美しい音楽を奏でる「和音」と、 様々な楽器に特有な「音色」は、 「倍音」という概念で理解することができます。 ド → 1 ミ → 5 ソ → 3 これってどういう法則？ ハーモニカ: 14, 20, 13, 3, 4, ... バイオリン: 26, 11, 2, 1, 1, ... トランペット: 0, 13, 0, 20, 0, ... この数列は何？ 音楽の秘密は数字で説明することができます。

1. 音楽にまつわる数学
〜「倍音」で理解する和音と音色〜
もうやん文京 2017-06-13
岩淵 勇樹

2. 自己紹介
 岩淵勇樹 ( IWABUCHI Yu(u)ki )
 金沢大学自然科学研究科修了
 博士（工学）
 Webのプログラマー6年目
 博士論文は
「図形と音声の変換方法と
その応用に関する研究」

3. Twitter #フラクタル音楽
Instagram #フラクタル音楽
活動の紹介
• 幾何学図形を元にした音楽
「フラクタル音楽」

4. そもそも「音」とは？

5. 認知科学的な「音」
 聴覚としての知覚
 鼓膜を伝って知覚される
Blausen.com staff (2014). "Medical gallery of Blausen Medical 2014".
WikiJournal of Medicine 1 (2). DOI:10.15347/wjm/2014.010. ISSN 2002-4436.

6. 物理的な「音」
 振動
 空気の圧力の粗密が波となって伝わる
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:C
PT-sound-physical-manifestation.svg

7. 工学的な「音」
 時間を軸とした1次元信号
 つまりグラフで表せる

8. 音を構成する3要素
 音量
 音高 ← 1つ目の話題
 音色 ← 2つ目の話題

9. 〜和音の数学〜

10. これってどういう法則？
ド → 1
ミ → 5
ソ → 3

11. 音の高さと周波数
低い音 高い音
• 繰り返す速さが違う
• 時間に対する振動数が周波数

12. オクターブ
 カラオケのキーを変えずにきれいに
ハマる高さの単位（ユニゾンというやつ）
 音の高さが1周する間隔
http://www.publicdomainpictures.net/view-
image.php?image=44326
1オクターブ 1オクターブ 1オクターブ

13. オクターブ数＝周波数？
 オクターブ数は周波数に比例しない
 等差数列ではない
0 f
周波数
[Hz]
2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f
20 40 60 80 100 120 140 1600
ド(C0) ド(C1) ド(C2) ド(C3) ド(C4) ド(C5) ド(C6) ド(C7) ド(C8)

14. オクターブ数＝周波数？
 周波数が2倍になると1オクターブUP
 等比数列
f
周波数
[Hz]
2f 4f 8f
20 40 80 160
ド(C0) ド(C1) ド(C2) ド(C3)
※「ド」と周波数の対応はデタラメ

15. 倍音とは
 基本音となる周波数の何倍か

16. 周波数と倍音
 1倍音、2倍音、4倍音、8倍音…
がオクターブ違い
0 f
周波数
[Hz]
2f 4f 8f
20 40 80 1600
ド(C1) ド(C2) ド(C4) ド(C8)
※「ド」と周波数の対応はデタラメ
1倍音 2倍音 4倍音 8倍音

17. 周波数と倍音
 3倍音、5倍音、6倍音、7倍音って？
 「ド」以外の音が入る
0 f
周波数
[Hz]
2f 4f 8f
20 40 80 1600
ド(C1) ド(C2) ド(C4) ド(C8)
※「ド」と周波数の対応はデタラメ
？
3倍音 5倍音 6倍音 7倍音
？ ？ ？

18. 周波数と倍音
 3倍音・6倍音は「ラ」
 5倍音は「ミ」
周波数
[Hz]
3倍音 5倍音 6倍音 7倍音
0 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f
262 523 784 1047 1319 1568 1865 20930
ド(C4) ド(C5) ソ(G5) ド(C6) ミ(E6) ソ(G6) シ♭(B♭6) ド(C7)

