1. Магадлал, тархалтууд
Б.Батзориг НЭМС, ЭБТ

2. Агуулга
 Магадлал
 Бином, Бернуллийн тархалт
 Пауссоны тархалт
 Хэвийн тархалт

3. Òîäîðõîéëîëò
 ¯çýãäýë
 Òóðøèëòûí ¿ð ä¿íã ¿çýãäýë ãýíý.
 Ãàðöààã¿é ¿çýãäýë:
 Òóðøèëòûí ¿ð ä¿íä çºâõºí ãàíö ¿çýãäýë èëýðäýã áîë ò¿¿íèéã ãàðöààã¿é
¿çýãäýë ãýíý.
 Õàðèëöàí õàìààðàëã¿é ¿çýãäýë:
 àëü íýã ¿çýãäýë ãàðñàí ýñýõ íü íºãºº ¿çýãäýë ãàðàõ ýñýõýä íºëººëºõã¿é
áîë ýäãýýð ¿çýãäëèéã õàðèëöàí õàìààðàëã¿é ¿çýãäýë ãýíý.
 Õàðèëöàí ¿ã¿éñãýñýí ¿çýãäýë: íýãýí çýðýã ãàðàõ
áîëîìæã¿é ¿çýãäë¿¿ä
3

4. òîäîðõîéëîëò
 Ìàãàäëàë
 Èæèë íºõöºëä òóðøèëòûã äàâòàí õèéõýä òóõàéí
¿çýãäýë àæèãëàãäàõ äàâòàìæ
 P(A) ãýñýí òýìäýãëýãýý íü À ¿çýãäëèéí
àæèãëàãäàõ ìàãàäëàë
 P(A)=n(A)/n
4

5. òîäîðõîéëîëò
 Odds ratio
 Ìàãàäëàëûã ò¿¿íèé ¿ëäñýí õýñýãò
õàðüöóóëñàí õàðüöàà P/(1-p)
 Ìàãàäëàëûí õýìæèëòèéí
õóâààðü
 Ìàãàäëàë íü 0-ýýñ 1-èéí õîîðîíä
õýëáýëçäýã.
 [0,1]->[0%-100%]
5

6. Ìàãàäëàëûí àíãèëàë
 Ýíãèéí ìàãàäëàë
 Õîñîëñîí ìàãàäëàë
 ͺõöºëò ìàãàäëàë
6

7. Энгийн магадлал
 Àëèâàà äóðûí “À” ¿çýãäýë ãàðàõ ìàãàäëàëûã P(A)
ãýæ òýìäýãëýíý. Ǻâõºí ãàíö ¿çýãäýë äàíãààð
ãàðàõ ýíýõ¿¿ ìàãàäëàëûã ýíãèéí ìàãàäëàë ãýíý.
Æèøýý 1.
 20 õ¿íòýé íýã áàéãóóëëàãûí òóõàéí îíû àâàðãà
àæèëòàíã òîäðóóëàõ íºõöºëä àâàðãà áîëîõ
ìàãàäëàë 20-îîñ íýã áàéíà ãýñýí ¿ã áóþó 20
õ¿íýýñ 1 íü ò¿ð¿¿ëíý ãýñýí ìàãàäëàë P(A) = 1/20 =
0.05 áàéíà.
 Ýíý ¿çýãäýë íü ¿ë õàìààðàõ ¿çýãäýë áîëíî.
7

8.  Ñàíàìñàðã¿é õî¸ð ¿çýãäýë áèå
áèåòýéãýý ¿ë íèéöýõ òîõèîëäîëä
 P (A ýñâýë B) = P(A) + P (B)
8

9.  Ǻâõºí À ¿çýãäëèéí ìàãàäëàëûã äàðààõ áàéäëààð
áîäîæ îëíî.
P (A) = 1-P(A áèø) áóþó P (À) = 1-P(B) ãýæ áîëíî.
Æèøýý 2:
 1; 2; 3; 4; 5 ãýñýí äóãààð á¿õèé ñóãàëààíààñ 2
ýñâýë 5 äóãààðòàé ñóãàëààíû ñîíãîãäîõ
ìàãàäëàëûã äàðààõ áàéäëààð òîîöíî.
P (A ýñâýë B) = P(A) + P (B) = P (2 ýñâýë 5) = P(1/5)
+ P (1/5) = 2/5 áóþó 0.4 áîëíî.
9

