μαθηματικά στ΄ δημοτικού α΄τεύχος

Φυσικοί Αριθμοί 1
Ασκήσεις
1. Σημειώνω ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρτιοι (διαιρούνται ακριβώς με το 2) και ποιοι περιττοί
(δε διαιρούνται ακριβώς με το 2).
23.897, 123.456, 987.654, 234.567, 765.543, 800.004
Άρτιοι
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Περιττοί
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
2. Ποια η αξία του αριθμού 6 στους παρακάτω αριθμούς;
123.456 ...............................................................................................................................................................................
234.567 ...............................................................................................................................................................................
345.678 ..............................................................................................................................................................................
456.789 ...............................................................................................................................................................................
621.557.890 ........................................................................................................................................................................
3. Με τα ψηφία 4, 6, 8, 2, 9, 5 ,7 φτιάχνω τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο αριθμό.
Μεγαλύτερος: ....................................................................................................................................................................
Μικρότερος: .......................................................................................................................................................................
4. Γράφω με λέξεις τους παρακάτω αριθμούς.
3.280.000 = .........................................................................................................................................................................
61.000.910 = .......................................................................................................................................................................
4.000.000.000 = .................................................................................................................................................................
• Διαβάζω και γράφω φυσικούς αριθμούς.
• Κατανοώ την αρχή της διαδοχής στην ακολουθία των φυσικών αριθμών.
• Μαθαίνω την αξία των ψηφίων ενός φυσικού αριθμού.
1

Φυσικοί Αριθμοί1
5. Κάνω οριζόντια ανάλυση στους παρακάτω αριθμούς, όπως στο παράδειγμα.
98.765 = 9 x 10.000 + 8 x 1.000 + 7 x 100 + 6 x 10 + 5 x 1
23.897= ...............................................................................................................................................................................
123.456= .............................................................................................................................................................................
6. Γράφω τον προηγούμενο και τον επόμενο αριθμό.
7. Σημειώνω με Σ τις σωστές και Λ τις λανθασμένες προτάσεις.
(…..) Α. Ένας πενταψήφιος αριθμός έχει 6 ψηφία και πρώτο ψηφίο το 0.
(…..) Β. Στον αριθμό 5780901 το μηδέν δηλώνει απουσία δεκάδων και χιλιάδων.
(…..) Γ. Δέκα χιλιάδες είναι μία δεκάδα χιλιάδα.
(…..) Δ. Από τον αριθμό 32 ως τον αριθμό 122 υπάρχουν 90 αριθμοί.
(…..) Ε. Από τη 12η σελίδα του βιβλίου μέχρι και την 35η είναι 24 σελίδες.
(…..) Στ. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός μεταξύ των αριθμών 2 και 3.
(…..) Ζ. Ανάμεσα στους αριθμούς 4 και 5 δεν υπάρχει φυσικός αριθμός.
(…..) Η. Ανάμεσα στους αριθμούς 6 και 8 δεν υπάρχει άρτιος αριθμός.
(…..) Θ. Ανάμεσα στους αριθμούς 8 και 10 δεν υπάρχει περιττός αριθμός.
(…..) Ι. Ανάμεσα στους αριθμούς 9 και 11 υπάρχει περιττός αριθμός.
(…..) Κ. Ανάμεσα στους αριθμούς 9 και 12 υπάρχει ένας άρτιος και ένας περιττός αριθμός.
(…..) Λ. Ανάμεσα στους αριθμούς 7 και 11 υπάρχουν δύο περιττοί αριθμοί και ένας άρτιος.
Οι επόμενες τέσσερις ερωτήσεις αναφέρονται στο παρακάτω σχήμα:
(…..) Μ. Στο σημείο Κ αντιστοιχεί ο αριθμός 37.
(…..) Ν. Στο σημείο Λ αντιστοιχεί ο αριθμός 1.050.
(…..) Ξ. Στο σημείο Μ αντιστοιχεί ο αριθμός 1.200.
Προηγούμενος Αριθμός Επόμενος
2.000.000
15.849.999
37.098.001
7.099.000
2

Δεκαδικοί Αριθμοί 2
Ασκήσεις
1. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα, όπως στο παράδειγμα.
Με
ψηφία
Με λέξεις
5,42 πέντε μονάδες και σαράντα δύο εκατοστά
3,40
16,05
30,008
45,375
2. Σημειώνω την υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση, ώστε:
Το 3 να δηλώνει δέκατα :
Το 5 να δηλώνει εκατοστά :
Το 2 να δηλώνει χιλιοστά :
Α. 6534
Α. 7654
Α. 5432
Β. 1039
Β. 1235
Β. 432
Γ. 983
Γ. 765
Γ. 2
Δ. 76543
Δ. 98765
Ε. 3
Ε. 5
3. Γράφω τον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε γράμμα.
Α Β Γ
Α Β Γ
• Διαβάζω και γράφω δεκαδικούς αριθμούς.
• Μαθαίνω την αξία των ψηφίων ενός δεκαδικού αριθμού.
• Κατανοώ τις ιδιότητες των δεκαδικών αριθμών.
3

Δεκαδικοί Αριθμοί2
4. Γράφω ξανά κάθε αριθμό, ώστε να έχουν όλοι τέσσερα δεκαδικά ψηφία.
25,2 = 65 = 1,24 =
5,1 = 333,12 = 2,125 =
(…..) Α. Σε έναν δεκαδικό αριθμό το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή είναι τα δέκατα.
(…..) Β. Ένας δεκαδικός αριθμός αποτελείται από δεκαδικό και ακέραιο μέρος.
(…..) Γ. Η διαγραφή του 0 στον αριθμό 30,75 δεν επηρεάζει την αξία του.
(…..) Δ. Στον αριθμό 3,08 το 8 αναφέρεται στα δέκατα.
(…..) Ε. Ο αριθμός 8,02 διαβάζεται «οκτώ και δύο εκατοστά».
(…..) Στ. Ισχύει ότι 2,15 = 2,150.
(…..) Ζ. Τόσο στο ακέραιο όσο και στο δεκαδικό μέρος κάθε τάξη είναι 10 φορές μεγαλύτερη από την αμέσως
επόμενη προς τα δεξιά της.
(…..) Η. Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού αλλάζει, αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος του.
6. Συμπληρώνω τα κενά των παρακάτω προτάσεων με τις κατάλληλες λέξεις, φράσεις ή μαθηματικά σύμβολα.
Α. Δεκαδικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που αποτελούνται από ένα ………………………………. και ένα ……………………………….
μέρος. Τα δύο μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με την ……………………………….
Β. Τόσο στο ακέραιο όσο και στο δεκαδικό μέρος κάθε τάξη είναι ………………………………. φορές μεγαλύτερη από την
αμέσως επόμενη προς τα δεξιά της.
Γ. Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού ………………………………. ………………………………., αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε
μηδενικά στο τέλος του.
4

Μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε
κλάσματα και αντίστροφα
3
Ασκήσεις
1. Γράφω με δεκαδικό κλάσμα και δεκαδικό αριθμό τι μέρος της ακέραιης μονάδας έμεινε.
έμειναν: ή ....... , ....... έμειναν: ή ....... , ....... έμειναν: ή ....... , ....... έμειναν: ή ....... , .......
2. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα.
μικτή γραφή με κλάσμα με δεκαδικό
φτάνω στην πιο κοντινή μονάδα με
πρόσθεση
65 εκατοστά
65
100
0,65
65
100
+
35
100
=
100
100
= 1
0,5
250 χιλιοστά
43
10
χρήματα
με
συμμιγή
με
ακέραιο
με
κλάσματα
με διαίρεση με δεκαδικό με μεικτό
2€ 20λ. 2€ 20λ. 220λ.
220
100
220:100 2,20€
20
2
100
€
10€ 15λ.
• Κατανοώ την ανάγκη μετατροπής των αριθμών από τη μία μορφή στην άλλη.
• Μετατρέπω τους δεκαδικούς αριθμούς σε κλάσματα.
• Μετατρέπω τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς.
5

Μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε
κλάσματα και αντίστροφα
3
4. Συγκρίνω τα παρακάτω ζεύγη, χρησιμοποιώντας το σύμβολο της ισότητας ή ανισότητας (<,>,=).
Α.
57
10
........ 5,07 Β.
456
100
........ 0,456
Γ.
203
100
........ 2,3 Δ.
345
100
........ 3,45
5. Κάνω τις παρακάτω πράξεις, έχοντας μετατρέψει πρώτα τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς.
Α. Β.
+
20
3,45
100
+
12
3,45
10
Πρόβλημα
1. Ο κ. Αλέξανδρος έχει
43
100
€ και ο κ. Δημήτρης έχει 4,34 €.
Α. Ποιος από τους δύο έχει περισσότερα χρήματα;
Β. Πόσο περισσότερα χρήματα έχει;
Βοηθητικές πράξεις Α
Βοηθητικές πράξεις Β
Απάντηση A: ......................................................................................................................................................................
Απάντηση B: ......................................................................................................................................................................
6

Σύγκριση φυσικών ή δεκαδικών
αριθμών
4
Ασκήσεις
1. Αναλύω κάθετα τους αριθμούς του πίνακα και τους τοποθετώ με σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο.
Αριθμός Εκατομμύρια Χιλιάδες Μονάδες
Ε Δ Μ Ε Δ Μ Ε Δ Μ
2.345.670
24.457.000
7.354.340
679.234.000
347.895.000
........................... < ........................... < ........................... < ........................... < ...........................
2. Ο πίνακας δείχνει την περιουσία των πέντε πλουσιότερων ανθρώπων της Ελλάδας. Διατάσσω τους αριθμούς
από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο. Προσοχή, διατάσσω τους αριθμούς και όχι τα ονόματα των ανθρώπων.
Ονόματα Χρήματα (ευρώ)
Χιονάς 6.516.000
Αλεξίου 5.471.000
Βαμιεδάκης 4.425.000
Κανιούρας 6.192.000
Αμοιραλής 6.695.000
........................... > ........................... > ........................... > ........................... > ...........................
3. Γράφω τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς από τον μεγαλύτερο προς το μικρότερο, χρησιμοποιώντας
το σύμβολο της ανισότητας.
2,34 8,699 5,1 8,69 1,22
……………………………………………………………………………………....................................................................................................
• Συγκρίνω φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς.
• Χρησιμοποιώ τα σύμβολα > και <.
• Διατάσσω τους φυσικούς και τους δεκαδικούς αριθμούς κατά αύξουσα ή
φθίνουσα σειρά.
• Παριστάνω τους αριθμούς με σημεία πάνω σε μια ευθεία.
7

Σύγκριση φυσικών ή δεκαδικών
αριθμών
4
4. Γράφω τον προηγούμενο και τον επόμενο δεκαδικό αριθμό.
Στα δέκατα Στα εκατοστά Στα χιλιοστά
Α. ……… < 0,5 < ……… Β. ……… < 0,50 < ……… Γ. ……… < 0,500 < ………
Δ. ……… < 0,8 < ……… Ε. ……… < 0,72 < ……… Ζ. ……… < 0,453 < ………
5. Τοποθετώ τους αριθμούς στις αριθμογραμμές.
8

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών
αριθμών
5
Ασκήσεις
1. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις. Στη συνέχεια επαληθεύω, χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα
της πρόσθεσης.
Α. 3,6 + 14 Β. 14,56 + 28,3
2. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις και τις επαληθεύσεις τους.
Α. 12 - 3,44 Β. 13,55 - 1,4
3. Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, προσθέτουμε πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους τον τρίτο κ.ο.κ.
Αν αλλάξουμε τα ζευγάρια των προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει (προσεταιριστική
ιδιότητα).
32 + 27 + 18 = (32 + 27) + 18 = 59 + 18 = 77
32 + 27 + 18 = 32 + (27 + 18) = 32 + 45 = 77
Χρησιμοποιώ την προσεταιριστική ιδιότητα, για να επιλύσω τις παρακάτω πράξεις, όπως στο παράδειγμα.
Α.
12 + 13 + 14 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
12 + 13 + 14 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
• Προσθέτω και αφαιρώ φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς.
• Χρησιμοποιώ τις ιδιότητες της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
• Αναγνωρίζω ότι η αφαίρεση είναι αντίθετη πράξη της πρόσθεσης.
9

αριθμών
5
4. Χρησιμοποιώ την προσεταιριστική ιδιότητα, για να επιλύσω γρήγορα τα παρακάτω αθροίσματα, όπως στο
παράδειγμα.
38 + 39 + 40 + 41 + 42 = (38 + 42) + 39 + 40 + 41 = 80 + (39 + 41) + 40 = 80 + 80 + 40 = (80 + 80) + 40 = 160 + 40 = 200
Α.
22 + 23 + 30 + 48 + 47
……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….
5. Συμπληρώνω τα παρακάτω μαγικά τετράγωνα. Στα μαγικά τετράγωνα κάθε γραμμή στήλη ή διαγώνιος θα
πρέπει να έχει άθροισμα τον μαγικό αριθμό.
Α. Β.
Ο μαγικός αριθμός είναι το 27
(5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13)
Ο μαγικός αριθμός είναι το 165
(15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95)
10

αριθμών
5
(…..) Α. Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει και στην αφαίρεση.
(…..) Β. Η επαλήθευση της πρόσθεσης είναι πάντα η αφαίρεση.
(…..) Γ. Η επαλήθευση της αφαίρεσης είναι πάντα η πρόσθεση.
(…..) Δ. Η ιδιότητα που ακολουθεί ονομάζεται προσεταιριστική.
9 + 10 + 1 = (9 + 1) + 10 = 10 + 10 = 20.
Α. Αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων, δεν αλλάζει το ………………………………. της πρόσθεσης. Αυτή η ιδιότητα
της πρόσθεσης ονομάζεται ……………………………….
Β. Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, προσθέτουμε πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους τον τρίτο κ.ο.κ. Αν
αλλάξουμε τα ζευγάρια των προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει. Αυτή η ιδιότητα της
πρόσθεσης ονομάζεται ……………………………….
Γ. Η αφαίρεση είναι πράξη ………………………………. της πρόσθεσης.
Πρόβλημα
1. Στο παρακάτω ραβδόγραμμα παρουσιάζονται στοιχεία από τη συγκομιδή μήλων την περίοδο του
Φθινοπώρου.
• Πόσα μήλα μάζεψαν και τα τέσσερα παιδιά;
• Απαντώ χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα.
• Επαληθεύω, χρησιμοποιώντας, επίσης, την προσεταιριστική ιδιότητα.
11

αριθμών
5
Δεδομένα Ζητούμενα
Βοηθητικές πράξεις Επαλήθευση
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
12

Πολλαπλασιασμός φυσικών και
δεκαδικών αριθμών
6
Ασκήσεις
1. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις. Στη συνέχεια επαληθεύω, χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα
του πολλαπλασιασμού.
Α. 3,6 x 14 Β. 14,56 x 28,3
Επαλήθευση Επαλήθευση
2. Λύνω τις παρακάτω πράξεις, όπως στο παράδειγμα (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού).
12 x (9 + 1) = 12 x 10 = 120
12 x (9 + 1) = (12 x 9) + (12 x 1) = 108 + 12 = 120
Α.
15 x (9 + 3) = …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………….
15 x (9 + 3) = …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………….
Β.
15 x (9 - 3) = …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………….
15 x (9 - 3) = …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………….
• Πολλαπλασιάζω φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς.
• Χρησιμοποιώ τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού.
• Διαπιστώνω την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.
• Πολλαπλασιάζω με το 10, το 100, το 1000 … και με το 0,1, το 0,01, το 0,001 ...
13

