-6: 4 −2 + 2 −3 − 2 −4 =
1
A)
8
1
B)
4
1
C)
6
D) − 8
E) − 6
EJEMPLO PSU-7: ( 2a ) 3 • ( 3a) 2 =
A) 72a2
B) 72a5
C) 6a5
D) 36a6
E) 36a5
22

23. EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 2 6 ?
A) 25
B) 23
C) 16
3
1
D)  
2
6
1
E)  
2
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?
I) a n ⋅ a n = a 2 n
II ) a 2 n − a n = a n
III ) ( 2 a n ) 2 = 2 a 2 n
A) Solo I
B) Sólo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?
I) 2 4 + 5 2
II ) 6 ⋅ 7 − 6 0 ⋅ 7 0
III ) 7 2 − 2 3
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II, III
E) Ninguna de ellas
4 ⋅ 18 n
EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión es
3 −1 ⋅ 6 2 n +1 ⋅ 2 − n
A) 2 n
B) 4⋅ 2 n
C) 2
D) 6
E) 36
23

24. 3,6 ⋅ 10 6 ⋅ 0 ,00006
EJEMPLO PSU-12: =
20.000.000
A ) 1,08 ⋅ 10 −4
B ) 1,08 ⋅ 10 − 5
C ) 1,08 ⋅ 10 −6
D ) 1,08 ⋅ 10 −7
E ) 1,08 ⋅ 10 −15
EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 4 n + 4 n + 4 4 + 4 n = 2 44 , el valor de n es:
11
A)
2
B) 11
C) 21
D) 22
E) ninguno de los valores anteriores
–2
EJEMPLO PSU-14: (0,2) =
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
E) 5
a6b −15
EJEMPLO PSU-15: =
a − 2b − 5
9
A) −
7
B) a8b − 10
C) a 4b − 20
D) a − 3b 3
E) − 9
EJEMPLO PSU-16: Si 9 ⋅ 9 = 3 x . Entonces x=
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 27
24

25. EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente
hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es:
A) 5.000 ⋅ 33 bacterias
B) 5.000 ⋅ 34 bacterias
C) 5.000 ⋅ 39 bacterias
D) 5.000 ⋅ 360 bacterias
E) 5.000 ⋅ 3180 bacterias
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?
1
I) 4x =
64
II) 4x ⋅ 43 = 1
III) (4−1 )x = 64
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-19: Si p = 5,2 • 10 −3 y q = 2 • 10 −3 , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades
se cumple(n)?
I) p + q = 7,2 • 10 −3
II) p • q = 1,04 • 10 − 5
III) p − q = 3,2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-20: Si 3 x + 3 −x = P , entonces 9 x + 9 − x es igual a:
A) P2
B) P2 + 2
C) P2 – 2
D) P2 – 1
E) 3P
25

26. IV. ALGEBRA y FUNCIONES
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos
dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre
paréntesis.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los
mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y
mantener su factor literal.
USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los
paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de
los términos que están dentro del paréntesis.
Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos
de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se
encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a
los paréntesis desde adentro hacia fuera.
OPERATORIA ALGEBRAICA
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos
semejantes y uso de paréntesis.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando
propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de
monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,
a · (b · c) = (a · b) · c
MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad
26

27. POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio
y se reducen los términos semejantes, si los hay.
PRODUCTOS NOTABLES:
∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2
∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac
∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
EJEMPLO PSU-1: La expresión a 4 − b 4 se puede escribir como
A) (a − b) 4
B) (a + b) 2 (a − b) 2
C) (a 3 − b 3 )(a + b)
D) (a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 )
E) (a − b )(a 3 + b 3 )
EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a · b =
n−p
A)
2
n − p4
4
B)
4
n − p2
2
C)
4
n−p
D)
4
E ) 4( n − p)
27

28. xy − x ay − a
EJEMPLO PSU-3: La expresión : es igual a:
y y2
A) 0
a
B)
xy
ax
C)
y
xa(y − 1)2
D)
y3
xy
E)
a
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n)
1?
2a + 3
I)
3 + 2a
a2 − b2
II )
(a − b ) 2
( b − a) 2
III )
a 2 + b 2 − 2 ab
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: El doble de − [− (a − ( − b ))]
A) 2a + 2b
B) a - b + 2
C) a + b + 2
D) a + b
E) -2a - 2b
EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y,
¿cuánto mide el ancho del rectángulo?
A) 2x + y
B) 4x + 2y
C) 7x + 4y
D) x + 2y
7
E) x + 2y
2
28

29. EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2 x 2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x -
3), el otro lado mide
A) (x + 8)
B) 2(x + 8)
C) 2(x - 4)
D) 2(x - 3)
E) 2(x + 4)
1 a2 b2 − 1 1
EJEMPLO PSU-8: Si a + =9 y 2
= 36 , entonces a −
b b b
A) -9
B) 6
C) 4
D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la
expresión algebraica 2 x 2 − 6x − 20 ?
I) 2
II) (x − 5)
III) (x + 2)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
z
EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide , entonces ¿cuánto
2
mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo?
z
A)
4
z
B) 2
2
C) z
z
D)
2
z2
E)
4
EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2 x 2 − 3) =
A) − 45
B) − 75
C) 15
D) 75
E) 105
29

30. x y
EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces + =
y x
x2 + y2
A)
xy
x+y
B)
xy
C) 1
2x + 2y
D)
xy
E) 2
EJEMPLO PSU-13: (3w − 2)2 − 2(2w − 3)(2w + 3) =
A) w 2 – 12w - 14
B) w 2 – 12w + 22
C) w 2 – 12w -5
D) w 2 – 12w + 13
E) w 2 – 12w + 14
EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:
A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k – 6?
A) k + 1
B) k + 2
C) k – 6
D) k – 3
E) k – 2
30

31. EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2
II) El área de la región achurada es (a + b)2
III) El área de AEFD es b2 + ab
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se
expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados?
A) (x – 1) y (x – 5)
B) (x + 2) y (x – 3)
C) (x – 1) y (x + 6)
D) (x + 1) y (x – 6)
E) (x – 2) y (x – 3)
EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión x 2 y 2 + x 2 y + xy + x , ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones es (son) factor(es) de ella?
I) xy + 1
II) x + 1
III) y + 1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
(
EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a 3n − 3 − 3n − 2 )
2
es:
A ) 2 ⋅ 3 2( n − 3 )
B) − 2 ⋅ 3( n −3)
C ) 4 ⋅ 3 2( n − 3 )
D ) 16 ⋅ 3 2( n − 3 )
E) − 8 ⋅ 3 2( n −3 )
31

32. EJEMPLO PSU-20: a ⋅ [a − a − (a − a) ⋅ a − a] : −a =
A) –a2
B) –a
C) a
D) 2a
E) a - 2
5a + 4 2a − 6
EJEMPLO PSU-21: − =
3a − 6 2a − 4
2a + 13
A)
3(a − 2)
2a − 5
B)
3(a − 2)
2a + 5
C)
3(a − 2)
2a − 3
D)
3(a − 2)
3a − 2
E)
a − 10
EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=
A) 1
1
B)
m
1
C)
m2
1
D)
m3
1
E)
m4
EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)
A) 1 - a
B) a
C) 0
D) –a2
E) a2
EJEMPLO PSU-24: Si a ⋅ b = 10 y a2 + b 2 = 29 , entonces el valor de (a – b)2 es:
A) 9
B) 19
C) 29
D) 49
E) No se puede determinar el valor
32

33. EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (m + n ) 2 – 4mn?
A) (m – n)2
B) m2 – 2 + n2
C) m2 – 4mn + n2
D) 2m – 4mn + 2n
E) 2m – 2mn + 2n
m − mr
EJEMPLO PSU-26: Sea m ≠ 0, al simplificar la expresión resulta:
2m
A) 0
r
B) −
2
1−r
C)
2
m−r
D)
2
1 − mr
E)
2
x x
EJEMPLO PSU-27: Al sumar con m se obtiene , entonces ¿cuál es el valor de de
t t +2
m?
A) 0
2x
B)
t(t + 2)
−x
C)
t+2
− 2x
D)
t(t + 2)
−2
E)
t(t + 2)
2
EJEMPLO PSU-28: (30 + 5) – (30 + 5)(30 – 5) =
A) 0
B) 50
C) 300
D) 350
E) 450
33

34. EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a
y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costo el tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)
EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5
entonces, el sucesor de ese número entero es:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 14
E) Ninguno de los anteriores
3x
EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es y el largo es el doble del ancho.
2
¿Cuánto mide su perímetro?
9x 2
A)
2
B) 3x
9x
C)
2
D) 9x
E) 6x
1 1 1
EJEMPLO PSU-32: Si a = ,b= yc= , entonces la expresión x – (a + b + c)
2x 4x 6x
equivale a:
12 x 2 − 11
A)
12 x
2
x −7
B)
12 x
11x
C)
12
11
D)
12 x
7
E)
12 x
34

35. EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:
Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área
achurada.
II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del
cuadrado de lado a y el lado de b.
2 2
III. a(a + b) > a + b
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados
de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?
A) 8 – x
B) 64 – 4x2
C) 64 – x2
D) 8 – x2
E) 64 – x4
EJEMPLO PSU-35: Si a∇b = (a + b) 2 y a# b = (a 2 + b 2 ) , ¿a cuánto equivale la expresión
A) -2m2 + 8p2
B) -2m2 + 6mp + 8p2
C) 8m2 + 6mp – 2p2
D) -2m2 + 3mp + 8p2
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual a
A) -10
B) 10
C) 13
D) -25
E) 25
35

36. EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de
otro cilindro P, entonces
I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios
deben ser iguales.
II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las
alturas deben ser iguales.
III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las
alturas deben ser iguales.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo III.
D) sólo I y II.
E) sólo I y III
n
EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n 2 − + 3n es igual a:
3
A) 6
B) 9
C) 14
D) 17
E) 18
2  2 
EJEMPLO PSU-39:  x + y  x − y  =
3  3 
4 2
A) x − y2
3
4 2
B) x − y2
9
2 2
C) x − y2
9
4 2
D) x − y2
6
E) Ninguna de las expresiones anteriores
EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región
achurada se expresa como:
A ) x(z − y )
B ) x( y − z )
C ) xz
xy
D)
2
x( z + y )
E)
3
36

37. x+y
1−
x−y
EJEMPLO PSU-41: para que la expresión = sea positiva, se debe cumplir
x+y
1+
x−y
necesariamente que:
A) xy < 0
B) x < 0
C) xy > 0
D) y < 0
E) x > y
EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión x 2 − x 3 + x 4 ?
A) -9
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3
2
EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x – 2xy, si x = 2 e y = – 1?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0
EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =
A) –a + b – c
B) a + b – c
C) –a – b + c
D) a – b – c
E) a + b + c
2
EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p) =
2 2
A) 6m – 10p
2 2
B) 9m – 25p
2 2
C) 9m – 15mp + 25p
2 2
D) 9m – 30mp – 25p
2 2
E) 9m – 30mp + 25p
37

38. V. SIMBOLOGÍA:
∗ Números natural cualquiera = n
∗ El antecesor de un número = n – 1
∗El sucesor de un número = n + 1
∗Número natural par = 2n
∗ Número natural impar = 2n – 1
∗El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2
∗El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1
∗El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2
∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1
∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n
1
∗El inverso multiplicativo o recíproco de un número =
n
∗El triple de un número = 3n
∗Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra
de las decenas es d = 10d + u
∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra
de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
p
∗La razón o cuociente entre p y q =
q
∗ El valor absoluto de un número = | n |
p
∗p es directamente proporcional a q = = k( cons tan te )
q
∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)
EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:
A) [2(x-3)]2
B) 2(x2 – 32)
C) (2x – 6)2
D) 2(x – 3)2
E) (x2 – 32)2
38

39. EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente
problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a
ti, me quedo con 4”?
2x
A) +5 = 4
5
2x
B) +5 = x
5
x
C) +9=x
5
2x
D) +9= x
5
x
E) +5 = 4
5
EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se
multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe
A ) d + 2d ⋅ 3d 2
B ) d + 2d ⋅ ( 3d ) 2
C ) (d + 2d ) ⋅ ( 3d ) 2
D ) (d + 2d ) ⋅ 3d 2
E ) (d + 2 ) ⋅ ( 3d ) 2
EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al
cuadrado, se expresa como
2
 1
A)  n + 
 n
2
1
2
B) n +  
n
2
1
C) n +  
n
D ) n + ( −n ) 2
E) n 2 + (−n ) 2
EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades, entonces el área del
nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como
A ) πr 2 + ε
B ) πr 2 + ε 2
C ) π(r 2 + ε 2 )
D ) π(r 2 + ε )
E ) π(r + ε ) 2
39

40. EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”,
se escribe
5m + m 2
A)
t
m
+ m2
B) 5
t
m2
C) 5m +
t
m m2
D) +
5 t
m
+ 2m
E) 5
t
EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si
hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se plantean
correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan?
J
A) M − 2 = y J + 2 = 10
4
J
B) M − 2 = y J − 2 = 10
4
J
C) M + 2 = y J − 2 = 10
4
J
D) M − 2 = y J = 10
4
J
E) M + 2 = y J + 2 = 10
4
EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de
sus edades en a años más?
A) (11 + 3a) años
B) (11 + 2a) años
C) (11 + a) años
D) (8 + 3a) años
E) (5 + 3a) años
EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del
doble de (3 – b)” se representa como:
A) [2(3 + b] = 2(3 − b)2
2
B) 4(3 + b)2 = 4(3 − b)2
C) [2(3 + b] = 2(3 + b)(3 − b)
2
D) 2(3 + b)2 = 2(3 − b)2
E) 2(3 + b)2 = [2(3 − b)]
2
40

41. EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho
del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es:
A) (4x + 16) metros
B) (2x + 8) metros
C) (2x + 16) metros
D) (4x + 8) metros
E) (4x + 32) metros
EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291.
¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este
problema?
A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291
B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291
C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291
D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291
E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291
EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4
unidades”, se expresa como
A) 2a + c + 4 = 18
B) 2(a + c) – 4 = 18
C) 2(a + c) + 4 = 18
D) 4 – 2(a + c) = 18
E) 2a + c – 4 = 18
EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de café
en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x?
36.000 48.000
A) +
x x + 40
36.000 48.000
B) +
x x − 40
x x + 40
C) +
36.000 48.000
x x − 40
D) +
36.000 48.000
36.000 48.000
E) +
x 40
41

42. VI. RAZONES y PROPORCIONES
a
RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe o a: b.
b
Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.
x y
PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe = ó x: a = y : b
a b
Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
(x : a = y : b) ⇔ (x — b = y — a)
OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de
proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante.
OBSERVACIONES:
En una proporción directa, si una cantidad
aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa
corresponde a una línea recta que pasa por el
origen
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores
correspondientes es constante
x1 — y1 = x2 — y2 = x3 — y3 = ..........= xn — yn = k k : constante
OBSERVACIONES:
En una proporcionalidad inversa, si una
cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la
otra disminuye (o aumenta) el mismo número
de veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa
corresponde a una hipérbola equilátera
42

43. EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla: A 10 15 20
B 3 x 1,5
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:
I. A y B son directamente proporcionales.
II. El valor de x es 2.
III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas
diarias.
II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.
III. La constante de proporcionalidad es 3.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total
300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces
¿cuántos duraznos hay en la quinta?
A) 54
B) 77
C) 84
D) 126
E) 210
43

44. EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1.
Si x = 8, entonces y =
1
A)
2
1
B)
4
C) 2
D) 4
E) 9
EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la
razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al
orden de las razones dadas?
A) 180 mm 120 mm 90 mm
B) 420 mm 180 mm 120 mm
C) 320 mm 240 mm 160 mm
D) 510 mm 120 mm 90 mm
E) Ninguna de las medidas anteriores
1
EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número y cuando a
b
toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:
A ) 10
8
B)
5
5
C)
8
1
D)
10
15
E)
4
EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en
la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia
real es
A) 50 km
B) 65 km
C) 67,5 km
D) 62,5 km
E) ninguno de los valores anteriores.
44

45. EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para
mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N
A) aumenta al doble.
B) disminuye a la mitad.
C) aumenta en dos unidades.
D) disminuye en dos unidades.
E) se mantiene constante.
1
EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a . Según los
y
a
datos registrados, el valor de , es
b
A) 256 z y
B) 16 8 2
1 a 4
C)
16 1 16
D) 64 1 b
1 4
E)
64
EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos
ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas?
A 1,75 km
B 17,5 km
C 175 km
D 1.750 km
E 17.500 km
EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los
pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =
A) 4: 7
B) 4: 3
C) 7: 4
D) 3: 7
E) 3: 4
45

46. EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es
P⋅V
= constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura
T
absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la
temperatura
II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al
volumen
III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la
temperatura
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus
volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos
litros tiene la mezcla total?
A 6 litros
B 10 litros
C 12 litros
D 14 litros
E 16 litros
EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m:
h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres?
40m
A)
m+h
40(m + h)
B)
m
40(m + h)
C)
h
40h
D)
m+h
40m
E)
h
46

47. EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre
las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La constante de proporcionalidad es 36
II) El valor de t1 es 9
III) El valor de m1 es 36
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3
hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?
A) 8
B) 21
C) 24
D) 28
E) 32
EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombres
se necesitan para fabricar x artículos en un día?
hx
A)
50
50x
B)
h
x
C)
50h
h
D)
50x
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de
febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay en
febrero?
A) 416
B) 4.000
C) 12.500
D) 15.000
E) 17.500
47

48. EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a
u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con
constante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas
variables representan este hecho?
x
A) =2 yw • v=8
u
B) x – u = 2 y w + v = 8
w
C) x • u = 2 y =8
v
D) x + u = 2 y w – v = 8
E) x + w = 10
EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín,
otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan
juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos días se demorará Y trabajando solo?
A) 30
B) 28
C) 25
D) 20
E) 15
EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente
proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D =
0,25, entonces entre ambos índices se cumple:
A) D = 0,5C
B) D = C2
0,5
C) D =
C
D) D = 0,125C
0,125
E) D =
C
EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de
electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas
diarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias
II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente
proporcionales
III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
48

49. TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los
términos de la proporción es 100:
P: Es el tanto por ciento
C: Es la cantidad de referencia
Q: Es el porcentaje
El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es
P
P% de C = C
100
OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS
i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar
a% de C ± b% de C = (a ± b)% de C
ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los
tantos por cientos
a b
El a% del b% de C = ⋅ ⋅C
100 100
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de
tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la
fórmula:
 i 
C F = C 1 + n ⋅
 100 

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al
finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital
permanece inalterable.
INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de
tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:
n
 i 
C F = C 1 +
 100 

49

50. OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al
finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital
para producir nuevos intereses.
EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60%
de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los
cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?
A) 108
B) 72
C) 180
D) 90
E) 54
EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el
interés simple anual.
A) 5%
B) 5,25%
C) 5,5%
D) 5,75%
E) 15,75%
EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se
ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta
un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada
pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos.
¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?
A) $ 45.000
B) $ 50.000
C) $ 57.150
D) $ 72.000
E) $ 81.900
EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las
ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?
A) $ 254.625
B) $ 532.000
C) $ 1.275.000
D) $ 1.812.500
E) $ 3.962.500
50

51. EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían
10 vasos para llenar el jarro.
II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos
para llenar el jarro.
III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas
sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el
25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s) ?
I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B.
II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en
éste, menos del 50% de sus asientos vacíos.
III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la
capacidad de B.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad,
entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar
A) 4 litros.
B) 24 litros.
C) 40 litros.
D) 60 litros.
E) ninguno de los valores anteriores.
51

52. EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%,
30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la
segunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un
5,1?
A) 5,0
B) 5,1
C) 5,2
D) 6,0
E) 6,3
EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su
largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del
área original?
A) Se mantiene igual.
B) Aumenta en un 4%.
C) Disminuye en un 4%.
D) Aumenta al doble.
E) Disminuye a la mitad.
EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5%
del precio de un artículo?
1
I) del precio del artículo
8
II) El precio del artículo multiplicado por 12,5
III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cerámica y 100
m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta
$P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el
costo total es de:
A) $ 145⋅P
B) $ 170⋅P
C) $ 175⋅P
D) $ 245⋅P
E) $ 195⋅P
52

53. b
EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de es:
a
400
A)
7
35
B)
8
18
C)
35
35
D)
18
8
E)
35
EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad
extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta
parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de
estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?
A) Menos del 91%.
B) Entre el 91% y el 93%.
C) Entre el 93% y el 95%.
D) Entre el 95% y el 97%.
E) Más del 97%.
EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer piso
y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el
metro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa el costo total C en alfombras?
A) C = 1,6 • p • 100 + p • 100
B) C = 0,6 • p • 100 + p • 100
C) C = 0,6 • p • 60 + p • 40
D) C = p • 60 + 0,6 • p • 40
E) C = 1,6 • p • 60 + p • 40
EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) Faltó la cuarta parte del curso
II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes
III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del curso
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
53

54. EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento
es:
1
A) %
5
1
B) %
6
C) 3%
D) 20%
E) 30%
EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% es
álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son:
A) 4
B) 8
C) 10
D) 12
E) 28
EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del
precio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600,
¿cuánto me descuentan?
A) $ 555
B) $ 510
C) $ 255
D) $ 45
E) $ 90
EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400,
ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?
4
A) %
3
B) 10%
C) 25%
D) 33, 3 %
E) 75%
EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatro
y los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relación
al total del curso?
A) 20%
B) 80%
C) 16,6…..%
D) 83,3…..%
E) No se puede determinar
54

55. EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M
recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000
más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende
$ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes,
cada empleado?
M P
A) $ 288.000 $ 72.000
B) $ 288.000 $ 172.000
C) $ 388.000 $ 172.000
D) $ 960.000 $ 240.000
E) $ 960.000 $ 340.000
EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre una
cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá en
la cuenta, en pesos,
100
A) 1.000 + 1.000 ⋅
12
12
 100 
B) 1.000 + 1.000 •  
 12 
C) 2.000
100
D) 1.000 •
12
12
 100 
E) 1.000 • 1 + 
 12 
EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta
parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
4
I) Las gallinas que no son blancas son T
5
II) El 20% de las gallinas son blancas
III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de
gallinas que son blancas
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuál
número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?
A) Por 15%
B) Por 0,15
C) Por 1,5
D) Por 1,15
E) depende del precio de cada artículo
55

56. EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés
compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada
nt
 1 
por: P = C1 +  .Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto
 100n 
trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:
A ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 4
B ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 3
C ) 50.000 ⋅ (1,18) 4
D ) 50.000 ⋅ (1,015) 3
E ) 50.000 ⋅ (1,015) 4
EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha
sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación?
A) $ 21.450
B) $ 23.571
C) $ 28.050
D) $ 55.000
E) $ 115.500
EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una
estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo
en $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento?
A) $ 600
B) $ 750
C) $ 792
D) $ 800
E) $ 19.200
EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practican
teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro
con respecto al total de alumnos del curso?
A) 83, 3 %
B) 80%
C) 20%
D) 16, 6 %
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000,
durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5?
A) 5,0%
B) 5,5%
C) 5,27%
D) 5,25%
E) 5,05%
56

57. VII. RAÍCES
Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no
negativo, tal que b n = a
n
a = b ⇔ b n = a, b ≥ 0
Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b,
tal que b n =a
n
a = b ⇔ b n = a, b ∈ R
OBSERVACIONES
1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL
n
2. La expresión a k , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de
k
exponente fraccionario n ak = a n
3. a 2 = a , para todo número real
PROPIEDADES
Si n a y n b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:
MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n n n
a • b = a⋅b
DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
a a
= n , b≠0
n
b b
POTENCIA DE UNA RAÍZ
n
am = ( a)
n
m
, a>0
RAÍZ DE UNA RAÍZ
nm nm
a = a
AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
n
a = mn
am m ∈ Z+ , a ∈ R+
PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
n
a • mb = mn
am ⋅ b n , a, b ∈ R +
FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
b n
a = n b n ⋅ a, b ∈ R +
57

58. RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción
equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz
a
Fracciones de la forma
b c
a
Fracciones de la forma
p b +q c
EJEMPLO PSU-1: 5 12 − 2 27
A) 16 3
B) 4 3
C) 2 3
D) 3 3
E) No se puede det er min ar
1 1 4
EJEMPLO PSU-2: 6+ − 5+ + 8− =
4 16 25
61
A)
20
7 6 2
B) − +
2 4 5
151
C)
20
7
D) 6 − 5+ 8+
20
E) Ninguno de los valores anteriores
a2x + 2 • ax + 1 =
3 3
EJEMPLO PSU-3:
A) a3x + 3
a3 x + 3
6
B)
C) a3x
D) ax + 3
E) a x + 1
58

59. EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la
variable x toma los tres valores 0, 1, –1?
I) x 2 = −x
II) x2 = x
III) x2 = x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Ninguna de ellas.
EJEMPLO PSU-5: ( 2 − 2)3( 2 + 2)4 + ( 2 − 2)4( 2 + 2)3 es un número:
A) Racional positivo
B) Racional negativo
C) Irracional positivo
D) Irracional negativo
E) No real
2
EJEMPLO PSU-6: 3
=
2
3
A) 4
3
B) 2
6
C) 8
6
D) 2
E) 1
EJEMPLO PSU-7: Si 2 = a , 3 = b y 5 = c entonces ¿cuál(es) de las expresiones
siguientes es(son) equivalentes a 60
I) 2bc
4
II) a 4b 2 c 2
III) a2bc
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
59

