Дмитрий Ветров. Математика больших данных: тензоры, нейросети, байесовский вы...
гипотеза пуанкаре
1. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
О гипотезе Пуанкаре
А.Жеглов, Ф.Попеленский
мехмат МГУ
2. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Оглавление
1
Знакомство с понятием гомеоморфизма
2
Гипотеза Пуанкаре
3
Эйлерова характеристика
4
5
Связная сумма поверхностей
Классификация замкнутых связных ориентируемых
поверхностей
6
Гипотеза Пуанкаре в размерности 2
7
Трехмерные многообразия, склейка из многогранников
8
9
Изобретения Гамильтона: Поток Риччи
Что поток Риччи делает с метрикой на двумерной
поверхности?
10
Что поток Риччи делает с трехмерным многообразием
11
Что же сделал Перельман с потоком Риччи
3. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
А. Пуанкаре (1854—1912)
4. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Сегодняшний наш рассказ посвящен идеям, которые были
высказаны разными людьми, чтобы найти ответ на один
очень, казалось бы, простой вопрос:
Как охарактеризовать (трехмерную) сферу?
5. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Для этого нам нужно познакомиться с ключевым понятием
топологии - с гомеоморфизмом
Одинаковы ли фигуры в каждой из четырех пар,
изображенных рисунке?
6. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Определение
Две фигуры называются гомеоморфными, если можно
установить такое взаимно-однозначное соответствие между
точками этих фигур, при котором близким точкам одной
фигуры соответствуют близкие точки другой фигуры и
наоборот.
7. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Замечание
Иногда говорят, что две фигуры гомеоморфны, если одну из
другой можно получить произвольной деформацией, при
которой запрещено «портить» поверхности (рвать, сминать
области в точку, делать дырки и т.п.) Можно представлять
себе, что поверхности сделаны из идеальной резины.
8. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Вот так можно
А вот так нельзя
9. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Это представление о гомеоморфизмах не очень точное.
Нужно разрешать еще одну операцию: можно сделать
разрез, перекрутить, завязать, развязать и т.п., но потом
склеить разрез как было.
10. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Вот так тоже можно
Этим представлением о гомеоморфизме мы и будем
пользоваться
11. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Классификация букв латинского афавита с точностью до
гомеоморфизма.
Всего 8 букв!
12. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
На рисунке изображены гиря, кофейная чашка, бублик,
сушка, кренделек.
В топологии принято кренделем называть поверхность чуть
проще: она находится в правом нижнем углу рисунка.
13. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Гипотеза
Пусть M — замкнутое связное многообразие размерности 3.
Пусть на нем любая петля может быть стянута в точку.
Тогда M гомеоморфно трехмерной сфере.
Здесь слишком много непонятных слов, поэтому мы
сформулируем гипотезу попроще и, может быть, даже
докажем ее.
14. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Гипотеза
Пусть M — замкнутая связная поверхность (многообразие
размерности 2).
Пусть на ней любая петля может быть стянута в точку.
Тогда поверхность M гомеоморфна двумерной сфере.
15. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Сначала обсудим, что такое замкнутая поверхность
Определение
Берем конечный набор многоугольников (выпуклых для тех,
кто подвержен сомнению в том, что такое многоугольник),
разбиваем все их стороны (ребра) на пары (т.е. всего сторон
у всех многоугольников должно быть четное число), в
каждой паре выбираем каким из двух возможных способов
будем их склеивать. Склеиваем. То, что получилось, —
замкнутая поверхность.
16. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Если при этом мы соединили все многогранники друг с
другом, то получилась связная поверхность. Формально
нужно требовать, чтобы из любой вершины любого
многоугольника после склейки можно было пройти в любую
вершину любого многоугольника (со ребрам).
17. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Связную поверхность можно клеить из одного
многоугольника.
22. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Что будет, если брать бесконечное число многоугольников?
Ответ: некомпактная поверхность. (Этот ответ для тех, кто
знает, чем отрезок отличается от интервала или от прямой)
23. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
А что будет, если не все стороны склеить? Ответ:
поверхность с краем
24. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Замечание
Важно отметить, что после склейки «шрамы» от склейки
носят чисто «косметический» характер в том смысле, что все
точки поверхности равноправны: у любой точки имеется
окрестность гомеоморфная диску.
25. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Теорема
Две поверхности гомеоморфны, если схемы склейки каждой
из них можно так разрезать на схемы склейки из более
мелких многоугольников, что схемы склейки станут
одинаковыми.
26. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Разбиение поверхности куба на части, из которых можно
сложить развертку тетраэдра.
27. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Вообще поверхности всех выпуклых многогранников
гомеоморфны сферам.
28. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Определение
Петля — это замкнутая кривая на рассматриваемой
поверхности. Две петли называются гомотопными, если одну
из них можно продеформировать в другую без разрывов и
склеек, оставаясь на поверхности.
29. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Простейший случай стягивания петли (на плоскости или
сфере)
30. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Даже если петля на плоскости (или сфере) имеет
самопересечения, ее можно стянуть
31. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
А так можно стянуть любую петлю на плоскости (или на
сфере)
32. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
А вот какие петли бывают на торе:
Хотя мы не умеем доказывать, что показанные петли на
торе не гомотопны, можно попросить вас найти еще одну
петлю на торе, не гомотопную этим двум — это очень
простой вопрос. А вот найти четвертую петлю, не
гомотопную этим трем будет несколько посложнее.
33. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Определение
Эйлеровой характеристикой поверхности M назовем число
B−P+Г.
Здесь Г — число многоугольников, Р — это число ребер
после склейки (в случае рассматриваемых поверхностей это
половина числа сторон всех многоугольников), B — это
число вершин, которое получается после склейки после
склейки.
34. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Теорема
Если две схемы склейки задают гомеоморфные поверхности,
то у этих схем числа B−P+Г одинаковы, т. е. B−P+Г
является инвариантом поверхности.
35. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Замечание
Если поверхность уже как-то задана, то надо нарисовать на
ней какой-нибудь граф, чтобы после разрезания по нему
поверхность распалась на куски гомеоморфные дискам
(например, кольца запрещены). Считаем B−P+Г — это и
есть эйлерова характеристика поверхности.
36. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Будут ли гомеоморфны поверхности с одинаковыми
эйлеровыми характеристиками, мы узнаем позже. Но
совершенно точно можно утверждать, что если эйлеровы
характеристики у поверхностей разные, то поверхности не
гомеоморфны.
37. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Замечание
Знаменитое соотношение B−P+Г=2 для выпуклых
многоугольников (теорема Эйлера) является частным
случаем этой теоремы. В данном случае речь идет о
конкретной поверхности —- о сфере.
Замечание
Обозначение: Эйлерову характеристику поверхности M
будем обозначать через χ(M):
χ(M) = B − P + Γ
38. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Теорема
Если поверхность M связна, то χ(M) ≤ 2, причем χ(M) = 2
тогда и только тогда, когда M гомеоморфна сфере.
39. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Можно из уже имеющихся поверхностей делать новые: Это
операция связной суммы:
M = M1 #M2
40. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Связная сумма поверхности M со сферой гомеоморфна
исходной поверхности M
41. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
χ(M) = χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2
Если M1 и M2 не сферы, то
χ(M) < χ(M1 ) и χ(M) < χ(M2 )
42. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
А нельзя ли произвольную замкнутую связную поверхность
(сколь угодно сложно устроенную) представить в виде
связной суммы чего-нибудь попроще?
Например, можно поискать на поверхности замкнутые
несамопересекающиеся кривые, которые могут быть «швом»
склейки двух поверхностей при взятии связной суммы.
И вот что интересно — это совершенно правильная идея.
43. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Берем на поверхности замкнутую кривую без
самопересечений и режем поверхность по ней, заклеиваем
получившиеся дырки двумя дисками. Либо поверхность
распадется на две, либо нет.
Оказывается, что во втором случае поверхность станет
проще - мы чуть ниже обсудим, что это значит. А в первом
случае может случиться так, что либо обе поверхности
станут проще, либо одна из них сфера, а другая
гомеоморфна исходной
44. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Полезная формула 1
Если поверхность M распадается на две: M1 и M2 , то
χ(M) = χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2
45. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Полезная формула 2
Если поверхность M не распадается на две, а получается
связная поверхность Mnew , то
χ(M) = χ(Mnew ) − 2
46. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Определение
Поверхность называется ориентируемой если выполнено
следующее свойство: покрасим многоугольник, из которого
склеивается поверхность с одной стороны в синий цвет, а с
другой — в красный, требуется, чтобы при склейки
стыковались одноцветные стороны поверхности.
Есть еще несколько определений, но это достаточно
наглядное.
47. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Легко понять, что это условие на то, как именно разрешено
склеивать стороны многоугольника.
Что-то типа две склеиваемые стороны должны быть
ориентированы противоположным образом.
Вот более точная формулировка:
Определение
Ориентацией многоугольника назовем одно из двух
направлений обхода его сторон. Ориентация многоугольника
задает ориентацию его сторон — направление обхода этой
стороны. Поверхность, склеенная из многоугольников,
называется ориентируемой если можно задать ориентацию
на всех многоугольниках так, чтобы любые две склеиваемые
стороны были ориентированы противоположным образом.
Примеры: тор, бутылка Клейна
48. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Замечание
Можете обдумать следующее утверждение: если на
поверхности любая замкнутая кривая стягивается в точку,
то поверхность ориентируема. Это верно для любых
многообразий.
49. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Теорема
Ориентируемая (замкнутая и связная) поверхность
гомеоморфна связной сумме нескольких торов T#T# . . . #T
g штук
2.
или сфере S
50. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Доказательство.
Будем делать двойную индукцию по числу n сторон
многоугольника, из которого клеится поверхность и по
эйлеровой характеристике.
53. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Рассмотренные два случая соответствуют разрезаниям,
показанным на рисунке. В одно случае мы разрезаем
«ручку», в другом — разрезаем поверхности на две более
простые.
54. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Замечание.
Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что
любая неориентируемая поверхность является связной
суммой проективных плоскостей. Нам это рассуждение не
нужно, оставляем этот случай вам для обдумывания.
55. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Что же мы поняли?
Если у нас есть поверхность, на которой все петли
стягиваются, то она ориентируема. Значит, она гомеоморфна
либо сфере, либо связной сумме торов. Но на связной сумме
торов есть петли, которые не стягиваются. Значит, все же
наша поверхность гомеоморфна сфере.
56. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Замечание
Вот еще одна идея доказательства: представим себе, что мы
сумели разбить нашу поверхность на связную сумму других
поверхностей, про которые нам из каких-то других
соображений известно, что они — сферы. Тогда и наша
исходная поверхность — тоже сфера. Именно такая идея
используется для доказательства гипотезы Пуанкаре в
размерности 3.
57. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Определение
Берем конечный набор многогранников (выпуклых для тех,
кто подвержен сомнению в том, что такое многогранник,
можно просто брать тетраэтры), разбиваем все их стороны
(грани) на пары (т.е. всего сторон у всех многогранников
должно быть четное число), в каждой паре выбираем способ
склейки. Склеиваем. То, что получилось, — замкнутое
трехмерное многообразие.
58. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Если при этом мы соединили все многогранники друг с
другом, то получилось связное многообразие. Формально
нужно требовать, чтобы из любой вершины любого
многогранника после склейки можно было пройти в любую
вершину любого многогранника (по ребрам).
59. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Двумерная сфера: одна из возможных историй жизни
окружности.
Трехмерная сфера: одна из возможных историй жизни
двумерной сферы.
62. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Терстон (1982) сформулировал знаменитую гипотезу о
геометризации, одним из следствий которой была и гипотеза
Пуанкаре
Гамильтон (1982) предложил и начал изучение потоков
Риччи, показал, как с их помощью можно было бы доказать
гипотезу Пуанкаре.
Перельман (2002-2003) развил технику Гамильтона и
доказал гипотезу геометризации Терстона и гипотезу
Пуанкаре. Стоит отметить, что техника, связанная с
изучением потоков Риччи, сильно отличалась от
топологической техники, применявшейся для доказательства
других форм гипотезы Пуанкаре. В некотором смысле, это
был возврат к идеям дифференциальной геометрии.
63. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Метрика
Метрика на многообразии — это способ определить длины
кривых на нем.
Определение
Расстояние между двумя точками P, Q на поверхности или
многообразии X — минимум длин кривых |P, Q| на этом
многообразии.
Кривая минимальной длины — геодезическая.
64. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Можно показать, что задание метрики в окрестности любой
точки многообразия эквивалентно заданию нескольких
функций gij (x), определенных в этой окрестности. Эти
функции можно определить, например, так:
Представим себе поверхность, обтянутую марлей (или
трехмерное многообразие, обтянутое трехмерной марлей):
65. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Тогда
gii = (длина i-й стороны ячейки марли)2
gij = (длина i-й стороны ячейки марли)×
(длина j-й стороны ячейки марли)× cos αij
68. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Скалярная кривизна
Пусть X — поверхность. Обозначим через LX,P (R) длину
окружности на X радиуса R с центром в точке P ∈ X.