10. Õýðâýý õî¸ð áóþó ò¿¿íýýñ äýýø ¿çýãäýë á¿õèé íºõöºëä äàðààõ áàéäëààð òîîöîîëíî.
Æèøýý 3:
Òóõàéí õ¿í àìûã Âèðóñò ãåïàòèò À, Â, Ñ-èéí õàëäâàð àâñàí, õàëäâàðã¿é ãýñýí õýñýãò
õóâààãäñàí ãýæ ¿çâýë àëü íýã ¿çýãäëèéí ìàãàäëàëûã äàðààõ áàéäëààð òîäîðõîéëíî.
Âèðóñò ãåïàòèò Âèðóñò ãåïàòèò Âèðóñò ãåïàòèò Â Âèðóñò
Õàëäâàð àâñàí
Â-èéí Ñ-èéí áà Ñ-èéí ãåïàòèòèéí
ýñýõ
õàëäâàðòàé õàëäâàðòàé õàëäâàðòàé õàëäâàðã¿é
Íèéò õ¿í àìûí
äóíä ýçëýõ
õóâü 0.10 0.10 0.05 0.75
Âèðóñò ãåïàòèòûí õàëäâàðòàé íèéò õ¿í àìûí ìàãàäëàë = 0.10+0.10+0.05 = 0.25
Âèðóñò ãåïàòèòûí õàëäâàðã¿é õ¿í àìûí ìàãàäëàëûã P (A) ãýæ ¿çâýë:
P (À) = 1-P(B) = 0.75 áîëíî.
10

11.  Ñàíàìñàðã¿é õî¸ð ¿çýãäýë áèå áèåíýýñýý
õàìààðàõ ìàãàäëàë
 P (A ýñâýë B) = P(A) + P (B) - P(ÀB)
òîìú¸îãîîð áîäíî.
 P(ÀB) – íü À áà Â ¿çýãäýë õàìò ãàðàõ
ìàãàäëàë
À ÀÂ Â
11

12. Æèøýý 4. Øèíæèëãýýíè Õ¿éñ Íàñ
é äóãààð
 Íýãýí ýìíýëýãò íýã
ºäºðò øèíæèëãýý ºãñºí 01 Ýðýãòýé 37
õ¿ì¿¿ñèéí äîòîð ýðýãòýé
эсвэл 35-ààñ äýýø íàñíû 02 Ýìýãòýé 33
õ¿í ñîíãîãäîõ 03 Ýìýãòýé 40
ìàãàäëàëûã òîîöîîëâîë: 04 Ýìýãòýé 32
05 Ýðýãòýé 30
06 Ýðýãòýé 19
Ìàãàäëàëûí ýíý õýëáýðèéã
07 Ýìýãòýé 36
ýïèäåìèîëîãèä ìàø ºðãºí õýðýãëýäýã.
Æèøýý íü àëü íýã íàñíû á¿ëãèéã ñîíãîæ 08 Ýìýãòýé 52
àâàõ òîõèîëäîëä.
09 Ýðýãòýé 25
10 Ýðýãòýé 28
P (A ýñâýë B) = P(A) + P (B) - P(ÀB) = P (ýðýãòýé ýñâýë 35-ààñ äýýø
íàñòàé) =
P(ýðýãòýé) + P (35-ààñ äýýø íàñòàé) - P(ýðýãòýé áîëîí 35-ààñ äýýø
íàñòàé) = 5/10 + 4/10 – 1/10 =
8/10 áóþó 0.8 áàéíà. 12

