第14回フィボナッチ協会研究集会の発表資料です。

1. 第14回フィボナッチ協会研究集会
ワイソフ配列について
2016-08-26
岩淵 勇樹

2. 自己紹介
岩淵勇樹 ( IWABUCHI
Yu(u)ki )
 金沢大学自然科学研究科修了
 博士（工学）
 現職: Webエンジニア
 卒研で記数法を研究

3. 用語
 インタースパージョン →後述
 （フィボナッチ数、リュカ数）
 フィボナッチ列
 フィボナッチ記数法 →後述

4. インタースパージョン
(Interspersion)
 行も列も無限個存在する
 どの行もどの列も単調増加する
 すべての自然数がそれぞれ必ず1回出
現し、2回以上は出現しない
 ある位置にある数が他の行の隣接する
ふたつの項の間の値を取るとき、これ
らのふたつの行のそれ以降の項を大き
さの順に並べると、交互に互いを挟み
あう
出典: http://www.jewelryeyes.net/log.cgi?dat=69j

5. 最も簡単なインタースパージョン
 名前がないので「物智配列」と命名
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 4 8 16 32 64
1 3 6 12 24 48 96 192
2 5 10 20 40 80 160 320
3 7 14 28 56 112 224 448
4 9 18 36 72 144 288 576
5 11 22 44 88 176 352 704
6 13 26 52 104 208 416 832
ぶつち

6. 物智配列の性質
自然数と1対1対応
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 4 8 16 32 64
1 3 6 12 24 48 96 192
2 5 10 20 40 80 160 320
3 7 14 28 56 112 224 448
4 9 18 36 72 144 288 576
5 11 22 44 88 176 352 704
6 13 26 52 104 208 416 832

7. 物智配列の性質
1行目は2のべき乗
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 4 8 16 32 64
1 3 6 12 24 48 96 192
2 5 10 20 40 80 160 320
3 7 14 28 56 112 224 448
4 9 18 36 72 144 288 576
5 11 22 44 88 176 352 704
6 13 26 52 104 208 416 832

8. 物智配列の性質
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 4 8 16 32 64
1 3 6 12 24 48 96 192
2 5 10 20 40 80 160 320
3 7 14 28 56 112 224 448
4 9 18 36 72 144 288 576
5 11 22 44 88 176 352 704
6 13 26 52 104 208 416 832
1列目は奇数の列

9. 物智配列の性質
縦は等差数列
（線形的）
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 4 8 16 32 64
1 3 6 12 24 48 96 192
2 5 10 20 40 80 160 320
3 7 14 28 56 112 224 448
4 9 18 36 72 144 288 576
5 11 22 44 88 176 352 704
6 13 26 52 104 208 416 832

10. 物智配列の性質
横は公比2の等比数列
（指数関数的）
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 4 8 16 32 64
1 3 6 12 24 48 96 192
2 5 10 20 40 80 160 320
3 7 14 28 56 112 224 448
4 9 18 36 72 144 288 576
5 11 22 44 88 176 352 704
6 13 26 52 104 208 416 832

11. 物智配列の2進表記
1列目は小さい順の奇数
0 1 2 3 4 5 6
0 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
1 11 110 1100 11000 110000 1100000 11000000
2 101 1010 10100 101000 1010000 10100000 101000000
3 111 1110 11100 111000 1110000 11100000 111000000
4 1001 10010 100100 1001000 10010000 100100000 1001000000
5 1011 10110 101100 1011000 10110000 101100000 1011000000
6 1101 11010 110100 1101000 11010000 110100000 1101000000

12. 0 1 2 3 4 5 6
0 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
1 11 110 1100 11000 110000 1100000 11000000
2 101 1010 10100 101000 1010000 10100000 101000000
3 111 1110 11100 111000 1110000 11100000 111000000
4 1001 10010 100100 1001000 10010000 100100000 1001000000
5 1011 10110 101100 1011000 10110000 101100000 1011000000
6 1101 11010 110100 1101000 11010000 110100000 1101000000
物智配列の2進表記
横はビットシフト

13. ワイソフ配列(Wythoff array)
 Mathworld、Wikipediaに英語記事あり
 日本語の文献がほぼ皆無
（「ワイトホッフ配列」と名付いた文献が1つ）
 本会でもほぼ認知されていないような
ので、ぜひ覚えて帰ってください