19. 基本音と倍音
 3倍音の「ラ」を基本音にすれば
6倍音は1オクターブ上
周波数
[Hz]
3倍音 6倍音
0 3f 6f
784 15680
ソ(G5) ソ(G6)
f2 2f2
=
=

20. ドレミは倍音！
ド → 1倍音
ミ → 5倍音
ソ → 3倍音

21. 音律
 純正律
 12平均律

22. bion

23. bion: 螺旋と放射

24. bionと倍音

25. bionと倍音
ド
ミ
ソ

26. デモ
 https://butchi.github.io/bion-sound/

27. 〜音色の数学〜

28. この数列は何？
 ハーモニカ: 14, 20, 13, 3, 4, …
 バイオリン: 26, 11, 2, 1, 1, …
 トランペット: 0, 13, 0, 20, 0, …

29. 音色の定義
 「音量」と「音高」以外の要素
 具体的な定義がない！
“聴覚に関する音の属性の一つで，物理的に異なる二
つの音が，たとえ同じ音の大きさ及び高さであっても
異なった感じに聞こえるとき，その相違に対応する属
性。” ――JIS規格

30. 音色を理解するための概念
 スペクトル
 フーリエ変換
 加算合成

31. スペクトル
 音楽プレーヤーの視覚エフェクトで
よく見るやつ
https://github.com/dpayne/cli-visualiz

32. フーリエ変換
 音のグラフは周波数が違う波の足し合わせ
（「マクローリン展開」と似た世界観）
 sinとかcosとかの和になる
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
= + + +…
音声信号
（例: 三角波）
6cos(t) 0.9cos(3t) 0.1cos(5t)

33. フーリエ変換
 周波数が基本周波数、2倍、3倍、…
 これも倍音！
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
= + + +…
音声信号
（例: 三角波）
6cos(t) 0.9cos(3t) 0.1cos(5t)
3倍音 5倍音

34. フーリエ変換
 この例の場合、{6, 0, 0.9, 0, 0.1, …}
が音色を決定づける倍音成分の配列
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
= + + +…
音声信号
（例: 三角波）
6cos(t) 0.9cos(3t) 0.1cos(5t)
3倍音 5倍音

35. スペクトル（倍音成分）
 周波数ごとの音の強さをグラフ化
 これが先ほどの「スペクトル」の正体
周波数[Hz]
基本音 倍音 3倍音

36. 楽器ごとのスペクトル
正弦波 三角波
ハーモニカ
10, 0, 0, 0, 0, … 6, 0, 0.9, 0, 0.1, …
14, 20, 13, 3, 4, … 26, 11, 2, 1, 1, …
0, 13, 0, 20, 0, …
バイオリン
トランペット
楽器ごとのスペクトルから
固有の数列が得られる

37. 倍音成分の数列！
 正弦波: 10, 0, 0, 0, 0, …
 三角波: 6, 0, 0.9, 0, 0.1, …
 ハーモニカ: 14, 20, 13, 3, 4, …
 バイオリン: 26, 11, 2, 1, 1, …
 トランペット: 0, 13, 0, 20, 0, …

38. 加算合成
 初期のシンセサイザーやパイプオルガン
 倍音を加算して音を作る方式
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pipe.organ.console.a

39. ホーミー
 モンゴルの伝統的な歌唱法
 倍音成分が別の高さの音に聴こえる
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Overtone_singing.ogg
倍音による
和音と音色の仕組みで
理解できる現象！

40. まとめ
 和音編
◦ オクターブは周波数が倍々
◦ 倍音が音高（ドレミ）を決定づけている
 音色編
◦ 音は倍音成分に分解できる
◦ 倍音成分のバランスで音色が変わる

42. 解析信号（音を形にする）
Sinc関数 鋸波 三味線
ハーモニカ ギター バイオリン