O documento apresenta os conceitos de determinantes e sistemas lineares. Em três frases: (1) Determinantes são números associados a matrizes quadradas que fornecem propriedades algébricas dessas matrizes; (2) Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares que podem ser representadas em forma matricial; (3) O método de Cramer é apresentado para resolver sistemas lineares normais através do cálculo de determinantes.
Expansão Marítima- Descobrimentos Portugueses século XV
Determinantes sistemas lineares [modo de compatibilidade]
1. DETERMINANTES
e
SISTEMAS LINEARES
Prof. José Brilhante
2. DETERMINANTES
Definição: Determinante é um número associado a
uma matriz quadrada de ordem n x n.
Matriz quadrada de ordem 1
Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a11 ),
o seu determinante será o próprio elemento a11.
det A = a11 = a11
Exemplo.:
A = ( 120 ) ⇒ det A = 120
B = (– 29 ) ⇒ det A = – 29
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3. Matriz quadrada de ordem 2
a11 a12 a11 a12
A= ⇒ det A = = a11 ⋅ a22 – a12 ⋅ a21
a21 a22 a21 a22
Produto dos elementos da diagonal principal
menos o produto da diagonal secundária.
–3 2 –3 2
A= ⇒ det A = = (–3) ⋅ (–5) – (2) ⋅ (1)
1 –5 1 –5
det A = 15 – 2 = 13
det A = 13
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4. Matriz quadrada de ordem 3
Regra de Sarrus: Repete-se as duas primeiras linhas
abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras
colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a
soma do produto da diagonal principal com o produto
das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com
a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em
seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com
as diagonais. (det A = SDP – SDS)
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6. Propriedades dos determinantes
1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila
formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou
proporcionais
0 0
det A = = (0) ⋅ (5) – (0) ⋅ (3) = 0 – 0 = 0
3 5
1 3 5
det A = 3 0 –5
1 3 5
det A = ( 0 + 45 – 15 ) – ( 0 + 45 – 15 ) ⇒ det A = 0
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7. 2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas,
o determinante mudará o sinal.
1 3 5
det A = 3 0 –5
2 1 2
det A = ( 0 + 15 – 30 ) – ( 0 – 5 + 18 )
det A = (– 15 ) – ( 13 ) ⇒ det A = –28
2 1 2
det A = 3 0 –5 = ( 0 + 18 – 5 ) – ( 0 – 30 + 15 )
1 3 5 ( 13 ) – ( –15 ) ⇒ det A = 28
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8. 3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz
quadrada por um número k, o seu determinante ficará
multiplicado por k.
2 4
det A = = (10) – (12) = –2
3 5
k=3
6 12
det B = = (30) – (36) = –6
3 5
⋅
det B = k⋅det A
⋅
det B = 3⋅(–2) = –6
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9. 4. Da propriedade 3, decorre que: det ( k⋅An ) = kn⋅det An.
⋅
2 4 6 12
A2 = ⇒ ⋅
3⋅A2 =
3 5 9 15
k=3
6 12
⋅
det ( 3⋅A2) = = (90) – (108) = –18
9 15
⋅
det ( 3⋅A2 ) = 32⋅det A2 = 9⋅(–2) = –18
⋅
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10. 5. det A = det AT .
1 3 5
det A = 3 0 –5
2 1 2
det A = ( 0 + 15 – 30 ) – ( 0 – 5 + 18 )
det A = (– 15 ) – ( 13 ) ⇒ det A = –28
1 3 2
det AT = 3 0 1
5 –5 2
det AT = ( 0 – 30 + 15 ) – ( 0 – 5 + 18 )
det AT = (– 15 ) – ( 13 ) ⇒ det AT = –28
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11. 6. det ( An ⋅ Bn ) = det A ⋅ det B
2 4 3 10
A2 = ; B2 =
3 5 1 2
2 4 3 10 10 28
A2 ⋅ B2 = ⋅ =
3 5 1 2 14 40
det ( An ⋅ Bn ) = 400 – 392 = 8
det A ⋅ det B = (–2) ⋅ (–4) = 8
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12. 7. det In = 1
1 0 0
det I3 = 0 1 0 ⇒ det I3 = 1
0 0 1
8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes
diagonais se resume ao produto dos elementos da
diagonal principal.
5 3 2
det A = 0 –2 1 det A = 5 ⋅ (–2) ⋅ 3 = –30
0 0 3
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13. Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz
possuirá inversa (A–1) se, e somente se, seu determinante
for diferente de zero.