13. Хосолсон магадлал
 Хо¸р болон т¿¿нээс дээш тооны ¿зэгдл¿¿д бие
áèåíýýñýý ¿ë õàìààðàõ ìàãàäëàë
P (AB) = P(A) * P (B)
P (AB) íü À áîëîí Â ¿çýãäýë õàìò ãàðàõ ìàãàäëàë.
13

14.  Çîîñîí ìºíãºíèé õóâüä àëü íýã òàëààðàà áóóõ
ìàãàäëàë íü òýíö¿¿ òóë 1/2 ìàãàäëàëòàé ãýæ
¿çäýã.
 Õýðýâ çîîñîí ìºíãºíèé ñ¿ëäòýé òàëààð áóóõ
ìàãàäëàë íü:
íýã óäààãèéí øèäýëòýíä 1/2 ãýæ ¿çâýë
2 óäààãèéí øèäýëòèéí ìàãàäëàë íü 1/2 * 1/2 =
1/4 áîëíî.
3 óäààãèéí øèäýëòýíä ñ¿ëäòýé òàëààð áóóõ
ìàãàäëàë íü 1/2 * 1/2 * 1/2 =1/8 áîëíî.
14

15.  Æèøýý áîëãîæ, 3 óäààãèéí øèäýëò òóñ
á¿ðò çîîñîí ìºíãºíèé ñ¿ëäòýé òàëààðàà 1
óäàà áóóõ ìàãàäëàëûã àâ÷ ¿çüå. Ñ-ñ¿ëä, Ò-
òîî ãýæ òýìäýãëýâýë:
 ÑÑÑ ÑÒÑ ÒÒÒ ÑÑÒ ÒÑÑ [ÒÑÒ]
[ÑÒÒ] [ÒÒÑ]
 Õààëòàíä áèäíèé õ¿ëýýæ áàéñàí ¿ð ä¿í
áîëîõ 1 óäàà ñ¿ëäýýð áóóõ òîõèîëäëûã àâ÷
¿çëýý. Ýíý æèøýýíèé 8 õîñëîë äîòîð
ñ¿ëäýýð áóóõ ìàãàäëàë íü 3/8 áàéíà
15

16. Нөхцөлт магадлал
 À ¿çýãäëèéã ¿¿ñýõýä  ¿çýãäýë òîîöîãäîõ íºõöëèéã
íºõöºëò ìàãàäëàë ãýíý.
Æèøýý
 1000 õ¿í àìûí 600 ýðýãòýé, ¿¿íýýñ òàìõè òàòäàã
150, 400 ýìýãòýé, ¿¿íýýñ òàìõè òàòäàã 300
ýìýãòýé. Íèéò òàìõè òàòäàã 450 õ¿í áàéíà ãýæ
¿çâýë.
 À-òàìõè òàòàõ
 Â-ýìýãòýé
 Òàìõè òàòàõ ìàãàäëàë P(A)= 450/1000 =0.45
16

17. Нөхцөлт магадлал
 Íèéò ýìýãòýé÷¿¿äèéí äîòîð òàìõè òàòàõ
ìàãàäëàë P(Â)= 300/400 =0.75
 Õàðèí À áà B áóþó òàìõè òàòäàã ýìýãòýéí
íèéò ýìýãòýé÷¿¿äèéí äóíä òîõèîëäîõ
ìàãàäëàë íü
P(A/ B) = ____300/1000___
400/1000
Ýíä
P(AB) íü 300/1000
P(B) íü 400/1000
17

18. Хэсэглэлийн коэф
 O!=1
n  1!=1
  n!  2!=2*1=2
  3!=3*2*1=6
 k  k!(n  k )!

   4!=4*3*2*1=24
 3
  3! 3 * 2 *1 6
    3
 1  1!(3  1)! 1 * (2 *1) 2
 
18

19. 3 ñ¿ëäòýé áóóõ õîñëîë
 ÑÑÑ [ÑÒÑ] ÒÒÒ [ÑÑÒ] [ÒÑÑ]
ÒÑÒ ÑÒÒ ÒÒÑ
 3
  3! 3 * 2 *1
   1
 3  3!(3  3)! 3 * 2 *1 * (0)!
 