6
3. Χρησιμοποιώ την προσεταιριστική ιδιότητα, για να επιλύσω τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς, όπως στο
3 x 4 x 5 = (3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60
3 x 4 x 5 = 3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60
Α.
4 x 5 x 12
……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….
(…..) Α. Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει και στον πολλαπλασιασμό.
(…..) Β. Ισχύει ότι 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + 5.
(…..) Γ. Ισχύει ότι 12 x (9 + 1) = (12 x 9) + (12 x 1) = 108 + 12 = 120.
(…..) Δ. Ισχύει ότι 12,34 x 1.000 = 12.340.
(…..) Ε. Ισχύει ότι 3 x 10 x 0 = 30.
(…..) Στ. Ισχύει ότι 1.234 x 0,01 = 12,34.
(…..) Ζ. Η ιδιότητα που ακολουθεί ονομάζεται προσεταιριστική.
3 x 4 x 5 = (3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60
Α. Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, ………………………………. ………………………………. το
γινόμενο. Για παράδειγμα 2 · 8 = ……………… · ……………… Αυτή η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται
……………………………….
Β. Για να πολλαπλασιάσουμε τρεις αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τους δύο μεταξύ τους και μετά το
……………………………. τους με τον τρίτο. Αυτή η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται ……………………………….
Γ. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άθροισμα δύο ή περισσότερων προσθετέων, μπορούμε να
πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε ………………………………. και να προσθέσουμε τα επιμέρους
………………………………. Για παράδειγμα 2 · (8+5) = ……………… · ……………… + ……………… · ……………… = ……………… +
……………… = ……………… Αυτή η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται ………………………………. ιδιότητα του
πολλαπλασιασμού ως προς την ……………………………….
14

6
Πρόβλημα
1. Στο κατάστημα του Αλέξη υπάρχει μια οικονομική συσκευασία με 72 σοκολατάκια. Κάθε σοκολατάκι κοστίζει
0,32 €. Μέχρι το απόγευμα ο Αλέξης είχε πουλήσει 10 οικονομικές συσκευασίες. Πόσα χρήματα κέρδισε ο
Αλέξης;
Βρίσκω το αποτέλεσμα με μία αριθμητική παράσταση. Επαληθεύω χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική
ιδιότητα.
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
15

Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών
αριθμών
7
Ασκήσεις
1. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις. Στη συνέχεια επαληθεύω, κάνοντας πολλαπλασιασμό.
Α. 90,86 : 2,8 Β. 3.570:48
Επαλήθευση Επαλήθευση
2. Λύνω τις παρακάτω πράξεις, όπως στο παράδειγμα.
Α΄ τρόπος (12 + 24) : 6 = 36 : 6 = 6
Β΄ τρόπος (12 + 24) : 6 = (12 : 6) + (24 : 6) = 2 + 4 = 6 (επιμεριστική ιδιότητα της διαίρεσης)
Α.
(24 + 36) : 6 = ………………..………………………………………………………………………………………………….………………………………………….
(24 + 36) : 6 = …………..……………………………………………………………………………………………………….………………………………………….
Β.
(36 - 24) : 6 = ………………..………………………………………………………………………………………………….………………………………………….
(36 - 24) : 6 = …………..………………………………………………………………………………………………….……………………………………………….
• Διαιρώ φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς.
• Μελετώ τη διαίρεση ενός αριθμού με το 1 ή με τον εαυτό του.
• Διαπιστώνω ότι η τέλεια διαίρεση είναι αντίστροφη πράξη του
πολλαπλασιασμού.
• Διαιρώ με το 10, το 100, το 1.000 … και με το 0,1, το 0,01, το 0,001 …
16

Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών
αριθμών
7
3. Συμπληρώνω τα παρακάτω κενά.
A. 45 : ……. = 4,5 Β. 456 : ……. = 4,56
Γ. 5,6 : ……. = 0,056 Δ. 5,69 : ……. = 0,0569
Ε. 45,6 : ……. = 0,456 Στ. 4.567 : ……. = 4.567
(…..) Α. Ο πολλαπλασιασμός είναι αντίθετη πράξη με τη διαίρεση.
(…..) Β. Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει στη διαίρεση.
(…..) Γ. Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει στη διαίρεση.
(…..) Δ. Η πράξη της διαίρεσης μπορεί να γίνει σε όλους τους αριθμούς.
(…..) Ε. Ισχύει ότι 10 : 0 = 10.
(…..) Στ. Ισχύει ότι 0 : 10 = 0.
Προβλήματα
1. Μια εταιρεία αναψυκτικών παράγει δύο ειδών συσκευασίες αναψυκτικού. Η μία είναι 1 λίτρου και η άλλη 1,5
λίτρου. Η συσκευασία του 1 λίτρου κοστίζει 0,96 € και εκείνη του 1,5 κοστίζει 1,455 €. Ποια συσκευασία είναι πιο
συμφέρουσα;
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
17

Πράξεις με μεικτές αριθμητικές
παραστάσεις
8
Ασκήσεις
1. Λύνω τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις. Προσέχω τη σειρά με την οποία κάνω τις πράξεις.
Α. 35 – 6 + 13 – 27 + 8 =......................................................................................................................................................
B. 59 – 35 – 18 + 11 – 2 = ....................................................................................................................................................
Γ. 432 : 36 x 12 =..................................................................................................................................................................
Δ. 13 x 15 – 2 + 13 = ............................................................................................................................................................
Ε. 16 + 14 + 11 x 4 =............................................................................................................................................................
Στ. 8 – 6 x 15 + 8 =...............................................................................................................................................................
Ζ. 3 + 12 – 2 x 15 =...............................................................................................................................................................
2. Βάζω παρενθέσεις, για να ισχύουν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις.
Α. 5 x 3 + 4 – 8 = 27 Β. 6,5 + 5,5 : 100 = 0, 12
Γ. 56 : 5 + 3 x 3 = 21 Δ. 7 x 8 + 12 – 7 + 9 : 4 = 136
(…..) Α. Οι πράξεις που είναι στις παρενθέσεις έχουν προτεραιότητα.
(…..) Β. Η πράξη της διαίρεσης σε μια αριθμητική παράσταση γίνεται τελευταία.
(…..) Γ. Ισχύει ότι 12 + 4 x 3 = 16 x 3 = 36.
(…..) Δ. Ισχύει ότι 25 – 8 : 2 + 5 x 3 = 25 – 4 + 15 = 21 + 15 = 36.
(…..) Ε. Μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων λέγεται αριθμητική
παράσταση.
(…..) Στ. Στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά:
α) πρώτα προσθέσεις και αφαιρέσεις
β) μετά πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις
• Διαπιστώνω την ανάγκη της προτεραιότητας σε μια σειρά από πράξεις.
• Μαθαίνω τη σειρά των πράξεων για την επίλυση μιας αριθμητικής
παράστασης.
• Υπολογίζω αριθμητικές παραστάσεις.
• Σχηματίζω αριθμητικές παραστάσεις για τη λύση προβλημάτων.
18

Πράξεις με μεικτές αριθμητικές
παραστάσεις
8
Πρόβλημα
1. Η Σάντρα πήγε στο σούπερ μάρκετ και αγόρασε 0,750 κιλά τυρί φέτα με 7,40 € το κιλό, 5 κουτιά γάλα με 1,20 €
το ένα, 4 πακέτα χαρτοπετσέτες με 0,80 € το ένα, 3 γιαούρτια με 1,30 € το ένα και 10 αυγά με 0,15 € το ένα.
Έδωσε ένα χαρτονομισμάτων 50 ευρώ (€). Πόσα ρέστα θα πάρει; Λύνω χρησιμοποιώντας μια αριθμητική
παράσταση.
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
19

