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Notions mecanique-des-fluides
1.
NOTIONS DE MECANIQUE DES
FLUIDES Cours et Exercices Corrigés Riadh BEN HAMOUDA Centre de Publication Universitaire
2.
AVANT-PROPOS LâĂ©tude de la
mĂ©canique des fluides remonte au moins Ă lâĂ©poque de la GrĂšce antique avec le cĂ©lĂšbre savon ArchimĂšde, connu par son principe qui fut Ă lâorigine de la statique des fluides. Aujourdâhui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec de nombreux problĂšmes non rĂ©solus ou partiellement rĂ©solus. Dans cet ouvrage se trouve exposĂ© lâessentiel de ce quâun Ă©tudiant des Instituts SupĂ©rieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes hydrauliques et pneumatiques sont actuellement trĂšs utilisĂ©s en industrie. Donc, un technicien quelque soit sa spĂ©cialitĂ© doit acquĂ©rir les notions fondamentales en mĂ©canique des fluides. Nous avons cherchĂ© Ă Ă©viter les dĂ©veloppements mathĂ©matiques trop abondants et pas toujours correctement maĂźtrisĂ©s par la plupart des techniciens supĂ©rieurs et insistĂ© trĂšs largement sur les applications industrielles et les problĂšmes de dimensionnement. Ainsi, lâĂ©tude de la mĂ©canique des fluides sera limitĂ©e dans cet ouvrage Ă celle des fluides homogĂšnes. Les lois et modĂšles simplifiĂ©s seront utilisĂ©s pour des fluides continus dans une description macroscopique. Egalement, nous limiterons notre Ă©tude Ă celle des fluides parfaits et rĂ©els. Dans lâĂ©tude dynamique nous serons amenĂ©s Ă distinguer les fluides incompressibles et les fluides compressibles. Le chapitre 1 constitue une introduction Ă la mĂ©canique des fluides dans laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides rĂ©els, les fluides incompressibles et les fluides compressibles et on dĂ©finit les principales propriĂ©tĂ©s qui seront utilisĂ©es ultĂ©rieurement. Le chapitre 2 est consacrĂ© Ă lâĂ©tude des fluides au repos. Les lois et thĂ©orĂšmes fondamentaux en statique des fluides y sont Ă©noncĂ©s. La notion de pression, le thĂ©orĂšme de Pascal, le principe dâArchimĂšde et la relation fondamentale de lâhydrostatique sont expliquĂ©s. Dans le chapitre 3 sont traitĂ©es les Ă©quations fondamentales qui rĂ©gissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, lâĂ©quation de continuitĂ© et le thĂ©orĂšme de Bernoulli. Elles sont considĂ©rĂ©es trĂšs importantes
3.
dans plusieurs applications
industrielles, entre autres dans la plupart des instruments de mesures de pressions et de dĂ©bits quâon peut rencontrer dans beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout. Dans le chapitre 4 sont dĂ©montrĂ©s les Ă©quations et les thĂ©orĂšmes relatifs Ă la dynamique des fluides incompressibles rĂ©els. Une mĂ©thode simplifiĂ©e de calcul des pertes de charge basĂ©e sur ces Ă©quations est proposĂ©e. Elle est indispensable pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problĂšmes de pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles est vĂ©hiculĂ© un fluide etc.) Le chapitre 5 est consacrĂ© Ă lâĂ©tude des fluides compressibles. Les lois et les Ă©quations fondamentales de la dynamique ainsi que le thĂ©orĂšme de Saint-Venant nĂ©cessaires pour traiter un problĂšme dâĂ©coulement de gaz sont dĂ©montrĂ©s. Certaines notions de thermodynamique, jugĂ©es indispensables pour introduire quelques paramĂštres, sont ajoutĂ©es. La derniĂšre partie de chaque chapitre est consacrĂ©e Ă des exercices corrigĂ©s. Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveillĂ©s que jâai proposĂ© Ă lâInstitut SupĂ©rieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour leur intĂ©rĂȘt pratique et pour leur diversitĂ©. Chaque exercice traite un domaine particulier dâapplication quâun technicien supĂ©rieur pourrait rencontrer aussi bien dans le cadre des travaux pratiques Ă lâISET quâen industrie dans sa vie active. Les solutions avec beaucoup de dĂ©tail, devraient permettre Ă lâĂ©tudiant dâacquĂ©rir, en peu de temps, la maĂźtrise nĂ©cessaire des concepts utilisĂ©s. Ces exercices permettront Ă©galement de tester lâavancement de leurs connaissances. En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mĂȘmes notations dans la partie exercices corrigĂ©s et dans la partie cours. Les points importants sont Ă©crits en caractĂšre gras et les rĂ©sultats sont encadrĂ©s. Cet ouvrage constitue une premiĂšre version. Il sera certainement rĂ©visĂ©. Les critiques, les remarques et les conseils de tous les compĂ©tents du domaine qui veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et remerciement. Riadh BEN HAMOUDA, Octobre 2008
4.
TABLE DES MATIERES Chapitre
1 : Introduction Ă la MĂ©canique des Fluides ......................................... 1 1 Introduction ........................................................................................................... 1 2 DĂ©finitions ............................................................................................................. 1 2.1 Fluide parfait .................................................................................................. 2 2.2 Fluide rĂ©el ...................................................................................................... 3 2.3 Fluide incompressible .................................................................................... 3 2.4 Fluide compressible....................................................................................... 3 3 CaractĂ©ristiques physiques ................................................................................... 4 3.1 Masse volumique........................................................................................... 4 3.2 Poids volumique ............................................................................................ 4 3.3 DensitĂ© .......................................................................................................... 4 3.4 ViscositĂ© ........................................................................................................ 5 4 Conclusion ............................................................................................................ 7 5 Exercices dâapplication ......................................................................................... 8 Chapitre 2 : Statique des fluides ......................................................................... 10 1 Introduction ......................................................................................................... 10 2 Notion de pression en un point dâun fluide .......................................................... 10 3 Relation fondamentale de lâhydrostatique ........................................................... 12 4 ThĂ©orĂšme de Pascal........................................................................................... 14 4.1 EnoncĂ© ........................................................................................................ 14 4.2 DĂ©monstration ............................................................................................. 14 5 PoussĂ©e dâun fluide sur une paroi verticale ........................................................ 15 5.1 HypothĂšses.................................................................................................. 15 5.2 ElĂ©ments de rĂ©duction du torseur des forces de pression ........................... 15 5.2.1 RĂ©sultante ............................................................................................ 16 5.2.2 Moment................................................................................................. 16 5.3 Centre de poussĂ©e ...................................................................................... 17 6 ThĂ©orĂšme dâArchimĂšde ....................................................................................... 17 6.1 ĂnoncĂ© ........................................................................................................ 17 6.2 DĂ©monstration ............................................................................................. 18 7 Conclusion .......................................................................................................... 20 8 Exercices dâaplication ......................................................................................... 21 Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................ 52 1 Introduction ......................................................................................................... 52 2 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 52 3 Equation de ContinuitĂ© ........................................................................................ 52 4 Notion de DĂ©bit ................................................................................................... 54 4.1 DĂ©bit massique ............................................................................................ 54 4.2 DĂ©bit volumique ........................................................................................... 55 4.3 Relation entre dĂ©bit massique et dĂ©bit volumique ....................................... 55 5 ThĂ©orĂšme de Bernoulli â Cas dâun Ă©coulement sans Ă©change de travail ........... 56 6 ThĂ©orĂšme de Bernoulli â Cas dâun Ă©coulement avec Ă©change de travail .......... 57
5.
7 ThĂ©orĂšme dâEuler
: ............................................................................................. 59 8 Conclusion .......................................................................................................... 61 9 Exercices dâapplication ....................................................................................... 61 Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 88 1 Introduction ......................................................................................................... 88 2 Fluide RĂ©el.......................................................................................................... 88 3 RĂ©gimes dâĂ©coulement - nombre de Reynolds ................................................... 88 4 Pertes de charges............................................................................................... 90 4.1 DĂ©finition...................................................................................................... 90 4.2 Pertes de charge singuliĂšres ....................................................................... 94 4.3 Pertes de charges linĂ©aires : ....................................................................... 94 5 ThĂ©orĂšme de Bernoulli appliquĂ© Ă un fluide reel ................................................. 95 6 Conclusion .......................................................................................................... 96 7 Exercices dâapplication ....................................................................................... 96 Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 120 1 Introduction ....................................................................................................... 120 2 Equations dâetat dâun gaz parfait....................................................................... 120 2.1 Lois des gaz parfaits.................................................................................. 120 2.2 Transformations thermodynamiques ......................................................... 120 3 Classification des Ă©coulements......................................................................... 122 3.1 CĂ©lĂ©ritĂ© du son ........................................................................................... 122 3.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 122 3.3 Ecoulement subsonique ............................................................................ 122 3.4 Ecoulement supersonique ......................................................................... 122 4 Equation de continuite ...................................................................................... 122 5 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 123 6 Etat gĂ©nĂ©rateur : ............................................................................................... 124 7 Conclusion ........................................................................................................ 125 8 Exercices dâapplication ..................................................................................... 125
6.
Chapitre 1 :
INTRODUCTIONA LA MECANIQUE DES FLUIDES 1 INTRODUCTION La mĂ©canique des fluides est la science des lois de I'Ă©coulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mĂ©canismes de transfert des fluides. Câest une branche de la physique qui Ă©tudie les Ă©coulements de fluides c'est-Ă -dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches: - la statique des fluides, ou hydrostatique qui Ă©tudie les fluides au repos. C'est historiquement le dĂ©but de la mĂ©canique des fluides, avec la poussĂ©e d'ArchimĂšde et l'Ă©tude de la pression. - la dynamique des fluides qui Ă©tudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mĂ©canique des fluides. On distingue Ă©galement dâautres branches liĂ©es Ă la mĂ©canique des fluides : l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'aĂ©rodynamique, âŠUne nouvelle approche a vu le jour depuis quelques dĂ©cennies: la mĂ©canique des fluides numĂ©rique (CFD ou Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'Ă©coulement des fluides en rĂ©solvant les Ă©quations qui les rĂ©gissent Ă l'aide d'ordinateurs trĂšs puissants : les supercalculateurs. La mĂ©canique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme l'ingĂ©nierie navale, l'aĂ©ronautique, mais aussi la mĂ©tĂ©orologie, la climatologie ou encore l'ocĂ©anographie. 2 DEFINITIONS Un fluide peut ĂȘtre considĂ©rĂ© comme Ă©tant une substance formĂ© d'un grand nombre de particules matĂ©rielles, trĂšs petites et libres de se dĂ©placer les unes par rapport aux autres. Câest donc un milieu matĂ©riel continu, dĂ©formable, sans rigiditĂ© et qui peut s'Ă©couler. Les forces de cohĂ©sion entres particules Ă©lĂ©mentaires sont 1
7.
