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VECTORES
C 2 MAGNITUDES FÍSICAS.
• Magnitudes físicas escalares y
vectoriales. Algebra vectorial.
•Ejemplos
Bibliog. Sears, Física universitaria 1999,

Hewitt, Física conceptual 1999
Magnitudes
    físicas

por su naturaleza

   Escalares


  Vectoriales
Magnitudes
                físicas

                Escalares
Asociadas a propiedades que pueden ser
caracterizadas a través de una cantidad

               Vectoriales
Asociadas a propiedades que se caracterizan
no sólo por su cantidad sino por su dirección
                 y su sentido
Escalares
              Masa, densidad, temp
              eratura, energía, trab
Magnitudes           ajo, etc
  físicas

                 Vectoriales
             Velocidad, fuerza, cantid
                       ad de
             movimiento, aceleración,
                    torque, etc.
Bases para el estudio del
    movimiento mecánico
SR:   Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.

                                   Se le asocia
                    y
             y(t)                   • Observador
                                    • Sistema de
                        x(t)        Coordenadas
                               x    • Reloj
      z(t)
        z
Movimiento plano
              Coordenadas Cartesianas
                y (m)

          ordenada      (x,y)

                                P (8,3)


   Q (-2,2)
                                          x (m)
              O
                            abcisa
origen
Movimiento plano
           C o o rd en a d a s P o la res



                        (r, )




               
           O

o rig en
R elacion en tre (x,y) y (r, )

                  y (m )


                               (x,y)




          ord ena da
                           r




                           
                                                x (m )
             O
                                   abcisa
 origen




x  r cos θ                                              y
                                r x y     2   2
                                                            tan θ
y  rsen θ                                               x
z
                         Vectores
        θ   A
                    y
                          y   Ap
    
x
                               
                                      x
Notación        A       Dirección   θ, 
Módulo          A >0
Propiedades
de Vectores
                           
                           A              
                                          B
                                    
                                    C
• Dados A y B, si A = B entonces   A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a
si mismo                         
                       A BC
Suma de
Vectores       A             C
                     B


               C
   A
           B       Ley del polígono

       R
El vector resultante es
 aquel que vector que va
desde el origen del primer
vector hasta el extremo del
          ultimo
Entonces si se tiene los
siguientes vectores
                 
         A        B      
                         C
            El vector resultante
     D
             de la suma de todos
             ellos será:

 
       B     
 A           C
      
      R          
                 D
         
R  A BC  D
 
Propiedades
de Vectores
                      A      A  A
                                  ˆ
                  
                      -A
  Opuesto


    Nulo              0 = A + ( -A )
                              
                              A
Vector unitario            μ 
                              A
Ley
Propiedades
de la suma de         Conmutativa
  Vectores
                    R AB BA
  Diferencia         Ley Asociativa
                               
  R  A-B       R  A  (B  C)  ( A  B)  C
         
 R  A  (-B)                       -B
                A               R
                     B                   A
Ley conmutativa
      (Método paralelogramo)        A



                         B              B
B




       Los vectores A y B pueden ser
       desplazados paralelamente para
         encontrar el vector suma
    ¿Como se explica esta regla?
Multiplicación de un vector por un
              escalar
                            
Dado dos vectores          AyB
                                    
Se dicen que son paralelos si   A  B
                           
       si    0      A  B
                           
       si    0      A  B
                         
       si    1      A B

A            1 
            B  A
              2
    B
              1 
A           B  A
               4
        B
Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores


             A         B


                  C
              A         B


                            R = 2C
Vectores unitarios en el plano
          y


        ˆj
                      ˆ
                      i            x
ˆ
i    Vector unitario en la dirección del eje x+
ˆj   Vector unitario en la dirección del eje y+
Vectores unitarios en el espacio
             z

             ˆ
             k
     ˆ
     i           ˆj
                         y
x
z
Representación
                           Az
 de un vector
                                θ   A
                                         Ay y
                  Ax        
                      x

 Ax  A cos  sen θ                         
                          A  Ax i  Ay j  Az k
 Ay  Asen sen θ             
                          A  A  Ax2  Ay  Az2
                                         2

 Az  A cos θ
Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en cualquier
sistema coordenado
Determínese la resultante de los
siguientes vectores
       4u
                       
                          3u

       A                 B
                 
             R  A B
                 7u
       
     A       B
8u
         +   4u   =   4u


             
         R  A B
Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección podemos
determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en
la misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud ?
                   