Λύνω σύνθετα προβλήματα των 4
πράξεων
9
• Το παρόν κεφάλαιο είναι εκτός ύλης.
20

Η χρήση του υπολογιστή τσέπης 10
21

Στρογγυλοποίηση φυσικών και
11
22

Διαιρέτες ενός αριθμού –
Μ.Κ.Δ. αριθμών
12
Υπενθύμιση
Α. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί
Ένας αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει μόνο δύο διαιρέτες (το 1 και τον εαυτό του) λέγεται πρώτος.
Παραδείγματα
Ο αριθμός 2, έχει για διαιρέτες μόνο το 1 και το 2.
• Ένας αριθμός που έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες λέγεται σύνθετος.
Παραδείγματα
Ο αριθμός 4, έχει για διαιρέτες το 1, το 2 και το 4.
Β. Εναλλακτικός τρόπος εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη αριθμών – Ανάλυση σε πρώτους παράγοντες
Παρατήρησε την παρακάτω στρατηγική, μέσω της οποίας μπορεί κανείς να βρει εύκολα τον ΜΚΔ των αριθμών
2.520, 2.940, 3.780.
2.520 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 2.940 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 x 7 3.780 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7
M.K.Δ. (2.520, 2.940, 3.780) = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 420
• Μαθαίνω τι είναι ο διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού.
• Βρίσκω τους διαιρέτες ενός αριθμού.
• Εντοπίζω τους κοινούς διαιρέτες δύο ή περισσότερων αριθμών και βρίσκω
τον μεγαλύτερο.
23

12
Ασκήσεις
1. Σημειώνω ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι.
3 5 7 9 13 15 19 20
21 24 25 27 29 30 31 33
Πρώτοι αριθμοί: ……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………….
Σύνθετοι αριθμοί: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. Βρίσκω τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τον αριθμών με δύο τρόπους.
Α. 24, 56
Α τρόπος
Β τρόπος
(…..) Α. Κάθε φυσικός αριθμός έχει διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του.
(…..) Β. Οι φυσικοί αριθμοί που έχουν παραπάνω από δύο διαιρέτες ονομάζονται σύνθετοι.
(…..) Γ. Οι διαιρέτες του 8 είναι οι αριθμοί 1, 2, 4, 8.
(…..) Δ. Ο αριθμός 3 είναι πρώτος αριθμός.
(…..) Ε. Ο αριθμός 6 είναι πρώτος αριθμός.
(…..) Στ. Μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών είναι ο μικρότερος από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών.
24

12
Πρόβλημα
1. Τα 60 παιδιά της Ε΄ δημοτικού και τα 36 της Στ΄ θα χωριστούν σε ομάδες, για να αναλάβουν δράσεις
καθαριότητας. Θέλουν να δημιουργήσουν όσο το δυνατό περισσότερες ομάδες. Κάθε ομάδα θα έχει τον ίδιο
αριθμό παιδιών της Ε΄ και της Στ’ τάξης.
Α. Σε πόσες ομάδες μπορούν να χωριστούν τα παιδιά, αν όλα τα παιδιά μπουν σε κάποια ομάδα;
Β. Πόσα παιδιά από κάθε τάξη θα βρίσκονται σε κάθε ομάδα;
Λύνω με τη βοήθεια της ανάλυσης πρώτων παραγόντων.
Βοηθητικές πράξεις
Απάντηση Α: ......................................................................................................................................................................
Απάντηση Β: ......................................................................................................................................................................
25

Κριτήρια διαιρετότητας13
Ασκήσεις
1. Συμπληρώνω τα ψηφία που λείπουν, ώστε:
Α. ο αριθμός 3 ….. 1 να διαιρείται με το 3
Β. ο αριθμός 4 9 ….. να διαιρείται με το 2
Γ. ο αριθμός 6 ….. 2 να διαιρείται με το 9
Δ. ο αριθμός 9 7 ….. να διαιρείται με το 25
Ε. ο αριθμός 2 ….. 4 να διαιρείται με το 4
2. Βάζω, στο τέλος των παρακάτω αριθμών, ένα ψηφίο, ώστε οι αριθμοί που θα προκύψουν να διαιρούνται με
το 9.
Α. 47 ….. Β. 53 …..
Γ. 26 …... Δ. 83 …..
Ε. 15 ….. Στ. 618 …..
(…..) Α. 0 αριθμός 860 διαιρείται με το 3.
(…..) Β. Οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται με το 2.
(…..) Γ. 0 αριθμός 2.600 διαιρείται με το 4 και με το 25.
(…..) Δ. Ένας αριθμός που διαιρείται με το 2 και το 3 διαιρείται και με το 6.
(…..) Ε. Ένας αριθμός που τελειώνει σε μηδέν όταν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο.
Α. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2, αν τελειώνει σε ………………., ………………., ………………., ………………., ………………..
Β. Ένας αριθμός διαιρείται με το 5, αν τελειώνει σε ………………. ή ………………..
Γ. Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το ………………. ή το
……………….
• Διακρίνω ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 2, το 3, το 5, το 9, το 10 ή το 25.
• Ανακαλύπτω κριτήρια, για να ξεχωρίζω αν ένας αριθμός διαιρείται με το 2,
το 3, το 5, το 9, το 10 ή το 25.
• Λύνω προβλήματα χρησιμοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας.
26

Κριτήρια διαιρετότητας 13
Δ. Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 ή το 25, αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με το ………………. ή το
……………….
Ε. Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 λέγονται ………………………………. αριθμοί.
1. Η Άλκηστις έχει 892 λίτρα χυμού πορτοκάλι και θέλει να τα αποθηκεύσει σε συσκευασίες των 9 λίτρων.
Μπορεί να το κάνει;
Απάντηση: ......................................................................................................................................................................
2. Η μητέρα της οικογένειας Παπαδόπουλου θέλει να μοιράσει χρήματα στα δύο παιδιά της. Ο ένας της γιος
ισχυρίζεται ότι έχει 600 € σε χαρτονομίσματα των 10 €, ενώ ο άλλος ισχυρίζεται ότι έχει 590 € σε
χαρτονομίσματα των 20 €. Ένα από τα δύο αδέρφια έχει κάνει λάθος. Ποιο είναι αυτό;
Απάντηση: ......................................................................................................................................................................
27

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί14
Ασκήσεις
1. Εξετάζω αν οι παρακάτω αριθμοί είναι πρώτοι ή σύνθετοι, έχοντας πρώτα συμπληρώσει τη λίστα των
διαιρετών τους. Όταν έχω πάρει την τελική μου απόφαση, σημειώνω με  τηνεπι
Αριθμός Λίστα διαιρετών Πρώτος Σύνθετος
10
5
12
18
41
15
2
49
73
21
• Γνωρίζω τους πρώτους και τους σύνθετους αριθμούς.
• Μαθαίνω τι είναι το «κόσκινο του Ερατοσθένη».
• Διακρίνω αν ένας αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος με τα κριτήρια
διαιρετότητας.
28

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί 14
2. Διευκολύνω τη Hippie να πάρει το σωστό μονοπάτι, ώστε να φτάσει στο κόκαλο. Το μονοπάτι αποτελείται από
πρώτους αριθμούς.
(…..) Α. Ο μικρότερος πρώτος αριθμός είναι το 2.
(…..) Β. Ο μικρότερος σύνθετος αριθμός είναι το 6.
(…..) Γ. Το 1 είναι πρώτος αριθμός.
(…..) Δ. Το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών δίνει πρώτο αριθμό.
(…..) Ε. Ένας αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει μόνο δύο διαιρέτες (το 1 και τον εαυτό του) λέγεται πρώτος.
29