19

20.  ̺í 3 óäààãèéí øèäýëòýíä ñ¿ëä áóóõã¿é
áàéõ ìàãàäëàëûã òîîöâîë
 3
  3! 3 * 2 *1
   1
 0  0!(3  0)! 1 * (3 * 2 *1)
 
ÑÑÑ ÑÒÑ [ÒÒÒ] ÑÑÒ ÒÑÑ ÒÑÒ ÑÒÒ ÒÒÑ
20

21. Бином тархалт
 Ажиглалтын тоо (туршилтын тоо), n
 15 удаа зоос орхиход 5 сүлд буусан;
 1000 х¿н судалгаанд хамрагдсанаас 20 өвчтэй
 Дихитом хувьсагч
 сүлд эсвэл тоогоох буух; эрүүл эсвэл өвчтэй
 “амжилттай” ба “б¿тэлг¿йтсэн”
 Амжилтын магадлал нь p
 Б¿тэлг¿йтлийн магадлал нь 1 – p

22. Жишээ
5 удаа зоос орхиход 3 удаа с¿лдээр буух
¿зэгдлийн магадлал?

23. Бином тархалт
Хо¸р боломжит ¿р д¿нтэй (1/0 эсвэл тийм/¿г¿й
эсвэл амжилттай/б¿тэлг¿йтсэн)
n ¿л хамаарах туршилт
X “амжилтын” магадлал=
n = туршилтын тоо
n X n X
  p (1  p)
X 1-p = б¿тэлг¿йтлийн
магадлал
n туршилтын
амжилттай p = амжилтын
болсон тоо магадлал

24. Тодорхойлолт: Бином тархалт
 n ¿л хамаарах туршилт явагдсан.
 Амжилтын магадлал p, б¿тэлг¿йтлийн
магадлал 1-p тэмдэглье.
 Амжилтын тоо Х нь n ба p параметр
б¿хий бином тархалттай байна.

25. Бином тархалт
 Бичихдээ: X ~ Бином(n, p)
{уншихдаа: “X нь n ба p параметр
б¿хий бином тархалттай
хэмжигдэх¿¿н}
  r
n
nr
P( X  r )    p (1  p)
r

26. Тодорхойлолт: Бернулль
1 удаа туршилтын явуулахад
амжилтын магадлал p, б¿тэлг¿йтлийн
магадлал 1-p байна.
(Бином тархалт, n=1)
1 1
Амжилтын магадлал: P( X  1)    p (1  p)11  p
1
1 0
Б¿тэлг¿йтлийн магадлал: P( X  0)    p (1  p)10  1  p
0

27. Бином тархалт: Жишээ
 Хэрэв 20 удаа зоос орхиход яг 10
удаа с¿лдээр буух ¿зэгдлийн
магадлал?
  10 10
20
 (.5) (.5)  .176
 10 

28. **Бүх тархалтууд нь дундаж,
дисперстэй байдаг:
Хэрэв X ~ Бином (n, p) бол
тэгвэл:
x= E(X) = np
x2 =Var (X) = np(1-p) p(1-p)-ийн p хамгийн
их утга 0.5 байна.
x =SD (X)= np(1  p) P(1-p)=.25

29. Бернуллийн тархалтын
дундаж, дисперс
Бином тархалт, (n=1)
E(X) = p
Var (X) = p(1-p)

30. Жишээ
 X= 100 удаа зоос орхиход с¿лд буух
тоо
 X ~ Бином (100, .5)
 E(x) = 100*0.5=50
 Var(X) = 100*0.5*0.5 = 25
 SD(X) = 5

31. Эр¿¿л мэндийн судалгаанд
Когорт (эсвэл агшингийн судалгаанд):
 Шинээр илэрсэн өвчлөлд өртсөн б¿лгийн х¿ний
тоо
 Шинээр илэрсэн өвчлөлд өртөөг¿й б¿лгийн х¿ний
тоо
Тохиолдол-хяналтын судалгаанд:
 Өртсөн б¿лгийн тохиолдол/өвчтэй х¿ний тоо
 Өртсөн б¿лгийн хяналт/эр¿¿л х¿ний тоо

