データ解析のための統計モデリング入門読書会 最終回 11章「空間構造のある階層ベイズモデル」後半 2014/10/21

1. データ解析のための
統計モデリング入門
11章後半
@yamakatu
2014/10/21
#みどりぼん
11th

2. ざっくり前半の話
• 場所差が独立に決まる（10章）のでなく、空間相関があ
る場合のGLMMを考える
• 空間相関：「近くは似てて、遠くは似てない」とか（今
回は一次元）
• 場所差を表すパラメータrj
の階層事前分布（正規分布）
のパラメータ平均μを、両隣のrj
の平均値とすることで、
相互作用を表現
• このような自己回帰する事前分布をCARモデルと呼ぶ
• 今回はその中でも色々制約ついたintrinsic
gaussian
CARモ
デル
• そんな感じの階層ベイズモデルをつくってみたら上手く
いった

3. 11.4
空間統計モデルが作り出す
確率場
• 相互作用する確率変数で埋め尽くされた空間を確率場
（random
field）と呼ぶ
• 本章前半で利用したrjも確率場の一種
• rj
の階層事前分布（正規分布）のパラメータ平均μjは
μ j =
rj−1 + rj+1
2
なので相互作用している
• rj
の階層事前分布は正規分布なので、確率場の中でもガ
ウス確率場と呼ばれる

4. 確率場{rj}に対するsの影響を見て
みる
• 11章前半で定義
• ポアソン分布+対数リンク関数
• λj
=
exp(β
+
rj)
• rjの階層事前分布は正規分布で
• 平均
• 標準偏差
μ j =
rj−1 + rj+1
2
• パラメータはβとsの二つ
• パラメータβを固定（β
=
2.27）してみる
• ここでsを{0.0316,
0.224,
10.0}と変えてみる
s =
s
nj

5. sが小さい程、rjは
両隣と似ている値
になる
s
=
0.0316
s
=
0.224
s
=
10.0
sが大きい程、rjは
両隣の値と関係な
い値をとる

6. つまり
• この確率場は少数の大域的パラメータ（今回はsのみ）に
コントロールされていると言える。

7. 11.5
空間相関モデルと欠測のあ
る観測データ
• 空間相関を組み込んだ階層ベイズモデルの強み
• パラメータの推定がより正確になる（前半の話）
• 欠測のあるデータに対してより良い予測が得られることが
ある（←イマココ）

8. 欠測しちゃった
• 上：前半で利用した観測
値
• 下：上の観測値から意図
的にいくつかを欠測させ
た（黒点が欠測値）

9. vs.
欠測データ
• このような欠測があるデータに対する、あてはまりの良
さを、
• 空間相関モデル
• 空間相関を無視した階層ベイズモデル
• で比較するお

10. 結果
• 左：空間相関を考慮しているモデル（空間相関モデル）
• 右：空間相関を考慮していないモデル
• 空間相関を考慮したモデルの方がより欠測データが正し
く予測できている
• 予測区間の狭さ
• 局所密度のなめらかさ

11. 空間相関モデルの場合
• パラメータrjの階層事前分布（正規分布）で、隣同士のrj
の値を利用している
• 結果、欠測がない場合とかなり近い分布になった
• 左：欠測データなし（P.250
図11.4）
• 右：欠測データあり

12. 空間相関を考慮しないモデルの場
合
• （10章と同じく）パラメータrj
の階層事前分布（正規分
布）は平均0、標準偏差sの正規分布
• ➡手がかりがない
• その結果、
• yiに合わせようとするので、局所密度はギザギザになる
• 予測区間の範囲が広くなってしまう
さーせん。この表現は
イマイチ良くわかんなかった

13. 11.6
まとめ
• 前半
• 空間構造のあるデータをモデル化する場合、空間相関を考
慮する
• 空間相関のある場所差を生成するには
intrincsic
gaussian
CAR
モデルを使う
• 後半
• 空間相関のある場所差は確率場を使って表現できる
• 空間相関を考慮した階層ベイズモデルは、観測データの欠
測部分を予測するような用途にも使える。