A–1⋅ A = A ⋅ A–1 = I ⇔ det A ≠ 0.
d –b
a b det A det A
1. Se A2x2 = , então : A–1 = –c a
c d
det A det A
1
2. det A–1 = , det A ≠ 0
det A
3. Se A possuir inversa, essa será única.
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14. 01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que
satisfaz A2 = 2A, então o determinante de A será:
a) 0.
b) 1. det A2 = det (2A)
c) 2. det A ⋅ det A = 22 ⋅ det A
d) 3.
e) 4.
det A = 4
E
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15. 02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o
x x 1
determinante da matriz A = 2 x –x
a) 3. 1 x 1
b) 2. x x 1
c) 1. P(x) = 2 x –x P(x) = x2 + 2x – x2 – x + x3 – 2x
d) 0.
1 x 1 P(x) = x3 – x
e) 4.
x x 1 Grau 3
2 x –x
A
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16. 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
(01) Se K = (kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada
por kij = 22i + j para i < j e kij = i2 + 1 para i > j, então k é
uma matriz inversível.
k11 k12 2 16
K= K=
k21 k22 5 5
k11 = 12 + 1 = 2 Det K = 10 – 80 = –70 ≠ 0
k12 = 22(1) + 2 = 24 = 16 ∴ é inversível
k21 = 22 + 1 = 5 (01) - correta
k22 = 22 + 1 = 5
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17. (02) Se A e B são matrizes tais que A ⋅ B é uma matriz
nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula.
A ⋅ B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0.
(02) - incorreta
(04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos
5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R2 tem 625
elementos.
Ordem n
M5x7 ⋅ P7x5 = R5x5 (A matriz R possui 25 elementos)
c.e.p
Logo, a matriz R2 tem 25 elementos.
(04) - incorreta
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18. (08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma
do elementos da diagonal principal de uma matriz
quadrada L; então Tr(L) = Tr(LT).
A transposta de uma matriz não altera sua diagonal
principal.
(08) - correta
GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09
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19. SISTEMAS LINEARES
Equação Linear é uma equação de forma:
a1⋅x1 + a2⋅x2 + a3⋅x3 + ... + an⋅xn = b
Portanto, um sistema será linear quando for composto de
equações lineares.
2x + 3y = 5 2x + 3y – z = 5
linear x–y +z=2
x–y=2
–5x – 3y + 4z = 10
2x2 + 3y = 5 2xy + 3y = 5
x–y=2 não-linear x–y=2
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20. Observações:
3x + 2y + z = 1 3 2 1 x 1 Forma
1. x – y + 3z = 2 ⇒ 1 –1 3 . y = 2
matricial
5x + 2y + z = 7 5 2 1 z 7
3 2 1 1 Forma matricial
1 –1 3 2
completa
5 2 1 7
2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é
denominanda matriz principal.
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21. 3. Se o número de equações é igual ao número de
∆
variáveis e o determinante da matriz principal (∆) for
diferente de zero,o sistema recebe o nome de normal.
4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o
sistem é chamado de homogêneo.
2x + 3y = 0
x–y=0
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26. DISCUSSÃO DE SISTEMAS
determinado
Solução única ∆ ≠ 0
Possível
indeterminado
Sistema linear Infinitas soluções
∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0
Impossível (sem solução)
Infinitas soluções ∆ = 0 e
∆x ≠ 0 ou ∆y ≠ 0 ou ∆z ≠ 0.
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27. Se o sistema linear for homogêneo:
Possível e determinado ( ∆ ≠ 0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} )
Solução trivial
Possível e indeterminado ( ∆ = 0 )
(Além da trivial, admitirá soluções próprias)
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28. 04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois.
Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg.
Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg.
Quanto pesa Beatriz?
A+B = 30 A + B = 30 +
B + C = 28 -A + B = –6
A + C = 34 (–)
2B = 24
B = 12
Beatriz tem 12 kg.
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29. x+y+z=1
05. (UFSM – RS) Considere o sistema 2x + 2y + 2z = m .
3x + 3y + 3z = 4
Então, pode-se afirmar que o sistema é:
a) possível e indeterminado.
b) Impossível para qualquer valor de m.
c) Possível e determinado.
d) Possível para m ≠ 2.
e) Impossível apenas quando m ≠ 2.
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30. x+y+z=1
2x + 2y + 2z = m ÷ (2)
3x + 3y + 3z = 4 ÷ (3)
x+y+z=1 x+y+z=1
m
x+y+z= 2 4
x+y+z=
4 3
x+y+z=
3 Impossível para
qualquer valor de m.
B
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