Chapitre 1 :
Introduction Ă la mĂ©canique des fluides trĂšs faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la forme du rĂ©cipient qui le contient, par exemple: les mĂ©taux en fusion sont des fluides qui permettent par moulage d'obtenir des piĂšces brutes de formes complexes. On insiste sur le fait quâun fluide est supposĂ© ĂȘtre un milieu continu : mĂȘme si l'on choisit un trĂšs petit Ă©lĂ©ment de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la dimension des molĂ©cules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de brouillard, aussi petite soit-elle Ă notre Ă©chelle, est toujours immense Ă l'Ă©chelle molĂ©culaire. Elle sera toujours considĂ©rĂ©e comme un milieu continu. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur viscositĂ©. La viscositĂ© est une de leur caractĂ©ristique physico-chimique qui sera dĂ©finie dans la suite du cours et qui dĂ©finit le frottement interne des fluides. Les fluides peuvent ĂȘtre classĂ©s en deux grande familles : La famille des fluides "newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les pĂątes, les suspensions, les Ă©mulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscositĂ© constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la tempĂ©rature. La deuxiĂšme famille est constituĂ©e par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularitĂ© d'avoir leur viscositĂ© qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent lorsque ceux-ci s'Ă©coulent. Ce cours est limitĂ© uniquement Ă des fluides newtoniens qui seront classĂ©s comme suit. 2.1 Fluideparfait Soit un systĂšme fluide, c'est-Ă -dire un volume dĂ©limitĂ© par une surface fermĂ©e ÎŁ fictive ou non. n ÎŁ dF N dF r dS dFT Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 2Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 :
Introduction Ă la mĂ©canique des fluides ConsidĂ©rons dF r la force dâinteraction au niveau de la surface Ă©lĂ©mentaire dS de normale n r entre le fluide et le milieu extĂ©rieur. On peut toujours dĂ©composer dF en deux composantes: - une composante dFT tangentielle Ă dS. - une composante dF r N normale Ă dS. En mĂ©canique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de dĂ©crire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. Câest Ă dire quand la composante dFT est nulle. Autrement dit, la force dF est normale Ă l'Ă©lĂ©ment de surface dS. 2.2 FluiderĂ©el Contrairement Ă un fluide parfait, qui nâest quâun modĂšle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide rĂ©el les forces tangentielles de frottement interne qui sâopposent au glissement relatif des couches fluides sont prise en considĂ©ration. Ce phĂ©nomĂšne de frottement visqueux apparaĂźt lors du mouvement du fluide. Câest uniquement au repos, quâon admettra que le fluide rĂ©el se comporte comme un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux Ă©lĂ©ments de surface sur lesquels elles sâexercent. La statique des fluides rĂ©els se confond avec la statique des fluides parfaits. 2.3 Fluide incompressible Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupĂ© par une masse donnĂ© ne varie pas en fonction de la pression extĂ©rieure. Les liquides peuvent ĂȘtre considĂ©rĂ©s comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.) 2.4 Fluidecompressible Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupĂ© par une masse donnĂ©e varie en fonction de la pression extĂ©rieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple, lâair, lâhydrogĂšne, le mĂ©thane Ă lâĂ©tat gazeux, sont considĂ©rĂ©s comme des fluides compressibles. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 3Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 :
Introduction Ă la mĂ©canique des fluides 3 CARACTERISTIQUES PHYSIQUES 3.1 Massevolumique Ï = V m oĂč : Ï : Masse volumique en (kg/m3 ), m : masse en (kg), V : volume en (m3 ). Exemples : Fluide Masse volumique Ï (kg/m3 ) Type de fluide BenzĂšne 0,880. 103 Chloroforme 1,489. 103 Eau 103 Incompressible Huile dâolive 0,918. 103 Mercure 13,546. 103 Air 0,001205. 103 compressible1 HydrogĂšne 0,000085. 103 MĂ©thane 0,000717. 103 3.2 Poids volumique Ï = m V .g = Ï.g Ï : Poids volumique en (N/m3 ). m : masse en (kg), g : accĂ©lĂ©ration de la pesanteur en (m/s2 ), V : volume en (m3 ). 3.3 DensitĂ© d = masse volumique du fluide = Ï masse volumique d' un fluide de rĂ©fĂ©rence Ï ref Dans le cas des liquides en prendra lâeau comme fluide de rĂ©fĂ©rence. Dans le cas des gaz on prendra lâair comme fluide de rĂ©fĂ©rence. 1 Ces valeurs sont prise Ă titre indicatif dans les conditions normales de pression et de tempĂ©rature. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 4Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 :
Introduction Ă la mĂ©canique des fluides 3.4 ViscositĂ© Câest une grandeur qui caractĂ©rise les frottements internes du fluide, autrement dit sa capacitĂ© Ă sâĂ©couler. Elle caractĂ©rise la rĂ©sistance d'un fluide Ă son Ă©coulement lorsqu'il est soumis Ă l'application d'une force. Câest Ă dire, les fluides de grande viscositĂ© rĂ©sistent Ă l'Ă©coulement et les fluides de faible viscositĂ© s'Ă©coulent facilement. Elle peut ĂȘtre mesurĂ©e par un viscosimĂštre Ă chute de bille, dans lequel en mesure le temps Ă©coulĂ© pour la chute dâune bille dans le fluide. Elle peut Ă©galement ĂȘtre mesurĂ©e par un rĂ©cipient dont le fond comporte un orifice de taille standardisĂ©e. La vitesse Ă laquelle le fluide s'Ă©coule par cet orifice permet de dĂ©terminer la viscositĂ© du fluide. La viscositĂ© est dĂ©terminĂ©e par la capacitĂ© d'entraĂźnement que possĂšde une couche en mouvement sur les autres couches adjacentes. Par exemple, si on considĂšre un fluide visqueux placĂ© entre deux plaques P1 et P2, tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2 est animĂ©e dâune vitesseV2 . Z V2 Plaque P2 Z V + V F V Plaque P1 fixe Si on reprĂ©sente par un vecteur, la vitesse de chaque particule situĂ©e dans une section droite perpendiculaire Ă l'Ă©coulement, la courbe lieu des extrĂ©mitĂ©s de ces vecteurs reprĂ©sente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut ĂȘtre considĂ©rĂ© comme rĂ©sultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On distingue la viscositĂ© dynamique et la viscositĂ© cinĂ©matique. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 5Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 :
Introduction Ă la mĂ©canique des fluides âą ViscositĂ© dynamique La viscositĂ© dynamique exprime la proportionnalitĂ© entre la force qu'il faut exercer sur une plaque lorsqu'elle est plongĂ©e dans un courant et la variation de vitesse des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprimĂ©e par un coefficient reprĂ©sentant la contrainte de cisaillement nĂ©cessaire pour produire un gradient de vitesse d'Ă©coulement d'une unitĂ© dans la matiĂšre. ConsidĂ©rons deux couches de fluide adjacentes distantes de z. La force de frottement F qui s'exerce Ă la surface de sĂ©paration de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle Ă la diffĂ©rence de vitesse des couches soit v, Ă leur surface S et inversement proportionnelle Ă z : Le facteur de proportionnalitĂ© ÎŒ est le coefficient de viscositĂ© dynamique du fluide. F = ÎŒ.S. V *Z oĂč : F : force de glissement entre les couches en (N), ÎŒ : ViscositĂ© dynamique en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m2 ), V : Ăcart de vitesse entre deux couches en (m/s), Z : Distance entre deux couches en (m). Remarque : Dans le systĂšme international (SI), l'unitĂ© de la viscositĂ© dynamique est le Pascal seconde (Paâ s) ou Poiseuille (Pl) : 1 Paâ s = 1 Pl = 1 kg/mâ s Exemple : Fluide ÎŒ (Pa·s) eau (0 °C) 1,787·10â3 eau (20 °C) 1,002·10â3 eau (100 °C) 0,2818·10â3 Huile d'olive (20 °C) â 100·10â3 glycĂ©rol (20 °C) â 1000·10â3 HydrogĂšne (20 °C) 0,86·10â5 OxygĂšne (20 °C) 1,95·10â5 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 6Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Introduction Ă la mĂ©canique des fluides âą ViscositĂ© cinĂ©matique Ï = ÎŒ Ï L'unitĂ© de la viscositĂ© cinĂ©matique est le (m2 /s). Remarque 1 (unitĂ©): On utilise souvent le Stokes (St) comme unitĂ© de mesure de la viscositĂ© cinĂ©matique. 1 St= 10-4 m2 /s Remarque 2 (Influence de la tempĂ©rature) : Lorsque la tempĂ©rature augmente, la viscositĂ© d'un fluide dĂ©croĂźt car sa densitĂ© diminue. Remarque 3 (diffĂ©rence entre viscositĂ© dynamique et viscositĂ© cinĂ©matique) La viscositĂ© cinĂ©matique caractĂ©rise le temps d'Ă©coulement dâun liquide. Par contre, la viscositĂ© dynamique correspond Ă la rĂ©alitĂ© physique du comportement dâun fluide soumis Ă une sollicitation (effort). En dâautre terme, cette derniĂšre exprime la « rigiditĂ© » dâun fluide Ă une vitesse de dĂ©formation en cisaillement (voir la relation * Ă la page 6). 4 CONCLUSION Les fluides peuvent ĂȘtre classĂ©s en fluides parfaits (sans frottement), fluides rĂ©els (avec frottement), fluides incompressibles (liquides) et fluides compressibles (gaz). Les fluides sont caractĂ©risĂ©s par les propriĂ©tĂ©s suivantes: la masse volumique, le poids volumique, la densitĂ© et la viscositĂ©. Ces propriĂ©tĂ©s seront utilisĂ©es ultĂ©rieurement. Le comportement mĂ©canique et les propriĂ©tĂ©s physiques des fluides compressibles et ceux des fluides incompressibles sont diffĂ©rents. En effet, les lois de la mĂ©canique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables uniquement pour une classe de fluides donnĂ©e. ConformĂ©ment Ă la classification qui a Ă©tĂ© faite, les lois relatives Ă chaque type de fluides seront exposĂ©es dans la suite du cours dâune façon indĂ©pendante. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 7Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Introduction Ă la mĂ©canique des fluides 5 EXERCICES DâAPPLICATION Exercice N°1: 1 ENONCE DĂ©terminer le poids volumique de lâessence sachant que sa densitĂ© d=0,7. On donne : - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m/s2 - la masse volumique de lâeau Ï =1000 kg / m3 2 REPONSE Ï = d.Ï.g A.N. Ï = 0,7.1000.9,81 = 6867 N / m3 Exercice N°2: 1 ENONCE Calculer le poids P0 dâun volume V=3 litres dâhuile dâolive ayant une densitĂ© d=0,918. 2 REPONSE Po = d.Ï.V .g A.N. Po = 0,918.1000.3.10â3.9,81 = 27 N Exercice N°3: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 23-06-2003 1 ENONCE Quelle est lâinfluence de la tempĂ©rature sur la viscositĂ© ? 2 REPONSE Si la tempĂ©rature augmente la viscositĂ© diminue, et inversement. Exercice N°4: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 15-01-2004 1 ENONCE Convertir le stockes en m2 /s. 2 REPONSE Conversion du stockes : 1 Stockes =10â4 m2 / s Exercice N°5: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 24-06-2004 1 ENONCE Expliquer le principe de mesure d'un viscosimĂštre Ă chute de bille. 2 REPONSE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 8Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 :