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί14
1. Ο Δημήτρης ρώτησε τον θείο του πόσων χρονών είναι και του απάντησε ότι η ηλικία του είναι πρώτος αριθμός
από το 30 έως το 60. Αν τα ψηφία της ηλικίας του αντιστραφούν, ο αριθμός που προκύπτει μπορεί να διαιρεθεί
ακριβώς με το 2. Πόσων χρονών είναι ο θείος του Δημήτρη;
Απάντηση: ......................................................................................................................................................................
2. Τα παιδιά στην τάξη της Αλεξάνδρας θέλουν να βρουν τους πρώτους αριθμούς από το 100 έως το 199.
Έφτιαξαν έναν πίνακα και αποφάσισαν να διαγράψουν τα πολλαπλάσια των αριθμών 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 11 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189
190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
• Σημειώνω τους αριθμούς που δε διέγραψα.
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
• Ελέγχω, αν οι αριθμοί που σημείωσα είναι όντως πρώτοι αριθμοί.
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
30

Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών 15
Ασκήσεις
1. Βρίσκω ποιοι αριθμοί έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Α. 2 x 3 x 3 x 5 = …………………………. B. 3 x 3 x 5 x 7 = ………………………….
Γ. 7 x 7 x 11 x 13 = …………………………. Δ. 3 x 7 x 13 = ………………………….
Ε. 11 x 13 x 17 = …………………………. Στ. 13 x 17 x 31 = ………………………….
(…..) Α. Η ανάλυση πρώτων παραγόντων του 21 είναι 3 x 7 = 21.
(…..) Β.Η ανάλυση πρώτων παραγόντων του 12 είναι 3 x 4 = 12.
(…..) Γ. Η ανάλυση πρώτων παραγόντων του 40 είναι 2 x 4 x 5 = 40.
(…..) Δ. Η παραγοντοποίηση με δενδροδιάγραμμα και με διαδοχικές διαιρέσεις είναι ισοδύναμες διαδικασίες.
1. Πόσες φορές εμφανίζεται ο αριθμός 2 στο γινόμενο πρώτων παραγόντων του αριθμού 128;
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
• Αναλύω έναν σύνθετο αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
• Μαθαίνω τη διαδικασία ανάλυσης με δεντροδιάγραμμα και με διαδοχικές
διαιρέσεις.
31

Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών15
2. Σε ένα κουτί υπάρχουν 45 περιοδικά. Είναι τακτοποιημένα σε τριάδες και τοποθετημένα σε 3 στήλες. Κάθε
στήλη έχει τον ίδιο αριθμό βιβλίων. Πόσες τριάδες έχει κάθε στήλη;
Απάντηση: .........................................................................................................................................................................
32

Πολλαπλάσια ενός αριθμού –
Ε.Κ.Π. αριθμού
16
Υπενθύμιση
Α. Εύρεση του Ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου ενός αριθμού με τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων
Παρατήρησε την παρακάτω στρατηγική, μέσω της οποίας μπορεί κανείς να βρει εύκολα το Ε.Κ.Π. των αριθμών 30,
36, 45.
Το Ε.Κ.Π. των αριθμών 30, 36 και 45 είναι το γινόμενο των πρώτων παραγόντων που φαίνονται στη δεξιά στήλη.
Ε.Κ.Π. (30, 36, 45) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180
Ασκήσεις
1. Βρίσκω τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών, κυκλώνοντας τα κοινά πολλαπλάσια και
επιλέγοντας το μικρότερο από αυτά.
Α. ΚΠ (3,5) μέχρι το 60
Π3 : .....................................................................................................................................................................................
Π6 : .....................................................................................................................................................................................
Ποιο είναι το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο; …………….
Β. ΚΠ (2, 4) μέχρι το 40
Π2 : .....................................................................................................................................................................................
Π4 : .....................................................................................................................................................................................
Ποιο είναι το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο; …………….
• Βρίσκω πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών.
• Βρίσκω τα κοινά πολλαπλάσια και εντοπίζω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο
(Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών.
• Χρησιμοποιώ τις διαδοχικές διαιρέσεις των αριθμών για να βρω το Ε.Κ.Π.
33

Πολλαπλάσια ενός αριθμού –
Ε.Κ.Π. αριθμού
16
(…..) Α. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 3 και του 7 είναι το 3 x 7.
(…..) Β. Το δύο διαιρεί το 4, άρα και τα πολλαπλάσια του 4.
(…..) Γ. Το 5 διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
(…..) Δ. ΕΚΠ(12,24)= 24.
(…..) Ε. ΕΚΠ(6,12,18) = 18.
Α. Πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν
άλλο φυσικό αριθμό.
Β. Κάθε φυσικός αριθμός έχει ………………………………. πολλαπλάσια.
Γ. ………………………………. πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι αριθμοί που είναι
πολλαπλάσια όλων αυτών των φυσικών αριθμών.
Δ. Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια, εκτός από το 0, λέγεται ………………………………. ……………………………….
……………………………….
Πρόβλημα
1. Στην κουζίνα ενός μαγαζιού ετοιμάζουν μπριζόλες κάθε 9 λεπτά, πατάτες κάθε 6 λεπτά και σαλάτες κάθε 4
λεπτά. Αν η κουζίνα ξεκινάει να δουλεύει στις 13:30 και τελειώνει τις 16:30, πόσες φορές θα μαγειρέψει
μπριζόλες, πατάτες και σαλάτα μαζί;
Απάντηση : ......................................................................................................................................................................
34

Δυνάμεις 17
Ασκήσεις
1. Γράφω με μορφή δυνάμεων τα παρακάτω γινόμενα.
Α. 4 x 4 x 4 x 5 x 5 x 7 x 7 …………………………………………………………………………………………………………………….…
Β. 4 x 3 x 4 x 3 x 3 x 4 …………………………………………………………………………………………………………………….…
Γ. 3 x 3 x 3 x 3 x 7 x 7 x 7 x 7 …………………………………………………………………………………………………………………….…
Δ. 5 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 x 7 x 7 x 8 x 8 …………………………………………………………………………………………………………………….…
2. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων, βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρακάτω αριθμών. Ύστερα,
εκφράζω το Ε.Κ.Π. με τη μορφή δύναμης.
8 12 16 24 12 18 24 16 24 32
ΕΚΠ(8,12)=……………… ΕΚΠ(16,24)= ……………… ΕΚΠ(12,18,24)= ……………… ΕΚΠ(16,24,32)= ………………
3. Συγκρίνω τα παρακάτω ζεύγη, χρησιμοποιώντας το σύμβολο της ισότητας ή ανισότητας (<,>,=).
34
........ 43
25
........ 52
44
........ 4 x 4 x 4
92
........ 29
84
........ 26
• Γνωρίζω την έννοια και τον συμβολισμό της δύναμης ενός αριθμού.
• Διαβάζω και γράφω δυνάμεις.
• Γράφω το γινόμενο ίδιων παραγόντων με δύναμη και αντίστροφα.
• Υπολογίζω τις δυνάμεις ενός αριθμού.
35

Δυνάμεις17
(…..) Α. Η βάση είναι ο αριθμός που χρησιμοποιείται ως παράγοντας στο γινόμενο.
(…..) Β. Ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές ο αριθμός της βάσης χρησιμοποιείται ως παράγοντας.
(…..) Γ. Το 145.678
=45.678
(…..) Δ. Ισχύει ότι 72
=49.
(…..) Ε. Ισχύει ότι 32
=3 x 2.
(…..) Στ. Ισχύει ότι 24
=42
.
(…..) Ζ. Ένα γινόμενο με διαφορετικούς παράγοντες μπορεί να γραφεί ως δύναμη.
Πρόβλημα
1. Στα Εκπαιδευτήρια Ζώη, η Ελένα, μια μαθήτρια της έκτης τάξης, αποφάσισε να διαδώσει την πληροφορία ότι
το σχολείο θα παραμείνει κλειστό στις 14 Νοεμβρίου. Η Ελένα μετέδωσε την πληροφορία στον Δημήτρη και στον
Ιωάννη την 1η
Νοεμβρίου και τους είπε να διαδώσουν την πληροφορία σε δύο άλλα παιδιά την επόμενη μέρα.
Κάθε νέο παιδί που μαθαίνει την πληροφορία θα τη διαδίδει σε δύο άλλα παιδιά. Συμπληρώνω τον παρακάτω
πίνακα, για να εντοπίσω πόσα παιδιά θα έχουν ενημερωθεί μέχρι τις 13 Νοεμβρίου.
Ημερομηνία
Αριθμός ατόμων που
ακούν την πληροφορία
κάθε μέρα.
Αριθμός ατόμων που
γνωρίζουν την
πληροφορία (μαζί με την
Ελένα)
Μαθηματικός
συμβολισμός παιδιών που
ακούν την πληροφορία
κάθε μέρα (δύναμη)
1 Νοεμβρίου 2 3 2
2 Νοεμβρίου 4 7 (2 x 2) ή 22
3 Νοεμβρίου 8 15 (2 x 2 x 2) ή 23
4 Νοεμβρίου
36