32. Практикт
 1.Когорт судалгаанд хийгдэж байна. Хэрэв дагаж
судлах явцад өртсөн б¿лэгт шинэ өвчлөл
тохиолдох магадлал нь 0.05 бол
санамсарг¿йгээр 500 өртсөн б¿лгийн х¿н
т¿¿вэрлэж авахад хэдэн х¿нд шинэ өвчлөл
тохиолдох вэ? (+/- 1 стандарт хазайлттай)
 2. Хамгийн ихдээ 10 өртсөн б¿лгийн х¿нд шинэ
өвчлөл илрэх магадлал хэд вэ?

33. Хариулт
1.
X ~ Бином(500, 0.05)
E(X) = 500 (0.05) = 25
Var(X) = 500 (0.05) (0.95) = 23.75
СтандартХазайлт(X) = √(23.75) = 4.87
25  4.87

34. Хариулт
2.
Өсөн нэмэгдэх магадлал: 0 –10 х¿ртэл
өвчлөл тохиолдох магадлал.
P(X≤10) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
+ +P(X=4)+….+ P(X=10)=
 500   500 
P(X  10)   (.05) (.95)   (.05)1 (.95)499 
0 500
0 1
 500   500 
  (.05) (.95)  ...   (.05)10 (.95)490  .01
2 498
2  10 

35. Паскалын гурвалжин
Жишээлбэл, туршилтын тоо 5: (p + q)5
Задалбал: p5 + p4q1 + p3q2 + p2q3+ p1q4+ q5
Коэффициент¿¿д?
 Паскалын гурвалжинг ашиглах…

36. Паскалын гурвалжин
Туршилтын тоо n=1
1
Туршилтын 11
тоо n=5. Нийлбэрээр
121 тооцно
1331 3+1=4;
14641 5+10=15
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
(p + q)5 = 1p5 + 5p4q1 + 10p3q2 + 10p2q3+ 5p1q4+ 1q5

37. Коэффициент¿¿д: X~Bin(5,p)
Жишээлбэл, X нь 5 удаа зоос орхиход с¿лд буух тоо:
5 5 5
  =5!/0!5!=1   =5!/1!4! = 5   = 5!/2!3!=5x4/2=10
0 1  2
X P(X) 5 5 5
  =5!/3!2!=10   =5!/4!1!= 5   =5!/5!1!=1
 3  4 5
0 5 0
 (.5) (.5)
5
0
5 1
1  (.5) (.5)
4
X P(X)
1
0
5 2 1(.5) 5
2  (.5) (.5)
3
1
 2 5(.5) 5
5 3 2 10(.5) 5
3  (.5) (.5)
2
 3 3 10(.5) 5
4 5 4 4
 (.5) (.5)
1
5(.5) 5
 4
5 1(.5) 5
  5
5
5  (.5) (.5)
0
32(.5)5=1.0
5

38.  p+q=1, n=5 удаагийн туршилт
 (p+q)5=(1)5=1, эквивалент
1p5 + 5p4q1 + 10p3q2 + 10p2q3+ 5p1q4+ 1q5 = 1
P(X=0) P(X=1) P(X=2) P(X=3) P(X=4) P(X=5)

39. Практикт
Хэрэв уушигны хавдартай тохиолдлын
б¿лэгт тамхи татагчдын эзлэх
магадлал 0.6 бол 8 тохиолдлын 2-с
багаг¿й х¿н тамхи татдаг байх
магадлал хэд вэ?5-с их байх?
Дундаж болон дисперс нь хэд вэ?