60. 2 7 + 14
EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión resulta
7
A) 2 3
B) 2 + 14
C) 2 + 2
D) 2 7 + 2
E) 4
EJEMPLO PSU-9: 12 − 2 + 8 − 3 =
A) 3+ 2
B) 15
C) 10 + 5
D) 20 − 5
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-10: ( 50 + 512 − 242 ) : 2 =
A) 10
B) 10 2
C) 8 5
D) 32
E) 40
55 + 55 + 55 + 55 + 55
EJEMPLO PSU-11: =
3
55 + 55 + 55 + 55 + 55
A) 5
5
B) 56
C) 1
2
D) 53
3
E) 5 2
60

61. EJEMPLO PSU-12: Si 2 + 3 − 2 − 3 = t , entonces el valor de t2 – 2 es:
A) 2 3 − 2
B) 0
C) 2 3
D) 2
E) − 2
EJEMPLO PSU-13: (0,25)1 − a =
−a
1
A)  
2
1−a
1
B)  
2
a
−
1 2
C)  
2
a
12
D)  
2
a
1
E)  
2
EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de
y = x2 + 5 + x2
I) (2,5)
II) (2,-5)
III) (2,-1)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I) 2⋅ 8
II) 3 +3 3
6
III)
24
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
61

62. 6 3
EJEMPLO PSU-16: − =
2+ 2 2− 2
A) 0
3
B)
2 2
C) 6 − 9 2
6−9 2
D)
2
6−3 2
E)
2
EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) x > x
1
B) < x
x
1
C) > x
x
D) x > 1
E) x < x
EJEMPLO PSU-18: 3 27x ⋅ 27−3 =
A) 27x ⋅ 27−9
B) 33x ⋅ 3−9
C) 3x +3
D) 9x +3
E) 3x −3
11 1
EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales − 3 2 , − ,− 7 ,− 2 3 ,− 4 , al
3 3
ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es:
A) − 2 3
B) − 3 2
C) − 7
11
D) −
3
1
E) − 4
3
62

63. EJEMPLO PSU-20: (5 2 − 3 )( 3 + 5 2 ) =
A) − 25 5
B) 24 5
C) 7
D) 47
E) 0
EJEMPLO PSU-21: El número 216 es igual a:
A) 2 4
B) 32
C) ( 2) 4
D) 214
E) Ninguno de los números anteriores
63

64. VIII. ECUACIONES:
(a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones
adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.
(b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla
si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos
los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga
fracciones.
(c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Leer con atención el problema.
Paso 2: Anotar los datos del problema.
Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por
un literal (letra).
Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.
Paso 5: Resolver la ecuación.
Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.
PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un
a a
número. La fracción de un número x se calcula multiplicando por x.
b b
PROBLEMAS DE DÍGITOS
Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la
forma x y z queda representado por x · 102 + 101 + z · 100
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes
indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,
según corresponda:
Edad pasada Edad Actual Edad futura
(hace b años) (dentro de c años)
x-b x x+c
y-b y y+c
B. ECUACIONES LINEALES:
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1,
y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
d AB = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2
64

65. Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB
son
PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la tangente trigonométrica del ángulo de
inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x
hacia la recta)
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA
RECTA
Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:
(α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)
L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva
(α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si y sólo si (m < 0)
L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa
ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE
La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es
65

66. CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la
ecuación anterior se escribe:
Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los
números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se
despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:
−A −C −A −C
y = x+ donde m= y n=
B B B B
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:
66

67. SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen
un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas
ecuaciones.
OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta
en un sistema de ejes coordenados.
MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON
DOS INCÓGNITAS
RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes
coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.
i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema
(figura 1).
ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).
L1 ∩ L2 L1 ∩ L2 = L1 = L2 L 1 ∩ L 2 = ∅ (Vacío)
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos:
sustitución y reducción.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las
ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con
una incógnita.
MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas,
en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un
sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así
una ecuación con una incógnita.
67

68. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS
a1 x + b1 y = c 1
Sea el sistema:  Entonces:
a2 x + b 2 y = c 2
a1 b
* El sistema tiene solución única si ≠ 1
a2 b2
a1 b c
* El sistema tiene infinitas soluciones si = 1 = 1
a2 b2 c2
a1 b c
* El sistema no tiene solución si = 1 ≠ 1
a2 b2 c2
EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece a
esta recta, entonces el valor de m es
A) –2
B) –3
1
C) –
2
1
D)
2
E) 2
EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tiene
pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2).
Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x vale
A) − 5
B) − 2
C) 2
D) 5
1
E) −
2
1−x 2
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación = ?
15 5
A) - 5
B) 5
C) – 25
D) 25
E) – 35
68

69. EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $
600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en
$ 1.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el precio
de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?
A) $ 600
B) $ 580
C) $ 547
D) $ 537
E) $ 530
EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las
siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1?
5
A) y = x−2
4
5
B) y = (x − 2)
4
4
C) y = (x − 2)
5
4
D) y = x−2
5
5
E) y = − (x − 2)
4
EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si se
sabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es la
temperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente?
A) – 21º C
B) – 12,7º C
C) 12,7º C
D) 23º C
E) 25,9º C
EJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la
recta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál es el valor de k?
A) 20
3
B)
2
C) 8
7
D)
2
13
E)
6
69

70. 3
EJEMPLO PSU-8: Si 1 − = 9, entonces x =
x
9
A) −
2
2
B) −
9
9
C)
2
8
D)
3
3
E) −
8
EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4
con y + x = 0?
A) B) C)
D) E)
3x − my = 9
EJEMPLO PSU-10: En el sistema, 
nx + 4y = −11
¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1,−3) ?
m n
A) − 2 1
B) − 2 − 1
C) 2 1
D) 4 −23
E) Ninguno de los valores anteriores
70

71. EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) L1 // L2
II) La ecuación de L2 es y = -x + 3
III) Ambas rectas tienen igual inclinación
respecto del eje x
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1 es el punto:
A) (2,3)
B) (2,1)
C) (3,-2)
D) (0,2)
E) (3,2)
EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años.
¿Qué edad tendrá Juan en un año más?
A) 21 años
B) 20 años
C) 16 años
D) 15 años
E) 11 años
EJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean
repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la
cuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?
A) $ 20.000
B) $ 22.000
C) $ 25.500
D) $ 26.000
E) $ 29.500
71

72. EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de
harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de
harina?
A) $(s − 3p)
 s − 3p 
B) $ 
 2 
 s + 3p 
C) $ 
 2 
s − p
D) $ 
 2 
E) $(s + 3p)
2x − 1
EJEMPLO PSU-16: Si − 3 = , entonces ¿cuánto vale x?
1 − 3x
2
A)
7
4
B)
7
2
C) −
5
D) 2
E) 4
EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:
A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por
la ecuación x = a?
A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).
B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).
C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).
D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0).
E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).
72

73. EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x
2
hectáreas, al del medio los de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las
3
hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibió
A) 2.000 hectáreas
B) 4.000 hectáreas
C) 5.333, 3 hectáreas
D) 6.000 hectáreas
E) 8.000 hectáreas
5x − ky = 2
EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema  no tiene solución?
3x + 2y = 3
A) 2
B) -2
10
C) -
3
4
D) -
3
3
E) -
2
x+2
EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación = −1 ?
3
A) -9
B) -5
C) -1
1
D)
3
E) 1
EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación
0,03x = 5,2?
26
A) 0,03x =
5
B) 3x = 5,2 ⋅ 10 − 2
3 1
C) x =5
100 5
3
D) x = 5,2
100
E) 3 ⋅ 10 − 2 x = 5,2
73

74. a + b = 6

EJEMPLO PSU-23: Si 1 1 2 , entonces a ⋅ b =
a + b = 3

A) 3
B) 9
1
C)
3
2
D)
3
E) 1
EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el punto medio del
segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son:
1 
A)  ,1
2 
1 3
B)  , 
2 2
C) (4,2)
D) (2,4)
E) (1,2)
EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis
compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le
costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?
A) 4a
B) 16a
a
C)
3
3a
D)
4
4a
E)
3
EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas 3 kilogramos
de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semana
siguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30
por kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos
de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo esa cierta semana?
A) $450
B) $350
C) $400
D) $346
E) $292
74