Δυνάμεις 17
Α. Πόσα παιδιά θα έχουν ακούσει την πληροφορία μέχρι τις 10 Νοεμβρίου;
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….….
Β. Η Ελένα ξεκινά να διαδίδει την πληροφορία την 1η
Νοεμβρίου. Αν στο σχολείο υπάρχουν 4.500 παιδιά, είναι
δυνατόν να έχουν ενημερωθεί όλα τα παιδιά μέχρι τις 13 Νοεμβρίου και να μείνουν σπίτι τους στις 14
Νοέμβριου;
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….….
37

Δυνάμεις του 1018
38

Ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα 19
Ασκήσεις
1. Απαντώ στις παρακάτω ερωτήσεις.
Α. Β. Γ.
Τι μέρος από τα αστέρια είναι
χρωματισμένα;
Τι μέρος του κύκλου είναι
χρωματισμένο;
Τι μέρος των σχημάτων είναι τα
τρίγωνα;
2. Εκτιμώ το σκιασμένο μέρος στα παρακάτω σχήματα. Ύστερα το γράφω σε μορφή κλάσματος.
Α. Β. Γ. Δ. Ε.
3. Συμπληρώνω τα κενά.
50
......
25
=
10
......
10
=
70
2
......
= =
10
2
......
9
3
......
=
0
......
10
=
• Μελετώ την έννοια του κλάσματος ως μέρος του όλου.
• Συγκρίνω το κλάσμα με την ακέραιη μονάδα.
• Διαπιστώνω ότι υπάρχουν κάποια κλάσματα που μετατρέπονται σε μεικτούς
αριθμούς και μαθαίνω πώς να μετατρέπω τη μια μορφή στην άλλη.
39

Ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα19
4. Σημειώνω τι μέρος του πρώτου σχήματος είναι το δεύτερο σχήμα.
Α. Αν = 1 τότε = Β. Αν = 1 τότε =
Γ. Αν = 1 τότε = Δ. Αν = 1 τότε =
5. Συμπληρώνω ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι καταχρηστικά, γνήσια ή ίσα με τη μονάδα.
31 15 20 2.015 201 14 15 4.425
, , , , , , ,
14 15 1 2.014 2.014 15 14 4.425
Γνήσια
Καταχρηστικά
Ίσα με τη μονάδα
6. Τοποθετώ το σύμβολο της ισότητας (=) ή ανισότητας (<,>) στα παρακάτω κενά.
1
...... 1
12
12
...... 1
10
1
...... 1
1
152
...... 1
151
7. Μετατρέπω τα παρακάτω κλάσματα σε μεικτούς αριθμούς, όπως στο παράδειγμα.
Α. Β.
34
5
23
4
40

8. Μετατρέπω τους παρακάτω μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα, όπως στο παράδειγμα.
Α. Β. Γ.
3
3
5
3
5
4
5
7
9
9. Απαντώ στις παρακάτω ερωτήσεις, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της κλασματικής μονάδας.
Πόσα εκατοστά είναι τα
2
20
του μέτρου;
• Τα
20
20
του μέτρου είναι 100 εκατοστά.
• Tο
1
20
του μέτρου είναι 100: 20 = 5 εκατοστά.
• Τα
2
20
είναι 5 x 2 = 10 εκατοστά.
Α. Πόσα εκατοστά είναι το
3
5
• ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
• ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
• ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
B. Πόσα εκατοστά είναι το
3
4
• ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
• ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
• ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
41

10. Σημειώνω τι μέρος του πρώτου σχήματος είναι το δεύτερο σχήμα.
Μία μονάδα
Τα μέρη από τα οποία
αποτελείται η μονάδα
Κλασματική
μονάδα
Καταχρηστικό
κλάσμα
Μεικτός
αριθμός
Α. Αν = 1 τότε
1
6
7
6
1
1
6
Β. Αν = 1 τότε
11. Στη Στήλη Β, γράφω το καταχρηστικό κλάσμα που αντιστοιχεί σε κάθε σχήμα της Στήλης Α. Στη Στήλη Γ,
γράφω το καταχρηστικό κλάσμα σε μορφή μεικτού αριθμού.
42

(…..) Α. Τα κλάσματα
1 1 1 1 6
, , , ,
25 2 12 3 1
είναι κλασματικές μονάδες.
(…..) Β. Τα κλάσματα
2 2 2
, ,
25 4 6
είναι ομώνυμα.
(…..) Γ. Το κλάσμα
1
25
είναι καταχρηστικό.
(…..) Δ. Το κλάσμα
2
3
είναι γνήσιο.
(…..) Ε. Το κλάσμα
3
2
σημαίνει ότι χώρισα σε 3 κομμάτια και από αυτά πήρα τα 2.
Α. Ο αριθμός που δηλώνει το ………………………………. ενός «όλου» ονομάζεται κλάσμα.
Β. Το κλάσμα σχηματίζεται από δύο φυσικούς αριθμούς, τον ………………………………. και τον ……………………………….,
που χωρίζονται μεταξύ τους από την ………………………………. γραμμή.
Γ. Το κλάσμα με αριθμητή το 1 λέγεται ………………………………. ……………………………….
Δ. Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ………………………………. από τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι μικρότερο
από το 1.
Ε. Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ………………………………. με τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι ίσο με το 1.
Στ. Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από
το 1 και μπορούμε να μετατρέψουμε το κλάσμα σε ………………………………. αριθμό.
Πρόβλημα
1. Τον Νοέμβριο οι μαθητές παρατήρησαν προσεκτικά τις καιρικές συνθήκες και κατέγραψαν τις παρατηρήσεις
τους. Το
1
2
των ημερών ήταν συννεφιασμένες, το
1
3
ήταν βροχερές, το
1
4
ήταν με καταιγίδες και το
1
8
ήταν
ηλιόλουστες.
Α. Σημειώνω στο παρακάτω σχήμα με μπλε τις συννεφιασμένες, κόκκινο τις βροχερές, πράσινο εκείνες με τις
καταιγίδες και κίτρινο τις ηλιόλουστες.
43

Β. Αν υποθέσουμε ότι οι ημέρες που παρατήρησαν συνολικά ήταν 24, πόσες μέρες από αυτές ήταν
συννεφιασμένες, πόσες βροχερές, πόσες με καταιγίδες και πόσες ηλιόλουστες;
Απάντηση
Συννεφιασμένες Βροχερές Καταιγίδες Ηλιόλουστες
44

Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο
διαίρεσης
20
Ασκήσεις
Κλάσμα Κλάσμα ως
διαίρεση
Αποτέλεσμα
διαίρεσης
Στρογγυλοποίηση
στα δέκατα
στα εκατοστά
στα χιλιοστά
5
12
2
3
2. Σημειώνω τα γράμματα που απεικονίζουν καλύτερα τα παρακάτω κλάσματα.
Α. Β.
• Ποιο γράμμα απεικονίζει καλύτερα τα
7
8
; ………….
6
8
; ………….
6
6
; ………….
4
6
; ………….
Γ. Δ.
3
6
; ………….
5
6
; ………….
3
8
; ………….
2
8
; ………….
• Διαπιστώνω ότι το κλάσμα είναι το πηλίκο μιας διαίρεσης.
• Μαθαίνω να μετατρέπω ένα κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό και αντίστροφα.
• Σημειώνω τη θέση του κλάσματος στην αριθμογραμμή από τη δεκαδική του
αξία.
45

Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο
διαίρεσης
20
3. Κάνω τις παρακάτω πράξεις, έχοντας μετατρέψει πρώτα τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς.
Α. Β. Γ. Δ.
+
20
3,45
100
+
32
0,023
1.000
+
12
3,45
10
−
3.200
0,023
1.000
(…..) Α. Τα κλάσματα είναι ίσα με τη διαίρεση του παρονομαστή με τον αριθμητή.
(…..) Β. Οι δεκαδικοί αριθμοί γράφονται και ως κλάσματα.
(…..) Γ. Ισχύει ότι =
7
7,5
5
.
(…..) Δ. Το κλάσμα εκφράζει πάντα το πηλίκο μιας τέλεια διαίρεσης.
(…..) Ε. Τα κλάσματα μπορούν να γραφτούν και ως δεκαδικοί αριθμοί.
Πρόβλημα
1. Ο κ. Δημήτρης αγόρασε 10 σοκολάτες για τα 10 εγγόνια του. Τα 4 εγγόνια αρρώστησαν και δεν τον
επισκέφτηκαν. Πόση σοκολάτα θα φάνε τα εγγόνια που κατάφεραν να τον επισκεφτούν;
Απάντηση : ......................................................................................................................................................................
46

Ισοδύναμα κλάσματα 21
Ασκήσεις
1. Συμπληρώνω τους αριθμούς που λείπουν, ώστε να προκύψουν ισοδύναμα κλάσματα.
Α.
1
2
= Β.
1
2
=
Γ.
1
2
= Δ.
1
2
=
Ε.
2
5
= = = Ζ.
1 4
2 4 16
= = =
Η.
1
3
= = = Θ.
2
5
= = =
2. Απλοποιώ τα παρακάτω κλάσματα μέχρι να γίνουν ανάγωγα. Για να γίνουν ανάγωγα τα κλάσματα ,
χρειάζεται να βρούμε τον Μ.Κ.Δ του αριθμητή και του παρονομαστή. Το παράδειγμα θα σε κατευθύνει στην
εργασία σου.
32
18
=
• Βρίσκω τον ΜΚΔ του αριθμητή και του παρονομαστή με την τεχνική των διαδοχικών διαιρέσεων.
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 18 = 2 x 3 x 3
ΜΚΔ(32, 18) = 2
• Διαιρώ με τον ΜΚΔ του αριθμητή και του παρονομαστή.
• Αναγνωρίζω δύο ισοδύναμα κλάσματα.
• Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα.
• Απλοποιώ κλάσματα, ώστε να γίνουν ανάγωγα.
47

Ισοδύναμα κλάσματα21
Α.
18
24
= Β.
27
36
= Γ.
45
60
= Δ.
18
72
=
3. Εξετάζω αν τα παρακάτω κλάσματα είναι ισοδύναμα, χρησιμοποιώντας τα χιαστί γινόμενα, όπως στο
1 2
,
2 4
Α.
8 12
,
12 18
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Β.
12 15
,
26 20
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
48

Ισοδύναμα κλάσματα 21
4. Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα με απλοποίηση.
Α.
12
18
= Β.
18
24
= Γ.
27
36
= Δ.
45
60
= Ε.
18
72
=
5. Μετατρέπω το
1
7
σε ένα ισοδύναμο κλάσμα με παρονομαστή:
Α. τον αριθμό 28: Β. τον αριθμό 63:
(…..) Α. Τα κλάσματα =
1 8
4 2
ισοδύναμα, γιατί 4 x 2 = 1 x 8.
(…..) Β. Η απλοποίηση δύο κλασμάτων γίνεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός
κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.
(…..) Γ. Ανάγωγα είναι τα κλάσματα που δεν απλοποιούνται άλλο.
(…..) Δ. Το κλάσμα
10
25
απλοποιείται με το 5.
(…..) Ε. Το κλάσμα
3
5
είναι ανάγωγο.
(…..) Στ. Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον αριθμό 4, το κλάσμα θα
μεγαλώσει 4 φορές.
(…..) Ζ. Ένα ανάγωγο κλάσμα είναι πάντα μικρότερο του 1.
(…..) Η. Τα κλάσματα =
3 60
11 220
ισοδύναμα, γιατί 4 x 2 = 1 x 8.
Α. Δύο κλάσματα λέγονται ………………………………. ή ………………………………. όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος του όλου.
Β. Αν ………………………………. «χιαστί» τους όρους δύο ισοδύναμων κλασμάτων, τα δύο γινόμενα που προκύπτουν
είναι ίσα μεταξύ τους.
Γ. Αν ………………………………. τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό, προκύπτει ισοδύναμο με το
αρχικό κλάσμα.
Δ. Αν διαιρέσουμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό, προκύπτει ………………………………. κλάσμα.
Αυτή η τεχνική λέγεται ………………………………. του κλάσματος.
Ε. Αν ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί (δεν υπάρχει αριθμός, εκτός από το 1, που να είναι κοινός διαιρέτης
του αριθμητή και του παρονομαστή), το κλάσμα λέγεται ………………………………..
49

Ισοδύναμα κλάσματα21
Πρόβλημα
1. Η Μαίρη έχει
12
30
της σοκολάτας και η Ζωή
2
5
έχει της σοκολάτας. Τα κορίτσια υποστηρίζουν ότι έχουν
ακριβώς την ίδια ποσότητα σοκολάτας. Έχουν δίκιο;
Απάντηση : ......................................................................................................................................................................
50

Σύγκριση - Διάταξη κλασμάτων 22
Ασκήσεις
1. Συγκρίνω τα παρακάτω κλάσματα, κάνοντας τα ομώνυμα, όπως στο παράδειγμα.
1 2 3
, ,
2 5 4
Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών
Ε.Κ.Π.(2, 4, 5) = 20
Πολλαπλασιάζω τα κλάσματα με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε να γίνουν ομώνυμα.
Συγκρίνω τα κλάσματα
< <
8 10 15
20 20 20
άρα < <
2 1 3
5 2 4
• Συγκρίνω ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα.
• Διατάσσω τα κλάσματα κατά αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.
• Τοποθετώ τα κλάσματα στην αριθμογραμμή.
• Μετατρέπω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.
51

Σύγκριση - Διάταξη κλασμάτων22
Α.
3 5 4
, ,
4 6 7
Β.
3 5 4
, ,
2 4 16
52

2. Χρησιμοποιώ το σύμβολο της ανισότητας, για να συγκρίνω τα παρακάτω κλάσματα. Για να αποφασίσω, τα
ζωγραφίζω σε ένα πρόχειρο χαρτί.
Α.
4
6
........
3
6
Β.
2
8
........
5
8
Γ.
2
5
........
9
5
Δ.
11
12
........
5
12
• Τι κοινό έχουν τα κλάσματα;
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
• Τι συμπέρασμα βγαίνει για τη σύγκριση αυτών των κλασμάτων;
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3. Χρησιμοποιώ το σύμβολο της ανισότητας, για να συγκρίνω τα παρακάτω κλάσματα. Για να αποφασίσω, τα
ζωγραφίζω σε ένα πρόχειρο χαρτί.
Α.
4
6
........
4
5
Β.
2
8
........
2
10
Γ.
3
5
........
3
9
Δ.
11
12
........
11
15
• Τι κοινό έχουν τα κλάσματα;
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
• Τι συμπέρασμα βγαίνει για τη σύγκριση αυτών των κλασμάτων;
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. Τα παρακάτω κλάσματα δεν είναι εύκολο να ζωγραφιστούν, γιατί θα χαθεί πολύτιμος χρόνος. Μπορούν να
μπουν σε αύξουσα σειρά με βάση τα παραπάνω συμπεράσματα;
4 4 4
, ,
38 26 58
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
5. Τα παρακάτω κλάσματα δεν είναι εύκολο να ζωγραφιστούν, γιατί θα χαθεί πολύτιμος χρόνος. Μπορούν να
μπουν σε αύξουσα σειρά με βάση τα παραπάνω συμπεράσματα;
4 22 28
, ,
56 56 56
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
53