Introduction Ă la mĂ©canique des fluides La viscositĂ© cinĂ©matique est proportionnelle au temps mis par une bille sphĂ©rique en chute pour descendre au fond dâun tube contenant un fluide de viscositĂ© inconnue. Exercice N°6: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003 1 ENONCE DĂ©terminer la viscositĂ© dynamique de lâhuile dâolive sachant que sa densitĂ© est 0,918 et sa viscositĂ© cinĂ©matique est 1,089 Stockes. 2 REPONSE ÎŒ = Ï.Ï A.N. ÎŒ = 918.1,089.10â4 = 0,1 Pa.s Exercice N°7: 1 ENONCE Du fuel portĂ© Ă une tempĂ©rature T=20°C a une viscositĂ© dynamique ÎŒ = 95.10â3 Pa.s . Calculer sa viscositĂ© cinĂ©matique Ï en stockes sachant que sa densitĂ© est d=0,95. On donne la masse volumique de lâeau est Ïeau =1000 kg / m3 2 REPONSE Îœ = ÎŒ A.N. Îœ = 95.10â3 =1.10â4 m2 / s =1 stockes Ïeau .d 1000.0,95 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 9Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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STATIQUE DES FLUIDES 1 INTRODUCTION Lors dâune plongĂ©e sous marine, on constate que la pression de lâeau augmente avec la profondeur. La pression dâeau exercĂ©e sur un sous-marin au fond de lâocĂ©an est considĂ©rable. De mĂȘme, la pression de lâeau au fond dâun barrage est nettement plus grande quâau voisinage de la surface. Les effets de la pression doivent ĂȘtre pris en considĂ©ration lors du dimensionnement des structures tels que les barrages, les sous marins, les rĂ©servoirs⊠etc. Les ingĂ©nieurs doivent calculer les forces exercĂ©es par les fluides avant de concevoir de telles structures. Ce chapitre est consacrĂ© Ă lâĂ©tude des fluides au repos. Les lois et thĂ©orĂšmes fondamentaux en statique des fluides y sont Ă©noncĂ©s. La notion de pression, le thĂ©orĂšme de Pascal, le principe dâArchimĂšde et la relation fondamentale de lâhydrostatique y sont expliquĂ©s. Le calcul des presses hydrauliques, la dĂ©termination de la distribution de la pression dans un rĂ©servoirâŠetc., sont basĂ©s sur les lois et thĂ©orĂšmes fondamentaux de la statique des fluides. 2 NOTION DE PRESSION EN UN POINT DâUN FLUIDE La pression est une grandeur scalaire. Câest lâintensitĂ© de la composante normale de la force quâexerce le fluide sur lâunitĂ© de surface. Elle est dĂ©finie en un point A dâun fluide par lâexpression suivante : dF r N dS A n 10
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Chapitre 2 :
Statique des fluides dFN P A = dS oĂč : dS : Surface Ă©lĂ©mentaire de la facette de centre A (en mĂštre carrĂ©), n : Vecteur unitaire en A de la normale extĂ©rieure Ă la surface, dFN : Composante normale de la force Ă©lĂ©mentaire de pression qui sâexerce sur la surface (en Newton), PA : pression en A (en Pascal), Sur la surface de centre A, dâaire dS, orientĂ©e par sa normale extĂ©rieure n , la force de pression Ă©lĂ©mentaire dF sâexprime par : dFN = âPA.dS.n Exemple : Chaque cm2 de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force) reprĂ©sentant le poids de l'atmosphĂšre. C'est la pression atmosphĂ©rique au niveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses cavitĂ©s (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air Ă la mĂȘme pression. Si on s'Ă©lĂšve de 5 000 m, la pression atmosphĂ©rique est deux fois plus faible qu'au niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tĂȘte est alors moitiĂ© moindre. DâoĂč la nĂ©cessitĂ© dâune pressurisation des avions. En plongĂ©e sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le bar: 1 bar = 1 kg / cm2 . Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 11Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Plus on descend en profondeur, plus la pression est Ă©levĂ©e car il faut tenir compte du poids de l'eau au-dessus de nous : Ă 10 mĂštres de profondeur, chaque cm2 de notre peau supportera un poids Ă©gal Ă : 1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = lâĂ©quivalent du poids dâ1 litre dâeau. Le poids dâun litre dâeau douce est Ă©gal Ă 1kg. Le poids dâun litre dâeau de mer est un plus important (Ă cause du sel quâelle contient) : 1,026 kg. En nĂ©gligeant cette diffĂ©rence, on considĂ©rera que de maniĂšre gĂ©nĂ©rale un litre d'eau pĂšse 1 kg. Par consĂ©quent, la pression due Ă l'eau Ă 10 m de profondeur est donc de 1 kg / cm2 , c'est-Ă -dire 1 bar. Si on descend Ă nouveau de -10 m, la pression augmentera Ă nouveau de 1 bar. Câest ce quâon appelle la pression hydrostatique (pression due Ă l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport Ă la surface. La pression hydrostatique (comme la pression atmosphĂ©rique) sâexerce dans toutes les directions (et pas simplement de haut en bas). Remarque : LâunitĂ© internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/mÂČ. Cette unitĂ© est trĂšs petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mĂ©canique, rĂ©sistance des matĂ©riaux , etc.,lâunitĂ© utilisĂ©e est le mĂ©ga pascal : 1 MPa= 1 N/mm2 =106 Pa En mĂ©canique des fluides on utilise encore trĂšs souvent le bar. Le bar est Ă©gal Ă peu prĂšs Ă la pression atmosphĂ©rique moyenne : 1 bar = 105 Pa. 3 RELATION FONDAMENTALE DE LâHYDROSTATIQUE ConsidĂ©rons un Ă©lĂ©ment de volume dâun fluide incompressible (liquide homogĂšne de poids volumiqueÏ ). Cet Ă©lĂ©ment de volume a la forme dâun cylindre dâaxe (G, u ) qui fait un angle α avec lâaxe vertical (O, Z ) dâun repĂšre R(O, X ,Y , Z ). Soit l la longueur du cylindre et soit dS sa section droite. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 12Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Statique des fluides Z u dF2 Z2 G 2 l dS α dF r i G G1 Z1 dF1 dPo Soit G1 dâaltitude Z1 et G2 dâaltitude Z2, les centres des sections droites extrĂȘmes. Etudions lâĂ©quilibre du cylindre Ă©lĂ©mentaire, celui-ci est soumis aux : - actions Ă distance : son poids : dPO = âÏ l dS Z - actions de contact : forces de pression sâexerçant sur : o la surface latĂ©rale : ÎŁdFi . o les deux surfaces planes extrĂȘmes : dF1 = âP1.dS.(âu) = P1.dS.u et dF2 = âP2 .dS.u .avec P1 et P2 les pressions du fluide respectivement en G1 et en G2. Le cylindre Ă©lĂ©mentaire Ă©tant en Ă©quilibre dans le fluide, Ă©crivons que la rĂ©sultante des forces extĂ©rieures qui lui sont appliquĂ©es est nulle : dPO + ÎŁdFi + dF1 + dF2 = 0 En projection sur lâaxe de symĂ©trie (G, u ) du cylindre, âÏ.l.dS.cosα + P1.dS â P2 .dS = 0 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 13Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Statique des fluides Exprimons la diffĂ©rence de pression P1 â P2 aprĂšs avoir divisĂ© par dS et remarquĂ© que l â cosα = Z2 â Z1 P1 â P2 =Ï.(Z2 â Z1 ) = Ïg(Z2 â Z1 ) : Relation fondamentale de lâhydrostatique. Autre forme plus gĂ©nĂ©rale : En divisant les deux membres de la relation prĂ©cĂ©dente par Ï : P1 + Z 1 = P2 + Z 2 . Ou encore P1 + Z = P2 + Z Ï Ï Ïg Ïg1 2 Comme G1 et G2 ont Ă©tĂ© choisis de façon arbitraire Ă lâintĂ©rieur dâun fluide de poids volumiqueÏ , on peut Ă©crire en un point quelconque dâaltitude Z, ou rĂšgne la pression p : Ï P + Z = Ï P g + Z = Cte 4 THEOREME DE PASCAL 4.1 EnoncĂ© Dans un fluide incompressible en Ă©quilibre, toute variation de pression en un point entraĂźne la mĂȘme variation de pression en tout autre point. 4.2 DĂ©monstration Supposons quâau point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne P1 + P1 . P1 Ă©tant un nombre algĂ©brique. Calculons la variation de pression P2 qui en rĂ©sulte en G1. Appliquons la relation fondamentale de lâhydrostatique entre G1 et G2 pour le fluide o Ă lâĂ©tat initial: P1 â P2 = Ï(Z2 â Z1 ) (1) o Ă lâĂ©tat final : (P1 + P1 ) â (P2 + P2 ) = Ï.(Z2 â Z1 ) (2) En faisant la diffĂ©rence entre les Ă©quations (2) et (1) on obtient : P1 â P2 = 0 . DâoĂč P1 = P2 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 14Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Statique des fluides 5 POUSSEE DâUN FLUIDE SUR UNE PAROI VERTICALE 5.1 HypothĂšses La paroi verticale possĂšde un axe de symĂ©trie (G,Y ). G est son centre de surface. Dâun cotĂ© de la paroi il y a un fluide de poids volumiqueÏ , de lâautre cotĂ©, il y a de lâair Ă la pression atmosphĂ©rique Patm. On dĂ©signe par PG la pression au centre de surface G du cotĂ© fluide. Y dF y G X yo 5.2 ElĂ©mentsde rĂ©duction du torseurdes forces de pression Connaissant la pression PG au point G, la pression PM au point M est dĂ©terminĂ©e en appliquant la relation fondamentale de lâhydrostatique : PM â PG = Ï.(YG âYM ) Dans le repĂšre (G, X , Y , Z ) dĂ©fini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc PM = PG âÏ.y Exprimons la force de pression en M : dF = (PG âÏ.y).dS.X r Soit {Ï poussĂ©e } le torseur associĂ© aux forces de pression relative : R = â«dF {Ï poussĂ©e }= ( S ) M G = â«GM ⧠dF s G Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 15Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Statique des fluides 5.2.1 RĂ©sultante R = â«(PG âÏ.y).dS.X r ( S ) que lâon peut Ă©crire en mettant en facteur les termes constants : r R = PG . â«dS âÏ. â«y.dS .X ( S ) ( S ) On note que â«dS = S (aire de la paroi), ( S ) â«y.dS = yG .S = 0 : Moment statique de la surface S par rapport Ă lâaxe (G, Z ), donc ( s) R = PG .S.X 5.2.2 Moment MG = â«GM ⧠dF Dans le repĂšre (G, X , Y , Z ) on peut Ă©crire: GM = y.Y r et dF = (PG âÏ.y).dS.X , donc M G = â«[y.Y r ⧠(PG âÏ.y).dS.X ] ( S ) X = âZ donc MG âÏ. â«y2 Sachant que Y ⧠= PG . â«y.dS .dS .(âZ ) ( S ) ( S ) On sait que â«y.dS = yG .S = 0 et â«y 2 .dS = I(G,Z r ) : Moment quadratique de la ( S ) ( S ) surface S par rapport Ă lâaxe (G, Z ) passant par le centre de surface G. Donc M G =Ï.I (G, Z r ) .Z En rĂ©sumĂ© : P .S.X G {Ï poussee }= Ï.I r .Z (G,Z ) G Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 16Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Statique des fluides 5.3 Centre de poussĂ©e On cherche Ă dĂ©terminer un point G0 oĂč le moment rĂ©sultant des forces de pression est nul. Compte tenu de lâhypothĂšse de symĂ©trie, si ce point existe il appartient Ă lâaxe (G,Y ) et il est tel que : M G0 = M G + G0G ⧠R = 0 . Ecrivons alors que : GG0 ⧠R = MG Avec les rĂ©sultats prĂ©cĂ©dents, on obtient : y0 .Y ⧠PG .S.X =Ï.I(G, Z s ) .Z , ce qui conduit Ă y0 = â Ï.I (G,Z r) Go existe, il sâappelle le centre de poussĂ©e de la paroi. Remarque : Le centre de poussĂ©e est toujours au-dessous du centre de surface G. 6 THEOREME DâARCHIMEDE 6.1 ĂnoncĂ© Tout corps plongĂ© dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussĂ©e) verticale, vers le haut dont l'intensitĂ© est Ă©gale au poids du volume de fluide dĂ©placĂ© (ce volume est donc Ă©gal au volume immergĂ© du corps). PARCH=Ïfluide.Vimm.g P r ARCH Solide immergĂ© S Fluide Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 17Auteur : Riadh BEN HAMOUDA PG .S
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Statique des fluides 6.2 DĂ©monstration Dans un fluide (E) de poids volumique Ï , imaginons un certain volume de fluide (E1) dĂ©limitĂ© par un contour fermĂ© (S) : dF r Volume imaginaire (E1) DĂ©limitĂ© par le contour S Fluide Volume (E2) extĂ©rieur au contour S Poids de (E1) Si le fluide est au repos, il est Ă©vident que (E1) est en Ă©quilibre sous lâeffet des actions mĂ©caniques extĂ©rieures suivantes : - Action de la pesanteur, modĂ©lisable par le torseur : {Ï( pes â E1 )} - Action des forces de pression dF du fluide (E2) qui entoure (E1) modĂ©lisable par le torseur :{Ï ( E2 â E1 )} On peut donc Ă©crire lâĂ©quation dâĂ©quilibre de (E1) :{Ï( pes â E1 )} + {Ï ( E2 â E1 )}= {}0 Nous savons quâen G, centre de gravitĂ© du fluide (E1) le torseur des forces de pesanteur se rĂ©duit Ă un glisseur :{Ï ( pes â E )}= P1 0G Il est donc Ă©vident quâau mĂȘme point G le torseur des forces de pression dF se rĂ©duira lui aussi Ă un glisseur : {Ï ( E2 â«dF â E1 )}= ( S ) 0 G LâĂ©quation dâĂ©quilibre de la portion de fluide (E1) sâĂ©crit : â«dF + P = 0 ( S ) Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 18Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides (E1) est ici une portion de fluide et P est le poids du fluide occupant le volume (E1). Si le volume (E1) est occupĂ© par un solide immergĂ© ayant le mĂȘme contour S, les forces de poussĂ©e sur ce contours (S) sont les mĂȘmes , ce qui revient Ă dire que la force de poussĂ©e ne dĂ©pend que du volume du fluide dĂ©placĂ© et non pas de la nature du solide immergĂ© (plomb, acier, etc). Conclusion : Tout corps solide immergĂ© dans un fluide en Ă©quilibre est soumis de la part de celui-ci Ă des forces de pression dF dont les actions mĂ©caniques sont modĂ©lisables au centre de gravitĂ© du fluide dĂ©placĂ© par un glisseur dont la rĂ©sultante est directement opposĂ©e au poids du fluide dĂ©placĂ©. {Ï ( E â E )}= â P 2 1 0 G Remarques : - 1er cas : Si le solide immergĂ© est homogĂšne alors le centre de poussĂ©e G, point dâapplication de la poussĂ©e dâArchimĂšde sera confondu avec le centre de gravitĂ© du solide. LâĂ©quilibre du solide est indiffĂ©rent. P r ARCH Solide immergĂ© S G Fluide Poids du solide - 2iĂšme cas : Si le solide immergĂ© est hĂ©tĂ©rogĂšne alors le centre de poussĂ©e G, point dâapplication de la poussĂ©e dâArchimĂšde nâest pas confondu avec le centre de gravitĂ© Gs du solide. LâĂ©quilibre du solide est stable si G est au dessus de GS. LâĂ©quilibre du solide est instable si G est au dessous de GS. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 19Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides P r ARCH Solide immergĂ© S G GS Fluide Poids du solide Position stable 7 CONCLUSION La statique des fluides est basĂ©e principalement sur les rĂ©sultats suivants: a) La diffĂ©rence de pression entre deux points est proportionnelle Ă leur diffĂ©rence de profondeur : P1 â P2 =Ï.(Z2 â Z1 ) = Ïg(Z2 â Z1 ) : Câest la relation fondamentale de lâhydrostatique, b) Toute variation de pression en un point engendre la mĂȘme variation de pression en tout autre point dâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pascal. c) Le torseur associĂ© aux forces de pression dâun fluide sur une paroi plane {Ï poussee P .S.X verticale est : G }= Ï.I r .Z (G,Z ) G Ï.I r d) La position du centre de poussĂ©e. est y0 = â (G,Z ) PG .S e) Tout corps plongĂ© dans un fluide subit une force verticale, orientĂ©e vers le haut câest la poussĂ©e dâArchimĂšde et dont l'intensitĂ© est Ă©gale au poids du volume de fluide dĂ©placĂ©. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 20Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 8 EXERCICES DâAPLICATION Exercice N°1: Extrait du devoir surveillĂ© du 30-10-2006 1 ENONCE La figure ci-dessous reprĂ©sente un cric hydraulique formĂ© de deux pistons (1) et (2) de section circulaire. Sous lâeffet dâune action sur le levier, le piston (1) agit, au point (A), par une force de pression FP1 / h sur lâhuile. Lâhuile agit, au point (B) sur le piston (2) par une force F h / p2 On donne : - les diamĂštres de chacun des pistons : D1 = 10 mm; D2 = 100 mm. - lâintensitĂ© de la force de pression en A : Fp1/h = 150 N. Z ZA=ZB Travail demandĂ© : 1) DĂ©terminer la pression PA de lâhuile au point A. 2) Quelle est la pression PB ? 3) En dĂ©duire lâintensitĂ© de la force de pression Fh/p2. 2 REPONSE 1) Pression PA de lâhuile au point A: PA = 4.F P1/ h A.N PA = 4.150 =19.105 Pa 2 Ï.D 2 Ï.0,01 1 2) RFH entre A et B: PA â PB =Ï.(ZB â Z A ) , or ZA = ZB donc PB = PA =19.105 Pascal . 3) Force de pression en B : F h / P2 =P B . Ï.D2 .N. Fh / P2 =19.105. Ï.0,12 =14922,56 N2 44 Commentaire: On constate que la force Fp1/h = 150 N est relativement faible par rapport Ă Fh/P2=14922,56 N. Avec ce systĂšme nous avons atteint un rapport de Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 21Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides rĂ©duction de force de presque 100. Ce rapport correspond au rapport des diamĂštres des cylindres. On utilise souvent le mĂȘme principe de rĂ©duction dâeffort dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique). Exercice N°2: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2004 1 ENONCE La figure ci-dessous reprĂ©sente un rĂ©servoir ouvert, Ă©quipĂ© de deux tubes piĂ©zomĂ©triques et rempli avec deux liquides non miscibles : - de l'huile de masse volumique Ï1=850 kg/m3 sur une hauteur h1=6 m, - de l'eau de masse volumique Ï1=1000 kg/m3 sur une hauteur h2=5 m. Z Tubes piĂ©zomĂ©triques E A D h1 huile B h2 eau C On dĂ©signe par: - A un point de la surface libre de l'huile, - B un point sur l'interface entre les deux liquides, - C un point appartenant au fond du rĂ©servoir - D et E les points reprĂ©sentants les niveaux dans les tubes piĂ©zimĂ©triques, - (O, Z ) est un axe vertical tel que ZC=O. Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points: 1) B et A. En dĂ©duire la pression PB (en bar) au point B. 2) A et E. En dĂ©duire le niveau de l'huile ZE dans le tube piĂ©zomĂ©trique. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 22Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 3) C et B. En dĂ©duire la pression PC (en bar) au point C. 4) C et D. En dĂ©duire le niveau de l'eau ZD dans le tube piĂ©zomĂ©trique. 2 REPONSE 1) RFH entre B et A : PB â PA = Ï1 g(Z A â ZB ) Or PA=Patm et ZA-ZB=h1 Donc PB = Patm + Ï1 g.h1 A.N. PB =105 +850.9,81.6 =150031 Pa =1,5 bar 2) RFH entre A et E : PA â PE = Ï1 g(ZE â Z A ) Or PA=PE=Patm Donc ZE = Z A = h1 + h2 A.N. ZE = 6 +5 =11 m 3) RFH entre C et B : PC â PB = Ï2 g(ZB â ZC ) Or ZB-ZC=h2 Donc PC = PB + Ï2 g.h2 A.N. PC =150031+1000.9,81.5 =199081 Pa = 2 bar 4) RFH entre C et D : PC â PD = Ï2 g(ZD â ZC ) Or PD=Patm et ZC=0 ZD = P â P ZD = 199081â105 =10,1 mDonc C atm A.N.Ï2 .g 1000.9,81 Exercice N°3: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2007 1 ENONCE Soit un tube en U fermĂ© Ă une extrĂ©mitĂ© qui contient deux liquides non miscibles. Z Z1 (1) Z3 hâ (3) Essence h Z2 (2) Mercure Entre les surfaces : - (1) et (2) il sâagit de lâessence de masse volumique Ïessence=700 kg/m3 . - (2) et (3), il sâagit du mercure de masse volumique Ïmercure=13600 kg/m3 . La pression au-dessus de la surface libre (1) est P1=Patm=1 bar. LâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur est g=9,8 m/s2 . La branche fermĂ©e emprisonne un gaz Ă une pression P3 quâon cherche Ă calculer. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 23Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de lâHydrostatique) pour lâessence, calculer la pression P2 (en mbar) au niveau de la surface de sĂ©paration (2) sachant que h= (Z1-Z2)= 728 mm. 2) De mĂȘme, pour le mercure, calculer la pression P3 (en mbar) au niveau de la surface (3) sachant que hâ= (Z3-Z2)= 15 mm. 2 REPONSE 1) RFH pour lâessence : P2 â P1 = Ïessence .g.(Z1 â Z2 ) P2 = P1 + Ïessence .g.h A.N. P2 =105 +700.9,8.0,728 =1,05.105 pascal =1050 mbar 2) RFH pour le mercure : P2 â P3 = Ïmercure .g.(Z3 â Z2 ) P3 = P2 â Ïmercure .g.h' A.N. P3 =1050.103 â13600.9,8.0,15 =1,03.105 pascal =1030 mbar Exercice N°4: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003 1 ENONCE Z (1) (4) Alcooles h1 Eau h2 (2) (3) Mercure Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimĂštres. On verse dans lâune des branches un mĂ©lange dâeau - alcool Ă©thylique qui forme une colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lâautre branche, on verse de lâeau pure de masse volumique 1000 kg/m3 , jusquâĂ ce que les deux surfaces du mercure reviennent dans un mĂȘme plan horizontal. On mesure alors la hauteur de la colonne dâeau h2=24 cm. 1) Appliquer la relation fondamentale de lâhydrostatique pour les trois fluides. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 24Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 2) En dĂ©duire la masse volumique du mĂ©lange eau â alcool Ă©thylique. 2 REPONSE 1) Relation fondamentale de lâhydrostatique : Alcool : P2 â P1 = Ïalcool .g.h1 Mercure : P2 â P3 = 0 Eau : P3 â P4 = Ïeau .g.h2 2) On sait que P1=P2=Patm et P2=P3 donc Ïalcool .g.h1 = Ïeau .g.h2 Donc Ï alcool =Ï eau . h2 A.N. Ïalcool =1000. 24 = 800 kg / m3 h 301 Exercice N°5: 1 ENONCE On considĂšre un tube en U contenant trois liquides: Z Z0 eau essence Z3 Z2 Z1 mercure - de lâeau ayant une masse volumique Ï1 = 1000 kg/m3 , - du mercure ayant une masse volumique Ï2 = 13600 kg/m3 , - de lâessence ayant une masse volumique Ï3 = 700 kg/m3 . On donne : Z0 â Z1 = 0,2 m Z3 â Z2 = 0,1 m Z1 + Z2 = 1,0 m Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 25Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides On demande de calculer Z0, Z1, Z2 et Z3. 2 REPONSE DâaprĂšs (RFH), chapitre 2, on peut Ă©crire: P1 â P0 = Ï1.g.( Z0 â Z1) P2 â P1 = Ï2.g.( Z1 â Z2) P3 â P2 = Ï3.g.( Z2 â Z3) Puisque que P0 = P3 = Patm, en faisant la somme de ces trois Ă©quations on obtient : Ï1.( Z0 â Z1) + Ï2.( Z1 â Z2) + Ï3.( Z2 â Z3) = 0 â (Z 2 â Z ) = Ï1.(Z 0 â Z ) â Ï3 .(Z 3 â Z 2 )A.N: (Z2 â Z1) = 0,0096 m 1 Ï 2 1 Ï 2 or (Z1 + Z2) = 1,0 m donc etZ2 = 0,5048 m Z1 = 0,4952 m (Z3 â Z2) = 0,1 m donc Z3 = 0,6048 m (Z0 â Z1) = 0,2 m donc Z0 = 0,6952 m Exercice N°6: 1 ENONCE Y r (S) h=60 G yo Zr Go b = 200 m La figure ci-dessus reprĂ©sente un barrage ayant les dimensions suivantes : longueur b=200 m, hauteur h=60 m Le barrage est soumis aux actions de pression de lâeau. Le poids volumique de lâeau est :Ï = 9,81.103 N / m3 . On demande de : Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 26Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 1) Calculer lâintensitĂ© de la rĂ©sultante R des actions de pression de lâeau. 2) Calculer la position y0 du centre de poussĂ©e G0. 2 REPONSE 1) Calcul de R : R = PG .S , On applique la RFH entre le point G et un point A Ă la surface de lâeau on obtient : PG =Ï. h 2 + PA En A, sommet du barrage, la pression de lâeau est supposĂ© Ă©gale Ă la pression atmosphĂ©rique. La surface du barrage est : S = b.h , donc : R = (P +Ï. h ).b.h R = (105 +9810. 60 ).200.60 = 4,73.109 N atm 2 A.N. 2 . . 2) Calcul de y0 : y0 = â Ï.I (G,Z r ) r R Le moment quadratique I r = b.h3 , donc (G,Z ) 12 Ï. bh3 9810. 200.603 y0 r12 y0 = â 12 = â7,46 m= â A.N. 4,73.109 R Commentaire: On remarque que le centre de poussĂ©e est trĂšs au dessous du centre de surface. Dans le calcul de stabilitĂ© du barrage il est hors de question de confondre ces deux points. Exercice N°7: 1 ENONCE Un piston de vĂ©rin a un diamĂštre d=60 mm. Il rĂšgne au centre de surface G du piston une pression de 40 bar, soit environ PG=4 MPa. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 27Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Y Ă d = 60 G Z yo o Lâhuile contenue dans le vĂ©rin a un poids volumiqueÏ = 9,81.0,8.103 N / m3 . On demande de : 1) Calculer lâintensitĂ© de la rĂ©sultante R des actions de pression de lâhuile. 2) Calculer la position y0 du centre de poussĂ©e G0. 2 REPONSE 1) Calcul de R : R = PG .S avec S = Ï.d 2 , donc R = PG . Ï.d 2 A.N. R = 11,3.10 3 N4 4 2) Calcul de y0 : Ï. I r(G avec I (G, z) = Ï.d 4 Ï. Ï.d 4 y0 = â ,Z r ) , donc y0 = â r64 R 64 R 9810.0,8. Ï.0,064 64 = 4,4.10â7 mA.N. y0 = â 11,3.103 Commentaire: On remarque que le centre de poussĂ©e est trĂšs voisin du centre de surface. Dans le calcul de poussĂ©e du vĂ©rin il est, donc, tout Ă fait normal de les confondre. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 28Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Exercice N°8: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003 1 ENONCE Un rĂ©servoir de forme parallĂ©lĂ©pipĂ©dique ayant les dimensions suivantes : - hauteur h = 3m, - longueur L1= 8 m, - largeur L2 = 6 m. est complĂštement remplie dâhuile de masse volumique Ï = 900 kg / m3 . h L2 L1 1) Calculer le module de la rĂ©sultante des forces de pression sur chaque surface du rĂ©servoir (les quatre faces latĂ©rale et le fond). 2) DĂ©terminer pour les surfaces latĂ©rales la position du point dâapplication (centre de poussĂ©e). 2 REPONSE 1) R = PG .S Sur les parois latĂ©rales : R1 =Ï. h .h.L1 = 1 .Ï.g.h2 .L1 A.N. R 1 = 1 .900.9,81.32.8 = 317844 N 2 2 2 R2 =Ï. h .h.L2 = 1 .Ï.g.h2.L2 A.N. R2 = 1.900.9,81.32.6 = 238383 N 2 2 2 Sur le fond du rĂ©servoir : Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 29Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides R3 =Ï.h.L1.L2 = Ï.g.h.L1 L2 A.N. R3 = 900.9,81.3.6.8 =1271376 N 2) Les points dâapplication sont Ă h =1 m du fond pour les faces latĂ©rales.3 Exercice N°9: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 02-06-2008 1 ENONCE On considĂšre un rĂ©cipient en forme de parallĂ©lĂ©pipĂšde de largeur b=2 m, ouvert Ă lâair libre et rempli jusquâĂ une hauteur h=1,5 m avec du mercure de masse volumique Ï=13600 kg/m3 . Y G X h b Z On dĂ©signe par: - G le centre de gravitĂ© de la surface mouille S. - (G, X ,Y , Z ) un R.O.D. oĂč X est orthogonal Ă S et Y est vertical. On donne lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m/s2 . 1) En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer la pression PG. 2) DĂ©terminer lâintensitĂ© de la rĂ©sultante R des forces de pression agissant sur S. 3) Calculer le moment quadratique I(G,Z r ) de la surface S. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 30Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 4) Calculer la position Y0 du centre de poussĂ©e. 2 REPONSE 1) RFH entre G et M : PG â PM = Ï.g.