40. Хариулт 1
11
121
1331
14641
X P(X) 1 5 10 10 5 1
0 1(.4)8=.00065 1 6 15 20 15 6 1
1 8(.6)1 (.4) 7 =.008 1 7 21 35 35 21 7 1
2 28(.6)2 (.4) 6 =.04 1 8 28 56 70 56 28 8 1
3 56(.6)3 (.4) 5 =.12
4 70(.6)4 (.4) 4 =.23
5 56(.6)5 (.4) 3 =.28
6 28(.6)6 (.4) 2 =.21
7 8(.6)7 (.4) 1=.090
8 1(.6)8 =.0168

41. Хариулт, ¿ргэлжлэл
0 1 2 3 4 5 6 7 8

42. Хариулт, ¿ргэлжлэл
P(<2)=.00065 + .008 = .00865
P(>5)=.21+.09+.0168 = .3168
0 1 2 3 4 5 6 7 8
E(X) = np=8 (.6) = 4.8
Var(X) = np(1-p)=8 (.6) (.4) =1.92
СХазайлт(X) = 1.38

43. Пауссоны тархалт
Дискрет тархалтын нэг хэлбэр

44. Пауссоны тархалт
 Пауссоны тархалт нь тасралттай (дискрет) тоон
тархалт.
 T хугацаанд ¿зэгдлийн тоо Х-ийн магадлалын
дараалал

45. Пауссоны тархалтын дундаж,
дисперс
 Дундаж   Пауссоны
тархалттай
үзэгдэл ижил
дундаж,
дисперстэй
 Дисперс 2 
 СХазайлт   
 = тодорхой хугацаан дах тохиолдлын
дундаж утга

46. Пауссоны тархалт, жишээ
 Нэг сарын хугацаанд SARS-ийн шинэ тохиолдлын
тоо
 Өвчлөлийн шинэ тохиолдлууд илрэх магадлал,
хугацаа 0-с хязгаарг¿й
 Хэрэв X ~ Пауссон () бол X=k байх магадлал:
k 
e
p( X  k ) 
k!

47. Жишээ
 Хэрэв Баруун Нилийн халуурлын
0,1,2,3,4,5,6 шинэ тохиолдол 1000-
х¿нд, 1сая-х¿нд тохиолдох
магадлалуудыг олбол: 1 сар тутам 2
тохиолдол

48. Пауссоyны тархалтын
х¿снэгт
Х P(X)
20 e 2
0  0.135
0!
21 e2
1  0.27
1!
22 e 2
2  0.27
2!
23 e2
3  0.18
3!
24 e 2
4  0.09
4!
5 ….

49. Жишээ
1000 х¿н жилд 1 шинэ тохиолдол
илэрдэг ховор тохиолддог өвчин
байг. Х¿н амд ¿л хамаарах байдлаар
тархдаг. 1 жил дагаж судлахад
10 000 х¿нд к (0,1,2,..) шинэ
тохиолдол гарах магадлалыг ол.

50. Хариулт
 Дундаж (mean) = = 0.001*10,000 = 10
 1 жил дагаж судлахад 10 000 х¿нд 10 шинэ
тохиолдол илэрнэ.
(10) 0 e  (10)
P( X  0)   .0000454
0!
(10)1 e (10)
P( X  1)   .000454
1!
(10) 2 e (10)
P( X  2)   .00227
2!

51. Пауссоны процесс
Хэрэв хугацааны агшинд ¿зэгдэл илрэх дундаж тоо
нь  илрэх тоо ба (1сард 2 ¿зэгдэл) t хугацаагаар
¿ржигдэнэ.
X ~ Пауссон ()
 t
(t ) e
k
P( X  k ) 
k!
E(X) = t
Var(X) = t

52. Жишээ
Жишээлбэл , Баруун Нилийн өвчний 2
шинэ тохиолдол 1 сар тутамд тохиолддог
бол дараагийн 3 сард 4 тохиолдол илрэх
магадлал хэд вэ?
X ~ Пауссон (=2/сар тутам)
(2 * 3)4 e (2*3) 64 e (6)
P(X  4 Tox 3 сард)    13.4%
4! 4!
Яг 6 тохиолдол?
(2 * 3)6 e ( 2*3) 66 e (6)
P(X  6 Tox 3 сард)    16%
6! 6!