           A                   B

                   
               R  A B

La magnitud en este caso no puede determinarse
directamente , por lo que debemos tratar de
buscar otra forma de determinarla

A                      
      3u
           Ay          B
             By
     Ax
    4u
                        
                        Bx
                   6u

    3u            By
         
4u       Ay
  
  Ax
                     
A  Ax  A y            Bx

                   6u 
               B  Bx  By
10u
                
            Ax  B x            
                       5u
                            Ay  B y

                       
      R  Ax  B x  A y  B y
Por pitagoras podemos ahora determinar la
                 2     2
magnitud del 10  5  5 5 u
     R  vector resultante

               Ay 
                  By
                      
     Ax                Bx

Cy                               
                                Dy
          Cx
                            
                            Dx

                     Rx
              15 u
                            5u
                                   
                                   Ry

                                  
            R x  Ax  B x  C x  D x
R  Rx  Ry                       
R  5 10       R y  Ay  B y  C y  D y
(x2,y2,z2)

                 
                 A

    (x1,y1,z1)
z
                 Dados      los   puntos
                 indicados el vector que
        y        los       une       esta
x
                 representado por
(x2,y2,z2)

                      
                      A

    (x1,y1,z1)
z



        y
x   
    A  (x 2  x 1 ) ˆ  (y 2  y 1 )ˆ  (z 2  z 1 ) k
                     i               j                ˆ
Producto        
escalar de dos   A  B  AB cos θ
   vectores

                 Proyección de A sobre B

                    A B  A cosθ
                 Proyección de B sobre A

                     B A  B cosθ
i i  1
 ˆ ˆ                     i ˆ0
                         ˆ j
 ˆ ˆ 1
 j j                     ˆ ˆ
                         i k  0
 ˆ ˆ
 k k 1                   j ˆ
                           ˆk  0

A  i  Ax
    ˆ
             
A  ˆ  Ay
    j        A  B  A XB X  A YB Y  A ZB Z

     ˆ
A  k  Az
Producto           
vectorial de dos
    vectores        C  AB
                    C  AB senθ
                                  
                   ˆˆ  0
                   i i       ˆˆ  0
                              j j
                               
                        ˆ ˆ
                        k k  0

                        j ˆ
                   iˆ  ˆ  k    j ˆ
                                 ˆ  k  iˆ
                         ˆ
                         k  iˆ  ˆ
                                  j
Demostrar:
  
C  A  B  ( A x ˆ  A y ˆ  A z k)  ( B x ˆ  B y ˆ  B z k)
                  i       j       ˆ          i       j       ˆ

              C X  AY BZ  AZ BY
              C y  Az Bx  Ax Bz
               C z  Ax B y  Ay Bx
Ejemplo 1:
Determinese la suma de los siguientes vectores:

A  3 ˆ  8ˆ  5 k
      i     j     ˆ

B  -5 ˆ  2 ˆ  3k
        i     j    ˆ

C  4 ˆ  7 ˆ  2k
      i     j     ˆ
Ejemplo 2:       Determine la suma de los
                 vectores indicados
             z   5m




                             
                             B     10m
                                     y
             C
    8m                      
    x                       A
Ejemplo 9
Dados los vectores:
  
  A  3ˆ  3ˆ  5k
       i j ˆ
  
  B  4ˆ  5ˆ  3k
       i j ˆ
Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b)el producto vectorial entre ambos
e) el ángulo que forman entre sí.
Tarea 9c, 9d y 10