(YM âYG ) or YM=h/2 , YG=0 et PM=Patm donc PG = Patm + Ï.g. h 2 A.N. PG =105 +13600.9,81. 1 2 ,5 = 2.105 = 2 bar 2) IntensitĂ© de la rĂ©sultante : R = PG .S = PG .bh A.N. R = 2.105.2.1,5 = 6.105 N 3) Moment quadratique : I (G,Z r ) = bh3 A.N. I(G,Z r ) = 2.1,53 = 0,5625 m 4 12 12 4) Position du centre de poussĂ©e : Yo = â Ï.I(G,Z r ) r R A.N. Yo = â 13600.9,81.0,5625 = â0,125 m 6.10 5 Exercice N°10: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 23-05-2003 1 ENONCE On considĂšre un aquarium gĂ©ant utilisĂ© dans les parcs dâattraction reprĂ©sentĂ© par la figure suivante : O X ZR H r vitre a=2 mR G0 Z 1 m Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 31Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Il est rempli dâeau Ă une hauteur H= 6m, et Ă©quipĂ© dâune partie vitrĂ©e de forme rectangulaire de dimensions (2m x 3m) qui permet de visualiser lâintĂ©rieur. Travail demandĂ© : 1) ReprĂ©senter le champ de pression qui sâexerce sur la partie vitrĂ©e. 2) DĂ©terminer le module de la rĂ©sultante R des forces de pression. 3) Calculer la profondeur ZR du centre de poussĂ©e. 4) Reprendre les questions 2. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la partie vitrĂ©e par une forme circulaire de diamĂštre d= 2m. 2 REPONSE 1) Le champ de pression agissant sur le vitrage a lâallure suivante : O X H 2 m Z 1 m 2) Si on nĂ©glige la pression atmosphĂ©rique, la rĂ©sultante des forces de pressions : R = PG .S.X avec S = a.b donc R = Ï.g.S.Z g A.N. R =1000.9,81.6.4 = 235440 N 3) La profondeur ZR du centre de poussĂ©e est donnĂ©e par lâexpression suivante : ZR = I (G,Y r ) + ZG I (G,Y r ) 23.3 = 2 m 4 ou = A.N. ZR = 4,0833 m ZG .S 12 4) Cas dâune partie vitrĂ©e de forme circulaire de diamĂštre d= 2 m : S = Ï.d 2 = 3,141 m 2 , I (G,Y r ) = Ï.d 4 = 0,785 m 4 4 64 R = Ï.g.S.Z g A.N. R =123252 N Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 32Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides ZR = I (G,Y r ) + ZG A.N. ZR = 0,785 + 4= 4,0625 m ZG .S 4.3,14 Exercice N°11: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 30-10-2006 1 ENONCE Une vanne de vidange est constituĂ©e par un disque de diamĂštre d pivotant autour dâun axe horizontal (G, Z ). Le centre G du disque est positionnĂ© Ă une hauteur h=15,3 m par rapport au niveau dâeau. Y h eau G X On donne : - le diamĂštre de la vanne : d = 1 m, - la pression atmosphĂ©rique Patm = 1 bar, - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m/s2 , - la masse volumique de lâeau Ï=1000 kg/m3 . Travail demandĂ© : 1) DĂ©terminer le poids volumique de lâeau. 2) DĂ©terminer la pression PG de lâeau au point G. 3) Calculer lâintensitĂ© de la poussĂ©e R sur le disque. 4) Calculer le moment quadratique I(G,Z r ) du disque par rapport Ă lâaxe (G, Z ). 5) Calculer le moment M r G des forces de pression agissant sur le disque. 6) DĂ©terminer la position du centre de poussĂ©e y0. 2 REPONSE 1) Poids volumique Ï = Ï.g Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 33Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides A.N. Ï =1000.9,81 = 9810 N / m3 2) Pression au point G PG = Patm +Ï.h . A.N. PG =105 +9810.15,3 = 2,5 .105 Pascal 3) IntensitĂ© de la poussĂ©e R s = PG . Ï.d 2 4 A.N. R s = 2,5.105. Ï.12 =196349,5 N 4 4) Moment quadratique I (G,Z r ) = Ï.d 4 64 A.N. I(G,Zr) = Ï.14 = 0,049 m4 64 5) Moment des forces de pression M G =Ï.I (G,Z r ) .Z A.N. M G = 9810.0,049 = 480,6 N.m 6) Position centre de poussĂ©e : yc = â Ï.I (G ,Z r ) r R A.N. yc = â 9810.0,049 = 2,44.10â3 m 196349,5 Exercice N°12: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2004 1 ENONCE Une conduite AB de longueur L =646 mm est soudĂ©e sur un rĂ©servoir cylindrique de diamĂštre D = 3 m. Le rĂ©servoir est rempli jusqu'au point A avec du pĂ©trole brut de densitĂ© d = 0,95. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 34Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Yr Y r A A L B B r r X Z G ĂD G R r y0 G0 G0 Surface S Le repĂšre (G, X ,Y , Z ) a Ă©tĂ© choisit tel que G est le centre de la surface circulaire S (fond de rĂ©servoir). (G, X ) est l'axe de rĂ©volution du rĂ©servoir et (G,Y ) est vertical. On donne: - la masse volumique de l'eau Ïeau=1000 kg/m3 , - l'accĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m.s-2 , - la pression PA=Patm=1bar. Travail demandĂ© : 1) Quelle est la masse volumique Ï du pĂ©trole? 2) En dĂ©duire son poids volumique Ï . 3) En appliquant la RFH entre G et A, dĂ©terminer la pression PG au point G. 4) Calculer le module de la rĂ©sultante R des forces de pression du pĂ©trole sur le fond du rĂ©servoir. 5) Calculer le moment quadratique I(G,Z r ) de la surface circulaire S par rapport Ă l'axe (G, Z ). 6) DĂ©terminer la position y0 du centre de poussĂ©e G0. 2 REPONSE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 35Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 1) Masse volumique du pĂ©trole: Ï = d.Ïeau A.N. Ï = 0,95.9,81 = 950 kg / m3 2) Poids volumique : A.N. Ï = 950.9,81 = 9319,5 N / m3 Ï = Ï.g 3) RFH entre G et A : PG â PA = Ï.g(YA âYG ) Or PA=Patm et YG=0 Donc PG = Patm + Ï.g.(L + D 2 ) A.N. PG =105 +950.9,81.(0,646 +1,5) =119999,64 Pa =1,2 bar 4) IntensitĂ© de la rĂ©sultante : Rr = PG .Ï.D2 4 A.N. R r =119999,64. Ï.32 = 848227,47 N 4 5) Moment quadratique: I(G,Zr) = Ï.D4 A.N. I(G,Z r ) = Ï.34 = 3,976 m4 64 64 6) Position du centre de poussĂ©e : y0 = â Ï.I(G,Z r ) r R A.N. y0 = â 9319,5.3,976 = â0,04368 m 848227,47 Exercice N°13: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2007 1 ENONCE Suite au naufrage dâun pĂ©trolier, on envoie un sous-marin pour inspecter lâĂ©pave et repĂ©rer dâĂ©ventuelles fuites. LâĂ©pave repose Ă une profondeur h= 1981 m. On donne : - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g= 9,8 m/s2 , - la pression atmosphĂ©rique Patm= 1 bar, - la masse volumique de lâeau de mer est Ï = 1025 kg/m3 , Le sous marin est Ă©quipĂ© dâun hublot vitrĂ© de diamĂštre d= 310 mm., de centre de gravitĂ© G, et de normale ( (G, X ) est situĂ© dans un plan vertical (G,Y , Z ) . Lâaxe (G, Z ) est vertical. Travail demandĂ© : 1) Calculez la pression PG de lâeau Ă cette profondeur au point G. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 36Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 2) Quelle est lâintensitĂ© ( R ) de la rĂ©sultante des actions de pression de lâeau sur le hublot ? 3) Calculer le moment quadratique I(G,Z r ) du hublot. 4) Quelle est lâintensitĂ© ( M G ) du moment des actions de pression de lâeau sur le hublot ? 2 REPONSE 1) RFH entre le point G et un point M Ă la surface : PG â PM = Ï.g.( Z M â ZG )= Ï.g.h PG = Patm + Ï.g.h A.N. PG =105 +1025.9,8.1981 = 200.105 pascal = 200 bar 2) IntensitĂ© de la rĂ©sultante : R r = PG .S = PG . Ï. 4 d 2 A.N. R r = 200.105. Ï.0,3102 =15.105 N 4 3) Moment quadratique : I(G,Y r ) = Ï 64 .d4 A.N I(G,Yr) = Ï.0 64 ,3104 = 4,533.10â4 m4 4) IntensitĂ© du moment : M G =Ï.I(G,Y r ) A.N M G =1025.9,8.4,533.10â' = 4,5 Nm Exercice N°14: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 11-11-2003 1 ENONCE La figure ci-dessous reprĂ©sente une vanne de sĂ©curitĂ© de forme rectangulaire destinĂ©e Ă un barrage. Elle permet dâĂ©vacuer lâeau stockĂ©e dans le barrage surtout lorsque le niveau du fluide devient Ă©levĂ©. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 37Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Les dimensions de la vanne sont : b=4 m et h= 2 m. Sa partie supĂ©rieure affleure la surface du plan dâeau. Un repĂšre (G, X ,Y , Z ) est reprĂ©sentĂ© sur la figure tel que : G est le centre de surface de la vanne. On donne : la masse volumique de lâeau Ï =1000 kg/m3 et lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m/s2 , y A h x r G (vanne) Travail demandĂ© : 1) En nĂ©gligeant la pression atmosphĂ©rique, calculer la pression PG de lâeau au centre de gravitĂ©. 2) DĂ©terminer la rĂ©sultante R des forces de pression. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 38Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 3) DĂ©terminer le moment M r G des forces de pression. 4) Calculer lâordonnĂ©e y0 du centre de poussĂ©e. 2 REPONSE 1) RFH entre G et A: PG â PA = Ï.g.( yA â yG ) Or yG=0, yA=h/2, PA=Patm (nĂ©gligĂ©e) Donc PG = Ï.g. h 2 A.N. PG =1000.9,81.1 = 9819 Pa 2) R r = PG .S.x r avec S = b.h donc R r = PG .bh.x r A.N. R = 9810.4.2 = 78480 N bh3 r 3) MG = Ï.g.I(G, z r ) .z Avec I (G, z r) = 12 Donc M r G = Ï.g. bh3 .z r 12 A.N. M r G =1000.9,81.4.8 = 26160 N 12 4) y0 = â M r G r R A.N. y0 = â 78480 26160 = â0,33 m Exercice N°15: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 29-10-2002 1 ENONCE On considĂšre un rĂ©servoir dâeau Ă©quipĂ© au niveau de sa base dâune plaque rectangulaire qui peut tourner dâun angle (Ξâ©0 ) autour dâun axe (A, Z ). Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 39Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Y Y Patm O Vue suivant X de la plaque Patm a h eau Ξ b X G Z d Axe de rotation A Dâun cotĂ©, la plaque est soumise aux forces de pression de lâeau et de lâautre cotĂ©, elle est soumise Ă la pression atmosphĂ©rique (Patm). Sous lâeffet des forces de pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure dâune façon naturelle la fermeture Ă©tanche (Ξ = 0 ) ou lâouverture (Ξâ©0 ) du rĂ©servoir. Lâobjectif de cet exercice est de dĂ©terminer la valeur h0 du niveau dâeau Ă partir de laquelle le rĂ©servoir sâouvre automatiquement. On donne : - le poids volumique de lâeau :Ï = 9,81.103 N / m3 - les dimensions de la plaque : a=0,75 m (selon lâaxe Z ) , b=1,500 (selon lâaxe Y ) - la distance entre le centre de surface G et lâaxe de rotation (A, Z ) est : d=50 mm - la pression au point O est Po=Patm Travail demandĂ© : 1) En appliquant le principe fondamental de lâhydrostatique, donner lâexpression de la pression de lâeau PG au centre de surface G en fonction de la hauteur h. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 40Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 2) DĂ©terminer les expressions de la rĂ©sultante R et du moment MG associĂ©s au torseur des forces de pression hydrostatique dans le repĂšre (G, X ,Y , Z ). 3) En dĂ©duire lâexpression du moment M A des forces de pression de lâeau, par rapport Ă lâaxe de rotation (A, Z ). 4) Donner lâexpression du moment M 'A des forces de pression atmosphĂ©rique agissant sur la plaque, par rapport Ă lâaxe de rotation (A, Z ). 5) A partir de quelle valeur h0 du niveau dâeau la plaque pivote (Ξâ©0 ) ? 2 REPONSE 1) Principe fondamental de lâhydrostatique : P â P =Ï.(Y âY ) or Y = h â b ; G 0 0 G 0 2 b YG = 0 et P0 = Patm Donc PG = Patm +Ï. h â 2 b 2) R = P .S.X avec S = a.b donc R = P atm +Ï. h â .a.b.XG 2 MG =Ï.I (G, z).Z3) avec I = a.b3 donc MG =Ï. ab3 .Z 1 2 1 2 a.b3 b M A =MG + AG ⧠R avec AG = d.Y donc M A = Ï. â d. P +Ï . h â .a.b .Z 12 a tm 2 4) M A ' = Patm .a.b.d.Z La plaque pivote (Ξ < 0 ) si (M A + M A ').Z < 0 b2 b 5) ou encore Ï .a.b. â d. h â < 0 2 1 2 b b 2 1 b Equivaut Ă h > + h = b. + A.N. h = 4,5 m 2 d donc 0 2 12.d 0 Exercice N°16: 1 ENONCE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 41
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Chapitre 2 :