53. Хэвийн тархалт
Тасралтг¿й тархалтын хэлбэр

54. Чухал байдал
 Эр¿¿л мэндийн олонх ¿зэгдл¿¿д
хэвийн тархалттай байдаг.
Жишээлбэл, өндөр, систолын
даралт...
 Олонх тест¿¿д хэвийн, хэвийнтэй
ойролцоо тархсан олонлогт
зориулагдсан байдаг.

55. Шинж чанар
x
• Дундаж, медиан, моод тэнцүү
• Дундажийн орчимд семмитр, хонх хэлбэрийн
муруй
• Талбай нь 1 байдаг

56. Дундаж , стандарт хазайлт
өөр өөр дундажтай, ижил стандарт хазайлттай
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
өөр өөр дундажтай, өөр өөр стандарт хазайлттай
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

57. 3 сигмагийн дүрэм
Дундажийн 1 СХ зайд 68%
агуулагдана
68%
Дундажийн 2 СХ зайд 95%
агуулагдана
Дундажийн 2 СХ зайд 99.7% агуулагдана

58. Стандарт утга
Стандарт утга, Z-утга нь Х утгаас дундаж нь
хэдэн стандарт хазайлтын зайнд байгааг
харуулдаг.
утга  дундаж x  μ
z 
СХ σ

59. Стандарт утга, жишээ
Х¿¿хд¿¿дийн өндрийн дундаж 152 ,СХ нь 7 байв. Дараах
өндөртэй х¿м¿¿сийн хувьд стандарт z-утгыг олбол:
(a) 161 (b) 148 (c) 152
(a) (b) (c)

60. Стандарт хэвийн тархалт
z-утгыг ашиглан дурын Стандарт хэвийн
хэвийн тархалтыг тархалтын дундаж нь 0 ,
стандарт хэвийн СХ нь 1 байна.
тархалт руу шилжүүлж
болно.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 z

61. Өсөн нэмэгдэх магадлал
z-утга –1.25-с бага байх магадлал, өсөн
нэмэгдэх муж
0.1056
–3 –2 –1 0 1 2 3 z
z = –1.25 –ийн баруун талын бүх утгуудыг авах
магадлалын тооцно.
Магадлал нь:

62. Магадлал ба хэвийн тархалтууд
Систолын даралтын дундаж нь100 , стандарт хазайлт нь
15 байв. Санамсарг¿й сонгож авсан х¿н 115-с бага
даралттай байх магадлалыг олбол.
100 115

63. Магадлал ба хэвийн тархалтууд
Хэвийн тархалт
P(x < 115)
Стандарт хэвийн 100 115
тархалт
ижил
ижил
P(z < 1)
0 1
P(z < 1) = 0.8413, P(x <115) = 0.8413

64. z-утгыг олох
магадлал нь 0.60 байхад z-утгыг олбол:
.40
.60
0 z
z
z-утга нь 0.25.

65. Бином тархалт
• Үл хамаарах туршилт явагдсан. (n)
• Туршилт б¿р нь 2 ¿р д¿нтэй: амжилттай эсвэл
б¿тэлг¿йтсэн.
• n туршилтын амжилтын тоо х байх магадлал олно.
• Энд x = 0 , 1 , 2 … n.

66. Жишээ
Х¿н амын 34% A+ б¿лгийн цустай. Хэрэв
санамсарг¿йгээр 500 х¿н т¿¿вэрлэж авахад хамгийн
багадаа 300 х¿н A+ б¿лгийн цустай байх магадлал?
Хэрэв np > 5 ба nq > 5 бол бином тархалт нь хэвийн
тархалтанд дөхдөг.

67. Үргэлжлэл
n=5
p = 0.25, q = .75
np =1.25 nq = 3.75
0 1 2 3 4 5
n = 20
p = 0.25
np = 5 nq = 15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n = 50
p = 0.25
np = 12.5
nq = 37.5
0 10 20 30 40 50

68. Асуулт ?

69. Анхаарал тавьсанд баярлалаа