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  • 2. C 2 MAGNITUDES FÍSICAS. • Magnitudes físicas escalares y vectoriales. Algebra vectorial. •Ejemplos Bibliog. Sears, Física universitaria 1999, Hewitt, Física conceptual 1999
  • 3. Magnitudes físicas por su naturaleza Escalares Vectoriales
  • 4. Magnitudes físicas Escalares Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad Vectoriales Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido
  • 5. Escalares Masa, densidad, temp eratura, energía, trab Magnitudes ajo, etc físicas Vectoriales Velocidad, fuerza, cantid ad de movimiento, aceleración, torque, etc.
  • 6. Bases para el estudio del movimiento mecánico SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio. Se le asocia y y(t) • Observador • Sistema de x(t) Coordenadas x • Reloj z(t) z
  • 7. Movimiento plano Coordenadas Cartesianas y (m) ordenada (x,y) P (8,3) Q (-2,2) x (m) O abcisa origen
  • 8. Movimiento plano C o o rd en a d a s P o la res (r, )  O o rig en
  • 9. R elacion en tre (x,y) y (r, ) y (m ) (x,y) ord ena da r  x (m ) O abcisa origen x  r cos θ y r x y 2 2  tan θ y  rsen θ x
  • 10. z Vectores θ A y y Ap  x  x Notación A Dirección θ,  Módulo A >0
  • 11. Propiedades de Vectores  A  B  C • Dados A y B, si A = B entonces A = B • Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo    A BC
  • 12. Suma de Vectores A C B C A B Ley del polígono R
  • 13. El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo
  • 14. Entonces si se tiene los siguientes vectores   A B  C  El vector resultante D de la suma de todos ellos será:
  • 15.   B  A C  R  D      R  A BC  D
  • 16.   Propiedades de Vectores A A  A ˆ  -A Opuesto Nulo 0 = A + ( -A )  A Vector unitario μ  A
  • 17. Ley Propiedades de la suma de Conmutativa Vectores R AB BA Diferencia Ley Asociativa           R  A-B R  A  (B  C)  ( A  B)  C    R  A  (-B) -B A R B A
  • 18. Ley conmutativa (Método paralelogramo) A B B B Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma ¿Como se explica esta regla?
  • 19. Multiplicación de un vector por un escalar   Dado dos vectores AyB   Se dicen que son paralelos si A  B   si  0 A  B   si  0 A  B   si  1 A B
  • 20.  A  1  B  A  2 B   1  A B  A  4 B
  • 21. Ejemplo 8: Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores A B C A B R = 2C
  • 22. Vectores unitarios en el plano y ˆj ˆ i x ˆ i Vector unitario en la dirección del eje x+ ˆj Vector unitario en la dirección del eje y+
  • 23. Vectores unitarios en el espacio z ˆ k ˆ i ˆj y x
  • 24. z Representación Az de un vector θ A Ay y Ax  x Ax  A cos  sen θ     A  Ax i  Ay j  Az k Ay  Asen sen θ  A  A  Ax2  Ay  Az2 2 Az  A cos θ
  • 25. Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado
  • 26. Determínese la resultante de los siguientes vectores 4u    3u A B    R  A B 7u
  • 27.  A B 8u + 4u = 4u    R  A B
  • 28. Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud ¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
  • 29.  A B    R  A B La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla
  • 30.  A   3u Ay  B  By Ax 4u  Bx 6u
  • 31. 3u By  4u Ay  Ax     A  Ax  A y Bx   6u  B  Bx  By
  • 32. 10u   Ax  B x   5u Ay  B y      R  Ax  B x  A y  B y Por pitagoras podemos ahora determinar la 2 2 magnitud del 10  5  5 5 u R  vector resultante
  • 33. Ay  By   Ax Bx  Cy   Dy Cx  Dx
  • 34. Rx 15 u 5u  Ry         R x  Ax  B x  C x  D x R  Rx  Ry      R  5 10 R y  Ay  B y  C y  D y
  • 35. (x2,y2,z2)  A (x1,y1,z1) z Dados los puntos indicados el vector que y los une esta x representado por
  • 36. (x2,y2,z2)  A (x1,y1,z1) z y x  A  (x 2  x 1 ) ˆ  (y 2  y 1 )ˆ  (z 2  z 1 ) k i j ˆ
  • 37. Producto   escalar de dos A  B  AB cos θ vectores Proyección de A sobre B A B  A cosθ Proyección de B sobre A B A  B cosθ
  • 38. i i  1 ˆ ˆ i ˆ0 ˆ j ˆ ˆ 1 j j ˆ ˆ i k  0 ˆ ˆ k k 1 j ˆ ˆk  0  A  i  Ax ˆ    A  ˆ  Ay j A  B  A XB X  A YB Y  A ZB Z  ˆ A  k  Az
  • 39. Producto    vectorial de dos vectores C  AB C  AB senθ   ˆˆ  0 i i ˆˆ  0 j j  ˆ ˆ k k  0 j ˆ iˆ  ˆ  k j ˆ ˆ  k  iˆ ˆ k  iˆ  ˆ j
  • 40. Demostrar:    C  A  B  ( A x ˆ  A y ˆ  A z k)  ( B x ˆ  B y ˆ  B z k) i j ˆ i j ˆ C X  AY BZ  AZ BY C y  Az Bx  Ax Bz C z  Ax B y  Ay Bx
  • 41. Ejemplo 1: Determinese la suma de los siguientes vectores:  A  3 ˆ  8ˆ  5 k i j ˆ  B  -5 ˆ  2 ˆ  3k i j ˆ  C  4 ˆ  7 ˆ  2k i j ˆ
  • 42. Ejemplo 2: Determine la suma de los vectores indicados z 5m  B 10m  y C 8m  x A
  • 43. Ejemplo 9 Dados los vectores:  A  3ˆ  3ˆ  5k i j ˆ  B  4ˆ  5ˆ  3k i j ˆ Determine : a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambos e) el ángulo que forman entre sí. Tarea 9c, 9d y 10