Statique des fluides On considĂšre une sphĂšre pleine en bois de rayon r=20 cm et une sphĂšre creuse en acier de rayon r=20 cm et dâĂ©paisseur e=8 mm. On suppose que le volume compris entre 0 et (r-e) est vide. On donne : - la masse volumique du bois : Ïbois = 700 kg/m3 - la masse volumique de lâacier : Ïacier = 7800 kg/m3 - la masse volumique de lâeau : Ïeau = 1000 kg/m3 1) DĂ©terminer le poids dâune chaque sphĂšre. 2) DĂ©terminer la poussĂ© dâArchimĂšde qui sâexercerait sur chacune de ces sphĂšres si elles Ă©taient totalement immergĂ©es dans lâeau. 3) Ces sphĂšres pourraient-elles flotter Ă la surface de lâeau ? 4) Si oui quelle est la fraction du volume immergĂ© ? 2 REPONSE 1) Poids de chaque sphĂšre: poids Ï poids bois = Ï bois .g.( 4 .Ï.r3 ) A.N.= .g.V 3 poidsacier = Ïaciers .g.[( 4.Ï.r3 ) â( 4.Ï.(r âe)3 )]poidsbois = 700 Ă9,8Ă0,0335 = 230 N 3 3 A. N. poidsacier = 7800 Ă9,8 Ă0,00386 = 295 N 2) PoussĂ©e dâArchimĂšde : La poussĂ© dâArchimĂšde est Ă©gale au poids du volume dĂ©placĂ©. Or lorsquâelles sont totalement immergĂ©es, ces deux sphĂšres vont dĂ©placer le mĂȘme volume e volume donc: PARCH = Ïeau .g.( 4 3.Ï.r 3 ) A.N. PARCH =1000 Ă9,8 Ă0,0335 = 328 N 3) Ces deux sphĂšres peuvent toutes les deux flotter car leurs poids sont infĂ©rieurs Ă la poussĂ© dâArchimĂšde. 4) A lâĂ©quilibre la poussĂ© dâArchimĂšde est Ă©gale au poids : 5) 230 = 1000.9,8.Vbois immergĂ©âVbois immergĂ© = 0,0234 m3 soit F=70%. 295 = 1000.9,8.Vacier immergĂ© â Vacier immergĂ© = 0,0301 m3 soit F=90%. Exercice N°17: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 15-01-2007 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 42Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 1 ENONCE Une sphĂšre de rayon R=10 cm flotte Ă moitiĂ© (fraction du volume immergĂ© F1=50 %) Ă la surface de lâeau de mer (masse volumique Ïmer=1025 kg/m3 ). 1) DĂ©terminer son poids P. 2) Quelle sera la fraction du volume immergĂ© F2 si cette sphĂšre flottait Ă la surface de lâhuile (masse volumique Ïhuile=800 kg/m3 ) ? 2 REPONSE 1) Equation dâĂ©quilibre : Poids = PARCH = F1 .V.Ïmer .g = F1. 4 3 Ï.R3 .Ïmer .g A.N. Poids = 1 2 4 3 Ï0,13.1025.9,81 = 21 N 2) Poids = PARCH â F2 .V.Ïhuile .g = Poids Ăquivaut Ă F2 = 1 Ïmer AN. F2 = 1 1025 = 64% 2 Ïhuile 2 800 Exercice N°18: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2007 1 ENONCE La glace Ă -10°C a une masse volumique Ïglace= 995 kg/m3 . Un iceberg sphĂ©rique de 1000 tonnes flotte Ă la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique Ïeau = 1025 kg/m3 . glace Eau de mer Travail demandĂ© : 1) DĂ©terminer la fraction F du volume immergĂ©e ? 2) Quelle sera F si la glace avait une forme cubique ? 2 REPONSE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 43Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 1) Equation dâĂ©quilibre : Parch=Poids â Ïglace .g.Vtotal = Ïeau .g.VimmergĂ© donc F = VimmergĂ© .100 = Ïglace .100 V total Ï eau A.N. F = 1025 995 .100 = 97% 2) La fraction F ne dĂ©pend que du rapport des masses volumiques. Elle est indĂ©pendante de la forme. Donc F=97% si la forme Ă©tait cubique. Exercice N°19: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 20-06-2005 1 ENONCE Un cube en acier de cotĂ© a=50 cm flotte sur du mercure. h a On donne les masses volumiques : - de lâacier Ï1= 7800 kg/m3 - du mercure Ï2= 13600 kg/m3 1) Appliquer le thĂ©orĂšme dâArchimĂšde, 2) DĂ©terminer la hauteur h immergĂ©e. 2 REPONSE 1) ThĂ©orĂšme dâArchimĂšde : la poussĂ©e dâArchimĂšde est Ă©gal au poids du volume dĂ©placĂ©: PARCH = a2 .h.Ï2 .g . 2) Equation dâĂ©quilibre : PARCH = Poids Donc a2 .h.Ï2 .g = a3 .Ï1.g Ă©quivaut Ă h = Ï1 .a Ï2 A.N. h = 13600 7800 .50 = 28,676 cm Exercice N°20: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003 1 ENONCE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 44Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides On considĂšre une plate-forme composĂ©e dâune plaque plane et de trois poutres cylindriques en bois qui flottent Ă la surface de la mer. Plaque Bois d Eau de mer On donne: - les dimensions dâune poutre: diamĂštre d=0,5 m et longueur L=4 m, - la masse volumique du bois : Ïbois = 700 kg / m3 , - la masse volumique de lâeau de mer: Ïmer =1027 kg / m3 , - la masse de la plaque Mc = 350 kg, - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m/s2 . Travail demandĂ©: 1) Calculer le poids total P0 de la plate-forme. 2) Ecrire lâĂ©quation dâĂ©quilibre de la plate-forme. 3) En dĂ©duire la fraction F(%) du volume immergĂ© des poutres. 4) DĂ©terminer la masse Mc maximale quâon peut placer sur la plate-forme sans lâimmerger. 2 REPONSE 1) Poids total de la plate-forme : P0 = (M p +3.M b ).g = (M p +3.Ïbois . Ï. 4 d 2 .L) Ï.0,5 2 A.N. P 0 350 +3.700. .4 =19613,49 N= 4 . 9, 81 2) Equation dâĂ©quilibre : P0 = PoussĂ©e dâArchimĂšde 3) PARCH= poids du volume dâeau dĂ©placĂ© P ARCH =3.Ï eau .V immerg e .g =P o â V immer g = P0 3.Ïeau .g Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 45Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides F (%) = V immerge .100 = P .100La fraction du volume immergĂ© : 0 V poutre 3.Ïeau .g.V poutre A.N. F(%) = 19613,49 .100 = 82,62 % Ï.0,5 2 .43. 1027. 9,81. 4 4) Poutre complĂštement immergĂ©e : F(%)=100 % c'est-Ă -dire VimmergĂ©=Vpoutre P0 + MC .g =Vpoutre . On obtient : M c = 1 .(3.Ïeau g.Vpoutre â Po ) g3.Ïeau .g A.N. 1 3.1027.9,81. Ï.0,5 2 M c = . .4 â19613,49 = 420,47 kg 9,81 4 Exercice N°21: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 31-05-2004 1 ENONCE La figure ci-dessous reprĂ©sente un montage destinĂ© pour la pĂȘche Ă la ligne. (2) (3) Eau de mer (1) Il est composĂ© dâune sphĂšre pleine (1) de rayon R1 =10 mm en plomb suspendu, par lâintermĂ©diaire dâun fil souple et lĂ©ger (3), Ă un flotteur (2) en forme de sphĂšre creuse en matiĂšre plastique de rayon R2=35 mm et dâĂ©paisseur e=5 mm. On donne : - la masse volumique de lâeau de mer : Ï =1027 kg/m3 , Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 46Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides - la masse volumique du plomb : Ï1 =11340 kg/m3 , - la masse volumique du matĂ©riau du flotteur : Ï2 =500 kg/m3 , - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81m.s-2 . Travail demandĂ©: 1) Calculer le poids P1 de la sphĂšre (1). 2) DĂ©terminer la poussĂ©e dâArchimĂšde PARCH1 qui agit sur la sphĂšre (1). 3) Ecrire lâĂ©quation dâĂ©quilibre de la sphĂšre (1). En dĂ©duire la tension T du fil. 4) Calculer le poids P2 du flotteur (2). 5) Ecrire lâĂ©quation dâĂ©quilibre du flotteur. En dĂ©duire la poussĂ©e dâArchimĂšde PARCH2 agissant sur la sphĂšre (2). 6) En dĂ©duire la fraction F% du volume immergĂ© du flotteur. 2 REPONSE 41) Poids de la sphĂšre (1) : P1 = 4 ÏR1 3 .Ï1 .gA.N. P1 = Ï.0,013.11340.9,81 = 0,4659N 33 2) PoussĂ©e dâArchimĂšde sur la sphĂšre (1) : PARCH1 = 4 ÏR1 3 .Ï .g 3 A.N. PARCH1= 4 3Ï.0,013.1027.9,81=0,0422 N 3) Equation dâĂ©quilibre : T r + P1 + PARCH = O Tension du fil : T=P1-PARCH1 A.N. T=0,4659-0,0422=0,4237 N 4) Poids du flotteur (2) : P2 = 4 3Ï[R2 3 â(R2 âe)3 ].Ï2.g A.N. P2 = 4 3Ï.[0,0353 â0,0303 ].500.9,81=0,3262 N 5) Equation dâĂ©quilibre du flotteur (2) : T + P2 + PARCH 2 = O PoussĂ©e dâArchimĂšde agissant sur la sphĂšre (2) : PARCH2=P2+T A.N. PARCH2=0,3262+0,4237=0 ,7499 N V im P ARCH 2 6) Fraction du volume immergĂ© : F = .100 = Ïg .100 44 ÏR2 3 Ï.R2 3 3 3 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 47Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides PARCH 2 A.N. F = Ïg .100 = 41,4449 % 4 Ï.0,0353 3 Exercice N°22: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 29-10-2002 1 ENONCE On considĂšre un densimĂštre formĂ© dâun cylindrique creux de longueur L=400 mm et de diamĂštre d, dans lequel est placĂ©e une masse de plomb au niveau de sa partie infĂ©rieure. Le centre de gravitĂ© G du densimĂštre est situĂ© Ă une distance a =10 mm par rapport au fond. Le densimĂštre flotte Ă la surface dâun liquide de masse volumique Ï inconnu. Il est immergĂ© jusqu'Ă une hauteur h. Lorsque le densimĂštre est placĂ© dans de lâeau de masse volumique Ï0 =1000 kg / m3 , la hauteur immergĂ©e est h0 = 200 mm. d h L a G Travail demandĂ© : 1) Quel est la masse volumique Ï du liquide si la hauteur immergĂ©e h=250 mm? 2) Quel est la masse volumique Ïmin quâon peut mesurer avec ce densimĂštre ? 3) JusquâĂ quelle valeur de la masse volumique Ï du liquide le densimĂštre reste dans une position dâĂ©quilibre verticale stable? 4) Donner un exemple de liquide dans lequel on risque dâavoir un problĂšme de stabilitĂ©. 2 REPONSE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 48Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides 1) Le densimĂštre est soumis Ă son poids propre dâintensitĂ© m.g et Ă la poussĂ©e dâArchimĂšde dirigĂ©e vers le haut et dâintensitĂ© Ï.g.Vliquide deplace = Ï.g. Ï. 4 d 2 .h . LâĂ©quation dâĂ©quilibre est : m.g = Ï.g. Ï.d 2 .h Ă©quivalente Ă m = Ï. Ï.d 2 .h (1) 4 4 De mĂȘme si le liquide Ă©tait de lâeau on a : m = Ï . Ï.d 2 .h (2) 0 4 0 h0 (1) et (2) entraĂźne Ï.h = Ï0 .h0 donc Ï = .Ï0 A.N. Ï = 800 kg / m3 h 2) La masse volumique Ïmin correspond Ă une hauteur immergĂ©e h=400 mm. Ïmin = h h0 .Ï0 A.N. Ï = 500 kg / m3 3) Le densimĂštre reste en position dâĂ©quilibre stable si le centre de gravitĂ© du liquide dĂ©placĂ© (situĂ© Ă une distance h/2 de la base) est au dessus du centre de gravitĂ© (situĂ© Ă une distance a de la base). Donc, il faut que h 2 > a pour assurer la stabilitĂ© du densimĂštre. Ï 1 h Or h = 0 .h0 donc il faut que Ï < . 0 .Ï 0Ï 2 a A.N. Ï <10000 kg / m3 4) Le mercure a une masse volumique Ï =13600 kg / m3 >10000 Exercice N°23: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 11-11-2003 1 ENONCE On considĂšre un cylindre (1) en acier, de rayon R et de hauteur H. Ce cylindre est suspendu par un fil (3) Ă lâintĂ©rieur dâun rĂ©cipient contenant de lâhuile (2). Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 49Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Z (3) ZA A H (2) ZB (1) B On donne : - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m/s2 , - la masse volumique de lâhuile Ïhuile =824 kg/m3 , - la masse volumique de lâacier Ïacier =7800 kg/m3 , Travail demandĂ© : 1) DĂ©terminer lâexpression de la tension T du fil en appliquant le thĂ©orĂšme dâArchimĂšde. 2) Retrouver la mĂȘme expression en utilisant la RFH (Relation Fondamentale de lâHydrostatique). 3) Faire une application numĂ©rique pour R=0,1 m et H=0,2 m. 2 REPONSE 1) Equation dâĂ©quilibre : T r + P + PARCH = 0 T : tension du fil ; P : poids du cylindre et PARCH :poussĂ©e dâArchimĂšde. Projection selon Z :T â mg + P = 0 (m : masse du cylindre : m = Ï acier .Ï.R2 .H ) ARCH Th. dâArchimĂšde : PARCH = Ï Ï 2 .H donc T = (Ï acier â Ï huile ).Ï.R2 .H.g huile ..R 2) Equation dâĂ©quilibre : T + P + FA + FB + ÎŁFL = 0 T : tension du fil, P : poids du cylindre , FA : force de pression agissant sur la surface supĂ©rieure, FB : force de pression agissant sur la surface infĂ©rieure, ÎŁFL : forces de pression agissant sur la surface latĂ©rale (perpendiculaire Ă lâaxe Z ). Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 50Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 :
Statique des fluides Projection selon Z : T â mg â PA.S + PB .S = 0 OĂč m : masse du cylindre ; PA , PB :pressions respectivement au point A et au point B et S : section. RFH : PB â PA = Ïhuile .g.H donc T = (Ïacier â Ïhuile ).Ï.R2 .H.g 3) T = (7800 â 824).Ï.0,12.0,2.9,81 = 429,5 N Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 51Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES PARFAITS 1 INTRODUCTION Dans ce chapitre, nous allons Ă©tudier les fluides en mouvement. Contrairement aux solides, les Ă©lĂ©ments dâun fluide en mouvement peuvent se dĂ©placer Ă des vitesses diffĂ©rentes. LâĂ©coulement des fluides est un phĂ©nomĂšne complexe. On sâintĂ©resse aux Ă©quations fondamentales qui rĂ©gissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier : - lâĂ©quation de continuitĂ© (conservation de la masse), - le thĂ©orĂšme de Bernoulli (conservation de lâĂ©nergie) et, - le thĂ©orĂšme dâEuler (conservation de la quantitĂ© de mouvement) Ă partir duquel on Ă©tablit les Ă©quations donnant la force dynamique exercĂ©e par les fluides en mouvement (exemple les jets dâeau). 2 ECOULEMENT PERMANENT LâĂ©coulement dâun fluide est dit permanent si le champ des vecteurs vitesse des particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela ne veut pas dire que le champ des vecteurs vitesse est uniforme dans lâespace. LâĂ©coulement permanent dâun fluide parfait incompressible est le seul que nous aurons Ă considĂ©rer dans ce cours. Un Ă©coulement non permanent conduirait Ă considĂ©rer les effets dâinertie des masses fluides. 3 EQUATION DE CONTINUITE ConsidĂ©rons une veine dâun fluide incompressible de masse volumique Ï animĂ©e dâun Ă©coulement permanent. 52
59.
Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits S1 dm1 Sâ1 dx1 V1 M dm2 S2 Sâ2 dx2 V2 On dĂ©signe par : - S1 et S2 respectivement la section dâentrĂ©e et la section de sortie du fluide Ă lâinstant t, - Sâ1 et Sâ2 respectivement les sections dâentrĂ©e et de sortie du fluide Ă lâinstant tâ=(t+dt), - V1 et V2 les vecteurs vitesse dâĂ©coulement respectivement Ă travers les sections S1 et S2 de la veine. - dx1 et dx2 respectivement les dĂ©placements des sections S1 et S2 pendant lâintervalle de temps dt, - dm1 : masse Ă©lĂ©mentaire entrante comprise entre les sections S1 et Sâ1, - dm2 : masse Ă©lĂ©mentaire sortante comprise entre les sections S2 et Sâ2, - M : masse comprise entre S1 et S2, - dV1 : volume Ă©lĂ©mentaire entrant compris entre les sections S1 et Sâ1, - dV2 : volume Ă©lĂ©mentaire sortant compris entre les sections S2 et Sâ2, A lâinstant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse Ă©gale Ă (dm1+ M) A lâinstant t+dt : le fluide compris entre Sâ1 et Sâ2 a une masse Ă©gale Ă (M+ dm2). Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 53Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits Par conservation de la masse: dm1 + M = M + dm2 en simplifiant par M on aura dm1 = dm2 Donc Ï1.dV1 = Ï2 .dV2 ou encore Ï1.S1.dx1 = Ï2 .S2 .dx2 , En divisant par dt on abouti Ă : Ï .S .dx1 = Ï .S . dx2 â Ï .S .V = Ï .S .V dt dt1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 Puisque le fluide est incompressible : Ï1 = Ï2 = Ï On peut simplifier et aboutir Ă lâĂ©quation de continuitĂ© suivante : S1 .V 1= S2 .V2 (1) 4 NOTION DE DEBIT 4.1 DĂ©bitmassique Le dĂ©bit massique dâune veine fluide est la limite du rapport dm dt quand dt tend vers 0. qm = dm dt oĂč : - qm est la masse de fluide par unitĂ© de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dm : masse Ă©lĂ©mentaire en (kg) qui traverse la section pendant un intervalle de temps dt . - dt : intervalle de temps en (s) en tenant compte des Ă©quations prĂ©cĂ©dentes on obtient : = Ï.S2 . dx dt2 (2) dx dt1 = V1 = V1 : Vitesse moyenne dâĂ©coulement de la veine fluide Ă travers S1, dx dt2 = V2 = V2 : Vitesse moyenne dâĂ©coulement de la veine fluide Ă travers S2 DâaprĂšs (2) : Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 54Auteur : Riadh BEN HAMOUDA avec : qm = dm = Ï.S1. dx1 dt dt
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits qm = Ï.S1.V1 = Ï.S2 .V2 Soit dans une section droite quelconque S de la veine fluide Ă travers laquelle le fluide sâĂ©coule Ă la vitesse moyenne v : qm = Ï.S.V (3) oĂč : qm : DĂ©bit massique en (kg/s) Ï : Masse volumique en (kg/m3 ) S : Section de la veine fluide en (m2 ) V : Vitesse moyenne du fluide Ă travers (S) en (m/s) 4.2 DĂ©bitvolumique Le dĂ©bit volumique dâune veine fluide est la limite du rapport vers 0. qv = dV dt OĂč : dV dt quand dt tend - qv : Volume de fluide par unitĂ© de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dV : Volume Ă©lĂ©mentaire, en (m3 ), ayant traversĂ© une surface S pendant un intervalle de temps dt, - dt : Intervalle de temps en secondes (s), DâaprĂšs la relation (3) et en notant que dV = dm Ïon peut Ă©crire Ă©galement que qv = q Ïm soit qv = S.V 4.3 Relation entre dĂ©bitmassique et dĂ©bitvolumique A partir des relations prĂ©cĂ©dentes on peut dĂ©duire facilement la relation entre le dĂ©bit massique et le dĂ©bit volumique : qm = Ï.qv Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 55Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits 5 THEOREME DE BERNOULLI â CAS DâUN ECOULEMENT SANS ECHANGE DE TRAVAIL Reprenons le schĂ©ma de la veine fluide du paragraphe 3 avec les mĂȘmes notations et les hypothĂšses suivantes: - Le fluide est parfait et incompressible. - LâĂ©coulement est permanent. - LâĂ©coulement est dans une conduite parfaitement lisse. On considĂšre un axe Z vertical dirigĂ© vers le haut. On note Z1, Z2 et Z respectivement les altitudes des centres de gravitĂ© des masses dm1, dm2 et M. On dĂ©signe par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S1 et S2. F dm1 S1 Sâ1 G1 Z1 dx1 V1 M dm2 G Z S2 Sâ2 G2 F2 Z2 dx2 V 2 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 56Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits A lâinstant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son Ă©nergie mĂ©canique est : E = E + E = (dm .g.Z + MgZ) + 1 dm.V 2 + S2dm.V 2 mec pot cin 1 â«S '1 1 2 1 1 2 A lâinstant tâ=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre Sâ1 et Sâ2. Son Ă©nergie mĂ©canique est : E'mec = E' pot +E'cin = (MgZ + dm2 .g.Z2 ) + S2 dm.V 2 + 1 2 â«S '1 2 2 dm2 .V2 On applique le thĂ©orĂšme de lâĂ©nergie mĂ©canique au fluide variation de lâĂ©nergie mĂ©canique est Ă©gale Ă la somme des extĂ©rieures. » entre t et tâ : « La travaux des forces E' mec âE mec = W Forces de pression = F1.dx1 â F2 .dx2 â E'mec âEmec = P1.S1.dx1 â P2 .S2 .dx2 = P1.dV1 â P2 .dV2 en simplifiant on obtient : dm .g.Z 2 +1 dm .V 2 â dm .g.Z â 1.dm .V 2 = P1 .dm â P2 .dm 22 22 2 1 1 1 1 Ï 1 Ï 2 2 1 Par conservation de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est incompressible : Ï1 = Ï2 = Ï , On aboutie Ă lâĂ©quation de Bernoulli : V22 â 2 V12 + P2 Ï â P1 + g(Z2 â Z1 ) = 0 (4) LâunitĂ© de chaque terme de la relation (4) est le joule par kilogramme (J/kg) DâaprĂšs la relation (4) on peut alors Ă©crire : V 2 + P + g.z2 = V 2 + P + g.z1 2 2 1 1 2 Ï 2 Ï 6 THEOREME DE BERNOULLI â CAS DâUN ECOULEMENT AVEC ECHANGE DE TRAVAIL Reprenons le schĂ©ma de la veine fluide du paragraphe 4 avec les mĂȘmes notations et les mĂȘmes hypothĂšses. On suppose en plus quâune machine hydraulique est placĂ©e entre les sections S1 et S2. Cette machine est caractĂ©risĂ©e par une puissance nette Pnet Ă©changĂ©e avec le fluide, une puissance sur lâarbre Pa et un certain rendement η.Cette machine peut ĂȘtre soit une turbine soit une pompe. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 57Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits - Dans le cas dâune pompe : le rendement est donnĂ© par lâexpression suivante : η= P net Pa - Dans le cas dâune turbine : le rendement est donnĂ© par lâexpression suivante : η= P a P net Entre les instant t et tâ=(t+dt), le fluide a Ă©change un travail net Wnet = Pnet .dt avec la machine hydraulique. Wnet est supposĂ© positif sâil sâagit dâune pompe et nĂ©gatif sâil sâagit dâune turbine. On dĂ©signe par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S1 et S2. A lâinstant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son Ă©nergie mĂ©canique est : E = E + E = (dm .g.Z + MgZ) + 1 dm.V 2 + S2dm.V 2 mec pot cin 1 â«S '1 1 2 1 1 2 dm1 F1 S1 G1 Sâ Z1 dx1 V1 M dm2 G Z Pompe S2 Turbine F2 Sâ G2 Z2 dx2 V 2 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 58Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits A lâinstant tâ=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre Sâ1 et Sâ2. Son Ă©nergie mĂ©canique est : E'mec = E' pot +E'cin = (MgZ + dm2 .g.Z2 ) + S2 dm.V 2 + 1 2 â«S '1 2 2 dm2 .V2 On applique le thĂ©orĂšme de lâĂ©nergie mĂ©canique au fluide entre t et tâ :« La variation de lâĂ©nergie mĂ©canique est Ă©gale Ă la somme des travaux des forces extĂ©rieures. »,en considĂ©rant cette fois ci le travail de la machine hydraulique E'mec âEmec = F1.dx1 â F2 .dx2 + Pnet .dt E'mec âEmec = P1 .S1 .dx1 â P2 .S2 .dx2 + Pnet. .dt = P1 .dV1 â P2 .dV2 + Pnet .dt en simplifiant on aura : dm .g.Z 2 + 1 dm .V 2 â dm .g.Z â 1.dm .V 2 = P1.dm â P2 .dm + P .dt Par conservation 2 2 Ï2 2 2 1 1 1 1 1 Ï 2 2 net 1 de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est incompressible : Ï1 = Ï2 = Ï , V 2 âV 2 P â P + g(Z2 â Z1 ) = P on aboutie Ă lâĂ©quation de Bernoulli : 2 1 + 2 1 net (5) 2 Ï qm 7 THEOREME DâEULER : Une application directe du thĂ©orĂšme dâEuler est lâĂ©valuation des forces exercĂ©es par les jets dâeau. Celles-ci sont exploitĂ©es dans divers domaines : production de lâĂ©nergie Ă©lectrique Ă partir de lâĂ©nergie hydraulique grĂące aux turbines, coupe des matĂ©riaux, etc. Le thĂ©orĂšme dâEuler rĂ©sulte de lâapplication du thĂ©orĂšme de quantitĂ© de mouvement Ă lâĂ©coulement dâun fluide : âFext = d dt P ; avec P = mV G : quantitĂ© de mouvement. Ce thĂ©orĂšme permet de dĂ©terminer les efforts exercĂ©s par le fluide en mouvement sur les objets qui les environnent. EnoncĂ© La rĂ©sultante ( âFext ) des actions mĂ©caniques extĂ©rieures exercĂ©es sur un fluide isolĂ© (fluide contenu dans lâenveloppe limitĂ©e par S1 et S2 ) est Ă©gale Ă la variation de la quantitĂ© de mouvement du fluide qui entre en S1 Ă une vitesse V1 et sort par S2 Ă une vitesse V2 . âFext = qm (V2 âV1 ) Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 59Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits Exemple : ConsidĂ©rons un obstacle symĂ©trique par rapport Ă lâaxe Z . Le jet dâun Ă©coulement de dĂ©bit massique qm, de vitesse V1 et de direction parallĂšle Ă lâaxe Z , percute lâobstacle qui le dĂ©vie dâun angle ÎČ . Le fluide quitte lâobstacle Ă une vitesse V2 de direction faisant un angle ÎČ par rapport Ă lâaxe Z . Z V2 V2 F V1 La quantitĂ© de mouvement du fluide Ă lâentrĂ©e de lâobstacle est : qm .V1 portĂ© par lâaxe Z . La quantitĂ© de mouvement du fluide Ă la sortie de lâobstacle est : qm .V1.cos ÎČ portĂ© par lâaxe Z . La force opposĂ©e au jet Ă©tant Ă©gale Ă la variation de la quantitĂ© de mouvement : R = qm .V2 .cos ÎČ â qm .V1 La force F exercĂ©e sur lâobstacle en direction de Z est Ă©gale et opposĂ©e Ă celle-ci : F = qm .(V1 âV2 .cos ÎČ) Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 60Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits 8 CONCLUSION Les lois et les Ă©quations Ă©tablies dans ce chapitre en particulier lâĂ©quation de Bernoulli ont un intĂ©rĂȘt pratique considĂ©rable du moment ou elles permettent de comprendre le principe de fonctionnement de beaucoup dâinstruments de mesure de dĂ©bits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le diaphragmeâŠetc. RĂ©servĂ©es aux fluides incompressibles, ces lois et Ă©quations peuvent ĂȘtre employĂ©es dans certains cas particulier pour les fluides compressibles Ă faible variation de pression. Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques. Cependant, lorsquâon veut prendre en considĂ©ration la compressibilitĂ© dans les calculs, il est nĂ©cessaire dâemployer les formules appropriĂ©es. 9 EXERCICES DâAPPLICATION Exercice N°1: 1 ENONCE On veut accĂ©lĂ©rer la circulation dâun fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliĂ©e par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractĂ©risĂ© par lâangle α (schĂ©ma ci-dessus). α R1 V V2 R2 1 l 1) Calculer le rapport des rayons (R1/R2). 2) Calculer ( R1 - R2 ) en fonction de L et α. En dĂ©duire la longueur L. (R1 = 50 mm, α = 15°). 