Определение
Скалярная кривизна в т. P ∈ X — это число
k(P) = 6 lim
R→0
2πR − LX,P (R)
πR3
То есть, кривизна на X — это функция, сопоставляющая
точке P число k(P):
P → k(P).
70. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Теорема Гаусса-Бонне
Теорема
Пусть X — замкнутая компактная ориентируемая
поверхность в R3 . Тогда
k(P)dσ = 4πχ(X).
X
сфера:
тор:
g ≥ 2:
K dS = 2 > 0,
K dS = 0,
K dS < 0.
71. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Оказывается, существуют поверхности с постоянной
кривизной.
ПРИМЕРЫ:
2
У сферы радиуса R k = R2 .
У плоскости k = 0.
Существуют и поверхности с любой постоянной
отрицательной кривизной.
2
k = − R2
72. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Секционная кривизна
Пусть теперь X — трехмерное многообразие.
Определение
Секционная кривизна Kij (P) в точке Р в направлении ij —
это кривизна k(P) поверхности ij.
Замечание
Обратите внимание на то, что секционная кривизна зависит
от метрики!
73. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Теорема об униформизации
Что можно сказать о поверхности, если ее кривизна
постоянна? Что можно сказать о многообразии, если его
секционные кривизны постоянны? Мы сформулирем ответ
только в одном интересующем нас случае:
Теорема
Пусть X — замкнутое связное многообразие, на котором
любую петлю можно стянуть в точку. Пусть на X задана
метрика постоянной секционной кривизны. Тогда X
гомеоморфно сфере.
74. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Поток Риччи
Р.Гамильтон (1943), профессор Колумбийского университета:
75. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Поток Риччи — это семейство метрик, заданных функциями
gij (t, x) на одном и том же многообразии X,
удовлетворяющее уравнению
∂gij (t, x)
= −2Rij (x),
∂t
где Rij (x) — функции, зависящие от метрики. Например,
Rii (x) =
Kij (x).
i=j
76. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Поток Риччи на двумерной поверхности
На двумерной поверхности эти функции выглядят особенно
просто:
1
Rij (x) = k(x) · gij (x)
2
77. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
В этом случае можно легко понять, что делает
дифференциальное уравнение, описывающее поток Риччи, с
метрикой (тем самым, что происходит с поверхностью).
78. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Более того, верна
Теорема
На замкнутой поверхности поток Риччи сходится к метрике
постоянной кривизны.
Тем самым, вспоминая теорему об униформизации,
получаем еще одно доказательство гипотезы Пуанкаре в
размерности 2.
80. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Трехмерное многообразие: образование трубки
В результате поток вытягивает многообразие в "шею":
81. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Поток Риччи с перестройками
Как мы видели в рисунках выше, при построении потоков
Риччи мы можем столкнуться с появлением особенностей за
конечное время. Поэтому Гамильтон ввел понятие о потоке
Риччи с хирургией.
Он предположил, что незадолго до появления особенностей
многообразие можно перестроить, не сильно изменив его
топологию, и таким образом, чтобы поток Риччи можно
было продолжить на больший интервал времени.
82. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Он формализовал эту идею и определил поток Риччи с
хирургией как особое четырехмерное пространство-время с
дополнительным набором данных, так что в каждый момент
времени слой этого пространства — трехмерное замкнутое
многообразие с метрикой, но при этом в разные моменты
времени многообразия не обязательно гомеоморфны.
84. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Однако, он так и не сумел доказать существование такого
потока с хирургией для бесконечного интервала времени в
общем случае. Для этого понадобились исследования
Перельмана окрестностей особенностей потока Риччи.
86. Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма п
Используя несколько новых соображений и развив сложную
технику, которые мы опускаем, Перельман доказал важную
теорему о продолжении потока Риччи с хирургией до
бесконечности:
Теорема (существование потока Риччи с хирургией)
Пусть (M, g0 ) — замкнутое трехмерное многообразие, на
котором всякая петля стягивается. Тогда существует поток
Риччи с хирургией, определенный на интервале [0, ∞).
Множество точек t ∈ [0, ∞), где происходит перестройка, —
конечно.
При каждой перестройке происходит разложение связной
суммы на компоненты.
После последней перестройки компоненты за конечное время
становятся сферами и исчезают.