14. ワイソフ配列(Wythoff array)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 5 8 13 21
1 4 7 11 18 29 47 76
2 6 10 16 26 42 68 110
3 9 15 24 39 63 102 165
4 12 20 32 52 84 136 220
5 14 23 37 60 97 157 254
6 17 28 45 73 118 191 309

15. ワイソフ配列(Wythoff array)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 5 8 13 21
1 4 7 11 18 29 47 76
2 6 10 16 26 42 68 110
3 9 15 24 39 63 102 165
4 12 20 32 52 84 136 220
5 14 23 37 60 97 157 254
6 17 28 45 73 118 191 309
自然数と1対1対応

16. ワイソフ配列(Wythoff array)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 5 8 13 21
1 4 7 11 18 29 47 76
2 6 10 16 26 42 68 110
3 9 15 24 39 63 102 165
4 12 20 32 52 84 136 220
5 14 23 37 60 97 157 254
6 17 28 45 73 118 191 309
1行目はフィボナッチ数

17. ワイソフ配列(Wythoff array)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 5 8 13 21
1 4 7 11 18 29 47 76
2 6 10 16 26 42 68 110
3 9 15 24 39 63 102 165
4 12 20 32 52 84 136 220
5 14 23 37 60 97 157 254
6 17 28 45 73 118 191 309
2行目はリュカ数
（途中から）

18. ワイソフ配列(Wythoff array)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 5 8 13 21
1 4 7 11 18 29 47 76
2 6 10 16 26 42 68 110
3 9 15 24 39 63 102 165
4 12 20 32 52 84 136 220
5 14 23 37 60 97 157 254
6 17 28 45 73 118 191 309
横に隣り合う数比はφに漸近
（指数関数的）

19. ワイソフ配列(Wythoff array)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 5 8 13 21
1 4 7 11 18 29 47 76
2 6 10 16 26 42 68 110
3 9 15 24 39 63 102 165
4 12 20 32 52 84 136 220
5 14 23 37 60 97 157 254
6 17 28 45 73 118 191 309
縦の差の値はフィボナッチ列
（線形的） -1行目: 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, …
1列目: 3, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 3, …
3列目: 13, 8, 13, ,13, 8, 13, 8, 13, …
3
2
3
3
2
3
13
8
13
13
8
13

20. フィボナッチ記数法
(Fibonacci notation)
 桁の重みがFn
 1が連続しない
8 5 3 2 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 2
0 0 1 0 0 3
0 0 1 0 1 4
0 1 0 0 0 5
0 1 0 0 1 6
8 5 3 2 1
0 1 0 1 0 7
1 0 0 0 0 8
1 0 0 0 1 9
1 0 0 1 0 10
1 0 1 0 0 11
1 0 1 0 1 12

21. ワイソフ配列の
フィボナッチ記数表記
0 1 2 3 4
0 1 10 100 1000 10000
1 101 1010 10100 101000 1010000
2 1001 10010 100100 1001000 10010000
3 10001 100010 1000100 10001000 10001000
0
4 10101 101010 1010100 10101000 10101000
0
フィボナッチ記数法において
物智配列と同様の性質

22. 応用
 隣り合う数比Wm, n/Wm+1, nがφに漸近
→隣接2数の比からφの近似値を算出可能
 Wm, nが2のべき乗なら、
Wm+1, nのビットシフトが近似値となる
110011110001101111
100000000000000000
110011110001101111
÷ )
.
→ 212079
→ 131072
→ 1.61803

23. ワイソフ配列上の偶数
 偶数の位置には規則性がありそう
 2のべき乗だと？

24. ワイソフ配列上の2のべき乗数
 横方向には延びないが、
縦方向にかなり疎
 y座標は指数関数的に増える
x座標 y座標

25. 結果
 収束がかなり悪そう（未評価）
 規則性もなさそう（未実証）

26. まとめ
 インタースパージョンの例として
物智配列とワイソフ配列を紹介
 ワイソフ配列には興味深い性質が
多く含まれている
 黄金比の近似を試みたが
高速に求めることができなかった

28. フィボナッチ列(Fibonacci word)

29. 岩淵勇樹「bion」