2 REPONSE 1) On applique lâĂ©quation de continuitĂ© : Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 61Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits S1 V2V .S = V .S 2 ou encore = or S = Ï.R2 et S 2 = Ï.R2 dâoĂč R1 = V2 = 2 1 1 2 S2 V1 1 1 2 R2 V1 R1 â R2 R1 R12) tgα = l = R1 â R2 or R = donc l =donc A.N.: L = 93,3 mm . l tgα 2 2 2.tgα Exercice N°2: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 23-05-2003 1 ENONCE On considĂšre un rĂ©servoir remplie dâeau Ă une hauteur H= 3 m , muni dâun petit orifice Ă sa base de diamĂštre d= 10 mm. 1) En prĂ©cisant les hypotĂšses prises en comptes, appliquer le thĂ©orĂšme de Bernouilli pour calculer la vitesse V2 dâĂ©coulement dâeau. 2) En dĂ©duire le dĂ©bit volumique Qv en (l/s) en sortie de lâorifice. On suppose que g=9,81 m/s. eau H V2 2 REPONSE 1) Vitesse dâĂ©coulement V2 ? On applique le thĂ©orĂšme de Bernoulli avec les hypothĂšses suivantes : V1â0 car le niveau dans le rĂ©servoir varie lentement et P1=P2=Patm, V22 â 2 V12 + P2 Ï â P1 + g.(Z2 â Z1 ) = 0 On obtient : V2 = 2.g.H A.N. V2 = 2.9,81.3 = 7,67 m / s 2) DĂ©bit volumique Qv ? Ï.d 2 Ï.(10.10â3 )2 = 7,87.10â2 m2 A.N.QV =V2 .S or S = = QV = O,6 L / s 4 4 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 62Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits Exercice N°3: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 11-11-2003 1 ENONCE Un fluide parfait incompressible sâĂ©coule dâun orifice circulaire situĂ© sur le cotĂ© dâun rĂ©servoir avec un dĂ©bit volumique qv=0,4 L/s. Le diamĂštre de lâorifice est d=10 mm. 1) DĂ©terminer la vitesse dâĂ©coulement au niveau de lâorifice. 2) Enoncer le thĂ©orĂšme de Bernoulli. 3) A quelle distance de la surface libre se trouve lâorifice ? 2 REPONSE V = q v = 4.q V = 4.0,4.10â3 = 5,1 m / s1) Vitesse dâĂ©coulement : v A.N. Ï.d 2 Ï.0,012 S V 2 + Z1 + P = V 2 + Z2 + P 2) ThĂ©orĂšme de Bernoulli : 1 1 2 2 2.g 2.g ÏÏ h = V 2 h = 5,12 =1,32 m3) On a Z1-Z2=h ; P1=P2=Patm ; V1=0 donc 2 A.N.2.g 2.9,81 Exercice N°4: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 23-05-2005 1 ENONCE On considĂšre un rĂ©servoir cylindrique de diamĂštre intĂ©rieur D = 2 m rempli dâeau jusquâĂ une hauteur H = 3 m. Le fond du rĂ©servoir est muni dâun orifice de diamĂštre d = 10 mm permettant de faire Ă©vacuer lâeau. Z â D Z1 V1 H Z2 â d V2 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 63Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits Si on laisse passer un temps trĂšs petit dt, le niveau dâeau H du rĂ©servoir descend dâune quantitĂ© dH. On note V1 = dH dt la vitesse de descente du niveau dâeau, et V2 la vitesse dâĂ©coulement dans lâorifice. On donne lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g = 9,81 m/s2 . 1) Ecrire lâĂ©quation de continuitĂ©. En dĂ©duire lâexpression de V1 en fonction de V2, D et d. 2) Ecrire lâĂ©quation de Bernoulli. On suppose que le fluide est parfait et incompressible. 3) A partir des rĂ©ponses aux questions 1) et 2) Ă©tablir lâexpression de la vitesse dâĂ©coulement V2 en fonction de g, H, D et d. 4) Calculer la vitesse V2. On suppose que le diamĂštre d est nĂ©gligeable devant D. C'est-Ă -dire D d <<1. 5) En dĂ©duire le dĂ©bit volumique qV. 2 REPONSE 2Ï.D2 Ï.d 2 d 1) Equation de continuitĂ© : 4 .V1 = 4 .V2 donc la vitesse V1 = .V2 (1) D 2) Equation de Bernoulli : V22 â 2 V12 + P2 Ï â P1 + g.( Z 2 â Z1 )= 0 V 2 âV 2 â g.H = 0Or P1=P2= Patm donc : 2 1 (2)2 V 2 d 4 .V 2 2 â 2 3) On substitue lâĂ©quation (1) dans (2) on obtient : D = g.H 2 Donc la vitesse : V2 = 2.g.H d 4 1 â D d <<1 alors V2 = 2.g.H V2 = 2.9,81.3 = 7,67 m / s4) Si A.N. D Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 64Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits 5) qv = Ï.d 2 .V2 A.N. qV = Ï.0,012 .7,67 = 6.10â4 m3 / s 4 4 Exercice N°5: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 30-04-2007 1 ENONCE Z SA A ZA V A H SB B ZB VB Le rĂ©servoir cylindrique reprĂ©sentĂ© ci-dessus, ouvert Ă lâair libre, a une section SA de diamĂštre DA = 2 m. Il est muni, Ă sa base, dâun orifice de vidage de section SB et de diamĂštre DB = 14 mm. Le rĂ©servoir est plein jusquâĂ une hauteur H=(ZA â ZB)= 2,5 m de fioul, liquide considĂ©rĂ© comme fluide parfait, de masse volumique Ï= 817 kg/m3 . On donne - la pression atmosphĂ©rique Patm= 1 bar. - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,8 m/s2 . On note α=(SB/SA) Partie 1 : Lâorifice est fermĂ© par un bouchon. 1) En appliquant la RFH, dĂ©terminer la pression PB au point B. 2) En dĂ©duire la valeur de la force de pression FB qui sâexerce sur le bouchon. Partie 2 : Lâorifice est ouvert. On procĂšde Ă la vidange du rĂ©servoir. Le fioul sâĂ©coule du rĂ©servoir. Sa vitesse moyenne dâĂ©coulement au point A est notĂ©e VA, et sa vitesse dâĂ©coulement au niveau de lâorifice est notĂ©e VB. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 65Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits 1) Ecrire lâĂ©quation de continuitĂ©. En dĂ©duire VA en fonction de VB et α. 2) En appliquant le thĂ©orĂšme de Bernoulli entre A et B, Ă©tablir lâexpression littĂ©rale de la vitesse VB en fonction de g, H et α. 3) Calculer la valeur de α. LâhypothĂšse de considĂ©rer un niveau H du fluide varie lentement est elle vraie ? Justifier votre rĂ©ponse. 4) Calculer VB en considĂ©rant lâhypothĂšse que α<<1. 5) DĂ©terminer le dĂ©bit volumique QV du fluide qui sâĂ©coule Ă travers lâorifice. (en litre par seconde) 6) Quelle serait la durĂ©e T du vidage si ce dĂ©bit restait constant ? 2 REPONSE Partie 1 1) PB = PA + Ï.g.H A.N. PB =105 +817.9,8.2,5 =1,2 .105 pascal 2) FB = PB .SB = PB . ÏD2 A.N. FB = 1,2.105. Ï.(14.10 â3 )2 B 4 =18,472 N 4 Partie 2 1) Equation de continuitĂ© SA .VA = SB .VB VA = α.VB V2 âV 2 P â P 2) Equation de Bernoulli : B A + B A + g(ZB â Z A ) = 02 Ï or PA=PB=Patm, (ZB-ZA)=H, VA=αVB donc VB = 2.g.H 1âα 2 SB 2 14.10â3 2 â5DB 3) α = = A.N α = = 4,9.10 SA 2D A LâhypothĂšse de considĂ©rer un niveau quasi-contant est vraie car α<<1 donc VAâ0 4) VB = 2.g.H A.N VB = 2.9,8.2,5 = 7 m / s 5) Qv = SB .VB = Ï.D2 .VB A.N Qv = Ï.(14.10â3 )2 4 B 4 .7 =1.10â3 m3 / s =1 L / s T = V = ÏD 2 .H Qv = Ï.22 .2,5 = 7854 s =130 mn = 2 h 10 mn6) A A.N Q 4.103 4.Qv v Exercice N°6: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 31-05-2004 Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 66Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits 1 ENONCE On considĂšre un siphon de diamĂštre d=10 mm alimentĂ© par un rĂ©servoir dâessence de grandes dimensions par rapport Ă d et ouvert Ă lâatmosphĂšre. On suppose que : - le fluide est parfait. - le niveau du fluide dans le rĂ©servoir varie lentement. - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9.81 m.s-2 . - le poids volumique de lâessence:Ï = 6896 N / m3 . - H=ZAâZS =2,5 m. B Z r ZB h A ZA H RĂ©servoir S ZS 1) En appliquant le ThĂ©orĂšme de Bernoulli entre les points A et S, calculer la vitesse dâĂ©coulement VS dans le siphon. 2) En dĂ©duire le dĂ©bit volumique qV. 3) Donner lâexpression de la pression PB au point B en fonction de h, H, Ï et Patm. Faire une application numĂ©rique pour h=0.4 m. 4) h peut elle prendre nâimporte quelle valeur ? Justifier votre rĂ©ponse. 2 REPONSE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 67Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits 1) VS 2 +Ps +Zs = V A 2 +PA +ZA ona : Ps=PA = Patm , VA=0 et ZA-ZS=H 2g Ï 2g Ï VS = 2gH A.N. VS = 2.9,81.2,5=7 m/s 2) Le dĂ©bit volumique : qv =VS . Ï.d 2 A.N. qV =7. Ï.0,012 =5,5.10â4 m3 /s=0,55l/s 4 4 V 2 P V 2 P 3) ThĂ©orĂšme de Bernoulli entre B et S : B + B + Z B = S + S + Z S Ï2g Ï 2g Or Vs=VB, ZB-ZS= H+h et Ps= Patm B at m A.N. PB =10 5 â6896.(2,5+0, 4) =80001,6Pa=0, 8bar P =P âÏ.(H +h) 4) Non. Il faut que PB>0 Equivaut Ă h< Patm âH A.N . h< 105 â2,5=12 m 9,81.700Ï Exercice N°7: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 18-06-2007 1 ENONCE La figure ci-dessous reprĂ©sente un piston qui se dĂ©place sans frottement dans un cylindre de section S1 et de diamĂštre d1=4 cm remplit dâun fluide parfait de masse volumique Ï=1000 kg/m3 . Le piston est poussĂ© par une force F dâintensitĂ© 62,84 Newtons Ă une vitesse V1 constante. Le fluide peut sâĂ©chapper vers lâextĂ©rieur par un cylindre de section S2 et de diamĂštre d2 = 1 cm Ă une vitesse V2 et une pression P2= Patm =1 bar. Zr S1 S2 r v r 2 Patm P1 F v r 1 Patm Travail demandĂ©: Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 68Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits 1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au piston, dĂ©terminer la pression P1 du fluide au niveau de la section S1 en fonction de F, Patm et d1. 2) Ecrire lâĂ©quation de continuitĂ© et dĂ©terminer lâexpression de la vitesse V1 en fonction de V2. 3) En appliquant lâĂ©quation de Bernoulli, dĂ©terminer la vitesse dâĂ©coulement V2 en fonction de P1, Patm et Ï. (On suppose que les cylindres sont dans une position horizontale (Z1=Z2)) 4) En dĂ©duire le dĂ©bit volumique Qv. 2 REPONSE 1) PFD: F + P .S = P .S â P1 = 4.F +P atm Ï.d1 2 atm 1 1 1 A.N. P1 = 4. â62,84 +105 =1,5 bar2 Ï.0,04 2) Equation de continuitĂ©:V1S1 =V2 .S2 2 2 1 â V1 =V2 . S2 = d2 âV1 = 1 .V2â V = .VV2 . 1 16 2 S1 d 1 4 Equation de Bernoulli : V 2 âV 2 P â P + g( Z 2 â Z1 )= 0 or Z1=Z2 et P2=Patm3) 2 1 + 21 2 Ï 1 V2 = 512 (P1 â Patm ) et V1 = .V2 donc 255 . 16 Ï A.N. V2 = 512 . (1,5.105 â105 ) =10 m / s 255 1000 4) Q = Ï.d 2 2 .V 2v 4 A.N. Qv = Ï.0,012 .10 = 0,785.10â3 m3 / s 4 Exercice N°8: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 17-01-2005 1 ENONCE Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 69Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
76.
Chapitre 3 :
Dynamique des fluides incompressibles parfaits La figure suivante reprĂ©sente une buse connectĂ©e Ă un tuyau dans lequel est acheminĂ©e de lâeau Ă une pression P1=2,875 bar. P1 P2 Ăd1 V 1 (eau) V 2 Ăd2 (S1) (S2) Le fluide subit un Ă©tranglement : sa section S1 de diamĂštre d1=20 mm est rĂ©duite Ă une section de sortie S2 de diamĂštre d2=10 mm. On suppose que le fluide est parfait et la buse est dans une position horizontale. On donne la masse volumique de lâeau Ï =1000 kg / m3 et la pression de sortie P2=Patm=1 bar. 1) DĂ©terminer le rapport V2 . V1 2) En appliquant lâĂ©quation de Bernoulli, calculer la vitesse dâĂ©coulement V2. 2 REPONSE V2 S1 2 d 1 1) Equation de continuitĂ© : V1.S1 =V2 .S2 donc = = = 4V S d 1 2 2 2) Equation de Bernoulli : V 2 âV 2 + P â P + g.(Z â Z ) = 0 Or Z1=Z2 et V = V 22 1 21 2 2 Ï 1 1 4 V 2 = 32 . P â P V2 = 32 . 2,875.105 â10 5 = 20 m / sDonc 21 A.N.15 Ï 15 1000 Exercice N°9: EXTRAIT DE LâEXAMEN DU 15-01-2007 1 ENONCE De lâhuile est accĂ©lĂ©rĂ©e Ă travers une buse en forme de cĂŽne convergent. Notions de mĂ©canique des fluides. Cours et exercices corrigĂ©s. Page: 70Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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