Limcont
- 1. ##اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت واﻹﺗﺼﺎل - اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ##
ﻟﺘﺤﺪ ﻳﺪ ) lim f (xﺣﯿﺚ 0 xﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ أو x 0 ﻧﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺪوﻟﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﯿﻦ: 1 ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت:
0 x X
0 0
ﺷﻜﻞ 0 0
l 0 l l l l
اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ 0 0
0l 0 l
أﺷﻜﺎل ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺪدة ﻻ
ﻳﻤﻜﻦ 0l 0 l 0 l 0 l
ﺣﺴﺎب اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ
ﻧﺘﯿﺠﺘﮫﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮة.
) lim f (x ﻳﺠﺐ اﻟﺘﻔﻜﯿﺮ ﻓﻲ: 0 0 l 0
0 x X
- ﻧﮫﺎﻳﺎت اﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ.
-اﻟﺘﻌﻤﯿﻞ ﺛﻢ اﻻﺧﺘﺰال.
-اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺮاﻓﻖ.
-ﺗﻘﻨﯿﺎت أﺧﺮى
ﻛﺎﻟﺘﺎطﯿﺮ ﻣﺜﻼ.
اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت:
lim f (x ) 0 00 l 0 l 0 l 0 l 00 l 0 l 0 l 0 l l
0 x x
lim g (x ) g0 g0 g0 g0 0 0 0 0 00 l '
0 x x
0g0 g0 g0 g
) lim (f g )(x 0 l l l ' l l l
0 x x ?
) lim (f g )(x 0 0 0 0 ' 0 l l
0 x x
? ? ? ? ? ?
) f (x l
lim ? ? 0 0 0 0 0 0 ?
0 x x ) g (x 'l
ﻧﺘﺎﺋﺞ:
, a n 0 : n . pair
, a 0 : n . pair
1n
lim (a n x n
a n 1 x ....a1 x a 0 ) lim (a n x )
1 n n
, a n 0 : n .im pair
x x
, a n
0 : n .im pair
0, n m
a x n a n 1x n 1 ....a 0 an x n
lim n m 1m x
lim , n m
x b x
m b m 1 x ....b 0 bm x
m
a
n ,n m
bm
1( ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن دا ﻟﺔ fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 xﺑﺪون أن ﺗﻘﺒﻞ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 xﻣﺜﻼ: )1 f (x ) x 2 (x ﻣﻌﺮﻓﺔ
ﻓﻲ0 وﻟﯿﺴﺖ ﻟﮫﺎ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻔﺮ.
1x
2
f (x ) ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ1 2( ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن دا ﻟﺔ fﻏﯿﺮﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 xو ﺗﻘﺒﻞ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 xﻣﺜﻼ:
1x
ﻟﻜﻦ 2 lim f (x )
1x
3( ﻟﻜﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ fﻧﮫﺎﻳﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 xﻳﺠﺐ أن ﺗﻜﻮن ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺠﻮار 0 . x
4( ﻳﻤﻨﻊ ﻣﻨﻌﺎ ﻛﻠﯿﺎ ﺗﻔﻜﯿﻚ ﻧﮫﺎﻳﺘﯿﻦ اﻻ ﺑﺸﺮوط. ﻣﺜﻼ:
1
) . g (x ) sin(x و إذا إﻋﺘﺒﺮﻧﺎ اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ fو gاﻟﻤﻌﺮﻓﺘﯿﻦ ب: ) f (x ) sin(x
x
- 2. fو gﻟﯿﺴﺖ ﻟﮫﻤﺎ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﺑﺠﻮار ﻟﻜﻦ: 0 lim (f (x ) g (x ))
x
ﻧﮫﺎﻳﺎت اﻋﺘﯿﺎدﻳﺔﻟﺪوال ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ:
1 cos ax 1 tan ax sin ax
lim lim 1 lim 1
ax
0x 2 0x 0x
2 ax ax
lim tan (x ) lim tan (x )
x x
2 2
2 اﻹﺗﺼﺎل:
ﺗﻌﺮﻳﻒ1:
ﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮن داﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 xﻳﺠﺐ أن ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ:
fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ 0 . x ﺷﺮط1:
ﺷﺮط2: . lim f (x )
0 x x
ﺷﺮط3: ) 0 . lim f (x ) f (x
0 x x
ﺗﻌﺮﻳﻒ2:
**( fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ x 0 lim f (x ) f (x 0 )
0 x x
**( fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ x 0 lim f (x ) f (x 0 )
0 x x
ﺧﺎﺻﯿﺔ:
ﺗﻜﻮن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 xاذا وﻓﻘﻂ اذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎرﻓﻲ 0 x
اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ:
اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل:
**ﺗﻜﻮن داﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل a , b اذا وﻓﻘﻂ اذا ﻛﺎﻧﺖ:
--ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻔﺘﻮح . a , b
--ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ . a
-- ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر . b
** اذا ﻛﺎﻧﺖ : fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 xو gداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 xﻓﺎن
f gو f gو fو fدوال ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 . x
f
داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 xﻣﻊ) 0 . g (x 0 ) و
g
**اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ:
*ﻛﻞ داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ .
*ﻛﻞ داﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﯿﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ.
*اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ cosو sinﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ .
*اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ Tangenteﻣﺘﺼﻠﺔﻋﻠﻰ k ; k
2
اﻟﺘﻤﺪﻳﺪﺑﺎﻻ ﺗﺼﺎ ل:
* fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺗﻤﺪﻳﺪا ﺑﺎﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ 0 xاذا ﻛﺎن:
x 0 D fو lim f (x ) l
0 x x
* اﻟﺘﻤﺪﻳﺪ ﺑﺎﻻﺗﺼﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 xھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ gاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ
f (x ); x D f
g (x ) ﺑﻤﺎﻳﻠﻲ:
0 l ; x x
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح و ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻋﻨﺼﺮ 0 . x 3 اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت واﻟﺘﺮﺗﯿﺐ:
- 3. ) f (x ) l u (x
1)
0 lim u (x ) lim f (x ) l
0 x x
0 x x
) u (x ) f (x ) v (x
2) lim f (x ) l
lim u (x ) lim v (x ) l 0 x x
0 x x
0 x x
) u (x ) f (x
3)
lim u ( x ) xlim f ( x )
0 x
0 x x
) f ( x ) v ( x
4) lim f (x )
0 lim v (x ) x x
0 x x
4 ﻧﮫﺎﻳﺔ واﺗﺼﺎل ﻣﺮﻛﺒﺔ داﻟﺘﯿﻦ:
f (I ) J
* ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﺑﺤﯿﺚ:
اذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iو gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Jﻓﺎن: اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ gofداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I
f (I ) J
* ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح Iﻣﻨﻘﻂ ﻣﺮﻛﺰه aو gداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﺑﺤﯿﺚ:
اذا ﻛﺎﻧﺖ lim f (x ) lو gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ lﻓﺎن: اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ gofﺗﻘﺒﻞ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ) g (lﻓﻲ x0=a
0 x x
5 ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ:
1 ( ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﻣﻐﻠﻖ : a, b
fھﻮ ﻣﺠﺎل m, M اذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل a, b ﻓﺎن ﺻﻮرة a, b ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ
ﺑﺤﯿﺚ: m inf f ( x) ; x a, b و M sup f ( x) ; x a, b
fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل f ( a, b ) m, M a, b
2( ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻮﺳﯿﻄﯿﺔ:
-- اذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل a, b ﻓﺎن ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ) f (aو ) f (bﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ
ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل a, b ﺑﺤﯿﺚ ﻳﻜﻮن . f ( )
ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ:
-- اذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل a, bوﻛﺎن 0 f (a ).f (b )
ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل . a, b ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 f ( x)
. رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ وﺗﺤﻘﻖ ﻣﻌﻄﯿﺎت اﻟﺨﺎﺻﯿﺔ ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل a, b اذا ﻛﺎﻧﺖ f ﻣﻼﺣﻈﺔ :
3( ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل Iﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ:
(aإذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ: I
f (a , b ) f (a ), lim f ( x ) f a, b f (a ), f (b )
x b
f (a,b ) lim f (x ), lim f (x )
f ( a , b ) lim f ( x ), f (b )
x a x b
x a
f ( , a ) lim f ( x ), lim f ( x ) f (a , ) f (a ), lim f ( x ) f (, ) lim f (x ), lim f (x )
x
x a
x x x
- 4. ( bإذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ fﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ: I
f (a , b ) lim f ( x ), f (a ) f a , b f (b ), f (a )
x b
f (a,b) lim f (x ), lim f (x ) f ( a , b ) f (b ), lim f ( x )
x b x a
x a
( , a ) lim f ( x ), lim f ( x ) f (a , ) lim f ( x ), f (a ) f (, ) lim f (x ), lim f (x )
f x a
x
x x x
6 اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ:
ﻣﺒﺮھﻨﺔ: ا ذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺎن fﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Iﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ). J = f(I
1- 1-
fﺑﺪورھﺎ fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ Jﻧﺤﻮ . I -- ﻛﻞ داﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ
ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ) .f(I
-- fو1- fﻟﮫﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻰ اﻟﺘﻐﯿﺮات.
ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ fوﻣﻨﺤﻨﯩﺎﻟﺪاﻟﺔ1- fﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻤﻨﺼﻒ اﻻول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
(x I ) : f 1of ( x) x
(y f ( I )) : fof 1 ( y ) y
ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت:
1 ( داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ . n 1 : n
*
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب f : x x nﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ
fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ﻧﺤﻮ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ: 1-
اﻟﺪاﻟﺔ fﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ
f 1
:
x n x
ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ . n n
اﻟﺪاﻟﺔ 1- fأو
2(ﺧﺎﺻﯿﺎت و ﻧﺘﺎﺋﺞ:
y x
x y
n
n
1(
x, y x, y
2 2
n x n y x y
2
( x, y ) 2(
x n y x y
n
3 ( ﻟﯿﻜﻦ xو yﻣﻦ ، ﻟﺪ ﻳﻨﺎ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ:
x (n x)p n xp ( n x )n x
np
n
xp
n
x x
0;y x . n y n x. y n p
x
n np
n x
n y y
n 4 ( اذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ f
ﻛﺬاﻟﻚ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I
lim f ( x) l
lim n 0 x xﻓﺎن f ( x) n l 5 ( اذا ﻛﺎن
0x x
0 l
lim n 6 ( اذا ﻛﺎن lim f ( x) ﻓﺎن f ( x)
0x x 0x x