Σύγκριση - Διάταξη κλασμάτων22
6. Βρίσκω ένα κλάσμα που βρίσκεται ανάμεσα στα παρακάτω ζευγάρια κλασμάτων, όπως στο παράδειγμα.
4 5
,
6 6
=
4 8
6 12
=
5 10
6 12
< <
8 9 10
12 12 12
1 2
,
3 3
7. Σημειώνω τα κλάσματα που αντιστοιχούν στα παρακάτω γράμματα.
Α: B: Γ: Δ: Ε: Α: B: Γ: Δ:
8. Βάζω κάθε γράμμα στο κατάλληλο κουτί.
Α.
2
3
Β.
17
100
Γ.
1
3
Δ.
1
4
Ε.
1
1
20
Στ.
13
24
54

(…..) Α. Το κλάσμα
21
23
είναι κοντά στο 1.
(…..) Β. Το κλάσμα
21
3
είναι κοντά στο 0.
(…..) Γ. Ισχύει ότι > >
4 4 4
5 6 7
.
(…..) Δ. Ισχύει ότι < <
2 8 4
5 20 5
.
(…..) Ε. Ανάμεσα σε δύο ομώνυμα κλάσματα, μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο αριθμητή.
(…..) Στ. Ανάμεσα σε δύο ετερώνυμα κλάσματα με κοινό αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο
παρονομαστή.
(…..) Ζ. Για να συγκρίνουμε ετερώνυμα κλάσματα, χρειάζεται πρώτα να τα κάνουμε ομώνυμα και μετά να τα
συγκρίνουμε.
Πρόβλημα
1. Η Μάρθα θα φτιάξει μπισκότα με βούτυρο. Η συνταγή περιέχει
4
6
του ποτηριού γάλα. Η Μάρθα έχει
6
8
του
ποτηριού γάλα. Έχει αρκετό γάλα, για να φτιάξει τα μπισκότα;
Απάντηση : ......................................................................................................................................................................
55

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων23
Ασκήσεις
1. Προσθέτω τα παρακάτω κλάσματα, κάνοντας τα ομώνυμα, όπως στο παράδειγμα.
+ +
1 2 3
2 5 4
Ε.Κ.Π.(2, 4, 5) = 20
Προσθέτω τα κλάσματα
+ +
+ + = + + = =
1 2 3 10 8 15 10 8 15 33
2 5 4 20 20 20 20 20
• Προσθέτω και αφαιρώ κλάσματα.
• Λύνω απλά προβλήματα με δεκαδικούς, μεικτούς και κλάσματα
ακολουθώντας μια σειρά από βήματα.
56

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 23
Α. +
2 3
4 5
Β. + +
2 4
3
3 5
57

2. Αφαιρώ τα παρακάτω κλάσματα, κάνοντας τα ομώνυμα.
Α. −
3 6
6 15
Αφαιρώ τα κλάσματα
Β. −
3 5
5 12
58

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 23
3. Κάνω τις παρακάτω πράξεις.
Α. −
2 6
2 1
3 7
(…..) Α. Ισχύει ότι − =
4 1 3
5 3 2
.
(…..) Β. Ισχύει ότι − =
2 2
5 2 3
3 3
.
(…..) Γ. Ισχύει ότι + =
2 4 6
3 3 6
.
(…..) Δ. Ισχύει ότι − =
2 4
6
5 5
.
59

Πρόβλημα
1. Ο κύριος Κώστας μάζεψε τα
5
9
των χρημάτων του, για να αγοράσει μια μηχανή. Ποια είναι η τιμή της
μηχανής, αν χρειάζεται 1. 200 €, για να συμπληρώσει το ποσό;
Απάντηση : ......................................................................................................................................................................
60

Προβλήματα με πολλαπλασιασμό
και διαίρεση κλασμάτων
24
Ασκήσεις
1. Κάνω τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς, όπως στο παράδειγμα. Ύστερά μετατρέπω τα κλάσματα σε
ανάγωγα.
= = →
3x43 4 12 3
x
8 2 8x2 16 4
Α. = = →
5 90
x
8 70
Β. = = →
765 293
x
293 765
Γ. = = →
6 8
x
7 40
Δ. = = →
65 10
x
450 2
2. Βρίσκω τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών, όπως στο παράδειγμα.
9
7
: Ο αντίστροφος είναι
7
9
, γιατί
9x79 7 35
x 35:35 1
7 9 7x9 35
= = = =
Α.
5
8
: ........................................................................................................................................................................
B.
12
98
: ........................................................................................................................................................................
3. Κάνω τις παρακάτω διαιρέσεις, όπως στο παράδειγμα.
= = =
4 1 4 3 12
: x 2
6 3 6 1 6
Α.
8 20 4
: :
10 24 50
• Πολλαπλασιάζω και διαιρώ κλάσματα.
• Λύνω προβλήματα υπολογισμού του κλασματικού μέρους ενός ποσού.
• Yπολογίζω αριθμητικές παραστάσεις που περιέχουν κλάσματα.
61

24
• Σημειώνω τι παρατηρώ.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. Λύνω τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις.
Α. + − + −
4 5 7 1 9 2
( )x ( )
9 6 18 2 10 5
B. − + −
3 2 1 11 1 1
x x
9 3 3 12 4 2
(…..) Α. Για να κάνω πολλαπλασιασμό κλασμάτων, χρειάζεται πρώτα να έχω μετατρέψει τα κλάσματα σε ομώνυμα.
(…..) Β. Ισχύει ότι =
2 10
5x
3 6
.
(…..) Γ. Ισχύει ότι =
2 8
:4
5 5
.
(…..) Δ. Ισχύει ότι τα
2
5
του ευρώ είναι 0,40 λεπτά.
Α. Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με ………………………………. και παρονομαστή
με ………………………………..
Β. Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, αντιστρέφουμε τους όρους του ………………………………. κλάσματος και κάνουμε
………………………………
62

24
1. Στον «Πανιώνιο Γυμναστικό Σύλλογο Σμύρνης» είναι εγγεγραμμένοι 3.168 νέοι αθλητές. Από αυτούς τα
2
4
ασχολούνται με το ποδόσφαιρο και τα
2
9
των υπολοίπων ασχολούνται με το μπάσκετ. Οι υπόλοιποι αθλητές
κάνουν βόλεϊ.
Α. Πόσοι αθλητές ασχολούνται με το ποδόσφαιρο;
Β. Πόσοι αθλητές ασχολούνται με το μπάσκετ;
Γ. Πόσοι αθλητές ασχολούνται με το βόλεϊ;
Βοηθητικές πράξεις για το Α
Βοηθητικές πράξεις για το Β
Βοηθητικές πράξεις για το Γ
Απάντηση Α : .....................................................................................................................................................................
Απάντηση Β : .....................................................................................................................................................................
Απάντηση Γ : .....................................................................................................................................................................
63

μαθηματικά στ΄ δημοτικού α΄τεύχος

μαθηματικά στ΄ δημοτικού α΄τεύχος

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to μαθηματικά στ΄ δημοτικού α΄τεύχος

Similar to μαθηματικά στ΄ δημοτικού α΄τεύχος (20)

More from Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη

More from Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

μαθηματικά στ΄ δημοτικού α΄τεύχος